2.1 운동방정식

그림. 1은 공중에 정지되어 있는 플랫폼에서 발사된 유도탄과 정지된 표적에 대해 2차원 공대지 교전 기하학을 도시한다. 이때 $V$는 유도탄 속력, $a$는 유도탄 속력에 수직으로 작용하는 가속도, $r$은 표적과 유도탄의 상대거리, $\lambda$는 시선각을 나타낸다. $\theta$와 $\theta _ { f }$는 비행 경로각 및 충돌각을 나타내고, $\lambda _ { FOL }$는 발사 플랫폼과 광섬유 사이의 각, $\lambda _ { FOL _ { c } }$는 광섬유 구속조건, $\theta _ { d }$는 원하는 비행 경로각, $y _ { 0 }$는 초기 발사고도,$\sigma$ 는 지향각을 나타낸다.

만일 유도탄이 시간지연이 없고 속력이 일정하다고 가정하면, 극 좌표계(Polar Coordinate System)를 기준으로 비선형 운동방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

2.2 비례항법 유도 특성

본 논문에서는 제안하는 유도기법은 비례항법의 특성을 활용한다⁽⁶⁾. 먼저 정지된 표적에 대해 비례항법 유도를 적용하면 다음과 같다.

식(5)를 초기 및 종말 조건을 이용하여 적분하면

와 같다. 여기서 아래 첨자 $0$과 $f$는 초기 및 종말 시점을 각각 나타낸다. 이때 표적을 타격하는 순간, $\theta _ { f }=$\lambda$ _ { f }$이기 때문에 식(6)은 다음과 같이 표현 가능하다.

식(7)로부터 비례항법 유도를 적용하고 현재 시점이 $t _ { 0 }$라고 하면, 충돌각은 현재 시점의 시선각 $\lambda _ { 0 }$, 비행 경로각 $\theta _ { 0 }$, 그리고 비례항법 이득 $N$(≠1)에 따라 변화는 것을 확인할 수 있다.

다음으로 시선각 변화율 특성을 보기 위하여 식(2)를 미분한 후 식(5)를 대입하여 정리하면

와 같다. 초기 시선각 변화율 $\dot { \lambda } _ { 0 }$와 초기 상대거리 $t _ { 0 }$를 이용하여 식(8)의 해를 구하면 다음과 같다.

식(9)를 통해 $N < 2$일 때, 표적 근처로 가면 시선각 변화율은 증가하고, $N = 2$이면 시선각 변화율이 일정하게 유지되고, $N > 2$일 경우 시선각 변화율은 0으로 수렴하게 된다. 즉, 유한한 유도명령을 생성하기 위해서는 비례항법 이득은 $N \geq 2$을 가지도록 설정해야 한다.

마지막으로 지향각 변화율 특성을 확인하기 위하여 $| \sigma | < \pi / 2$로 가정하고, 식(4)를 미분한 후 식(1)을 이용하여 독립변수를 $r$로 가지는 미분방정식을 표현하면

와 같다. 식(5)를 식(10)에 대입한 후 초기 지향각 $\sigma _ { 0 }$를 이용하여 미분방정식의 해를 구하면 다음과 같다.

식(11)로부터 $N = 1$이면 지향각은 일정하게 유지되고, $N > 2$일 경우 지향각은 0으로 수렴하는 것을 알 수 있다.

3.1 유도기법 제안

광섬유의 간섭현상을 고려한 유도기법의 기본적인 아이디어는 비행 전 구간에서 발사 플랫폼과 광섬유 사이의 각 $\lambda _ { F O L _ { c } }$ 이내로 비행 경로각을 형성시켜 단선현상을 방지하려는 것이다. 그림. 1에서와 같이 제안하는 유도기법은 총 두 단계로 구성된다. 첫 번째 단계에서는 광섬유의 구속조건 $\lambda _ { F O L } \leq \lambda _ { F O L _ { \mathrm { c } } }$을 만족시키기 위하여 비행 경로각을 일정하게 유지시키고, 두 번째 단계에서는 원하는 충돌각으로 표적을 타격하기 위하여 특정 시선각 조건을 만족시키면 비례항법 유도단계로 전환하여 표적으로 호밍하게 된다.

첫 번째 단계에서 원하는 비행 경로각으로 일정하게 유지하기 위하여 다음과 같이 유도명령을 생성한다.

여기서 아래 첨자 $INI$는 첫 번째 유도단계를 나타내고, $\tau _{g}$는 유도이득을 나타낸다. 그리고 초기 발사각이 $\theta _ { 0 } \leq \lambda _ { F O L _ { c } }$와 같이 설정되고, 비행 경로각이 표적 타격 순간까지 $\theta \leq \lambda _ { F O L _ { c } }$와 같이 유지되면 광섬유 구속조건을 만족하게 된다. 따라서 첫 번째 단계에서는 $\theta _ { d }$를 $\theta _ { d } \leq \lambda _ { F O L _ { c } }$로 설정하고, 식(12)를 식(3)에 대입하여 미분방정식의 해를 구하면

와 같이 되어 비행 경로각 $\theta$는 시상수 $\tau _{g}$ 만큼의 빠르기로 $\theta _{d}$로 수렴하는 것을 알 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에서 비행 경로각 제어 유도명령인 식(12)를 통하여 비행 경로각을 일정하게 유지시킴으로써 광섬유 구속조건을 만족하게 된다.

식(6)에서 초기 시점 $t _{0}$를 유도단계 전환 시점 $t _{s}$로 가정하여 시선각에 대해서 표현하면 다음과 같다.

이때 $| \sigma | < \pi / 2$이면 식(2)에 의해 시선각의 크기는 초기 값으로부터 점점 커지게 된다. 즉, 비행 경로각이 $\theta _{d}$로 유지되고 식(14)의 $\theta _{s}$가 되는 시점에 비례항법 유도로 전환하면, 즉

의 유도명령을 생성하면 충돌각 $\theta _{f}$로 표적을 타격하게 된다. 여기서 아래 첨자 $FIN$는 두 번째 단계의 유도명령을 나타낸다. 이때 식(5)에서와 같이 비례항법 유도명령을 사용하면 음의 비행 경로각 변화율이 형성되어 비행 경로각이 표적 타격 순간까지 작아지기 때문에 종말 유도단계에서 단선현상을 회피할 수 있게 된다. 따라서 제안하는 유도기법을 정리하면 다음과 같다.

여기서 전환 조건 $\lambda _{s}$는 식(14)에 정의되었다.

3.2 기동 가속도 제한을 고려한 충돌각 계산

초기 유도단계에서 원하는 비행 경로각으로 빨리 수렴하기 위하여 식(12)의 비행 경로각 제어 유도명령에서 과도하게 작은 유도이득 $\tau _ {g}$를 설정하게 되면 유도 초기 큰 가속도 명령이 발생하게 된다. 또한 너무 크게 설정하면, 시선각 전환조건을 만족 시킬 수 없기 때문에 적절한 값을 설정해야 한다.

먼저 최대 기동가속도를 $a _ {max}$라고 하면 식(12)로부터 다음 관계식을 유도할 수 있다.

따라서 유도명령이 포화되지 않기 위한 유도이득은 다음과 같이 설정할 수 있다.

다음으로 전환 조건을 확인하기 위하여 비행 경로각이 $\theta _ {d}$로 일정하게 유지되고 있다고 가정하고, 극 좌표계의 운동방정식을 직교 좌표계 운동방정식으로 표현하면

와 같다. 여기서 $x$와 $y$는 그림. 1에서 $X$축 및 $Y$축 방향에 대한 유도탄 위치를 각각 나타낸다. 초기 조건 $x _ {0}$, $y _ {0}$을 이용하여 식(19)와 식(20)의 해를 구하면 다음과 같다.

만일 표적의 위치를 $x _ {t}$, $y _ {t}$라고 하고, 식(21)과 식(22)를 이용하면 시선각을 다음과 같이 계산할 수 있다.

식(23)으로부터 전환 시점에서의 시간 $t _ {s}$를 다음과 같이 계산할 수 있다.

여기서 $\lambda _ {s}$는 식(14)로부터 계산된다. 만일 식(13)에서 $t=7 \tau _ {g}$이면, $\theta = 0.9991 \theta _ {d}$이기 때문에, 비행 경로각이 전환 시점 이전에 원하는 비행 경로각 $\theta _ {d}$로 수렴하기 위해서는 $\tau _ { g } \leq t _ { s } / 7$을 만족하도록 설정돼야 한다. 따라서 비행 경로각 제어 유도명령에서 가속도 제한과 전환 시점을 고려하여 유도이득 $\tau _ {g}$는 다음과 같이 설정할 수 있다.

식(17)에서 원하는 비행 경로각으로 수렴한 후 유도명령은 0을 생성하고, 비례항법으로 전환 된 후 $N > 2$일 경우는 유도명령은 식(9)에 의해 전환 시점에 최대 유도명령이 생성되게 된다. 이때 전환 시점에서 유도 명령 포화가 발생하게 되면 유도 오차 및 충돌각 오차를 발생시킬 수 있기 때문에 유도탄의 기동가속도 제한 내에서 충돌각 설정이 필요하다. 식(24)를 식(21) 및 식(22)에 대입하여 정리하면, $t _ {s}$에서 표적과의 잔여거리 $r _ {s}$를 다음과 같이 계산할 수 있다.

식(26)을 식(2)에 대입한 후 식(15)를 정리하면, 두 번째 유도단계에서의 최대 가속도 명령은 다음과 같이 계산할 수 있다.

따라서 주어진 교전조건을 통해 전환 시점에서 계산된 가속도 명령이 유도탄의 기동 가속도 제한 값에 근접한 충돌각을 찾으면 그 값이 최대 달성 가능한 충돌각이 된다. 이때, 지향각은 $| \sigma | < \pi / 2$으로 가정하였고, 비행 경로각이 일정하면 시선각의 크기는 증가하기 때문에 지향각도 점점 증가하게 된다. 따라서 식(14)에서 계산된 $\lambda _ {s}$ 값을 이용하여 전환 시점에서의 지향각이 $\sigma \left( t _ { s } \right) < \pi / 2$인 것을 추가적으로 확인해야 한다. 최대 달성 가능한 충돌각 계산 로직을 다시 정리하여 나타내면 아래의 그림과 같다.

3.3 시스템 시간지연에 대한 유도이득 계산

일반적인 공력 제어 유도탄의 경우 유도 명령을 조종 날개의 명령으로 만들어 주기위해 조종 루프를 통과하게 되는데 이때 시간지연이 발생하게 된다. 따라서 시간지연이 커질수록 유도오차 뿐만 아니라 충돌각 오차를 증가 시킬 수 있고, 제안한 비행 경로각 유도법칙을 시간지연 시스템에 적용하여 오버슛(Overshoot)이 발생할 경우 광섬유 구속조건을 벗어날 경우가 발생할 수 있다. 따라서 이에 대한 추가적인 고려가 필요하다.

먼저 시간지연에 대한 충돌각 오차를 보상하기 위하여 두 번째 유도단계로 전환됐을 경우, 비례항법 이득은 식(6)으로부터 초기 값을 현재 값을 사용하여 유도 루프 계산주기에 맞춰서 다음과 같이 계산한다.

이때 식(28)을 비례항법 유도에 적용할 경우, 표적에 근접하게 되면 $\theta \rightarrow \theta _ { f }$, $\lambda \rightarrow \lambda _ { f }$로 되면서 비례항법 이득은 $N \rightarrow 1$로 수렴하게 된다.

다음으로 조종 루프를 1차 시간지연 시스템, 즉,

으로 가정하고, 비행 경로각 제어의 유로 루프를 구성하면 아래와 같다. 여기서 $\tau _{a}$는 근사화된 조종 루프의 시상수를 나타낸다.

그림. 3에서 비행 경로각에 대한 전달함수를 구하면 다음과 같다.

식(30)의 분모에 해당되는 특성방정식으로부터 고유 진동수 $\omega _{n}$과 감쇠 $\zeta $와의 관계식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

광섬유 구속조건을 만족시키기 위하여 오버슛이 발생하지 않도록 하기 위해 $\zeta = 1$로 설정하면 비행 경로각 제어 유도명령의 유도이득을 다음과 같이 설정할 수 있다.

따라서 식(32)로부터 계산된 $\tau _ {g}$가 식(25)를 만족하도록 설정하면, 최대 기동 가속도 내에서 오버슛이 발생하지 않는 동시에 유도단계 전환 시점까지 $\theta$를 $\theta _ {d}$로 수렴시킬 수 있다.

4.1 기본 특성

시뮬레이션 조건으로 초기 유도탄 위치는, $x _ {0} = 0$, $y _ {0} = 200m$ 발사각은 $\theta = 5 ^ { \circ }$, 속력은 $V = 200m/s$, 광섬유 구속조건은 $\lambda _ { F O L _ { c } } = 15 ^ { \circ }$, 기동 가속도 제한은 $a _ {max} = 50m/s^ {2}$, 그리고 비례항법 이득은 $N=3$으로 설정하였다. 이때, 최대 달성 가능한 충돌각은 교전조건과 그림. 2에 정리된 로직으로부터 $\theta _ {f,max} = -72 ^ { \circ }$로 계산되어, 충돌각은 $\theta = -30 ^ { \circ }, -50 ^ { \circ }, -72 ^ { \circ }$로 설정하였고, 유도이득 $\tau _ {g}$는 식(25)로부터 $\tau _ {g} = 1sec$로 설정하였다. 또한 표적의 위치는 $x _ {t} = 6km$, $y _ {t} = 0$으로 설정하였다.

그림. 4~그림. 7은 기본 특성 파악을 위한 시뮬레이션 결과를 나타낸다. 그림. 4의 비행궤적에서 충돌각의 크기가 크게 설정될수록 고도상승이 크게 이루어지다가 표적을 타격하는 것을 알 수 있다. 그림. 5의 비행 경로각은 초기 값 $5 ^ { \circ }$에서 $15 ^ { \circ }$로 수렴한 후 일정하게 유지되다가 식(14)의 시선각 조건이 만족되면 원하는 충돌각으로 수렴하는 것을 알 수 있다. 그림. 6에서 광섬유는 비행 전 구간에서 제한 조건($\lambda _ { F O L } \leq 15 ^ { \circ }$)이 만족되는 것을 보여준다. 그림. 7에 나타난 가속도 명령의 경우 비행 경로각이 원하는 값으로 수렴한 후 0으로 유지되다가 비례항법 유도로 전환 된 후 전환 순간 최대 가속도 명령이 생성되고, $N=3$으로 설정했기 때문에 표적 타격 순간 가속도 명령은 0이 되는 것을 확인할 수 있다. 또한 유도 초기 및 전환 시점에서 가속도 제한 값 $50m/s ^ {2}$ 이내로 가속도 명령이 생성되는 것을 확인할 수 있다. 위의 결과로부터 제안한 유도기법으로 제한된 기동 가속도 내에서 광섬유 구속조건을 만족시키는 동시에 원하는 충돌각으로 표적을 정확히 타격하는 것을 확인할 수 있다.

4.2 시간지연을 고려한 유도탄 모델

제안된 유도기법을 좀 더 현실적인 유도탄 모델에 대해 분석하기 위하여 유도탄을 1차 시간지연 시스템으로 가정하고 시상수를 $\tau _ {a} = 0.3sec$로 설정하였다. 또한 중력 모델을 고려하여 유도명령은 중력보상 항($gcos \theta$)을 고려하여 생성하였고, 여기서 중력상수는 $g=9.81m/s^{2}$으로 설정하였다. 그리고 중력이 고려되었기 때문에 최대 달성 가능한 충돌각 및 유도이득 $\tau _ {a}$를 설정할 시 중력 $g$를 고려하여 계산이 이루어져야 한다. 기본적인 교전 조건은 기본 특성 시뮬레이션 조건과 동일하고 표적 위치는 $x _ {t}=4km, 6km$, 로 설정하였으며, 비행 경로각 제어 유도의 유도이득은 식(25)와 식(32)를 활용하여 $\tau _ {a}=1.2$로 설정하였다. 표적 사거리별 충돌각은 $x _ {t}=4km$일 경우 $\theta _ { f } = 30 ^ { \circ } , \quad 61 ^ { \circ } ( \max )$, 그리고 $x _ {t}=6km$일 경우 $\theta _ { f } = 50 ^ { \circ } , \quad 87 ^ { \circ } ( \max )$로 설정하였다.

그림. 8~그림. 12는 시간지연을 가지는 유도탄 모델에 대한 시뮬레이션 결과를 나타낸다. 그림. 8의 비행궤적에서 사거리가 멀고, 충돌각의 크기가 클수록 비행 상승이 크게 이루어지면서 표적을 타격하는 것을 보여준다. 그림. 9의 비행 경로각에서 식(32)를 활용하여 유도이득을 설정하였기 때문에 원하는 비행 경로각으로 수렴 시 오버슛이 발생하지 않았고, 이로 인해 그림. 10에서와 같이 광섬유의 구속조건도 만족하는 것을 알 수 있다. 그림. 11의 가속도 결과에서는 전환 시점에서 유도명령의 크기가 비행시간 1∼2초 동안 상승했다가 작아지는 것을 알 수 있는데, 이는 시간지연에 대하여 충돌각 오차를 보상하기 위해 그림. 12의 시변 형태의 비행항법 이득을 사용하기 때문이다. 위의 결과로부터 제안된 유도기법은 시간지연이 있는 유도탄에 대해서도 원하는 성능을 만족하는 것을 알 수 있다.