2.1 제어 대상 시스템

논문에서 고려하는 파라미터 불확실성이 존재하는 제어 대상 시스템 모델은 다음과 같다.

위 식에서 $\theta_{m ,\:}\omega_{m}$은 각각 위치(각도)와 속도이고 $T$는 토크 입력을 나타낸다. $J_{m},\: B_{m}$은 각각 관성 모멘트와 마찰 계수이고 $T_{L}$은 부하 토크 외란이다.

식 (1)의 $\theta_{m}$과 $\omega_{m}$을 각각 $x_{1}$과 $x_{2}$로 두고 상태 방정식으로 다시 쓰면 아래와 같다.

위 식에서 $u=T$는 제어 입력, $d=T_{L}$은 외란 입력이고, $a_{r}= B_{m}/J_{m},\: b_{r}= 1/J_{m}$이며 양수이다 (즉, $a_{r}> 0$, $b_{r}> 0$).

식 (2)와 같은 시스템에 대해 제어기를 설계할 때 불확실한 실제 파라미터 $a_{r}$과 $b_{r}$이 아닌 공칭 파라미터 $a_{n}$과 $b_{n}$을 사용하므로 파라미터 불확실성을 고려한 등가외란을 사용하여 식(2)를 다음과 같이 나타낸다. 이 때, 공칭 값 $a_{n}$과 $b_{n}$ 역시 모두 양수이다(즉, $a_{n}> 0$, $b_{n}> 0$).

단, $\widetilde a =a_{r}-a_{n}$, $\widetilde b =b_{r}-b_{n}$이다.

등가 외란 $d_{e}$에 대해 아래와 같이 가정한다.

가정 1 : 등가 외란 $d_{e}$는 유계($| d_{e}|<D$)이며 각각 유계인 함수 $d_{1}$과 $d_{2}$의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때 $d_{1}$은 본 논문에서 설계하는 슬라이딩 외란 관측기가 추정하는 대상이며 이를 오프셋 외란으로 부르기로 한다. □

다음 절에서는 공칭 파라미터를 사용한 식(3)에 대해 적분 슬라이딩 모드 제어기의 설계 방법을 소개한다.

2.2 적분 슬라이딩 모드 제어기(ISMC)

제어 오차에 대한 미분 방정식은 아래와 같다.

위 식에서 $r$은 미분 가능한 기준입력이고, 오차 $e_{1}=x_{1}-r$, $e_{2}=x_{2}-\dot r$이다.

본 논문에서 제안하는 ISMC는 아래와 같이 일반적인 슬라이딩 함수의 적분을 포함하는 형태의 함수 $s$를 사용한다. 이 때, $z(0)= -k_{1}e_{1}(0)- e_{2}(0)$이고, $k_{1}$과 $k_{2}$는 양수이다.

위의 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 제어 오차는 다음과 같다.

식 (5)와 (6)을 통해 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 제어 오차는 순차적으로 0으로 수렴하는 것을 알 수 있다. 우선 $z$가 $k_{2}$의 크기에 비례하는 속도로 0으로 수렴하고, $e_{1}$ 또한 $k_{1}$의 크기에 비례하는 속도로 0으로 수렴하게 된다. 따라서 원하는 제어 성능을 얻기 위해 $k_{2}$를 $k_{1}$에 비해 충분히 크게 한다.

$s$가 0에 도달하기 위한 입력 $u$를 얻기 위해 Lyapunov 함수 $V=0.5s^{2}$을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

위 식에서 $s ne0$일 때 $\dot{V}<0$이 되도록 아래 제어 입력을 생각한다.

단, $u_{c}$의 $\phi > 0$이고, $u_{s}$의 스위칭 이득 $\overline{D}$는 등가 외란의 크기 $D$보다 크게 설계한다 ($\overline{D}- D >\sigma > 0$). 식(8)을 식(7)에 인가하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

첨언 1 : 2.5절에서 제안하는 제어기와의 성능 비교를 위해 일반적인 SMC와 외란 관측기를 결합한 형태를 검토한다. 이때 식(4)에 대한 SMC의 슬라이딩 함수 $s$ 및 제어 입력은 아래와 같다.

위 식을 ISMC 식(8)과 비교하면 식(5)와 (6)에서 $k_{2}= 0$인 경우와 동일함을 알 수 있다. □

등가 외란의 크기가 큰 경우에는 제어식 (8)과 (11)에서 스위칭 이득 $\overline{D}$가 지나치게 커지고 채터링이 심해지는 문제가 발생할 수 있다. 다음 절에서는 슬라이딩 모드 외란 관측기를 함께 사용하여 $\overline{D}$의 크기를 줄이는 방법을 설명한다.

2.3 오프셋 외란 추정을 위한 슬라이딩 모드 관측기

본 절에서는 스위칭 이득($\overline{D}$)을 줄이기 위해 가정 1에서 정의한 오프셋 외란을 추정하는 외란 관측기를 설계한다. 오프셋 외란 관측기는 등가 외란 $d_{e}$의 일부인 $d_{1}$에 대해 $\dot d_{1}= 0$로 두고 아래와 같이 식(3)을 확장한 시스템을 고려한다. 외란을 $d_{1}$과 $d_{2}$로 구분하였듯이 제어 입력 $u$는 관측기 설계에 사용하는 $u_{o}$와 사용하지 않는 $u_{s}$로 나누어 쓴다.

제안하는 오프셋 외란 관측기는 아래와 같다.

여기서 $\hat x_{2}$와 $\hat d_{1}$은 추정 값이고 각각의 추정 오차는 $\widetilde x_{2}= x_{2}-\hat x_{2}$, $\widetilde d_{1}= d_{1}-\hat d_{1}$이다. 관측기 이득 $l_{o}$와 스위칭 함수 $v\left(\widetilde x_{2}\right)$는 각각 추정 오차가 0으로 수렴하도록 설계한다.

식 (12)와 (13)으로 부터 관측 오차 시스템은 다음과 같다.

위 식에서 $\eta=\overline{d}_{1}+d_{2}=d_{e}-\hat{d}_{1}$이고, 가정 1에 의해 $d_{2}$가 유계이므로 추정 오차 $\widetilde d_{1}$가 유계이면 $|\eta|<N$인 양수 $N$이 존재한다.

먼저 추정 오차 $\widetilde x_{2}$가 0으로 수렴하기 위한 스위칭 함수 $v\left(\widetilde x_{2}\right)$를 설계한다. Lyapunov 함수 $V_{o}= 0.5\widetilde x_{2}^{2}$을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

위 식에서 $u_{s}$는 스위칭 입력으로 유계이고, $\eta$ 또한 유계라면 $\left | u_{s}-\eta\right |\le\delta$를 만족하는 상수 $\delta$가 존재한다. 따라서 $M = b_{n}\delta$로 정의하면 식(15)는 아래와 같이 표현된다.

스위칭 이득 $\overline{M}$가 $\overline{M}- M >\epsilon_{0}> 0$일 때, $v\left(\widetilde x_{2}\right)$를 아래와 같이 결정한다.

이때, $\widetilde x_{2}$가 0으로 수렴함을 알 수 있다.

다음으로 오차 $\widetilde d_{1}$가 유계이도록 $\hat d_{1}$의 관측기 이득 $l_{o}$를 결정한다. 식(14)로부터 $\widetilde x_{2}$가 0으로 수렴할 때 스위칭 함수 $v\left(\widetilde x_{2}\right)$는 등가적으로 $v_{eq}\left(\widetilde x_{2}\right)= b_{n}\left(u_{s}-\eta\right)$이다. 따라서 식(14)의 $\widetilde d_{1}$식은 등가적으로 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

위 식에서 $l_{o}< 0$이면 안정하고 $d_{2}$와 $u_{s}$가 유계이므로 $\widetilde d_{1}$ 역시 유계이다.

식 (17)의 스위칭 이득 $\overline{M}$와 (13)의 관측기 이득 $l_{o}$는 각각 추정 오차 $\widetilde x_{2}$와 $\widetilde d_{1}$의 수렴 속도를 좌우한다. 주목할 점은 식(13)의 추정 외란 $\hat d_{1}$은 스위칭 함수의 적분이기 때문에 연속 함수가 되는 것을 알 수 있다. 다음 절에서는 추정된 외란 $\hat d_{1}$을 제어 입력에 적용함으로써 스위칭 이득 $\overline{D}$의 크기와 채터링 현상을 개선하는 방법을 설명한다.

2.4 오프셋 외란 관측기 기반 제어기

제어기의 스위칭 이득 $\overline{D}$는 오프셋 외란 $d_{1}$을 추정하여 보상함으로써 줄일 수 있다. 본 절에서 제안하는 제어기는 식(20)과 같고 관측기 (13)이 추정한 $\hat d_{1}$을 함께 사용한다. 식(20)의 $u_{o}$는 오프셋 외란 관측기 (13)에 사용되는 입력이다. 입력 $u_{o}$와 $u_{s}$는 적분 슬라이딩 모드 제어기법으로 설계하고 $u_{s}$의 스위칭 이득은 식(8) 혹은 (11)의 $\overline{D}$ 대신 $\overline{N}$를 사용한다.

스위칭 이득 $\overline{N}$를 결정하기 위해 Lyapunov 함수 $V_{c}= 0.5s^{2}$을 시간에 대하여 미분하면 식(7)과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 이때 입력 (20)을 식(7)에 대입하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

입력 $u_{s}$의 스위칭 이득 $\overline{N}$가 $\overline{N}- N >\epsilon_{c}> 0$을 만족하도록 결정하면 아래와 같이 제어 목표를 달성할 수 있다.

시스템 (4)에 제안하는 제어기를 인가할 때 제어 오차 방정식은 아래와 같다.

식 (23)으로부터 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 입력 $u_{s}$는 등가적으로 $u_{s.eq}=\eta\left(=\widetilde d_{1}+ d_{2}\right)$임을 알 수 있다. 이는 등가 외란 $d_{e}$ 중에서 오프셋 외란의 추정치 $\hat d_{1}$을 제외한 나머지 외란을 ISMC가 보상함을 의미한다. 따라서 스위칭 입력 $u_{s}$의 이득 $\overline{N}$는 식(8)과 (11)의 $\overline{D}$보다 작은 값으로 제어 목표를 달성할 수 있게 된다.

또한 오프셋 외란 관측기 (13)의 이득 $\overline{M}$는 $\left | u_{s}-\eta\right |\le\delta$를 만족하는 $\delta$에 의존하므로 $u_{s}$가 $\eta$에 가까울 때 $\overline{M}$의 크기도 작아짐을 의미한다. 이것은 관측기 (13)의 입력으로 전체 제어 입력 $u$를 사용하지 않고 $u_{o}$를 사용한 결과이다.

결과적으로 시스템의 불확실성을 포함한 등가 외란 $d_{e}$에 대한 강인성을 확보하기 위한 방법으로 SMC를 단독으로 사용할 경우보다 제안하는 오프셋 외란 관측기 기반 제어기를 사용하면 작은 스위칭 이득으로 원하는 제어 목표를 달성할 수 있음을 알 수 있다.

2.5 모의실험

모의실험에 사용한 제어기의 구성은 표 1과 같다. 첫째 ISMC는 제어기 (8)을 단독으로 사용한 형태이다. 둘째 SMCO(SMC with Observer)는 제어기 (11)과 관측기 (13)의 추정치 $\hat d_{1}$을 함께 사용하였다. 마지막으로 Prop.(제안하는 제어기)는 ISMC (8)과 오프셋 외란 관측기 (13)을 사용한 식(20)이다. 제어기 (11)의 SMC는 ISMC (8)에 비해 큰 스위칭 이득을 필요로 하기 때문에 결과를 포함하지 않았다.

모의실험에 사용된 모든 제어기는 $10\lceil\mu S\rceil$의 샘플링 주기로 이산화한 디지털 제어기를 사용하였다. 부호 함수 대신 아래 식과 같은 연속 함수를 사용하였다.

모의실험 대상 시스템은 DC 모터의 기계 시스템으로 실제 파라미터와 공칭 파라미터는 표 2에 나타내었다. 제어기 설계에 사용한 파라미터는 표 3에 기재하였다. 제어기 및 관측기 설계를 위한 파라미터는 공칭 값을 사용하였다.

기준 입력 $r$은 식 (25a)의 $\zeta$를 식 (25b)의 필터를 통과시켜 사용하고 대역폭 $\omega_{c}$는 20[rad/sec]이다 (그림 1(a)).

토크 외란($d$)은 식 (26a)-(26b)와 같이 저역 통과 필터를 거쳐 인가하였고 $\omega_{d}= 200[\mathrm{rad} / \mathrm{sec}]$이다 (그림 1(b)).

그림 2의 ISMC 모의실험은 스위칭 이득 $\overline{D}$의 영향을 확인하기 위해 $\overline{D}$를 $7$, $8$, $10$으로 증가시키면서 실험 하였다. 그림에서 ‘Ref.’는 기준 입력이다. $\overline{D}$가 커질수록 제어성능이 향상되지만 제어 입력의 진동이 심한 것을 볼 수 있다.

다음으로 그림 3에서 세 가지 제어기의 성능을 비교하였다. 그림 3(a)는 기준 입력과의 제어 오차이고, 그림 3(b)는 각속도 궤적이다. 그림 3(c)는 제어 입력이다. 그림 3(a)를 보면 제안하는 제어기는 SMCO와 비교하여 정상 상태 오차 없이 성능이 개선되었다고 할 수 있다. 그림 3(b)를 보면 제안하는 제어기와 SMCO의 각속도 리플이 ISMC 보다 개선된 것을 알 수 있다. 이로 인해 제어 입력의 진동이 개선된 모습을 그림 3(c)를 통해 알 수 있다. 오프셋 외란 관측기를 함께 사용함으로써 제안하는 제어기와 SMCO의 제어 성능이 ISMC만 사용한 경우보다 우수함을 확인할 수 있다. 이 때 $\overline{N}= 0.3$과 같이 작은 이득으로 개선된 성능을 얻을 수 있었다 (표 3).

제안하는 제어기의 해석을 위해 그림 4(a)에는 등가외란 $d_{e}$, 추정된 오프셋 외란 $\hat d_{1}$을 나타내고, $\hat d_{1}$이 보상된 $\eta =\widetilde d_{1}+ d_{2}$와 스위칭 입력 $u_{s}$의 궤적을 그림 4(b)에 나타내었다. 추정된 오프셋 외란 $\hat d_{1}$을 보상함으로써 $\left | d_{e}\right | < D$의 범위에 비해 $|\eta | < N$의 범위가 감소한 것을 확인할 수 있다. 또한, $u_{s}$가 $\eta$와 유사함을 확인할 수 있고, 관측기 (13)의 입력으로 전체 입력 $u$ 대신 $u_{o}$를 사용함으로써 관측기 스위칭 이득의 크기를 줄일 수 있음을 의미한다.

관측기 (13)의 입력으로 $u_{o}$ 대신 제어기의 스위칭 입력 $u_{s}$를 포함한 $u = u_{o}+ u_{s}$를 사용하였을 경우 모의실험 결과는 그림 5와 같다. 그림 5(a)를 통해 관측기 입력으로 $u$를 사용한다면 각속도의 리플이 증가한다는 것을 알 수 있다. 이로 인해 그림 5(b)와 같이 제어 입력의 채터링이 발생함을 확인할 수 있다.