3.1 쿼드로터 시스템의 제어기 설계

쿼드로터의 센서를 이용하여 높이 $x_{1}$과 롤 각도 $x_{3}$, 피치 각도 $x_{5}$, 요 각도 $x_{7}$의 상태를 측정할 수 있다. 이 값들을 이용하여 상승 속도 $x_{2}$와 롤의 각가속도 $x_{4}$, 피치의 각가속도 $x_{6}$, 요의 각가속도 $x_{8}$의 상태를 얻는 관측기를 설계한다. $\xi_{1}$과 $\xi_{2}$에 관한 상태 방정식을 높이 시스템이라고 하고, $\xi_{3}$과 $\xi_{4}$에 관한 상태 방정식을 각도 $\phi$시스템, $\xi_{5}$과 $\xi_{6}$에 관한 상태 방정식을 각도 $\theta$시스템, $\xi_{7}$과 $\xi_{8}$에 관한 상태 방정식을 각도 $\psi$시스템이라고 정의한다. 각 시스템의 제어기들은 독립 상태로, 다른 제어기에 영향을 미치지 않는다. 또한 각 시스템의 행렬 구조가 같기 때문에 높이 시스템의 관측기를 설계하면 같은 방법으로 각도 시스템의 관측기도 설계가 가능하다.

여기서 $\epsilon_{L_{1}}>0$은 관측기의 이득 조절 요소이고, $\epsilon_{K_{1}}>0$은 제어기의 이득 조절 요소이다.

먼저 쿼드로터를 원하는 높이에 호버링하는 높이 제어기를 설계한다. 이 때 $\xi_{1}$의 값은 센서로 받아올 수 있지만 $\xi_{2}$의 값은 알지 못하기 때문에 관측기를 통하여 관측된 상태 $\hat\xi_{2}$를 받아와야 한다. $\xi_{1}$과 $\hat\xi_{2}$를 이용하여 설계한 제어기는 다음과 같다.

식(6)과 같은 방법으로 $\phi$, $\theta$, $\psi$에 관한 제어기들도 설계가 가능하다. 설계한 제어기들을 식(4)에 대입하여 제어입력 $U_{z}$, $U_{\phi}$, $U_{\theta}$, 그리고 $U_{\psi}$에 관한 식으로 정리하면 다음과 같다.

3.2 폐루프 시스템의 안정성 분석

시스템 안정성 분석을 위해 상태 행렬 $\bar{\xi}$을 $\bar{\xi}=[\xi_{1},\:\hat\xi_{2},\:$$\xi_{3},\:\hat\xi_{4,\:}$$\xi_{5},\:\hat\xi_{6},\:\xi_{7},\:\hat\xi_{8}]^{T}$와 같이 정의한다. 여기서 주목 할 점은 $\xi_{1,\:}\xi_{3,\:}\xi_{5,\:}\xi_{7}$은 센서로 부터 측정 가능하고 $\xi_{2},\:\xi_{4},\:\xi_{6},\:\xi_{8}$는 측정 불가능하다. 따라서 정의된 $\bar{\xi}$를 이용하여 제안된 출력 궤환 제어기를 정리하면 다음과 같다.

여기서 $K_{\epsilon_{K}}$와 $L_{\epsilon_{L}}$는 다음과 같다.

식(4)에서 식(8)을 빼면 다음과 같은 식이 된다. 이 때 $e=\xi -\hat\xi$라고 정의한다.

또한, 식(4)와 식(9)를 이용하면 다음과 같은 식이 만들어 진다.

여기서 $\bar{K}_{\epsilon_{K}}$는 다음과 같다.

식(11)과 식(12)를 이용하여 확장된 폐루프 시스템을 만들면 다음과 같다.

확장된 폐루프 시스템이 Hurwitz이면 안정한 시스템이다. 즉 행렬 $A+BK_{\epsilon_{K}}$와 $A+L_{\epsilon_{L}}C$가 Hurwitz가 되면 폐루프 시스템이 안정하다. 여기서 주목할 점은 $A+BK_{\epsilon_{K}}$와 $A+L_{\epsilon_{L}}C$ 행렬의 주 대각 행렬외의 행렬들은 다 영행렬이다. 삼각 행렬의 Hurwitz를 판별할 때 주 대각행렬들이 모두 Hurwitz이면 전체 행렬도 Hurwitz가 된다는 특성을 이용하여 $A+BK_{\epsilon_{K}}$와 $A+L_{\epsilon_{L}}C$ 행렬의 주 대각 행렬들의 특성방정식을 구하면 다음과 같다. 이 때 $(p,\:i,\:j)=(1,\:1,\:2),\:(2,\:3,\:4),\:(3,\:5,\:6),\:(4,\:7,\:8)$ 이다.

식(15),(16)이 Hurwitz한 식이 되기 위해 허용 가능한 제어기 이득 값과 관측기 이득 값의 범위를 Routh-Hurwitz 판별법을 이용하여 구할 수 있다 ⁽¹²⁾. Routh-Hurwitz 판별법은 판별법의 1열 원소가 같은 부호를 가지며, 원소의 어느 하나도 0이 아니면 폐루프 시스템이 안정된다. 즉, 제어기 이득 값이 $k_{1}<0$, $k_{2}<0$, $k_{3}<0$, $k_{4}<0$, $k_{5}<0$, $k_{6}<0$, $k_{7}<0$, $k_{8}<0$이면 안정한 제어기가 되고, 관측기 이득 값이 $l_{1}<0$, $l_{2}<0$, $l_{3}<0$, $l_{4}<0$, $l_{5}<0$, $l_{6}<0$, $l_{7}<0$, $l_{8}<0$면 안정한 관측기가 된다.

본 3장에서는 제어기를 설계하고 안정성 판별법을 이용하여 제어기의 안정성을 확보하였다. 하지만 제어 이득 및 이득 조절 요소의 선택 방법과 변화에 따라서 시스템 성능이 달라질 수 있다. 따라서 다음 4장에서는 제어기 이득, 관측기 이득, 제어기와 관측기의 이득 조절 요소 그리고 시스템의 출력간의 관계를 분석하고, 제어 이득의 변화에 따른 시스템의 출력을 분석한 결과를 이용하여 제어이득 및 이득 조절 요소의 선택 알고리즘을 설계한다.

4.1 제어기 이득과 시스템 출력과의 관계

높이 및 각도 시스템 식의 행렬 구조가 같다. 따라서 높이 시스템을 분석하면 각 각도 시스템에 동일하게 적용 가능하다. 높이 시스템의 출력을 라플라스 변환 시키면 다음과 같다.

식(17)을 $\Xi_{1}(s)$에 관한 식으로 정리하면 다음 식과 같다.

식(18)의 $\Xi_{1}(s)$를 $\xi_{1}(t)$로 만들어 주기 위해서 역 라플라스 변환을 한다. 역 라플라스 변환을 하기 편하게 식을 바꿔주면 다음과 같다. 여기서 $\Xi_{s_{1}}(s)$는 시스템의 출력을 라플라스 변환 시킨 값이고, $\Xi_{d_{1}}(s)$는 외란을 라플라스 변환 시킨 값이다.

여기서 $a,\: b,\: c$ 그리고 $d$는 다음과 같다.

식(19)에서 $k_{2}^{2}/ 4 +k_{1}$의 부호에 따라 역 라플라스의 결과가 달라진다.

따라서 시스템 출력을 얻기 위해 아래와 같이 세 가지 경우로 나누어 계산한다.

(Case 1. $bold\dfrac{k_{2}^{2}}{4}+k_{1}<0$인 경우) : 먼저 시스템 출력 식을 구하기 위해 $\Xi_{s_{1}}(s)$를 역 라플라스 변환 한다.

식(21)을 역 라플라스 한 결과는 다음과 같다.

삼각함수의 합성 공식을 사용하면 식(23)이 된다.

외란에 의한 출력 식을 구하기 위해 $\Xi_{d1}(s)$를 역 라플라스 변환 한다.

여기서 $a,\:b,\:c,\:d$는 (20)과 같다. (25)를 역 라플라스 변환 한 결과는 다음과 같다.

삼각함수의 합성 공식을 사용하여 정리하면 외란 출력 식(27)을 얻을 수 있다.

여기서 $\gamma_{2}$와 $\gamma_{3}$는 다음과 같다.

출력 식 $\bar{y}(t)$$=$$\bar{y}_{s}(t)+\bar{y}_{d}(t)$는 다음과 같다.

(Case 2. $bold\dfrac{k_{2}^{2}}{4}+k_{1}>0$인 경우) : Case 1과 마찬가지로 $\Xi_{s1}(s)$와 $\Xi_{d1}(s)$를 역 라플라스 하여 구한 출력 식$\bar{y}(t)$$=$$\bar{y}_{s}(t)+\bar{y}_{d}(t)$는 다음과 같다.

(Case 3. $bold\dfrac{k_{2}^{2}}{4}+k_{1}=0$인 경우) : Case 1과 마찬가지로 $\Xi_{s1}(s)$와 $\Xi_{d1}(s)$를 역 라플라스 하여 구한 출력 식 $\bar{y}(t)$$=$$\bar{y}_{s}(t)+\bar{y}_{d}(t)$는 다음과 같다.

4.2 관측기 이득과 시스템 출력과의 관계

$x_{1}$은 센서를 통해 값을 받아오기 때문에 $\hat\xi_{1}$사용되지 않고 따라서 $e_{1}(t)$는 출력 식에 영향을 미치지 않는다. 센서로 받아오지 못하는 $\hat\xi_{2}$의 오차 값인 $e_{2}(t)$를 분석하기 위해 식(11)을 라플라스 변환하면 다음과 같다.

식(32),(33)을 연립하여 $E_{2}(s)$에 관한 식으로 정리하면 다음과 같다.

식(34)에서 $\dfrac{l_{1}^{2}}{4}+l_{2}$의 부호에 따라 역 라플라스 변환의 결과가 달라진다. 관측기의 성능 $e_{2}(t)$를 얻기 위해 아래와 같이 세 가지 경우로 나누어 계산한다.

(Case 1. $bold\dfrac{l_{1}^{2}}{4}+l_{2}<0$인 경우) : 식(34)를 역 라플라스 변환 하여 간단하게 표현하면 다음과 같다.

여기서 $a_{1},\: b_{1},\: c_{1}$, 그리고 $\gamma_{4}$는 다음과 같다.

정착시간(settling time)을 줄이기 위해서는 $e$의 지수의 크기인 $|a_{1}|$이 커져야 하고, $a_{1}$이 음수여야 한다. 앞의 안정성 분석에서 $l_{i}$는 모두 음수를 만족하여야 한다고 했기 때문에 $|l_{1}|$이 커지면 된다.

(Case 2. $bold\dfrac{l_{1}^{2}}{4}+l_{2}>0$인 경우) : Case 1과 마찬가지로 역 라플라스 변환 하여 간단하게 표현하면 다음과 같다.

여기서 $a_{2},\: b_{2},\: c_{2},\:$ 그리고 $d_{2}$는 다음과 같다.

정착시간을 줄이기 위해 $|b_{2}|$와 $|d_{2}|$중 작은 수를 커지게 하면 된다. $|b_{2}|$와 $|d_{2}|$중 $|b_{2}|$가 더 작은 숫자이기 때문에 $|b_{2}|$를 키우려면 $\sqrt{\dfrac{l_{1}^{2}}{4}+ l_{2}}$이 0에 가까워지면 된다. 즉 $|l_{1}|$이 작아지거나 $|l_{2}|$가 커지게 된다.

(Case 3. $bold\dfrac{k_{2}^{2}}{4}+k_{1}=0$인 경우) : Case 1과 마찬가지로 역 라플라스 변환 하여 간단하게 표현하면 다음과 같다.

여기서 $a_{3},\: b_{3}$는 다음과 같다.

정착시간을 줄이기 위해 $|b_{3}|$가 커져야 한다. 즉 $|l_{1}|$이 커지면 된다.

4.3 관측기 이득 조절 요소와 제어기 이득 조절 요소의 관계

제어기의 수렴 속도보다 관측기의 수렴 속도가 빨라 관측기의 오차가 제어기에 영향을 미치지 않게 되면 관측기의 오차 값을 생략할 수 있다. 따라서 수렴 속도에 관여하는 지수함수의 지수 값을 비교하여 관측기 식의 지수 값 중 가장 큰 값과 제어기 식의 지수 값 중 가장 작은 값 중 관측기 식의 지수 값이 더 작으면 모든 관측기의 수렴 속도가 모든 제어기의 수렴 속도보다 빠르기 때문에 식(29),(30),(31)에서 $e_{2}(t)$를 생략할 수 있다.

식(35),(37),(39)에서 관측기의 수렴 속도에 관여하는 수식인 $a_{1},\: b_{2},\: d_{2}$ 그리고 $c_{3}$은 다음과 같다. $b_{2}$와 $d_{2}$중 크기가 작은 값이 수렴속도에 관여하기 때문에 크기가 큰 $d_{2}$는 무시한다.

식(29),(30),(31)에서 $e$의 지수 승에 있는 시스템 출력의 수렴 속도에 관여하는 수식은 다음과 같다.

식(42) 중 가장 작은 값보다 식(41) 중 가장 큰 값이 더 작으면 모든 경우의 부등식에서 제어기의 수렴 속도보다 관측기의 수렴 속도가 더 빠르다. 식(42) 중 가장 작은 값과 식(41) 중 가장 큰 값을 비교하면 다음과 같다.

식(43)을 $\epsilon_{L_{1}}$에 관한 식으로 정리하면 다음과 같다.

식(44)와 같이 관측기의 수렴 속도가 제어기의 수렴속도보다 빨라지게 되면 관측기와 제어기의 오차인 시스템 출력의 $e_{2}(t)$값은 아주 작은 값이 되어 시스템의 출력에 크게 영향을 미치지 않는다. 따라서 $e_{2}(t)$를 0으로 근사화 하여 계산할 수 있다. 이를 이용하여 다음 장에서 라플라스 변환을 이용하여 분석한 출력 식을 이용하여 오버슈트, 정착 시간, 최종 수렴범위를 줄이기 위한 이득 값의 변화에 대해 정리하였다. 정리된 이득 값의 변화를 표로 나타내고 제어 이득 값 및 이득 조절 요소 선택 알고리즘을 제안한다.

4.4 제어 이득 값 및 이득조절요소 선택 알고리즘 제안

(Case 1. $bold\dfrac{k_{2}^{2}}{4}+k_{1}<0$인 경우) : 출력 식은 식(29)이다. 이 식을 간단하게 표현하면 다음과 같다.

여기서 $a_{4},\: b_{4},\: c_{4},\: d_{4}$그리고 $e_{4}$는 다음과 같다.

식(46)에서 $a,\: b,\: c,\: d$는 식(20)과 같다. 식(45)에서 오버슈트(Overshoot)는 sine함수가 관여하기 때문에 오버슈트를 줄이기 위해서는 sine 함수의 최댓값인 변수 $b_{4}$와 $d_{4}$의 값이 줄어들어야 한다. 수렴속도는 지수함수가 관여하기 때문에 정착시간을 줄이기 위해서는 지수함수의 변수 $|a_{4}|$의 값이 커지면 된다. 이때 $a_{4}$는 음수여야 한다. 따라서 식(45)의 오버슈트, 정착 시간, 최종 수렴범위를 줄이는 방법은 다음과 같다.

오버슈트 줄이기 : 오버슈트를 줄이기 위해서는 식(45)에서 $b_{4}$와 $d_{4}$의 값을 줄여야 한다. 이때 $\xi_{1}(0)$의 값이 1보다 크면 $k_{2}$의 크기를 줄여야 오버슈트의 크기가 작아지고 $\xi_{1}(0)$의 크기가 1보다 작거나 같으면 $k_{2}$의 크기를 키워야 오버슈트의 크기가 작아진다. 또 다른 방법으로 $k_{1}$의 크기를 키워 $b_{4}$의 크기를 줄일 수 있다. 또한 $\epsilon_{K_1}$이 작아지면 오버슈트를 줄일 수 있다.

정착 시간 줄이기 : 정착 시간을 줄이기 위해서는 $e$의 지수의 크기인 $|a_{4}|$가 커져야 하고, 음수여야 한다. 앞의 안정성 분석에서 $k$는 모두 음수를 만족하여야 한다고 했다. 따라서 $|k_{2}|$가 커지면 된다. 또한 $\epsilon_{K_{1}}$이 작아지면 정착시간을 줄일 수 있다.

최종 수렴범위 줄이기 : 최종 수렴범위는 정상상태일 때의 오차 범위를 나타낸다. 정상상태의 출력을 구하기 위해 최종치정리를 하면 지수함수를 포함한 식은 0으로 수렴하고, 식(45)의 뒷부분 식만 남게 된다. 따라서 $k_{1}$이나 $k_{2}$의 크기가 커지면 최종 수렴범위를 줄일 수 있다.

(Case 2. $bold\dfrac{k_{2}^{2}}{4}+k_{1}>0$인 경우) : 출력 식은 식(30)이다. 이 식을 간단하게 표현하면 다음과 같다.

여기서 $a_{5},\: b_{5},\: c_{5},\: d_{5}$와 $f_{5}$는 다음과 같다.

식(48)에서 $a,\: b,\: c,\: d$는 식(20)과 같다. 식(47)의 오버슈트, 정착 시간, 최종 수렴범위를 줄이는 방법은 다음과 같다.

오버슈트 줄이기 : 오버슈트를 줄이기 위해 $a_{5}$와 $c_{5}$의 값이 작아야 한다. 이때 수식의 앞부분을 보면 $\xi_{1}(0)$의 값이 1보다 크면 $|k_{2}|$를 줄여야 $a_{5}$와 $c_{5}$의 크기가 작아지고 $\xi_{1}(0)$의 값이 1보다 작거나 같으면 $|k_{2}|$를 키워야 $a_{5}$와 $c_{5}$의 크기가 작아진다. 또한 $\xi_{1}(0)$의 크기와 관계없이 $|k_{1}|$을 키우면 $a_{5}$와 $c_{5}$의 크기가 줄어든다. 이러한 점을 고려하여 $x_{d}\le 1$일 때는 $|k_{1}|$또는 $|k_{2}|$를 키우고, $x_{d}>1$일 때는 $|k_{1}|$을 키우거나 $|k_{2}|$를 줄이면 된다. 또한 $\xi_{1}(0)>0$일 때 $\epsilon_{K_{1}}$가 작아지고, $\xi_{1}(0)<0$일 때 $\epsilon_{K_{1}}$가 커지면 오버슈트를 줄일 수 있다.

정착 시간 줄이기 : 식(47)은 지수함수의 덧셈이므로 정착시간은 각 지수함수의 정착시간 중 느린 값을 따라간다. 따라서 정착시간을 줄이기 위해 $|b_{5}|$와 $|d_{5}|$중 작은 값인 $|b_{5}|$의 값이 커져야 한다. $|b_{5}|$가 커지기 위해서는 $\sqrt{k_{2}^{2}/4+k_{1}}$이 0에 가까워지면 된다. $k_{1}$가 $-k_{2}^{2}/4$의 값과 비슷하게 잡으면 된다. 또한 $\epsilon_{K_{1}}$가 작아지면 정착시간을 줄일 수 있다.

최종 수렴범위 줄이기 : 최종 수렴범위는 정상상태일 때의 오차 범위를 나타낸다. 정상상태의 출력을 구하기 위해 최종치정리를 하면 지수함수를 포함한 식은 0으로 수렴하고, 식(47)의 뒷부분 식만 남게 된다. 따라서 $k_{1}$이나 $k_{2}$의 크기가 커지면 최종 수렴범위를 줄일 수 있다.

(Case 3. $bold\dfrac{k_{2}^{2}}{4}+k_{1}=0$인 경우) : 출력 식은 식(31)이다. 이 식을 간단하게 표현하면 다음과 같다.

여기서 $a_{6}$,$b_{6}$그리고 $c_{6}$는 다음과 같다.

오버슈트 줄이기 : 오버슈트를 줄이기 위해서 변수 $a_{6}$의 크기가 작아야 한다. $a_{6}$가 작아지기 위해서 $k_{2}$의 크기가 작아지면 된다. 또한 $\epsilon_{K_{1}}$가 작아지면 오버슈트를 줄일 수 있다.

정착 시간 줄이기 : 정착 시간을 줄이기 위해 $|b_{6}|$가 커져야 한다. 또한 $\epsilon_{K_{1}}$가 작아지면 정착시간을 줄일 수 있다.

최종 수렴범위 줄이기 : 최종 수렴범위는 정상상태일 때의 오차 범위를 나타낸다. 정상상태의 출력을 구하기 위해 최종치정리를 하면 지수함수를 포함한 식은 0으로 수렴하고, 식(49)의 뒷부분 식만 남게 된다. 따라서 $k_{1}$이나 $k_{2}$의 크기가 커지면 최종 수렴범위를 줄일 수 있다.

위의 경우들을 정리하여 표로 나타내면 다음과 같다. 표 1과 표 2는 각각 제어기의 이득 값 선택 방법을 정리한 표와 이득 조절 요소를 선택 하는 방법을 정리한 표이고 표 3은 관측기의 이득 값 조절 방법을 정리한 표이다. 식(44)는 높이 제어기의 $\epsilon_{K_{1}}$과 $\epsilon_{L_{1}}$의 관계를 나타내는 식이다. 이 식을 높이 제어기뿐만 아니라 롤($\phi$), 피치($\theta$), 요($\psi$) 제어기에도 적용할 수 있게 식을 정리하면 다음과 같다.

이 때 $(p,\:i,\:j)=(1,\:1,\:2),\:(2,\:3,\:4),\:(3,\:5,\:6),\:(4,\:7,\:8)$이다.

특성 방정식과 폐루프 시스템이 Hurwitz가 되는 식을 이용하여 이득 값을 설정하는 방법을 극 배치 기법이라고 한다. 극 배치 기법을 이용하여 이득 값을 설정하기 위해 특성방정식을 구하면 다음과 같다. 이 때 특성방정식의 근을 $\lambda_{i}=(-a_{i},\: -b_{i})$라고 가정한다.

이렇게 구한 식(52)를 식(15)와 비교하면 $k_{i}$의 값이 $-a_{i}b_{i}$이고, $k_{j}$의 값이 $-(a_{i}+b_{i})$인 것을 알 수 있다. 이와 같은 방법으로 식(16)과 식(52)를 이용하여 $l_{i}$의 값이 $-a_{i}b_{i}$이고, $l_{j}$의 값이 $-a_{i}b_{i}$인 것을 알 수 있다. 또한 이득 값을 이용하여 출력성능을 조절하기 위한 순서도는 그림 1와 같다.