2.1 좌표변환 불확실성에 의한 선형 불확정 회귀모델

분산 피동 표적추적 필터 설계에 앞서, 극좌표계 측정치와 직교좌표계 상태변수 간의 비선형성을 다루기 위한 새로운 필터 설계방법을 고려해보자.

UAV와 표적 간의 수평면 상대기하는 그림. 2와 같다. 편의상 UAV는 비행 중 일정한 고도를 유지하며 관성좌표계에서 정의된 수평면 표적 상대위치 x=[x^t-x y^t-y]^T를 추정하는 것으로 가정한다. 만일, UAV에 장착한 피동 센서로부터 수평면 시선각 정보가 제공된다면, 관성좌표계 표적 상대위치 x와 시선벡터에 수직한 방향의 표적위치 s = 0 간의 관계를 다음 선형 관계식으로 기술할 수 있다.

위의 식에서 H_j는 샘플링 시점, L=[0 1]는 측정행렬의 참값, C_j 는 상수 출력행렬, λ_j는 시선각 참값 에 의해 기술되는 관성-시선좌표계 간 좌표변환행렬, R_z(·)은 회전변환행렬을 의미한다. 회전변환행렬 R(·)의 정의는 다음과 같다.

$R_z\left(ϵ\right)\equiv \left[\begin{array}{cc}{c}_{ϵ}& s_{ϵ}\\ -s_{ϵ}& c_{ϵ}\end{array}\right], c_{ϵ}\equiv cos\left(ϵ\right), s_{ϵ}\equiv sin\left(ϵ\right)$

불행하게도 표적추적을 위해 시선각 참값 λ_j을 사용할 수 없으므로, 선형 관계식 (1)을 피동센서에서 획득된 시선각 측정치 ${\tilde{\lambda }}_j$를 사용하여 재정의해야 한다.

시선각 측정치 ${\tilde{\lambda }}_j$와 측정잡음 δλ_j에 의해 구성되는 좌표변환행렬의 관측치와 좌표변환 불확실성을 각각 ${\tilde{C}}_j\equiv R_z\left({\tilde{\lambda }}_j\right)$ 및 $\Delta C_j\equiv R_z\left(\delta {\lambda }_j\right)$라 하자. 잘 알려져 있다시피 회전변환 행렬은 유니타리(unitary)이므로 앞서의 정의를 이용하면 식(2)로부터 식(3)을 얻는다.

식(3)을 식(1)에 정의된 측정행렬의 참값 H_j에 대입하면,

여기서 ${\tilde{H}}_j=L{\tilde{C}}_j$는 측정행렬 관측치를 의미한다.

위의 결과를 식(1)에 대입하면, 선형 불확정 회귀모델 (5)를 얻는다.

위의 식에서 y_j = 0은 시선벡터에 수직인 표적의 가상 위치측정치(artificial position measurement)를, v_j는 가상 위치 측정잡음 의미한다⁽⁹⁾. 이때, 시선각 측정잡음 δv_j과 가상 위치 측정잡음 v_j가 비상관되어 있다고 해도 일반성을 잃지 않는다. 따라서, 식(2)로부터 좌표변환 불확실성 ΔC_j의 통계적 특성을 정의할 수 있다.

부가 측정잡음 만을 포함하는 표준 선형 회귀모델과 달리 선형 불확정 회귀모델 (5)과 관련된 상태추정 문제는 매우 다루기 어렵다⁽¹⁰⁾. 이는 선형 회귀모델 (5)가 상태변수 및 측정행렬과 곱셈관계에 있는 좌표변환 불확실성 ΔC_j을 포함하고 있을 뿐만 아니라, 좌표변환 불확실성 ΔC_j와 측정행렬 ${\tilde{H}}_j$ 사이에 상호 상관성(cross-correlation)이 존재하기 때문이다. 이러한 회귀모델 (5)의 특징은 기존 상태추정기법의 성능저하를 야기하므로, 이를 적절히 다루기 위한 새로운 추정기법이 고안되어야 한다.

2.2 좌표변환 불확실성에 의한 추정오차 해석

주어진 시스템 모델에 파라미터 불확실성이 포함되어 있지 않다면 칼만필터를 최소자승 관점에서 일관 무편향 최적 상태추정기라는 것은 주지의 사실이다. 불행하게도, 식(5)에는 좌표변환 불확실성 ΔC_j가 포함되어 있으므로, 칼만필터 추정치는 더 이상 일관성을 유지하지 못한다. 이러한 상황에서 일관성을 잃지 않는 새로운 추정기법을 고안하기 위해, 최소자승관점에서 좌표변환 불확실성 ΔC_j와 추정오차에 미치는 영향을 정량적으로 분석해보자.

j=0부터 j=k 시점까지 획득된 측정치들을 누적하면 측정방정식 (7)을 얻는다.

여기서

${\mathit{y}}^k\equiv \left[\begin{array}{c}{\mathit{y}}^{k-1}\\ y_k\end{array}\right], {\mathit{y}}^0=y_0, {\mathit{v}}^k\equiv \left[\begin{array}{c}{\mathit{v}}^{k-1}\\ v_k\end{array}\right], {\mathit{v}}^0=v_0$

$M^k\equiv \left[\begin{array}{c}{M}^{k-1}\\ I\end{array}\right], M^0=I, \Delta M^k\equiv \left[\begin{array}{c}\Delta M^{k-1}\\ \Delta C_k\end{array}\right], \Delta M^0=\Delta C_0^T,$

$H^k\equiv \left[\begin{array}{cc}{H}^{k-1}& 0\\ 0& L{C}_k\end{array}\right], H^0=H_0, {\tilde{H}}^k\equiv \left[\begin{array}{cc}{\tilde{H}}^k& 0\\ 0& L{\tilde{C}}_k\end{array}\right], {\tilde{H}}^0={\tilde{H}}_0$

(5)와 (6)으로부터 다음 관계식을 유도할 수 있다.

추정기의 일관성(consistency)을 수학적으로 분석하기 위해, 확률변수의 약수렴(weak convergence)과 관련된 다음 정의가 사용된다.

정의 1 (확률 수렴) 임의의 실수 ε와 확률변수 X에 대해 확률변수열(sequence) $\left\{X_n\right\}$가 다음 식을 만족한다고 하자.

$P\left\{|X_n-X|>ϵ\right\}\to 0, as n\to \infty .$

이 경우 확률변수열 $\left\{X_n\right\}$이 X로 확률수렴한다고 일컬으며, 이를 확률극한 $p\underset{n->\infty }{\lim }{X}_n=X$으로 표기한다⁽¹¹⁾.

일반적으로 추정치를 측정치열 $\left\{X_n\right\}$의 함수로 표현되므로, 확률변수 $\left\{X_n\right\}$의 이월특성(carry-over property)을 이용하면 손쉽게 추정기의 일관성을 증명할 수 있다.

보조정리 1 (Slutsky-Frechet 정리) 만약 $p\underset{n->\infty }{\lim }{X}_n=X$이고, f(x)가 연속함수이면 다음 관계식이 만족된다⁽¹²⁾.

$p\underset{k\to \infty }{\lim }f\left(X_n\right)=f\left(X\right)$

이제, 표적 상태추정기의 일관성을 분석하기 위한 전제조건을 생각해보자.

C1. UAV와 표적 간의 거리가 멀 경우, 시선각이 매우 천천히 변화하므로, 짧은 시구간에서 이를 상수(piecewise constant) 취급해도 무방하다.

C2. 영평균 시선각 측정잡음 δλ_j의 통계적 특성은 동일하게 유지된다. 즉, 시선각 측정잡음 δλ_j의 분산 R_j = R이다.

C3. {δλ_j}과 {v_j}는 독립균등분포(i.i.d.: independent and identically distributed)로 가정한다.

전술한 바와 같이 시선각 참값 λ_j을 사용할 수 없으므로 측정행렬의 참값 H^k 역시 가용한 변수가 아니다. 따라서, 실제상황에서 최적최소자승(OLS: optimal LS) 기법은 구현 불가능하다. 그럼에도 불구하고, OLS 추정성능은 설계될 추정기의 최적성을 판별하기 위한 이론적 기준이 된다. 벡터 측정방정식 (7)에 대한 OLS 추정치는 다음과 같다.

여기서 수식 전개상의 편의를 도모하기 위해 $c_{ϵ}\equiv cos{ϵ}_j$ 및 $s_{ϵ}\equiv sin{ϵ}_j$라 하면, OLS 추정오차 공분산 $P_{|k}^O$는 다음과 같이 정의된다.

$P_{|k}^O\equiv \left(\right(H^k{M}^k{)}^T(R^k{)}^{-1}{H}^k{M}^k{)}^{-1}=(\sum _{j=0}^k{\Pi }_j{)}^{-1}$

${\Pi }_j\equiv H_j^T{R}_j^{-1}{H}_j=\frac{1}{R_j}\left[\begin{array}{cc}{s}_{{\lambda }_j}^2& -s_{{\lambda }_j}{c}_{{\lambda }_j}\\ -s_{{\lambda }_j}{c}_{{\lambda }_j}& c_{{\lambda }_j}^2\end{array}\right]$

식(7)을 (9)에 대입하면, OLS 추정치 ${\hat{x}}_{|k}^O$를 다음과 같이 기술할 수 있다.

조건 C1 및 C2에 의해 영평균 측정잡음 v_k이 i.i.d.이므로, (10)에 확률극한을 취하면 OLS 추정치가 상태변수 참값 x로 일관 수렴하는 특성이 있음을 알 수 있다.

좌표변환행렬의 참값 C_j가 가용하지 않으므로, OLS 추정기를 구현할 수 없다. 그 대안으로, (8)에서 좌표변환 불확실성 ΔC_j의 영향을 의도적으로 무시( $\Delta M^k\approx M^k$)하고, 공칭최소자승(NoLS: nominal LS) 추정기를 사용해보자.

이 경우, NoLS 추정오차 Gramian 행렬 $P_{|k}^N$은 다음과 같이 정의된다.

(12))와 (13)을 이용하여 ${\hat{x}}_{|k}^N$를 다시 쓸 수 있다.

여기서

$$\begin{gathered} {\alpha }_{|k}\equiv P_{|k}^N\left({\tilde{H}}^k{M}^k{)}^T\right(R^k{)}^{-1}{\tilde{H}}^k\Delta M^k-I, \\ {\beta }_{|k}\equiv P_{|k}^N\left({\tilde{H}}^k{M}^k{)}^T\right(R^k{)}^{-1}{v}^k \end{gathered}$$

위의 결과로부터 좌표변환 불확실성 ΔC_j가 NoLS 추정오차, 즉 환산계수오차 α_|k와 편향오차 β_|k를 유발한다는 결론을 얻을 수 있다. 더욱이, (6)에 의해 좌표변환 불확실성 ΔC_j로 구성된 블록행렬 ΔM^k와 측정잡음벡터 v^k이 비상관이라 할 수 있으므로, 환산계수오차 α_|k가 NoLS 추정치의 주된 오차특성임이 자명하다.

이제, NoLS 추정치의 환산계수오차 α_|k를 정량화해보자. (15)에 정의된 α_|k가 시선각 측정잡음 δλ_j의 삼각함수로 표현되므로, 이에 대한 통계적 속성이 수식 전개 과정에서 요긴하게 사용된다. (2)에 의해 다음 성질이 만족된다.

한편, (4)를 (9) 및 (13)에 정의된 시선각 측정치 ${\tilde{\lambda }}_j$로 산출되는 가용 행렬 ${\tilde{\Pi }}_j$와 시선각 참값으로 구성되는 비가용 행렬 ${\Pi }_j$에 대입하면, 다음 관계 식을 얻을 수 있다.

만일, $V_j\equiv L^T{R}_j^{-1}L\equiv \left[\begin{array}{cc}{v}_1& v_2\\ v_2& v_3\end{array}\right]$라 하면, 비가용 행렬 ${\Pi }_j$는 다음 식을 만족한다.

즉, 식(18)로부터 다음 등식이 만족됨을 알 수 있다.

식(18)를 식(17)에 대입한 후, 양변에 기댓값을 취하면 식(16)과 식(19)에 의해 다음 결과를 얻는다.

즉, 가용행렬 ${\tilde{\Pi }}_j$과 비가용행렬 ${\Pi }_j$간의 상관관계를 시선각 측정잡음의 통계적 특성 (6)을 이용하여 근사 가능하다.

식(13)의 양변에 확률극한을 취하면 조건 C1~C3 및 식(20)에 따라 다음 식을 유도할 수 있다.

여기서 $\Xi \equiv \frac{1}{c^2}·I^{2\times 2}, \Psi \equiv \frac{1-c^4}{2R}·I^{2\times 2}$

NoLS 환산계수오차 α_|k의 첫 번째 항 중 $P_{|k}^N$을 제외한 나머지 부분은 식(22)과 같이 정리된다.

식(6)에 의해 다음 식이 만족된다.

여기서 $\Theta \equiv \frac{1}{c}·I^{2\times 2}$

식(22)에 확률극한을 취한 후 식(23)를 적용하면, 조건 C3에 의해 다음 결과를 얻는다.

식(21)와 식(24)로부터 환산계수오차 α_|k가 식(25)의 값으로 약수렴 함을 알 수 있다.

2.3 선형 일관 강인 최소자승 추정기법

앞서 제시된 분석결과에 기초하여 선형 측정모델 (8)에좌표변환 불확실성 ΔC_j이 존재하는 상황에서도 추정치의 일관성을 유지할 수 상태추정기를 설계해 보자.

문제 1(선형 일관 강인 최소자승(CRLS: consistent robust LS) 추정) 불확정 측정모델 (8)~(9)에 대해, 추정치의 일관성을 만족하는 선형 추정기 ${\hat{x}}_{|k}^C$를 설계하자. 단, ${\hat{x}}_{|k}^C$은 가용한 측정행렬 ${\tilde{H}}_j$와 측정치 $y_j$의 함수로 기술되어야 한다.

정리 1(CRLS 추정기) 식(30)의 추정치는 조건 (29)을 만족하는 CRLS 문제의 해이다.

여기서 관련 행렬들은 다음과 같이 정의 된다.

${\Theta }^k=\left[\begin{array}{c}{\Theta }^{k-1}\\ {\Theta }_k\end{array}\right], {\Theta }^0=\Theta , {\Xi }^k=\left[\begin{array}{c}{\Xi }^{k-1}\\ {\Xi }_k\end{array}\right], {\Xi }^0=\Xi , {\Psi }^k=\left[\begin{array}{cc}{\Psi }^{k-1}& 0\\ 0& {\Psi }_k\end{array}\right], {\Psi }_0\equiv \Psi$

증명.

식(30)의 Gramian 행렬 ${\overline{P}}_{|k}^C$에 확률극한을 취하면,

조건 C2, C3 및 식(21)에 의해 위 식을 다시 쓸 수 있다.

위의 결과로부터 CRLS 추정오차 Gramian 행렬 ${\overline{P}}_{|k}^C$가 OLS의 추정오차 공분산 ${\overline{P}}_{|k}^O$으로 확률수렴 함을 알 수 있다.

비슷한 방법으로, CRLS추정치 ${\hat{x}}_{|k}^C$의 두 번째 항에 대한 확률수렴 특성을 분석해보자. 식(23)로부터 $E\left\{\Delta C_k\right\}={\Theta }_k^{-1}$이 만족되므로, 다음 식을 유도할 수 있다.

식(30)의 양변에 확률극한을 취한 후, 식(32)과 식(33)를 대입하면 CRLS 추정치 ${\hat{x}}_{|k}^C$와 OLS 추정치 ${\hat{x}}_{|k}^O$ 간의 관계를 유도할 수 있다.

따라서, 식(11)을 이용하여 CRLS 추정치 ${\hat{x}}_{|k}^C$의 일관성이 증명된다.

따름정리 1(CRLS 추정문제의 목적함수) 식(30)의 CRLS 추정치는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

여기서

$$\begin{gathered} P_k^C\equiv {\left({\left({\tilde{H}}^k{\Gamma }^k\right)}^T{\left(R^k\right)}^{-1}\left({\tilde{H}}^k{\Gamma }^k\right)-{\left({\Gamma }^k\right)}^T{\Psi }^k{\Gamma }^k\right)}^{-1}, \\ {\Gamma }^k\equiv \left[{\Gamma }_k^{k-1}\right], {\Gamma }_0=\frac{1}{c^3}I \end{gathered}$$

만일 $P_{|k}^C>0$이라면 재 정의된 CRLS 추정치 (36)은 다음 부정이차 목적함수의 유일한 최소화 해이다.

증명.

식(21) 및 식(23)에 정의된 행렬 가 모두 대각행렬이므로, 식(30)의 CRLS 추정치는 식(36)으로 쓸 수 있다. 부정이차 목적함수 (37)를 에 대해 한 번 미분하면 다음 정점조건을 얻는다.

위 식으로부터 정점조건을 만족하는 해가 재 정의된 CRLS 추정치 (36)과 동일함을 알 수 있다. 목적함수 $J_{|k}^C$의 유일 최소 해가 존재하기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다.

3.1 선형 일관 강인 칼만필터(CRKF)

UAV가 표적에 비해 월등한 기동능력을 갖고 있다면, 표적의 상대운동을 등속모델로 기술할 수 있다. 이 경우, 피동센서 측정치를 이용한 표적추적 필터 설계 문제는 다음 선형 불확정 시스템에 대한 상태추정 문제로 정의된다.

여기서 x = [Δx Δy Δ $\dot{x}$ Δ $\dot{y}$]^T는 UAV에 대한 표적의 상대위치/속도, y_k=0은 가상표적 측정치, u^c= -[a_x a_y]^T는 UAV의 가속도로 관성항법장치(INS: inertial navigation system)로부터 획득 가능하다. 사용된 행렬들의 정의는 다음과 같다.

$$\begin{gathered} L=\left[\begin{array}{llll}0& 1& 0& 0\end{array}\right], C_k=\left[\begin{array}{cc}{R}_z\left({\lambda }_k\right)& 0^{2\times 2}\\ 0^{2\times 2}& R_z\left({\lambda }_k\right)\end{array}\right], \\ {\tilde{C}}_k=\left[\begin{array}{cc}{R}_z\left({\tilde{\lambda }}_k\right)& 0^{2\times 2}\\ 0^{2\times 2}& R_z\left({\tilde{\lambda }}_k\right)\end{array}\right], \Delta C_k=\left[\begin{array}{cc}{R}_z\left(\delta {\lambda }_k\right)& 0^{2\times 2}\\ 0^{2\times 2}& R_z\left(\delta {\lambda }_k\right)\end{array}\right], \\ {F}_k\equiv \left[\begin{array}{cc}{I}^{2\times 2}& T_s·I^{2\times 2}\\ 0^{2\times 2}& I^{2\times 2}\end{array}\right], G_k=G_k^c\equiv \left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}{T}_s^2·I^{2\times 2}\\ T_s·I^{2\times 2}\end{array}\right] \end{gathered}$$

식(40)에서 공정잡음 u_k, 측정잡음 v_k, 측정 방정식에 포함되어 있는 좌표변환 불확실성 ΔC_k은 다음 통계적 속성을 만족한다.

확률 동적시스템 (40)에 대한 상태추정 문제는 1단계 통계적 최적화 문제로 정의되는 것으로 알려져 있다. 따름정리 1의 CRLS 추정치 및 목적함수를 참고하면 선형 일관 강인 칼만필터링 문제를 다음과 같이 기술할 수 있다.

문제 2(선형 CRKF) 선형 불확정 상태공간 방정식 (40)에 대한 CRKF 설계 문제는 다음 부정이차 목적함수의 최소화 문제로 귀결된다.

여기서 ${||p||}_W^2$는 p^TWp를 의미한다.

정리 2(CRKF 순환식) 주어진 선형 불확정 상태공간 방정식 (40)에 대해, 부정이차 형태의 목적함수 $J_k^{C}RKF$(43)의 최소화 해는 다음 순환 식에 의해 계산된다.

∙측정치 갱신식(measurement update)

∙시간 갱신식(time update)

증명.

선형 불확정 상태공간 방정식 (40)을 이용하여 부정이차 목적함수 (43)을 다음과 같이 고쳐쓰자.

여기서 ${\overline{\Psi }}_{k+1}\equiv \left[F_k{G}_k{]}^T{\Psi }_{k+1}\right[F_k{G}_k]$.

CRKF의 목적함수 (46)과 CRLS 목적함수 (37)을 비교하면 다음과 같은 대응관계를 확인할 수 있다.

$$\begin{gathered} x\mapsto \left[\begin{array}{c}{x}_k\\ u_k\end{array}\right], y^{k+1}\mapsto \left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_k\\ 0\end{array}\right]\\ y_{k+1}\end{array}\right], v^{k+1}\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_{kk}-x_k\\ -u_k\end{array}\right]\\ v_{k+1}\end{array}\right], {\Psi }^{k+1}\mapsto {\Psi }_{k+1}^{\text{'}}, \\ {\tilde{H}}^{k+1}{\Gamma }^{k+1}\mapsto \left[\begin{array}{c}{\Gamma }_{k+1}\\ {\tilde{H}}_{k+1}{\Gamma }_{k+1}\left[F_k{G}_k\right]\end{array}\right], R^{k+1}\mapsto \left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}{P}_{k|k}& 0\\ 0& Q_k\end{array}\right]& 0\\ 0& R_{k+1}\end{array}\right] \end{gathered}$$

(36)에 정의된 CRLS 추정치 및 Gramian 행렬에 위의 대응관계를 대입하면,

여기서 $D_{k+1}\equiv {\Gamma }_{k+1}^T({\tilde{H}}_{k+1}^T{R}_{k+1}^{-1}{\tilde{H}}_{k+1}-{\Psi }_{k+1}){\Gamma }_{k+1}$. k+1시점에서의 사후추정치를 다음과 같이 정의하면

식(47)을 다음과 같이 단순화 할 수 있다.

식(47)에서 유도된 ${\hat{x}}_{k|k+1}$과 ${\hat{u}}_{k|k+1}$을 식(49)에 대입하면,

여기서 사전추정치 ${\hat{x}}_{k+1|k}$와 Gramian 행렬 P_k+1|k는 다음과 같이 정의되며, 이는 CRKF의 시간갱신식과 동일하다.

이제, 사후 Gramian 행렬 및 사후추정치의 정의로부터 다음 결과를 얻을 수 있다.

여기서 CRKF 필터이득 K_f,k+1은 다음과 같이 정의된다.

$K_{f,k+1}=P_{k+1|k+1}{\Gamma }_{k+1}^T{\tilde{H}}_{k+1}^T{R}_{k+1}^{-1}$

앞서와 유사한 방법으로 따름정리 1의 유일 최소화 조건을 정리하면, $P_{k|k}^{-1}>0$인 경우 CRKF 추정치가 목적함수 식(43)의 최소화 해가 됨을 확인할 수 있다.

3.2 선형 분산 피동 표적추적 필터

다중 UAV 상대운동을 기술하기 위해, j번째 UAV(j = 1, ···, N)의 위치를 (x^j,y^j)로 표기하자. λ^j는 j번째 UAV와 표적을 잇는 시선벡터가 관성좌표계 X_I 축과 이루는 수평면 시선각이다.

표적추적 필터 설계를 위한 기본 가정은 다음과 같다.

A1. 피동센서 측정치 ${\tilde{\lambda }}_j$와 INS로부터 획득되는 UAV 위치/속도 p^j는 데이터 링크를 통해 타 UAV과 공유된다.

A2. 정보공유 시 시간지연은 무시할만 하다.

효율적인 정보융합을 위해 각 부필터의 상태변수를 표적의 상대위치보다는 절대위치로 설정하는 것이 유리하다. 각 UAV의 상태변수 p^j라고 하면 정보공유 및 표적추적을 위한 시스템 모델을 다음과 같이 변형할 수 있다.

여기서 z_k는 관성좌표계 표적 위치/속도, Y_k는 다중 UAV 가상 표적 상대위치 측정치벡터를 의미한다. ξⁱ는 j번째 UAV에 구현되어 있는 분산 필터 관련 변수 ξ를 나타낸다. 식(53)에 사용된 벡터 및 행렬들의 정의는 다음과 같다.

$$\begin{gathered} z_k=x_k^j+p_k^j={\left[\begin{array}{llll}{x}_k^t& y_k^t& {\dot{x}}_k& {\dot{y}}_k\end{array}\right]}^T, \\ {\mathit{x}}_k^j=\left[\begin{array}{c}{x}_k^t-x_k^j\\ y_k^t-y_k^j\\ {\dot{x}}_k^t-{\dot{x}}_k^j\\ {\dot{y}}_k^t-{\dot{y}}_k^j\end{array}\right], {\mathit{p}}_k^j=\left[\begin{array}{c}{x}_k^j\\ y_k^j\\ {\dot{x}}_k^j\\ {\dot{y}}_k^j\end{array}\right],{\mathit{Y}}_k=\left[\begin{array}{c}{y}_k^1\\ y_k^2\\ ⋮\\ y_k^N\end{array}\right],{\mathcal{H}}_k=\left[\begin{array}{c}{H}_k^1\\ H_k^2\\ ⋮\\ H_k^N\end{array}\right],{\mathit{p}}_k=\left[\begin{array}{c}{H}_k^1{\mathit{p}}_k^1\\ H_k^2{\mathit{p}}_k^2\\ ⋮\\ H_k^N{\mathit{p}}_k^N\end{array}\right] \end{gathered}$$

식 (53)에서 w_k는 표적 운동을 모델링하기 위해 도입된 공정잡음, $V_k=[v_k^1 v_k^2\cdots v_k^N{]}^T$는 Y_k에 포함되어 있는 측정잡음 벡터이다. 잡음의 통계적 특성은 다음과 같이 기술된다.

$$\begin{gathered} E\left\{w_k\right\}=0, var\left\{w_k\right\}={\overline{Q}}_k, E\left\{V_k\right\}=0, cov\left\{V_k\right\}={ℛ}_k, \\ {ℛ}_k=R_k^1\oplus R_k^2\oplus \cdots \oplus R_k^N, E\left\{w_k{V}_k^T\right\}=0 \end{gathered}$$

다중 UAV에서 획득된 정보를 융합하기 위해 그림. 3의 분산형 필터 구조를 채택한다. 기존 방법과 다른 점은 비선형 필터를 대신하여 정리 2의 선형 CRKF에 기반하여 분산 필터식이 구현된다는 점이다. 모든 UAV는 무선 네트워크를 통해 사전추정치 및 추정오차 Gramian 행렬을 공유한다. 공유된 정보는 각 UAV에 구현되어 있는 분산 표적추적 필터에 의해 융합되며, 그 결과로 사후 상태추정치 및 추정오차 Gramian 행렬이 계산된다.

분산 필터 설계 시 대두될 수 있는 이론적 복잡성을 배제하기 위해 잘 알려진 정보분배 원칙을 적용한다. 이 경우, 분산필터의 사후 추정오차 Gramian 행렬 및 사후 추정치는 각각 다음과 같이 계산된다⁽¹⁴⁾.

각 부필터에서 산출된 사후 추정오차 Gramian 행렬 (44)를 식(54)에 대입하면 i번째 UAV에 구현된 분산필터의 사후 추정오차 Gramian 행렬을 유도할 수 있다.

식(44)를 식(54)에 대입하여 분산 필터의 측정치 갱신식을 유도할 수 있다.

위의 식에서 $S_k^j\equiv {\left({\Gamma }_k^j\right)}^T\left[{\left({\tilde{H}}_k^j\right)}^T{\left(R_k^j\right)}^{-1}{\tilde{H}}_k^j-{\Psi }_k^j\right]{\Gamma }_k^j$라고 정의하면 식(56)은 다음과 같이 단순화된다.

식(57)의 우변 괄호 안에 $S_k^j{p}_k^j$항을 더하고 뺀 후, ${\eta }_k^j={\left({\tilde{H}}_k^j{\Gamma }_k^j\right)}^T{\left(R_k^j\right)}^{-1}{y}_k^j+S_k^j{\mathit{p}}_k^j$ 로 정의하면

사후 추정오차 Gramian 행렬을 $(P_{k|k}^j{)}^{-1}=(P_{k|k-1}{)}^{-1}+S_k^j$라 하면, 선형 분산 일관 강인 칼만필터(DCRKF: decentralized CRKF) 순환식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

∙ 측정치 갱신식(measurement update)

∙ 시간 갱신식(time update)