1. 서 론

PID 제어와 관련된 연구가 체계화되어 실시스템에 적용되기 시작하여 이미 50여 년이 지났으며, 그사이 수많은 새로운 제어기술 및 제어이론 등이 탄생하였지만 산업계에서 이용되는 제어방식 중의 많은 부분이 여전히 PID 제어이다. PID 제어에는

● 조정 파라미터의 수가 적으며 그 구조가 간단하다

● 각 요소의 동작 특성에 대한 이해가 간단하다

● 비례이득, 적분 시간 및 미분 시간의 변화에 대한 출력 특성의 해석이 쉽다.

등의 특징이 있다. 그러나 PID 제어기의 파라미터 설정에 관한 수많은 연구에도 불구하고, 제어대상이 고차, 또는 시간 지연 등이 존재하는 등의 경우에는 그 파라미터의 조정이 일반적으로 쉽지 않다⁽¹⁾-⁽²⁾. 또한, 파라미터가 적절하게 선정되었다 하더라도, 만약 제어대상의 특성이 변화한다면 PID 파라미터의 재조정이 필요하게 된다. 이로 인해 PID 파라미터의 auto tuning 등에 관한 연구가 활발하게 이루어지고 있다⁽³⁾-⁽⁵⁾.

한편, 비선형제어의 간단화 등을 위해 지적-PID 제어(intelligent PID control, 이하 iPID로 표기)라는 새로운 제어기법이 M. Fliess, C. Join 등에 의해 제안되었다⁽⁶⁾- ⁽⁸⁾. 이 기법은,

● 제어대상의 모델을 거의 필요로 하지 않는다.

● 구조가 PID제어와 같은 정도로 간단하다.

● 고차의 시스템에 대해서도 파라미터의 조정이 간단하다.

● 제어대상의 특성이 변화하여도 제어기의 파라미터를 재조정할 필요가 없다.

등의 특징을 가지는 것으로 기존 PID를 대체할 수 있는 유망한 제어기법의 하나이며, 현재 다양한 종류의 플랜트에 적용한 실험 결과가 보고되고 있다⁽⁹⁾-⁽¹¹⁾. 제어대상에 대한 정확한 수식 모델을 필요로 하지 않는다는 점을 고려한다면, 제어대상에 대한 제약조건은 존재하지 않는 것으로 볼 수 있으나 현실적으로는 iPID 제어기의 파라미터 $\alpha$를 어떻게 결정할 것인가가 문제가 된다. 앞에서 언급한 바와 같이 iPID의 실시스템으로의 적용과 관련된 많은 연구 결과가 있으나, 제어대상의 특징과 관련한 iPID의 파라미터 $\alpha$의 최적값 또는 설정법 등에 관한 연구는 거의 이루어지지 않았다.

본 연구에서는 iPID 제어기법을 적용하는 경우, iPID의 기본변수인 $\alpha$의 증감이 출력에 미치는 영향을 확인하고 이 결과를 바탕으로 주어진 제어대상의 특성에 따른 $\alpha$의 최적값을 제안하고자 한다. 뒤에서 언급하는 바와 같이 iPID의 작동원리는 제어대상의 움직임을 아주 짧은 시간 간격($h$)에서만 유효한 것으로 가정하여 수식화하기 때문에 해석적인 방법으로 필요한 파라미터를 구하는 것으로 상당히 어려운 것으로 생각된다. 따라서 본 연구에서는 응답 특성을 최적화, 즉 기준신호에 대한 오차 최적화 기법을 이용하여 iPID 제어기에 필요한 파라미터를 결정한다. 이러한 과정을, 일반적인 PID 파라미터의 설정법 등에서 사용되는 시간 지연을 가지는 일차 및 이차 시스템의 형식을 포함하는 일곱 종류의 제어대상에 적용하여 iPID제어기의 기준 파라미터값을 제시한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 먼저 제2장에서는 iPID제어의 기본 원리와 iPID의 적용에 필요한 파라미터의 설정법과 그 문제점 등에 대하여 간단히 언급하며, 제3장에서 파라미터 $\alpha$의 변화가 시스템의 응답에 미치는 영향을 Anisochronic 모델을 이용하여 확인하고, 제4장에서 본 연구에서 제시한 일곱 종류의 제어대상에 대한 최적 파라미터값을 계산하고 이를 표로써 정리한다. 제5장에서는 예제를 이용하여 제4장에서 제시한 기본파라미터값의 유효성을 확인하고, 이상의 결과에 대한 결론과 향후 과제, 문제점 등을 제5장에 정리한다.

2. iPID 제어기의 구조와 문제 설정

2.2 문제의 설정

$\nu =2$의 경우 식(5)이 Hurwitz 다항식으로 되도록 계수 $K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$를 설정한다면 폐루프의 안정성을 유지할 수 있다고 했으나 식(3)으로부터 알 수 있는 바와 같이 제어입력은 파라미터 $\alpha$의 영향을 크게 받게 된다. 그러나 위에서 언급한 바와 같이 $\alpha$는 비물리적인 정수로서, $u(t)$와 $\ddot y(t)/\alpha$가 같은 크기가 되도록 사용자가 결정해야 해서 제어대상의 특성이나 기준신호 등의 특성에 따라 그 적절한 값을 결정한다는 것은 쉽지 않은 것으로 생각된다. 참고문헌⁽¹²⁾에서는 제어대상이 선형시스템(즉 전달함수)으로 주어졌을 경우 폐루프의 안정성을 확보할 수 있는 iPID의 제어기의 파라미터 $\alpha$의 범위를 유도하였다. 이에 의하면 전달함수의 상대차수가 1인 경우에는 iPID로 폐루프의 안정화가 불가능하며, 상대차수가 2인 경우에는 $\alpha$의 크기와 관계없이 식(5)을 안정화하는 $K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$를 선정함으로써 iPID 제어가 가능하며, 상대차수가 3인 경우에는 $\alpha$를 매우 작게 설정하여야 만이 제어시스템을 안정화할 수 있음을 밝히고 있다.

그림. 1. iPID controller $(\nu =2)$

Fig. 1. The Structure of iPID Controller

그러나 실제로 상대차수가 1인 경우에도 충분히 iPID의 제어가 가능하며, 상대차수가 2인 경우에는 $\alpha$의 크기와 관계없이 폐루프의 안정화는 가능하지만, $\alpha$에 따라 응답 특성이 현저하게 변화하기 때문에 (심하면 발산) 가장 적절한 값을 결정하는 것이 문제가 된다(예제 참조). 본 연구에서는 다양한 종류의 제어대상에 대해 수치 해석적인 방법으로 iPID 제어기의 파라미터 $\alpha$와 식(5)의 계수 $K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$의 최적값을 계산하여 이를 제시한다. 또한, 최적인 상황에서 $\alpha$를 변동시켜 경우의 응답 특성 변화 등을 확인함으로써 iPID 제어에 있어서 $\alpha$가 미치는 영향을 평가한다.

3. $\alpha$의 변동에 따른 제어성능

위에서 언급한 바와 같이 iPID 제어에서 파라미터 $\alpha$의 영향을 확인하기 위하여 시스템의 입력단과 내부에 시간 지연을 가지는 다음과 같은 Anisochronic 모델을 이용한다⁽¹³⁾.

여기서 $T$는 시정수이며, $\phi$는 내부, $\tau$는 외부의 지연을 각각 나타낸다. 분모에 존재하는 지연 요소로 인해 식(11)은 적은 수의 파라미터로서 과제 동과 부족제동의 동특성을 표현할 수 있다는 장점이 있다. 이를 이용하여 iPID에서의 응답 특성을 추총오차, 즉 $e=r-y$를 사용하여 확인하기로 한다. 여기서는 시스템의 특성에 따른 iPID 제어기의 파라미터 $\alpha$의 변화가 미치는 영향을 파악하는 것이 주목적이므로 식(11)에서 시정수 $T$의 영향을 배제하기로 하여 식(11)을 다음과 같이 규정화(normalize)한다. 즉 $\hat s =Ts$로 두면 식(11)은

로 되며, 규정화된 외부지연과 내부지연은 각각 다음으로 정의된다.

본 연구에서는 식(12)의 Anisochronic 모델에서 두 지연 요소의 변동, 즉 $\hat\tau$가 0에서 2[s]까지 0.2초 간격으로 (11단계) 변화할 때 $\hat\eta$를 0에서 $2e^{-1}\approx 0.73$[s] 까지 0.07 간격으로 (11단계) 변화시켜 각 경우에 대한 오차 특성을 확인하기로 한다. 이를 위해 각 시간 지연 값의 중간값, 즉 $\hat\tau =1,\:\hat\eta =0.35$을 택하여 식(12)에 iPID 제어를 적용한다.

식(5)을 만족하는 세 변수 $K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$와 $\alpha$는 다음과 같은 최적화 문제

를 이용하여 결정한다. 단 $\hat\theta_{2}=\left(K_{P},\:K_{I},\:K_{D},\:\alpha\right)$이다. 이 과정에서 식(5)이 안정한 다항식이 되도록 세 변수의 최소값과 최대값에 대한 제약조건을 인가하였다.

위 결과 얻어진 최적값을 기본으로 하여 대상의 특성에 따른 $\alpha$ 최적값 변화 및 $\alpha$의 변동에 따른 응답 특성의 변화 등을 아래와 같이 네 종류로 구분하여 확인한다.

1) 위 ①, ② 과정으로 얻어진 최적 파라미터로 iPID 제어기를 구성하고, 식(12)의 $\hat\tau ,\:\hat\eta$를 변화시켰을 경우 $\alpha$ 최적값 변화를 확인([그림 2]).

2) 1)의 최적 $\alpha$를 사용한 경우, 제어대상의 특성 변화에 따른 폐루프의 응답 특성의 변화를 확인([그림 3]).

3) $\hat\eta =0.35$로 두고 $\hat\tau =0.01,\: 1,\: 2$의 세 종류에 대한 최적 파라미터를 계산한 뒤, 각 경우에 있어서 $\alpha$가 그의 최적값을 중심으로 변화할 때 폐루프의 응답 특성의 변화를 확인([그림 4]).

4) $\hat\tau =1$로 고정하고 $\hat\eta =01,\:. 0.35,\: 0.7328$의 세 종류에 대한 최적 파라미터를 계산하고, 각 경우에 있어서 $\alpha$가 최적값을 중심으로 변화할 때 폐루프의 응답 특성의 변화를 확인([그림 4]).

위 사항에 대해 각각 Simulation을 수행하고 그 결과를 아래에 정리하였다. 먼저 [그림 2]로부터

● 외부 및 내부지연 값($\tau ,\:\eta$)의 증가에 따라 iPID의 변수 $\alpha$ 최적값의 변화폭이 상당히 크다.

● 지연이 작은 값을 가지는 경우, $\alpha$의 최적값은 대체로 작은 값(100 근처)에 존재한다.

● $\alpha$의 최적값은 외부지연인 $\tau$의 변화에 더 민감한 것으로 보인다.

의 관계를 확인할 수 있으며, [그림 4]로부터 $\alpha$의 크기와 출력 특성과의 관계는 다음과 같이 요약할 수 있다.

그림. 2. $\alpha$ 최적값의 변화

Fig. 2. Optimal value of $\alpha$

그림. 3. 오차 특성

Fig. 3. Error Characteristics

시스템의 특성에 따른 최적인 $\alpha$값을 선정하는 것이 필요하다([그림 3]).

제어대상에 대한 최적인 $\alpha$ 값을 중심으로 하여 이를 증감시키면 기준신호 응답 특성은 악화한다([그림 4]).

외란 응답 특성을 중시한다면 $\alpha$를 최적값보다 조금 더 작은 값으로 설정할 수도 있다$^{3)}$

이상과 같이 제어대상의 특성에 따라 최적인 iPID 파라미터 $\alpha$를 선정하는 것이 필요함을 알 수 있다.

그림. 4. $\alpha$의 변화에 대한 기준 및 외란 신호의 오차

Fig. 4. Error for changes in $\alpha$

4. 제어대상에 따른 $\alpha$의 최적값

4.1 iPID제어와 시간 지연을 가지는 일차시스템

4.1.1 폐루프 극의 위치에 따른 응답 특성 비교

앞에서 언급한 바와 같이, iPID제어기의 경우, 식(3)의 제어입력에 의한 폐루프 특성다항식이 식(5)으로 주어지기 때문에 iPID의 파라미터 $K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$는 기본적으로 식(5)을 안정화할 수 있도록 선정된다. 그러나 제3장에서 살펴본 바와 같이 iPID의 파라미터 $\alpha$가 제어성능에 미치는 영향은 상당히 크기 때문에, 시스템의 특성에 맞는 적절한 $\alpha$값을 선정하는 것이 필요하다. 그러나 이러한 $\alpha$의 소위 ‘최적값’은 식(5)으로 주어진 세 개 파라미터 $K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$의 값과 관련이 있으므로 $\alpha$의 최적값을 일률적으로 결정하기에는 어려움이 존재한다. 본 연구에서는 식(5)을 안정화하는 제약조건 아래서 네 개의 파라미터의 최적화를 추구하였다.

$K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$는 전통적인 PID 제어기의 파라미터로서 PID제어가 가지는 다양한 장점으로 인해 오래전부터 이것의 설정법에 대한 수많은 연구논문과 문헌 등이 보고되고 있으나⁽¹⁴⁾, 그 설정법은 일반적으로 간단하지 않으며 또 그 결과가 항상 양호한 것으로 보기 어려우므로 본 연구의 식(5)의 파라미터 설정에는 적절하지 않은 것으로 보인다.

먼저 시간 지연을 가지는 일차시스템을 이용하여 오차다항식 $f_{e}(s)=0$의 근의 위치변화에 따른 출력 특성을 확인한다. 즉

(18)

$P(s)=\dfrac{e^{-Ls}}{1+Ts}$

에 iPID와 PID를 각각 사용하여 응답 특성을 나타낸 것이 [그림 5]이다. 이때 $T=1,\: L=0.2$로 두었으며 PID의 파라미터는 가장 보편적인 CHR(Chien-Hrones-Reswick) 기법을 적용하여 얻은 결과를 사용하였다. 또한, iPID의 경우는 $f_{e}(s)=(s+a)^{3}$의 형식의 오차다항식에서 단순히 $a$를 -2에서 –5까지 변화시켜 이를 식(5)과 비교함으로써 세 개의 파라미터를 얻었으며, 다섯 번째는 CHR의 파라미터를 그대로 사용하였다. 단 모두 $\alpha =100$으로 두었다. 이로부터 iPID 제어기의 경우 오차다힝식의 근을 좌측으로 가져갈수록 추종 특성이 개선된다는 예상하였던 결과를 보이지만, 이 경우 역시 $\alpha$의 크기에 따른 영향이 크다는 사실을 확인하였다.

4.1.2 최적 파라미터의 결정

여기서는 시간 지연을 가지는 일차시스템 식(18)에 iPID (및 iPI) 제어기를 적용하였을 경우, 기준신호 $r$에 대한 오차 $e=r-y$의 최적화 문제, 즉

(19)

$\begin{aligned}\min \\\hat\theta\end{aligned}J_{er}(\hat\theta)=\int_{0}^{\infty}| e(t,\:\hat\theta)| dt$

를 적용하여 네 개 파라미터 $\hat\theta =\left\{K_{P},\: K_{I},\: K_{D},\:\alpha\right\}$를 계산하고 이를 [표 1]에 정리하였다$^{4)}$

그림. 5. FOPDT의 응답 특성

Fig. 5. Response of FOPDT plant

표 1. iPID 제어기의 파라미터

Table 1. Parameters for iPID

$L/T$	$K_{p}$	$K_{i}$	$K_{d}$	$\alpha_{opt}$	$J_{er}$	$J_{ed}$	$\%OS$	$T_{s}$
0.1	49.73	50.0	2.0	87.4	0.7	1.6	0.0	2.9
0.2	51.07	50.0	2.0	88.3	0.7	1.6	0.6	2.9
0.4	53.16	50.0	2.0	106.3	0.8	2.2	1.3	2.5
0.8	65.19	50.0	13.6	116.4	1.3	2.8	8.7	4.4

표 2. iPI 제어기의 파라미터

Table 2. Parameters for iPI

$L/T$	$K_{p}$	$K_{i}$	$K_{d}$	$\alpha_{opt}$	$J_{er}$	$J_{ed}$	$\%OS$	$T_{s}$
0.1	81.5	200.0	0	58.5	0.29	0.13	26.9	2.3
0.2	85.8	135.5	0	70.9	0.35	0.24	26.8	1.8
0.4	61.2	58.2	0	87.4	0.58	1.35	9.7	2.5
0.8	37.3	31.2	0	94.4	1.76	4.12	5.4	5.6

[그림 6]은 [표 1]에서 T/L=0.8의 경우에 대한 최적 파라미터를 선정하여 기준신호와 외란 신호에 대한 응답 특성을 나타낸 것이며, [그림 7]은 $\alpha$를 최적값인 116.39를 중심으로 하여 증감시켰을 경우의 식(19)의 $J_{er}$과 외란 응답의 오차 $J_{ed}$를 각각 나타낸 것이다. [표 1]이 가지는 유효성을 확인할 수 있다.

식(18)의 경우는 iPID의 미분(D)으로 인한 입력신호의 변동이 급격하게 변동하는 경우에 대한 대책으로 iPI 제어의 사용이 권장되기도 한다. 이 경우의 최적 파라미터를 위와 같은 방식으로 계산하여 [표 2]에 정리하였다.

그림. 6. 제어대상 식(18)의 응답 특성 곡선

Fig. 6. Output Responses of Plant (18)

그림. 7. $\alpha$의 증감에 대한 기준 및 외란의 오차

Fig. 7. Error for Increase and Decrease of $\alpha$

5. 예 제

[예제 A] 제어대상 (26) 에 대한 iPID 제어기의 설계:

시스템 (26) 은 앞서 언급한 참고문헌 ⁽¹²⁾ 에서 사용된 예제 중의 하나이다. 우선 식(26)은 불안정한 시스템이므로 위의 식(19)-(25) 의 표준형식으로 변환할 수 없다. 따라서 여기서는 제4장과 같은 방법을 적용하여 식(26)에 대한 iPID 제어기 파라미터를 얻어 참고문헌의 결과와 비교하였다([그림 8]). 또 $\alpha$값을 변화시켜 응답 특성의 변화를 관찰하여 $\alpha$의 크기와 출력 사이의 관련성을 확인하였다([그림 9]).

그림. 8(a). [예제 A]의 결과

Fig. 8(a). Results of Example A

그림. 8(b). 그림 8(a)의 부분 확대

Fig. 8(b). partial magnification of Fig. 8(a)

그림. 9. 기준 및 외란 응답 특성 비교

Fig. 9. Comparison of responses

식(26)에 대한 iPID의 $\alpha$최적값은 $\alpha =1.4235$이며 [그림 9]로부터 알 수 있는 바와 같이 적절한 $K_{P},\: K_{I},\: K_{D}$를 사용함으로써 폐루프의 안정성을 확보할 수 있는 $\alpha$의 범위가 훨씬 넓어졌음을 볼 수 있다.

[예제 B] 참고문헌 ⁽⁶⁾ 의 예제로서 전달함수가 다음과 같이 주어져 있다.

이를 식(18)의 형식으로 근사화하여 사용하였다. 이때 $K=4,\:T=2.018,\: L=0.2424$로 주어지며 $L/T\approx 0.12$이다. 이 경우 iPID 제어보다는 iPI 제어를 사용하는 것이 효과적이므로 [표 2]의 계수 값을 사용하여 시뮬레이션을 수행한 결과를 [그림 10]에 나타내었다$^{5)}$

이때 $t=10$에서 액추에이터의 고장으로 입력의 25%만이 인가되며, $t=15$에서 지속 외란 이 인가되는 것으로 하였다.

그림. 10. [예제 B]의 출력 및 입력 특성

Fig. 10. Outputs and Inputs of [Example B]

[예제 C] 문헌 ⁽¹⁷⁾에서 제안한 모델과 제어기를 이용하여 위 표의 유용성을 확인한다.

여기서 기준값은 각각 $\tau_{1}=1,\:\tau_{2}=0.5$, 및 $L=1$로 주어진다. 위식을 식(20)으로 근사화하면 $K=1,\: T=0.7857,\:$및 $L=0.9076$으로 되어 $L/T =1.15$로 되어 [표 3]의 $L/T =0.8$의 경우를 적용하여 파라미터를 결정하였다. 또한 $t=0.20[s]$에서 크기 0.5인 지속 외란을 인가한 경우의 입·출력을 [그림 11]에 나타내었다.

이상의 결과로부터 제4장에서 제시한, 제어대상의 특성에 따른 iPID의 각 파라미터가 각 상황에서 최적이라고 할 수 없다고 하더라고 최적에 근접한 결과를 보여주고 있는 것으로 생각된다.

그림. 11. [예제 C]의 입·출력 응답

Fig. 11. Response of Example C

6. 결 론

iPID 제어기법은 기존의 PID에 비해 그 파라미터 설정이 간단할 뿐만 아니라, 제어대상이 비선형성이나 파라미터 변동 등을 가질 때 특히 우수한 성능을 보이는 것으로 알려져 있으나, 실제의 적용에 있어서 각 파라미터를 자유롭게 설정하는 과정은 싶지 않다. 특히 식(5)의 오차방정식을 안정화하는 세 개 파라미터 $\left\{K_{P},\: K_{I},\: K_{D}\right\}$는 무수히 존재하며, 동시에 이 결과에 따라 iPID의 파라미터인 $\alpha$의 최적값 역시 변동한다.

지금까지 iPID의 $\alpha$가 제어성능에 미치는 영향을 연구한 결과는 거의 없으며 단지 전달함수가 주어진 제어대상의 상대오차에 따라 폐루프 안정성을 보장하는 $\alpha$의 범위를 제시한 연구는 존재하지만, 이 역시 그 유도과정에서 사용한 근사화 등으로 인해 실용상 상당히 미흡한 것으로 생각된다. 본 연구에서는 일반적으로 가장 많이 사용되는 일곱 개의 제어대상을 선정하여 각 시스템에 맞는 iPID의 최적값을 제시하였다. 앞에서 언급한 바와 같이 iPID제어기의 출력은 $\left\{K_{P},\: K_{I},\: K_{D}\right\}$외에 또 하나의 파라미터인 $\alpha$값의 영향을 받기 때문에⁽⁶⁾, ⁽¹²⁾, ‘최적 파라미터’라는 단어는 적절하지 않은 것으로 생각되지만, 현재까지 여러 종류의 시스템에 적용한 결과로서는 상당히 유용한 것으로 판단된다.

iPID는 위에서 언급한 바와 같이 (특히 강인성의 면에서) 훌륭한 특징을 가지고 있지만, 기본적으로 과도특성 등의 면에서 항상 만족스러운 결과를 나타내는 것은 아니다$^{6)}$

특히 기준신호가 flatness의 조건 등을 만족하지 않는 경우 등을 고려한다면, iPID가 응답의 과도특성을 충분히 배려하고 있다고 보기는 어려운 것으로 생각되나⁽¹⁵⁾, 최근 그 해결책 등이 제시되고 있다⁽¹⁶⁾. 향후 iPID의 장점을 유지하면서 주어진 상황에 가장 적절한 파라미터의 결정법, 즉 식(5)의 세 개 파라미터와 $\alpha$ 사이의 명확한 관계를 수식적으로 규명하는 연구가 필요한 것으로 보인다.

$^{1)}$ 수식 전개의 간략함을 위하여 SISO 시스템을 대상으로 하였다.

$^{2)}$ 블록선도로서 식(10)을 정확하게 표현하는 것은 불가능하므로, $h$가 충분히 작은 값을 가진다는 가정을 이용하면 [그림 1]로 나타낼 수 있다.

$^{3)}$ 그러나 많은 경우 $\alpha$를 최적값보다 작은 값으로 설정하면 폐루프가 불안정으로 된다.

$^{4)}$ 이 경우 $h=0.1$로 두었다. $h$는 식(9)을 참조 바람.

$^{5)}$ [그림 10]에서 ‘iPID with 2DoF’는 iPID 제어에 2자유도를 적용한 결과이다. 참고문헌 ⁽¹⁵⁾-⁽¹⁶⁾를 참조 바람.

$^{6)}$ 특히 기준신호로서 flatness-based-output를 필요로 한다는 점에서 보면, 일반적인 계단(step) 신호와 같이 급격하게 변동하는 신호의 경우 과도특성이 급격하게 악화한다.