2.1 피킹 스위치 등가회로

그림 1은 블룸라인 PFL과 피킹 스위치의 간단한 개념도를 나타낸다. 참고문헌⁽⁵⁾에 자세히 기술되어 있는 바와 같이 시스템의 내부 인덕턴스 때문에 블룸라인 PFL의 출력 파형은 충분히 빠르게 상승할 수가 없다. 그 결과, 블룸라인 PFL 만을 이용하여 UWB 신호를 얻는 것은 불가능하다. 따라서 출력 파형의 느린 상승시간을 단축시키는 피킹 스위치의 역할은 매우 중요하다.

두 개의 전극 사이에 약 300 kV의 고전압을 인가할 수 있는 피킹 스위치의 등가회로는 그림 2와 같이 표현된다⁽⁶⁾. 블룸라인 PFL의 출력 전압은 피킹 스위치의 입력 전압(vi)이고 피킹 스위치의 출력 전압(vo)은 임피던스가 Z0인 UWB 안테나에 인가된다. 여기서, SW는 이상적인 스위치로서 피킹 스위치가 동작하기 전에는 SW는 열린 상태이고 피킹 스위치는 하나의 커패시터(커패시턴스: C)로 취급된다. 피킹 스위치가 동작하면 SW는 닫힌 상태로 변하고 전극 사이에 발생하는 아크 채널은 저항(저항: R)과 인덕터(인덕턴스: L)로 모델링된다.

등가회로의 지배 방정식은 SW 상태에 따라 다음과 같이 미분 방정식($t$:시간)으로 표현된다.

이 상태는 피킹 스위치 내에서 충전 기체의 절연이 유지되어 방전이 전혀 일어나지 않은 상태를 의미한다. C, L, $Z_{0}$은

(a) SW 열린 상태:

상수이고 다음에 설명할 바와 같이 입력 전압은 가우시안(Gaussian) 함수로 가정하므로 식(1)로부터 출력 전압을 쉽게 구할 수 있다.

(b) SW 닫힌 상태:

이 상태는 전극 사이에 방전이 발생하여 아크 전류($i_{R}$)가 흐르는 상태를 나타낸다. 식(2)와 식(3)을 풀기 위해서 C, L, $Z_{0}$, $v_{i}$와 더불어 아크 저항을 알아야 한다. 아크 저항은 일반적으로 시간의 함수로서 전류, 전극 사이의 거리, 충전 기체의 압력 등과 같은 물리적 변수에 의해 결정된다.

앞서 언급한 것처럼 피킹 스위치는 일종의 스파크 갭 스위치이므로 갭 스위치의 아크 저항에 대하여 이미 알려진 모델들을 이용하여 피킹 스위치의 동작 특성을 해석할 수 있다. 시간의 함수로 표현되는 아크 저항에 대한 이론적 혹은 실험적 모델로서 Kushner, Toepler, Rompe-Weizel, Vlastos, Sorensen-Ristic, Braginskii 모델 등이 잘 알려져 있으며 이것들에 대한 자세한 내용은 참고문헌⁽⁷⁾에 기술되어 있다. 이 중에서 Rompe-Weizel 모델은 피킹 스위치에 가장 적절한 것으로 간주된다⁽⁶⁾. 이 모델에서는 아크 플라즈마의 내부 에너지만을 고려한 에너지 평형 방정식으로부터 아래와 같은 아크 저항이 유도된다.

여기서 $d$는 전극 사이 거리, $p$는 압력이다. 상수 $a$는 질소의 경우 $a=0.8\sim 1 atm\bullet cm^{2}/\left(s\bullet V^{2}\right)$이다⁽⁸⁾. 식(4)를 미분 방정식으로 변환하면 식(5)를 얻을 수 있다.

식(2), 식(3), 그리고 식(5)의 연립 상미분 방정식을 풀면 피킹 스위치에 아크 전류가 흐를 때의 출력 전압을 구할 수 있다.

2.2 고전적인 4차 Runge-Kutta 법

식(1)의 단일 1차 상미분 방정식과 식(2), 식(3), 식(5)으로 구성된 연립 1차 상미분 방정식은 초기치 문제에 해당하므로 본 논문에서는 소위 고전적인 4차 Runge-Kutta 방법을 이용하여 해를 구한다. 단일 1차 상미분 방정식에 대한 Runge-Kutta 식은 잘 알려져 있다. 그러므로 이 식에 대한 설명을 생략하고 비교적 복잡한 식(2), 식(3), 식(5)에 대한 Runge-Kutta 식을 기술한다. $v_{o}$, $i_{R}$, $R$을 $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$로 치환하면 식(2), 식(3), 식(5)의 연립 1차 상미분 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$t_{i}\le t\le t_{i+1}$ 구간에서 4차 Runge-Kutta 방법을 적용하면 식(6), 식(7), 식(8)의 수치적 해는 다음과 같다.

여기서 $k_{1,\:1}$, $k_{1,\:2}$, $k_{1,\:3}$은 $t=t_{i}$에서 $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$의 기울기, $k_{2,\:1}$, $k_{2,\:2}$, $k_{2,\:3}$은 $t=t_{i}+h/2$에서 $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ 기울기의 첫 번째 추정 값, $k_{3,\:1}$, $k_{3,\:2}$, $k_{3,\:3}$은 $t=t_{i}+h/2$에서 $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ 기울기의 두 번째 추정 값, $k_{4,\:1}$, $k_{4,\:2}$, $k_{4,\:3}$은 $t=t_{i+1}$에서 $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ 기울기의 추정 값을 나타낸다. 이 값들은 다음과 같이 계산된다.

$$k_{1,\:1}=f_{1}\left(t_{i},\: y_{i,\:1},\: y_{i,\:2},\: y_{i,\:3}\right)$$ $$k_{1,\:2}=f_{2}\left(t_{i},\: y_{i,\:1},\: y_{i,\:2},\: y_{i,\:3}\right)$$ $$k_{1,\:3}=f_{3}\left(t_{i},\: y_{i,\:1},\: y_{i,\:2},\: y_{i,\:3}\right)$$ $$k_{2,\:1}=f_{1}\left(t_{i}+\dfrac{h}{2},\:y_{i,\:1}+\dfrac{k_{1,\:1}h}{2},\:y_{i,\:2}+\dfrac{k_{1,\:2}h}{2},\:y_{i,\:3}+\dfrac{k_{1,\:3}h}{2}\right)$$ $$k_{2,\:2}=f_{2}\left(t_{i}+\dfrac{h}{2},\:y_{i,\:1}+\dfrac{k_{1,\:1}h}{2},\:y_{i,\:2}+\dfrac{k_{1,\:2}h}{2},\:y_{i,\:3}+\dfrac{k_{1,\:3}h}{2}\right)$$ $$k_{2,\:3}=f_{3}\left(t_{i}+\dfrac{h}{2},\:y_{i,\:1}+\dfrac{k_{1,\:1}h}{2},\:y_{i,\:2}+\dfrac{k_{1,\:2}h}{2},\:y_{i,\:3}+\dfrac{k_{1,\:3}h}{2}\right)$$ $$k_{3,\:1}=f_{1}\left(t_{i}+\dfrac{h}{2},\:y_{i,\:1}+\dfrac{k_{2,\:1}h}{2},\:y_{i,\:2}+\dfrac{k_{2,\:2}h}{2},\:y_{i,\:3}+\dfrac{k_{2,\:3}h}{2}\right)$$ $$k_{3,\:2}=f_{2}\left(t_{i}+\dfrac{h}{2},\:y_{i,\:1}+\dfrac{k_{2,\:1}h}{2},\:y_{i,\:2}+\dfrac{k_{2,\:2}h}{2},\:y_{i,\:3}+\dfrac{k_{2,\:3}h}{2}\right)$$ $$k_{3,\:3}=f_{3}\left(t_{i}+\dfrac{h}{2},\:y_{i,\:1}+\dfrac{k_{2,\:1}h}{2},\:y_{i,\:2}+\dfrac{k_{2,\:2}h}{2},\:y_{i,\:3}+\dfrac{k_{2,\:3}h}{2}\right)$$ $$k_{4,\:1}=f_{1}\left(t_{i}+h,\:y_{i,\:1}+k_{3,\:1}h,\:y_{i,\:2}+k_{3,\:2}h,\:y_{i,\:3}+k_{3,\:3}h\right)$$ $$k_{4,\:2}=f_{2}\left(t_{i}+h,\:y_{i,\:1}+k_{3,\:1}h,\:y_{i,\:2}+k_{3,\:2}h,\:y_{i,\:3}+k_{3,\:3}h\right)$$ $$k_{4,\:3}=f_{3}\left(t_{i}+h,\:y_{i,\:1}+k_{3,\:1}h,\:y_{i,\:2}+k_{3,\:2}h,\:y_{i,\:3}+k_{3,\:3}h\right)$$

3.1 SW 열린 상태 시뮬레이션

식(1)의 수치적 해를 구하기 위하여 우선, C, $Z_{0}$, $v_{i}$의 값을 알아야 한다. 참고문헌⁽⁵⁾에 기술되어 있듯이 임피던스 정합 피킹 스위치의 구조는 매우 복잡하다. 간략하게 설명하면 내부 도체 즉 전극은 지름 20 mm, 길이 20 mm의 원통형 도체와 지름이 20 mm부터 증가하는 쐐기형 도체로 구성된다. 입력과 출력 전극의 원통형 도체의 모양은 동일하지만 쐐기형 도체의 모양은 다르다. 외부 도체는 내부가 원형 모양으로 뚫린 구조를 가지고 있다. 원통형 전극 주변에서는 내부 지름 48 mm, 길이 40.62 mm이고 그 밖에서는 내부 지름이 증가한다. 특히 출력 전극과 안테나 사이에서임피던스 변화를 감소시키기 위하여 쐐기형 출력 전극 주위에 유전체가 삽입되어 있다. 이와 같이 복작한 구조에서 C 값을 해석적으로 구할 수 없기 때문에 본 논문에서는 다른 문헌⁽⁶⁾을 참고하여 C=2∼10 pF 정도로 가정한다. $Z_{0}$는 블룸라인 PFL의 특성 임피던스와 같은 50 Ω이다. 그림 3에 도시되어 있듯이 피킹 스위치의 입력 전압 파형은 가우시안 펄스와 유사하므로 시뮬레이션 편의상 입력 전압을 식(12)의 가우시안 펄스로 가정한다.

여기서 $\sigma =\Delta t/(2\sqrt{2\ln 2})$, $\Delta t$는 펄스폭이다. 그림 3에서 $V_{i0}$=230 kV, $\Delta t$=7 ns이다.

다음은 이 상태가 유지되는 시간($t_{on}$)을 계산한다. 물리적 관점에서 살펴보면 시간이 $t_{on}$까지 경과될 동안 커패시터를 통하여 변위 전류가 흐르고 스위치의 전극 양단에 인가되는 전압($v_{c}$)은 절연파괴 전압($v_{b}$)에 도달할 때까지 상승한다. 파센(Paschen) 법칙에 의하면 일반적으로 절연파괴 전압은 전극 사이 거리와 기체 압력의 함수이지만 실제 피킹 스위치에 대하여 절연파괴 전압을 이론적으로 유도하기 어렵다. 따라서 본 논문에서는 그림 4에 도시된 것과 같은 실험적으로 측정한 데이터를 사용한다. 여기서 d=3 mm이고 충전 기체는 SF6(25%)와 N2(75%)의 혼합 기체이다. 커브 피팅(curve fitting) 법을 이용하여 실험 데이터를 2차 다항식으로 표현하면 다음과 같다.

3.2 SW 닫힌 상태 시뮬레이션

SW 닫히면 인덕터를 통하여 전류가 흐르므로 시뮬레이션을 하려면 L 값을 정해야 한다. 앞에서 언급하였듯이 피킹 스위치의 구조는 복잡하여 정확한 L 값을 계산하기 어렵다. 따라서 본 논문에서는 동축 전송선로로 가정할 수 있는 원통형 전극 영역만을 계산한다. 이 경우 L은 두 가지 인덕턴스의 합이 된다. 첫째는 아크 채널의 인덕턴스($L_{{arc}}$)이고 둘째는 원통형 전극의 인덕턴스($L_{e}$)이다. 스파크 갭 스위치의 방전 채널에서 $L_{{arc}}$는 다음과 같다⁽¹⁰⁾.

여기서 $r_{o}$와 $r_{i}$는 각각 동축 전송선로의 외부 도체의 내부 반경과 내부 도체 반경이다. 식(14)에서 갭 간격 d 대신에 전극의 길이(l)를 대입하면 $L_{e}$ 값을 계산할 수 있다. d=3 mm, l=40 mm, $r_{o}$=48 mm, $r_{i}$=20 mm이므로 L=7.5 nH이다. 이와 더불어 쐐기형 전극 영역의 인덕턴스를 고려하여 피킹 스위치 전체의 인덕턴스를 L=7∼15 nH 정도로 가정한다. 이 값이 정해지면 식(9), 식(10), 식(11)을 이용하여 식(2), 식(3), 식(5)의 근사해를 구한다. 계산 시작 시간은 $t_{s}=t_{on}$, 계산 종료 시간은 $t_{f}$=20 ns, 계산 간격은 $\Delta t$=1 ps이다.

3.3 시뮬레이션 결과

그림 5(a)는 여러 가지 전압 파형에 대한 전형적인 시뮬레이션의 결과를 나타낸다. 여기서 검정색 점선은 가우시안 입력 전압(vin), 검정색 실선은 출력 전압(vout), 붉은색 실선은 전극 사이의 갭 전압(vgap)이다. $t_{s}$(=9.49 ns)는 기체의 절연 파괴 시간이므로 시간 $t=0\sim t_{s}$ 동안 피킹 스위치 내에 아크 채널은 형성되지 않지만 무시할 수 없는 크기의 소위 프리펄스(prepulse) 출력 전압을 볼 수 있다. 프리펄스는 커패시터를 통하여 흐르는 변위 전류($i_{C}$) 때문에 발생된다. 이 때 변위 전류는 출력 전류가 되므로 출력 전압은 $v_{out}=Z_{o}i_{C}$이다.

시간 $t=t_{s}$에서 갭 전압이 식(13)의 절연 파괴 전압($v_{b}$)과 같으므로 전극 사이에서 방전이 시작한다. 이 때 부터 아크 저항은 그림 5(b)처럼 무한대(계산 편의상 10 kΩ)에서 영으로 매우 빠르게 변한다. 또한, 그림 5(a)에서 볼 수 있듯이 갭 전압이 감소함에 따라 출력 전압은 급속하게 증가한다. 그 결과 입력 전압과 비교하여 출력 전압의 상승시간이 엄청나게 단축된다. 일반적으로 상승시간은 파형의 최대치 10 %에서 90 %로 상승하는데 걸리는 시간으로 정의된다. 이 정의에 따르면 가우시안 입력 전압의 상승시간은 약 5 ns이다. 그러나 가우시안 파형과 다르게 출력 파형은 단조롭게 변하지 않으므로 위의 정의를 적용하기 어렵다. 따라서 프리펄스 후 급속하게 변하는 출력 파형의 선두 부분의 10 %에서 90 %로 상승하는데 소요되는 시간을 출력 전압의 상승시간으로 정의한다. 이 정의에 따라 그림 5의 출력 전압의 상승시간은 약 490 ps로 측정되므로 피킹 스위치를 통하여 입력 전압의 상승시간은 약 1/10로 줄었다.

압력이 증가하면 갭 전압이 절연 파괴 전압에 도달하는데 더 긴 시간이 필요하기 때문에 프리펄스의 지속 시간이 길어진다. 그러므로 압력이 변하면 출력 전압의 상승시간은 변할 것으로 예상된다. 이것을 자세히 조사하기 위하여 압력을 p=10∼17 기압 범위에서 변화시키면서 출력 전압의 상승시간을 측정하였다. 그림 6과 그림 7은 각각 출력 전압 파형과 프리펄스 후 상승시간의 변화를 나타낸다. 여기서 압력이 증가하면 상승시간은 감소한다는 것을 볼 수 있다. 프리펄스 후 아크 저항은 급속하게 감소하므로 출력 전압은 빠르게 증가한다. 다시 말해서 상승시간은 아크 저항과 관련이 있다. 보통 아크 저항은 압력에 따라 다르므로 압력과 상승시간의 관계를 이해하기 위해서는 아크 저항의 특성을 규명할 필요가 있다. 그림 8은 식(4)의 Rompe-Weizel 아크 저항 특성을 압력 별로 나타낸다. 압력에 따라 아크 저항이 얼마나 빠르게 감소하는지를 알아보기 위하여 하강시간을 계산하였다. 본 논문에서는 편의상 하강시간을 저항의 최대치에서 10 %로 하강하는데 걸리는 시간으로 정의한다. 그림 9에서 볼 수 있듯이 압력이 증가하면 하강시간은 감소한다. 따라서 이와 같은 아크 저항의 특성 때문에 압력이 증가하면 상승시간이 감소한다고 말할 수 있다.

앞에서 언급하였듯이 피킹 스위치의 커패시턴스와 인덕턴스를 정확하게 구할 수 없으므로 이것들의 변화가 계산 결과에 미치는 영향을 조사할 필요가 있다. 우선 커패시턴스를 변화시키면서 구한 출력 전압 파형의 프리펄스와 상승시간을 그림 10과 그림 11에 제시한다. 그림 10에서 볼 수 있듯이 커패시턴스가 증가하면 프리펄스의 크기도 증가한다. 이것은 변위 전류가 커패시턴스에 비례하여 증가하기 때문이다. 그림 11은 커패시턴스 C=3∼10 pF 범위에서 계산한 출력 전압의 상승시간을 나타낸다. 여기서 C 값이 증가하면 상승시간이 증가한다는 것을 볼 수 있다. 다음은 인덕턴스 L=7∼15 nH 범위에서 구한 상승시간을 그림 12에 제시한다. 여기서도 커패시턴스의 경우와 마찬가지로 L 값이 증가하면 상승시간이 증가한다.