2.1 나나나

EO TGP는 그림. 1과 같이 Roll→Pitch→Yaw 순서로 회전하는 3축 김발 구조를 가지고 있다. Pitch 김발과 Yaw 김발에는 각속도를 측정할 수 있는 자이로 센서가 부착되어 있고, 각 김발에는 위치 정보를 획득하기 위한 엔코더 센서가 부착되어 있다.

아래 표 1에서는 Roll, Pitch, Yaw 김발에 필요한 요구 성능을 정리해 놓았다.

표 1에서 확인할 수 있듯이 Yaw 김발의 구동 범위가 Roll, Pitch 김발에 비해 작기 때문에 Roll 김발이 Yaw 김발을 추종하는 추종제어 방식을 기본 제어 구조로 설정하였다. 즉, Yaw 김발은 자이로 센서의 각속도 정보를 입력 받아 속도 제어(안정화)를 구현하고 Roll 김발은 Yaw 김발의 엔코더 정보를 오차로 입력 받아 추종 제어를 하게 된다⁽⁴⁾.

3.1 제어기 블록도

그림. 2는 LOS 이동 제어기의 블록도이다. 크게 LOS 이동 알고리즘 블록과 Roll, Yaw 김발 속도 제어기 블록, Pitch 김발 속도 제어기 블록으로 구성되어 있다. 앞에서 언급한바와 같이 Roll 김발이 Yaw 김발을 추종하는 종속제어 방식으로 구성하였다. Yaw 김발은 부착된 자이로 센서에서 측정한 회전 속도를 피드백 받아 속도 제어를 하게 되고 Roll 김발은 Yaw 김발의 엔코더 센서 값을 오차로 입력 받아 Roll 김발과 Yaw 김발 사이의 각도차가 발생하지 않도록 추종하게 된다. Pitch 김발의 속도 제어기는 Yaw 김발과 마찬가지로 자이로 센서 데이터를 입력받아 속도 제어를 하게 된다. 그리고 김발 속도 제어기 전단에 LOS 이동 알고리즘을 추가하여 조이스틱 명령을 김발의 속도 명령으로 변환하여 인가하도록 하였다.

3.2 EO TGP LOS 벡터

그림. 1의 EO TGP 김발 좌표계는 Roll→Pitch→Yaw 순서의 Euler 각으로 구성되어 있다. Roll 김발이 Yaw 김발을 추종하는 종속제어를 기본으로 적용한다면 최종 구동 자유도는 Roll, Pitch 의 2축 김발 형태를 가지게 된다. 따라서 EO TGP의 LOS 벡터를 계산하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

식(6)은 최종적으로 계산된 EO TGP 의 LOS 벡터이다. 식(5)의 회전행렬에서 첫 번째 열이 EO TGP의 LOS 벡터를 의미한다. 위 벡터를 이용하여 Pitch 각도에 따라 Roll 김발을 구동시켰을 때 LOS가 어떻게 변하는지 그림. 3에 나타내었다.

그림. 3에서 Pitch 각도가 0°에 가까워질수록 LOS 는 밑면의 넓이가 작아지는 원뿔형상을 이룬다. 그림과 같이 가로방향 명령에 대해 Roll 김발을 구동하고 세로방향 명령에 대해서는 Pitch 김발을 구동한다며 김발에 부착된 카메라에서 촬영된 영상의 이동은 다음과 같이 발생하게 될 것이다.

그림. 4와 같이 Pitch 각도가 존재할 때 Roll 김발을 구동하게 되면 영상에서 Roll 구동에 의한 회전이 발생하게 된다. 따라서 조종사가 (a) 위치에서 에서 수평으로 시선을 이동하기 위해 가로 방향의 명령을 입력하게 되면 (b)와 같이 회전된 영상을 얻게 된다. 따라서 김발 각도에 따라 조이스틱 명령과 동일한 LOS 이동이 가능한 알고리즘이 필요하다.

3.3 가상 LOS 좌표계

LOS 이동 알고리즘은 가상 좌표계설정과 미분운동 방정식 모델링 두 단계로 나뉜다. 먼저 조종사가 원하는 향으로 LOS를 이동시킬 수 있는 가상의 좌표계를 설정해야 한다. 목표 좌표계를 설정하는 것이다. 그 다음으로 EO TGP의 LOS 벡터와 가상좌표계를 맵핑시킨 후 미분 운동 방정식을 모델링하여 LOS 이동 명령을 각 김발의 속도 명령으로 변환하여 김발을 제어하게 된다.

먼저 조종사가 조이스틱 명령을 인가하였을 때 이동해야 하는 LOS 에 대한 정의가 필요하다.

그림. 5는 조이스틱 명령에 따라 이동한 가상 좌표계의 LOS 변화를 나타낸 그림이다. 3축의 가상좌표계에서 가로방향, 세로방향 명령에 대한 LOS 이동을 순서대로 나타내었다. 그림. 5의 왼쪽 그림은 가로 방향에 대해 ψ₁만큼 회전하였을 때 LOS 이동이다. 가로방향의 회전은 3축의 Euler 좌표계에서 Yaw축을 회전 시켰을 경우와 동일한 움직임이다. 위의 움직임을 아래와 같이 회전 행렬로 표현할 수 있다.

식(7)에서 R_v는 조이스틱 명령에 의해 이동되는 가상 좌표계를 의미한다.

그 다음으로 가운데 그림은 세로 방향의 명령에 대해 θ₁만큼 회전하였을 때의 LOS 이동이다. 세로방향의 회전은 Pitch 축을 회전 시켰을 경우와 동일하다. 식(7)과 마찬가지로 회전행렬은 다음과 같이 표현 될 수 있다.

식(8)에서 R₀는 식(7)과 같다. 즉, 새로운 조이스틱 명령에 대한 이동은 현재 자세에서 입력된 명령과 대응되는 축으로의 회전과 같다.

마지막으로 오른쪽 그림은 다시 가로방향으로 ψ₂ 만큼 이동하였을 때의 LOS 이동이다. 마찬가지로 회전행렬로 표현하면 다음과 같다.

식(9)에서도 R₀는 식(8)과 같다. 따라서 위의 계산들을 통해 조이스틱 명령에 대한 가상 좌표계를 일반화 시키면 다음과 같이 표현된다.

식(10)

3.4 미분 운동 방정식 모델링

앞 절에서 계산한 EO TGP의 LOS 벡터와 가상 좌표계의 LOS 벡터를 맵핑하여 일치시킨 후 미분 운동 방정식을 통해 최종적으로 구동 모터로 입력되는 명령을 생성해야 한다.

먼저 가상 좌표계의 LOS와 같이 EO TGP의 LOS가 이동할 수 있도록 두 벡터의 맵핑이 필요하다.

식(12)은 두 LOS 벡터를 맵핑시킨 수식이다.

다음으로 위 수식을 이용해 LOS 이동 명령을 생성해야 한다. 조종사가 조이스틱으로 입력하는 명령은 어느 한 지역에 대한 좌표 명령이 아니라 지속적으로 LOS를 이동시킬 수 있는 속도 명령이다. 즉 조종사가 영상을 기준으로 조이스틱 명령을 인가하면 이를 Roll, Pitch 김발의 속도 명령으로 변화 시켜 일정한 속도로 LOS가 이동할 수 있도록 해야 한다. 따라서 위에서 맵핑된 두 좌표계의 LOS 벡터의 Jacobian을 이용하여 미분 운동 방정식을 모델링하고 이를 통해 최종적으로 김발의 속도 명령을 계산해야 한다. Jacobian은 벡터 미적분학에서 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬을 의미한다.

식(13)은 Jacobian을 이용한 미분 운동 방정식이다. 좌측의 ω(p)는 가상 좌표계의 미분을 통해 계산된 LOS의 속도 이고, J_ω(q)는 EO TGP 좌표계의 미분식으로 계산된 Jacobian 행렬이다. 그리고 식(14)가 최종적으로 계산된 김발의 속도 명령이다.

위 식에서 ω(p)는 다음과 같은 계산식으로 나타낼 수 있다.

식(15)는 가상 좌표계의 미분으로 계산된 미분 행렬이다. 여기서 $\dot{q}$는 조이스틱을 통해 입력되는 LOS 속도 명령이 된다.

그 다음으로 오른쪽 항의 Jacobian 행렬인 J_ω(q)는 다음과 같다.

식(16)은 EO TGP LOS 벡터를 미분하여 계산된 Jacobian 행렬이다. 이제 식(14)와 같은 수식을 만들기 위해 Jacobian 역행렬을 이용하여 $\dot{q}$을 계산해야 한다. 하지만 식(16)에서 볼 수 있듯이 J_ω(q)는 정방행렬이 아니므로 역행렬을 계산할 수 없다. 따라서 수도 역행렬을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

최종적으로 식(18)과 같이 Roll, Pitch 김발에 대한 속도로 계산될 수 있다.

3.5 시뮬레이션 결과

앞에서 계산한 수식을 이용하여 조이스틱 명령에 대한 LOS 이동 제어기의 시뮬레이션을 진행하였다. 시뮬레이션은 가로방향, 세로방향, 대각방향 명령에 대해 진행하였다.

- 가로방향 조이스틱 명령

먼저 가로방향 명령에 대한 시뮬레이션을 진행하였다. 시험조건은 아래 표 2와 같다.

위 조건에서 Pitch 김발의 초기 위치를 0°로 설정하지 않은 이유는 Roll 김발과 Yaw 김발의 추종제어에서 Pitch 김발이 0°가 되면 NADIR 포인트가 되면서 Roll 김발의 구동이 발산하게 된다.

그림. 6은 가로방향 명령에 대한 LOS 이동 시뮬레이션 결과이다. 초기 위치에서 Roll, Pitch 김발이 동시에 구동하면서 LOS가 가로 방향으로 이동하는 것을 확인할 수 있다. 위 시뮬레이션에서 Pitch 김발이 0° 근처일 때, Roll 김발이 발산하지 않도록 LOS 이동 명령을 감소시켜 시스템에 입력시켰다. 따라서 실제 시스템 운용상에서도 Pitch 김발이 특정 범위 안에 위치할 경우 LOS 이동 명령을 제한시키도록 해야 한다.

- 세로방향 조이스틱 명령

다음으로는 세로방향 명령에 대한 시뮬레이션을 진행하였다. 세로방향 명령에 대해서는 Pitch 김발만 구동함으로써 LOS를 이동시킬 수 있다. 시험 조건은 표 3과 같다.

그림. 7은 세로방향 조이스틱 명령에 대한 시뮬레이션 결과이다. (b)의 김발각도를 확인해 보면 세로방향으로 LOS를 이동하기 위해서 단순히 Pitch 각도만 이동한 것을 알 수 있다. 이를 통해 LOS 이동 알고리즘에서 가로, 세로 방향으로의 LOS 이동을 위해 적절하게 김발의 속도 명령을 생성하고 있다는 것을 확인할 수 있다.

- 대각방향 조이스틱 명령

마지막으로 대각방향으로 조이스틱 명령을 인가한 경우에 대해 시뮬레이션 하였다. 대가방향 명령은 가로, 세로 방향의 명령이 혼합된 상태를 의미한다. 시험 조건은 표 4와 같다.

그림. 8은 대각방향 조이스틱 명령에 대한 시뮬레이션 결과이다. (b)의 김발 각도를 보면 앞 절의 가로방향 명령 결과와 비슷해 보이지만, Pitch 김발이 훨씬 더 빠르게 움직이면서 세로 방향의 LOS 변화를 만들어 내고 있다.