2.1 대상 시스템 및 외란 정의

본 논문에서는 그림 1과 같은 SMIB 시스템을 고려한다. 이 시스템은 충분한 발전량과 부하량을 가지며 이 시스템의 무한 모선 전압은 크기가 일정하고 위상이 0이다⁽³⁾.

위 시스템의 동기 탈조 해석은 선로 고장과 같은 외란에 대한 동기화 여부를 파악하는 것으로 동요방정식을 통해 해석이 가능하다. 고장으로 인한 동요 현상 이후 계통의 전력 위상차가 새로운 평형점으로 수렴하는 것을 표현하는 일반적인 동요방정식을 아래 식과 같이 쓸 수 있다⁽¹⁾.

위 식의 $\delta$는 측정 가능한 전력각, $\omega_{\triangle}$은 전력 각속도, $\omega_{0}$는 동기 각속도, $J$는 관성 모멘트, $P_{m}$은 기계적 입력, $P_{e}$는 전기적 출력, $P_{d}$는 고장으로 인한 외란이고 $D$는 제동권선 계수이다. 식(1)에서 전기적 출력 $P_{e}$는 아래 식과 같다⁽²⁾.

식(2)의 $X$는 발전기 내부모선과 무한모선 간의 리액턴스, $E$는 발전기 내부 유기기전력, $V$는 무한모선 전압이다. 계통이 정상적인 평형운전 중에는 발전기의 기계적 출력 $P_{m}$과 전기적 출력 $P_{e}$가 평형을 이루고 있다.

선로 고장이 발생하면 발전기 내부모선과 무한모선 간의 리액턴스 $X$가 변하게 되며 고장 위치에 따라 그 값이 달라진다. 발전기 내부모선에서 고장 지점까지의 거리를 $\lambda$라고 정의할 때, 고장 후의 리액턴스 $X_{post}$는 아래와 같이 구할 수 있다⁽¹⁾. 단, $0\le\lambda\le 1$이다.

위 식에서 $X_{L1}$는 건전선로 리액턴스, $X_{L2}$는 고장선로의 리액턴스, $X_{s}$는 $d$축 과도 리액턴스이다. 고장 전후의 무한모선 전압 $V$와 유기기전력 $E$가 동일하다고 가정하면 $d$가 상수일 때 외란 $P_{d}$는 아래와 같다.

선로 고장으로 인한 식(2)의 $P_{\max}$ 변화량을 외란 $d$로 가정하면 PI 관측기를 통해 이를 추정할 수 있다. 고장 전의 리액턴스를 $X_{pre}$라고 정의하면 외란 $d$는 아래와 같이 쓸 수 있다.

논문 ⁽¹⁶⁾에서는 식(1)에 불확실성이 존재하지 않을 때 외란 $d$를 추정하여 이를 이용한 동기 탈조 판별 방법을 제안하였다. SMIB 계통에서 선로 고장 지점이 발전소에 인접할수록 $d$가 커지고 Critical Clearing Time (CCT)이 작아지므로 이러한 관계를 이용하면 PI 관측기가 추정한 외란으로 동기 탈조 여부를 기존 방법에 비해 빠르게 예측할 수 있다⁽¹⁶⁾.

하지만 실제 시스템은 다양한 불확실성에 의해 공칭 모델 (1)과 다를 수 있고 이때 식(1)에 기반한 관측기로 추정된 외란은 식(5)가 의미하는 값과는 다른 값을 추정하게 되므로 정확한 동기 탈조 판별에 활용되기 어렵다.

식(1)과 같이 근사화된 모델의 동특성은 선로 고장과 같은 큰 외란이 발생할 경우 실제 계통의 동특성과 달라질 수 있으므로 이런 차이를 고려하기 위해 논문 ⁽⁶⁾은 아래와 같은 개선된 동요 방정식을 제안하였다.

위 식에서 $D_{1}$은 마찰 계수, $D_{2}$는 식(1)의 $D$에 해당하는 제동권선 계수이다. 이후 수식에서는 일반적인 동요 방정식에서도 $D$ 대신 $D_{2}$로 통일하여 쓴다.

본 논문에서는 식(6)의 지배를 받는 SMIB 시스템 모델을 대상으로 식(6)의 구조 및 파라미터를 모른다고 가정하고 식(1)에 기반한 PI 관측기를 통해 식(5)의 실제 외란을 근사적으로 추정하기 위한 방법을 제안한다. 제안하는 방법은 두 단계로 구성되고 첫 단계는 파라미터 불확실성에 무관하게 정상운전 중인 평형상태에서의 추정이다. 두 번째 단계는 발전기 운전 상황 변화에 따른 과도상태에서 진행되는 불확실한 파라미터 추정이다.

논문의 이후 내용에서 소개할 단계별 성능 개선 기법을 아래 그림과 같이 설명할 수 있다. 업데이트된 관측기를 1기 무한모선 시스템에 적용하여 추정된 외란은 차후 동기 탈조를 판별하는 알고리즘에 적용될 수 있다.

다음 절에서는 두 모델 식(1)과 (6)의 차이에 의한 등가 외란을 파악하고 두 방정식의 차이로 인한 모델 불확실성을 정상상태에서 추정하는 방법을 설명한다.

2.2 모델 불확실성을 고려한 PI 관측기

식(1)을 기반으로 PI 관측기를 설계하기 위해 아래 식을 고려한다.

위 식은 추정해야할 식(5)의 외란 $d$ 대신 실제 시스템 (6)과 식(1)의 차이인 등가외란을 포함하기 때문에 식(1)과 다르다. 즉, 위 식의 $d_{e}$는 모델 불확실성을 포함한 등가 외란이다.

식(7)을 기반으로 설계한 PI 관측기는 아래 식과 같고 관측기가 잘 동작할 때 추정되는 외란 $\hat d_{e}$은 식(1)과 식(6)의 차이이다. 아래 식에서 $l_{1},\: l_{2},\: l_{3}$는 관측 이득이다.

식(7)과 (8)로부터 관측 오차 시스템은 아래와 같다. 단, $\left[\tilde{\delta}, \tilde{\omega}_{\Delta}, \tilde{d}_{e}\right]=\left[\delta-\hat{\delta}, \omega_{\Delta}-\hat{\omega}_{\Delta}, d_{e}-\hat{d}_{e}\right]$이다.

평형점 $\delta_{0}$에서의 관측 오차 시스템 행렬 $A_{L}$은 아래와 같다.

PI 관측기 (8)이 상태를 잘 추정하기 위해서는 행렬 $A_{L}$이 안정해야 하므로 특성 방정식을 구하면 아래와 같다.

$\alpha =\sin\delta_{0}$일 때 식(11)이 안정하려면 Routh-Hurwitz 판별법에 의해 아래 조건들이 만족되어야한다.

위 식에서 $\delta_{0}$가 $\delta_{0}\in\{\theta | 0 <\theta <\pi\}$이면, 시스템 행렬 $A_{L}$을 점근적으로 안정하도록 하는 관측 이득 $l_{1},\: l_{2},\: l_{3}$을 항상 찾을 수 있다.

관측기 (8)이 추정한 $\hat d_{e}$은 대상 시스템 (6)의 외란 $d$와 모델 불확실성을 포함한다. 이를 이해하기 위해 식(6)과 (7)의 차이를 계산하면 아래 식을 얻을 수 있다.

위 식을 통해 등가 외란에 포함된 추가적인 불확실성 요소를 확인할 수 있다.

전력 계통이 정상적인 평형상태에서 운전 중이라면 $d=0$, $\delta =\delta_{0}$, $\omega_{\Delta}=0$, $\dot\omega_{\Delta}=0$이므로 식(13)으로부터 아래 식을 얻을 수 있다.

식(6)은 알 수 없다고 가정하므로 식(14)의 등가외란 식을 직접 사용하지는 않지만 위의 성질로부터 본 논문에서는 등가외란 $d_{e}$를 아래와 같이 평형 운전시에 나타나는 $d_{e0}$항과 선로 고장과 같이 발전기 운전 상황 변화에 따른 과도상태에서 나타나는 나머지 $d_{e1}$항으로 구분하여 추정에 활용한다. 이때 주목할 점은 정상적인 평형상태에서 나타나는 추정 외란에는 파라미터 $J$ 및 $D_{2}$의 영향은 나타나지 않는 것이다.

위 식에서 고장과 무관한 정상운전 평형상태에서 관측기로 추정된 $d_{e0}$을 분리하고 $\sin\delta_{0}$를 곱해서 식(7)에 추가하고 다시 쓰면 아래 식과 같다. 단, $\triangle =:d_{e0}\sin\delta_{0}$로 정의한다.

식(16)을 기반으로 설계한 PI 관측기는 아래와 같다.

위 식이 추정하는 $\hat d_{e1}$은 평형 운전 시 나타나는 모델 불확실성이 제거된 등가 외란의 일부이다.

다음 절에서는 $\triangle$항이 추가된 식(16)에 파라미터 불확실성이 존재할 때 관측기의 성능 개선을 위해 RLS 기법을 이용하여 파라미터를 추정하는 방법을 설명한다.

2.3 파라미터 불확실성을 고려한 PI 관측기

파라미터 불확실성을 고려한 일반적인 동요 방정식은 아래와 같다. 단, $\bar{J},\:\bar{D}_{2}$는 공칭 파라미터이다.

위 식의 $d_{e1}$은 식(16)의 $d_{e1}$과 달리 파라미터 불확실성을 포함하고 있음에 유의한다. 한편 파라미터 불확실성이 앞 절에서 $\triangle$를 정할 때는 영향을 주지 않으므로 앞 절에서 얻은 $\triangle$는 여전히 활용할 수 있다. 위 식을 기반으로 설계한 PI 관측기는 아래와 같다.

이제 파라미터 $J ,\: D_{2}$를 추정하기 위해 식(18) 대신 식(16)을 아래와 같이 정리한다.

위 식의 $d_{e1},\: J ,\: D_{2}$는 미지수이다. RLS 기법을 이용하기 위해 위 식이 $S =AX$가 되도록 벡터 $S,\: A,\: X$를 아래와 같이 설정한다. 단, $S,\: A$의 $\omega_{\Delta},\:\dot\omega_{\Delta}$은 PI 관측기 (19)의 추정치를 사용한다.

미지의 값 $X$를 RLS 기법으로 추정하기 위해 다음의 비용함수를 정의한다⁽²¹⁾. 단, $N$은 총 데이터 수, $e$는 파라미터 추정 오차이다.

$\hat X$이 $X$에 수렴할수록 $e$는 0에 수렴하므로 이후 모의실험에서 $e$를 파라미터 업데이트 기준으로 활용한다. $J_{\cos t}$를 최소화하는 $\hat X$을 구하기 위해 식(22)를 $\hat X$에 대해 편미분하여 0이 되도록 하는 $\hat X$을 구하면 아래와 같다⁽²¹⁾.

위 식의 $ S,\:A$는 $S,\: A$의 데이터를 모아서 표현한 벡터이다.

식(23)을 보면 행렬 $A^{T}A$의 역행렬이 존재할 때 $\hat X$을 추정할 수 있음을 알 수 있다. 만일 계통이 평형 운전하여 $\dot{\hat{\omega_{\Delta}}},\:\hat{\omega_{\Delta}}$이 0이면 $ A^{T} A$행렬의 역행렬이 존재하지 않기 때문에 $X$를 추정할 수 없다. 따라서 $\hat X$은 발전기 운전 계획에 따라 계통 운전 환경이 바뀔 때 추정할 수 있다.

식(23)을 온라인 추정에 용이한 재귀적인 형태로 변환하면 아래 식과 같다⁽²¹⁾.

위 식에서 $\lambda_{f}(0\le\lambda_{f}\le 1)$는 망각인자, $K$는 이득 행렬, $P$는 공분산 행렬이다. 위 알고리즘으로 $\hat J ,\:\hat D_{2}$을 매 스텝마다 추정하며 $e$가 충분히 작다면 추정한 $\hat J ,\:\hat D_{2}$을 PI 관측기 (19)에 업데이트 할 수 있다. 본 논문에서 제안하는 관측기는 (19)식에서 $\bar{J},\:\bar{D}_{2}$를 $\hat J ,\:\hat D_{2}$으로 업데이트한 이후의 관측기이다.

다음 절에서는 제안하는 PI 관측기 개선 기법의 성능을 확인하기 위한 모의실험을 진행한다.

2.4 모의실험

모의실험은 두 단계로 나누어 진행된다. 첫 단계는 모델 불확실성을 추정 후 보상하며 두 번째 단계는 파라미터를 추정하여 보상한다. 이를 순서도로 나타내면 아래 그림과 같다.

모의실험은 두 단계로 나누어 진행된다. 첫 단계는 모델 불확실성을 추정 후 보상하며 두 번째 단계는 파라미터를 추정하여 보상한다. 이를 순서도로 나타내면 아래 그림과 같다.

우선 평형 운전 중 논문 ⁽¹⁶⁾의 PI 관측기를 대상 시스템 (6)에 적용한 모의실험 결과는 그림 4와 같다. 모델 및 파라미터 불확실성으로 인해 PI 관측기의 외란 추정 성능이 만족스럽지 않음을 보여준다. 이때 추정된 외란 $\hat d_{e0}= -21.807[{k W}]$이므로 모델 불확실성 $\triangle = -1.0659\times 10^{4}$를 관측기 식에 보상한다.

첫 단계로 얻어진 $\triangle$를 PI 관측기에 보상하면 그림 5와 같은 추정 결과를 얻을 수 있다. 그림 5의 결과를 보면 $\triangle$를 보상한 PI 관측기 (19)의 등가 외란 추정 성능이 개선되었으나 파라미터 불확실성으로 인해 과도 성능에 한계가 있음을 확인할 수 있다.

그림 6은 이때 PI 관측기의 상태 추정 결과를 나타낸다. 대상 시스템 (6)의 실제 상태 값을 매우 유사하게 추정함으로써 추가적인 미분기의 도움 없이 RLS 알고리즘 (21)에 관측기 (19)의 추정치가 사용 가능함을 확인할 수 있다.

그림 7은 대상 시스템 (6)의 실제 상태와 PI 관측기 (19)의 추정 상태를 식(21)에 각각 적용하여 RLS 알고리즘 (24)의 파라미터 추정 성능을 확인한 결과이다. 시스템에 변화가 발생한 15초부터 추정이 시작되어 두 결과 모두 참값을 잘 추정하고 있음을 볼 수 있다. 이때, 망각 인자 $\lambda_{f}=0.9865$이다. 추정한 파라미터 $\hat J =549.3223,\:$ $\hat D_{2}=94.3256$이므로 추정 오차율은 각각 약 0.12% 및 0.71%이다. 이때 추정 오차율의 정의는 아래 식과 같다.

다음으로 추정된 $\hat J ,\:\hat D_{2}$으로 PI 관측기 (19)의 $\bar{J},\:\bar{D}_{2}$를 업데이트 한다. 최종적으로 그림 8은 업데이트된 PI 관측기의 외란 추정 결과를 보여주며 그림 4와 비교할 때 제안하는 방법을 통한 추정 성능의 개선을 분명하게 볼 수 있다. 이때 $\hat d_{e1}$ 추정 오차율은 약 0.084%이므로 매우 정확함을 알 수 있다.