2.2.1 기존 ABF 알고리즘

그림. 2는 일반적인 펄스 레이더의 송수신 파형관계를 나타낸 것이다. 일정한 간격으로 송신 펄스가 방사되며 다엄 펄스의 송신전까지 수신신호를 수집하게 된다. 이때, 송신펄스의 방사직전 및 직후의 구간에서는 표적에 의한 반사신호가 존재하지 않는다고 가정을 하고 이러한 가정으로부터 얻어지는 데이터를 TDS 라고 한다. 그러므로 TDS J_TDS,θJ는 재머와 잡음만으로 구성이 된다. TDS 이후에는 표적의 반사신호가 존재할 수 있는 구간이 되며 이러한 구간에서는 재머 J_N,θJ, 표적신호(SOI: Signal Of Interest) 및 잡음 등으로 구성이 될 수 있다.

기존 환경에서는 TDS에서 재머 파형정보와 각 range bin에서의 재머의 파형정보가 같다. 이러한 환경에서 재머를 억제하기 위한 방법으로 MVDR (Minimum Variance Distortionless Response), SMI (Sample Matrix Inversion), LSMI (Loaded Sample Matrix Inversion) beamformer 방법 등이 대표적으로 사용되어 왔다.⁽¹⁵⁾

k-번째 range bin에서 beamformer output은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 w∈C^N×1는 수신 배열 안테나의 복소 가중치(complex weight) 벡터이고 x(k)∈C^N×1 는 k-번째 range bin에서의 수신신호 벡터이고 (·)^H은 Hermitian transpose를 의미한다. 각 range bin 에서의 SINR은 다음과 같은 수식으로 정의된다.⁽⁴⁾

식(4)에서 E[·]는 기댓값으로 신호의 전력을 의미하고, R}_i+n∈C^N×N은 재머 성분과 잡음 성분을 가지고 있는 공분산 행렬이다. 기존 ABF를 위한 최적 가중치는 SINR을 최대화 하는 과정을 통해서 추정할 수 있다. 이를 위해서 식(4)의 분자를 고정하고 분모의 잡음과 재머의 전력을 최소로 함으로써 얻을 수 있다. 이는 제한조건을 갖는 최적화 (Constrained Optimization) 문제로 다음과 같이 표현 할 수 있다.

위 최적화 문제는 다음과 같이 해를 얻어 가중치를 구할 수 있다.⁽⁵⁾

α는 SINR 출력에 영향을 끼치지 않는 정규화 상수(normalization constant)이기 때문에 생략되어 질 수 있다. 하지만 식(4)의 재머성분과 잡음성분만을 포함한 공분산 행렬 R_i+n은 실제로는 알 수 없는 행렬이다. 따라서 TDS에서 얻은 data sample을 이용하여 다음과 같이 근사 공분산 행렬을 구성한다.

여기서 $\hat{R}$은 data sample covariance matrix를 의미하고 K는 snapshot의 개수, x는 TDS 구간의 수신 신호를 의미한다. 위의 식(7)의 방식은 가장 일반적으로 ABF에서 많이 사용되어지는 LSMI (Loaded Sample Matrix Inversion) beamformer 이며 αI부분이 없으면 SMI (Sample Matrix Inversion)가 된다. SMI의 문제점중 하나는 공분산행렬을 추정함에 있어 $\hat{R}$의 작은 고유값이 잡음 때문에 상대적으로 불확실하게 추정된다는 것이다. 따라서 작은 고유값은 최적의 가중치를 구하는데 있어 공분산핼렬의 역행렬을 계산하게 되면 커지기 때문에 가중치 값을 불안정하게 만들게 된다. 또 이것은 가중치를 적용한 후 빔 패턴에서 부엽의 크기(SLL: Side Lobe Level)를 증가시키고, SINR을 저하시키는 원인이 된다. 식(9)를 통해 공분산행렬을 구하게 되면 상대적으로 공분산행렬의 불안정한 작은 고유값의 수를 줄일 수 있게 된다. SMI beamformer에서 취해야하는 snapshot의 개수가 배열소자의 개수에 의존하지만 LSMI beamfomer는 재머의 개수에 의존한다. 따라서 snapshot의 개수가 훨씬 줄어들 수 있어 보다 빠르게 공분산 행렬을 구할 수 있게 된다. 위의 식(7)에서 변수의 값은 미지의 신호와 재머에 따라 달라진다. 따라서 실제 적용에 있어 적절한 값을 선택하는 것이 중요하다. 일반적으로 값은 rule of thumb에 의해 α =2σ²~4² 범위에서 정하게 된다. 여기서 σ²는 수신 잡음의 분산을 의미한다.

식(6)의 R_i+n을 식(7)의 data sample을 이용해서 구한 공분산 행렬로 바꾸어 주면 구할 수 있다. 따라서 LSMI 기반의 최적 가중치는 위의 식(8)과 같이 표현 된다.⁽⁶⁾

그림. 3은 TDS와 range bin에서 재머신호의 파형정보가 동일할 때 LSMI Beamformer를 이용한 range bin별 beamformer output 결과이다. 이때 J₁~J₅는 각각의 range bin에서의 재머로서 동일한 파형정보를 갖는다. 선형 소자개수는 N=20, JNR (Jammer to noise ratio)는 40dB, SNR=20dB, 재머 신호의 입사각 θ_j=-20°, θ_SOI=30°표적신호의 방향은 이다.

2.2.2 Non-stationary 재머억제를 위한 ABF 알고리즘

하지만 재머의 파형정보가 빠르게 변하는 환경에서는 기존의 ABF 기법을 사용하면 그림. 4와 같이 beamformer output에 문제가 발생하여 재머 억제 성능이 저하된다.

여기서 JJR (Jammer to Jammer Ratio)는 TDS와 각 range bin의 재머 파형의 비를 표현한 것으로 식(9)과 같이 표현할 수 있다.

그림. 4 및 그림. 5의 결과는 range bin별 JJR의 변화를 제외하고는 그림. 2와 동일한 환경이다. 만일 JNR_RB$<$JNR_TDS이면 기존 ABF 기법이 잘 동작하지만 그 반대인 경우 그림. 5와 같이 성능에 문제가 발생한다. 즉, 기존의 ABF 기법은 JJR이 커질수록 더욱 큰 열화 현상이 발생하는 것을 알 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 각 range bin에서 새롭게 공분산 행렬을 구성하여 기존 ABF 기법을 고려할 수 있다. 하지만, 이러한 접근에는 두 가지 문제가 발생한다. 첫 번째 수신 구간에서 공분산 행렬 구성시 재머 및 잡음 신호와 함께 표적신호가 포함될 수 있다. 이럴 경우, 기존 ABF 기법은 재머신호뿐만 아니라 표적신호도 함께 억제시켜 SINR을 저하시키는 문제가 발생한다. 두 번째 공분산 행렬로부터 최적가중치를 얻기 위해서는 역행렬 연산이 추가로 필요하기 때문에 연산량이 증가하는 문제가 있다.

본 논문에서는 이러한 표적신호가 함께 존재하는 수신구간에서 연산량의 증가를 억제하면서 공분산 행렬의 역행렬을 추정하는 기법을 제안한다.

2.3.1 TDS에서 Matrix pencil 기법을 이용한 재머 입사각 추정

본 논문에서는 TDS에서 1차적으로 재머의 입사각 추정을 위해 MPM을 사용하였다. 해당 기법은 수신 신호 벡터의 고유치를 통해 신호성분만을 선택한 후 고유치 문제를 풀어서 입사각을 추정하는 방법이다^(16,17).

등간격 선형 배열 안테나에서 입사각 를 갖는 K개의 신호에 대한 n번째 선형 배열소자에서의 TDS 수신 신호는 위에 신호모델에서 설명한 식(10)과 같이 표현된다. 식(11)은 다시 아래와 같이 간략하게 표현 되어 진다.

이 때, z_k는 신호의 입사각에 의한 배열소자 간의 위상차를 의미하며, z-변환에서 pole에 해당된다. 그러므로 수신 신호로부터 이러한 pole을 획득하면 신호원의 입사각을 추정할 수 있다.

이를 위하여 각 배열소자의 수신 신호를 이용하여 Hankel 행렬을 아래와 같이 구성한다.

식(12)에서 L은 pencil 계수로써 일반적으로 N/3 근처의 정수값을 사용한다. 또한, K개의 신호를 추정하기 위해선 K $\le$L $\le$N-K의 조건을 만족하여야 한다.

위에서 얻은 Hankel 행렬의 마지막 열을 제거한 행렬을 Y₀, 첫 번째 열을 제거한 행렬을 Y₁이라고 할 때 각 행렬은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

이 때,

이다. 이 때 pole의 정보를 보유하고 있는 Z_d를 추정하기 위한 방법으로 $Y_0^{†}{Y}_1$의 고유치 해석 방법이 있다. 이 때 (·) ^{$Y_0^{†}{Y}_1$}는 Moore-Penrose pseudo inverse를 의미한다. 그러나 수신 신호에 잡음이 포함되어 있으면 Z_d에 신호뿐만 아니라 잡음에 대한 정보가 함께 포함되므로 신호의 개수에 대한 추정이 필요하다. 이를 위해 행렬 Y의 고유치를 이용한다. 행렬 Y에 SVD (Singular Value Decomposition)를 적용하면 아래와 같이 표현된다.

U와 V는 unitary 행렬이고, ∑={σ₁,σ₂,···,σ_K,···,σ_L}는 Y의 고유치를 포함하는 대각행렬이 된다. 일반적으로 좋은 SNR 환경에서 행렬 ∑의 고유치는 K개의 우위의(dominant) 값을 갖고, 나머지 고유치들은 매우 작은 값을 갖는다. 이러한 우위의 혹은 임계값 위에 있는 고유치의 개수를 원신호의 K개수 라고 정한다. 이를 통해 식(20)의 위의 과정을 통해 행렬 U의 K개의 행만 선택하여 새로운 행렬 $\tilde{U}$를 생성하게 된다. 이를 이용하여 다음과 같은 식을 통해 고유치 벡터 {z_k}를 얻어낼 수 있다.

여기서 $\widetilde{U_0}$와 $\widetilde{U_1}$은 각각 $\tilde{U}$의 마지막 행과 첫 번째 행이 삭제된 행렬이다. eig(·)는 고유치를 구하는 연산을 의미한다. 위에서 얻어진 z_k를 이용하여 아래와 같은 식을 통해 신호의 입사각을 추정할 수 있다.

2.3.2 Range bin에서의 재머각도 재추정

그림. 6은 TDS에서 추정한 재머의 입사각이 JJR의 증가에 따른 영향을 나타낸 도식이다. 여기서 J_RB는 range bin에서의 정확한 재머파형을 의미하며 ${\tilde{J}}_{RB}$는 range bin에서 TDS 재머 파형을 기반으로 추정한 재머의 파형이다. 즉, TDS 구간의 재머 입사각을 그대로 사용하면 JJR이 증가에 따라 재머 파형의 추정오차 △J=|J_RB- ${\tilde{J}}_{RB}$|가 비례해서 증가하게 된다. 이는 억제되지 못한 재머신호가 수신신호에 남게 되어 레이더 성능에 악영향을 주게 된다. 그러므로 range bin에서 JJR이 증가할 때 △J를 줄이기 위해서는 재머 입사각의 재추정이 요구된다. 이때 JJR이 감소하면 동일한 재머 입사각에 대해 △J가 감소하므로 문제가 없다.

JJR 증가에 따른 재머파형의 오차를 줄이기 위해서 다음과 같이 오차함수를 정의하였다.

여기서,

위의 수식의 ${\hat{\mathrm{A}}}_J={\left[{\hat{a}}_1{e}^{j{\hat{\varphi }}_1},\dots ,{\hat{a}}_{K_J}{e}^{j{\hat{\varphi }}_{K\mathrm{j}}}\right]}^T$는 각 재머신호의 추정 복소 진폭을 의미하고 ${\hat{Z}}_{J,j}$는 추정된 pole을 의미하며 아래첨자 j는 j번째 재머신호를 의미하는 index이다. 또한 y_J,j는 j번째 재머신호의 성분을 ${\hat{y}}_{J,j}$은 추정 재머 신호 성분을 의미한다. 식(23)에서 수신된 신호와 추정 재머신호를 이용하여 오차 함수를 정의하고 추정 복소 진폭과 pole을 이용하여 수식을 각 재머신호의 파라미터 θ_j,a_j, φ_j에 대한 오차 함수의 gradient를 얻어낼 수 있다. 해당 gradient는 아래 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $\frac{\partial {\hat{Z}}_{J,j}}{\partial \theta }$와, $\frac{\partial {\hat{A}}_{J,j}}{\partial \varphi }$, $\frac{\partial {\hat{A}}_{J,j}}{\partial a}$는 아래의 식과 같이 나타낼 수 있다.

위에서 얻은 gradient 정보를 이용하여 GDM을 적용하면 다음과 같이 재머의 파형정보를 업데이트할 수 있다.

λ_θ, λ_a, λ_φ는 수렴속도를 결정하는 파라미터이다. 아래의 그림은 본 논문에서 적용한 GDM의 순서도이다.