2.1 종방향 차량 동역학

본 장에서는 군집 주행에서 차간 거리 제어를 위한 차량의 종방향 동역학을 정의한다. 차량의 종방향 동역학 모델은 차량의 요구 가속도($a_{{d},\:i}$)를 입력 신호로 하고, 차량의 실제 위치($x_{i}$)를 출력 신호로 본다. 차량의 요구 가속도($a_{{d},\:i}$)로부터 차량의 실제 가속도($a_{i}$)까지를 시상수 $\tau_{i}$와 분자의 상수항 $m_{i}$를 갖는 1차 시스템으로 가정하면, 최종 종방향 동역학 모델은 가속도($a_{i}$)를 2번 적분하여 위치($x_{i}$)를 구한 다음과 같은 3차 시스템이 된다. 여기에서 아랫첨자 $i$는 군집 주행에 참여하는 차량 중 앞에서 $i$번째 위치한 차량임을 의미한다.

군집 주행에 참여하는 각각의 차량마다 모델이 다르고 그 모델을 정확히 알 수 없기 때문에, 식 (1)과 같이 주어진 차량 동역학 모델에서 $i$마다 $\tau_{i}$와 $m_{i}$는 각기 다를 수 있으며, 이 값들을 정확히 알 수 없다. 식 (1)과 같은 종방향 차량 동역학 모델은 군집 주행과 CACC 또는 ACC의 상위 제어기 입장에서 널리 사용하는 모델이며^(4,5,8), 본 논문에서는 모델의 각 파라미터에 불확실성이 있음을 추가로 가정하였다.

2.2 력 적응형 순항 제어 (CACC)

그림. 1. 군집 주행과 CACC 제어기

Fig. 1. CACC-equipped vehicle platoon

군집 주행의 차간 거리 제어를 하기 위해 사용하는 가장 대표적인 제어기가 바로 CACC이며, 이는 기존의 ACC에 비하여, 전방 차량으로부터 V2V 통신을 통해 정보를 받아서 이를 제어에 활용한다는 점이 차이점이라 할 수 있다. 즉, $i$번째 차량은 전방에 위치한 ($i-1$)번째 차량으로부터 요구 가속도($a_{{d},\:i-1}$) 정보를 받고 이를 피드포워드 제어에 사용한다. 이를 설명하기 위해, 그림 1과 같이 대열을 이루어 주행하는 경우를 생각해 본다. 그림 1에서 $x_{i}$는 $i$번째 차량의 위치를 의미하며, 이런 상황에서 군집 주행의 목표는 차량 간 거리를 일정한 거리로 짧게 유지하는 것으로, 다음과 같이 정의된 거리 오차를 0으로 만드는 것이 제어의 목적이 된다.

여기에서 $h$는 차간 거리의 목표 시간차(time-gap)이며, 결국 식 (2)는 차간 거리($x_{i-1}-x_{i}$)가 차속($\dot x_{i}$)에 목표 시간차($h$)를 곱한 것만큼 유지하도록 함을 의미한다.

위치 $x_{i}$의 미분인 속도를 $v_{i}=\dot x_{i}$로 나타내고, 속도의 미분인 가속도를 $a_{i}=\dot v_{i}=\ddot x_{i}$로 표기하면, 식 (2)를 달성하기 위한 CACC 제어기는 거리 오차($x_{i-1}-x_{i}-hv_{i}$)와 속도 오차($v_{i-1}-v_{i}$)에 피드백 제어 이득을 각각 곱하고, V2V 통신을 통해 받은 전방 차량의 요구 가속도($a_{{d},\:i-1}$)에 피드포워드 제어 이득을 곱하여 얻을 수 있다^(5,8).

여기에서 계산하여 얻은 요구 가속도 $a_{{d},\:i}$는 $i$번째 차량의 최종 제어 입력($u_{i}$)이 된다.

2.3 개별 차량 안정성 (individual vehicle stability)

이번 장에서는 군집 주행에 참여하는 차량들의 동역학 모델이 동일하다고 가정하고 개별 차량의 안정성을 보장하기 위한 조건을 살펴본다. 차량들의 동역학 모델이 동일해서, 모든 $i$에 대하여

로 쓸 수 있다고 가정하자. 그러면 라플라스(Laplace) 변환을 활용하여 식 (3)을 다음과 같이 쓸 수 있다. (해당 소문자 신호의 라플라스 변환을 알파벳 대문자로 쓰고, 간략히 쓰기 위해 $s$는 생략하였다.)

이를 정리하면, 다음과 같이 $i$에 의존하지 않는 전후방 차량 간의 입력 신호에 대한 전달 함수 $\Gamma(s)$를 얻을 수 있다.

이로부터 $u_{i-1}$에서 $e_{x,\:i}$까지의 전달 함수 $G(s)$를 다음과 같이 계산할 수 있으며, $G(s)$ 역시 $i$에 의존하지 않는다.

전달 함수 $G(s)$가 안정하기 위한 조건은, $\Gamma(s)$의 분모인

가 Hurwitz한 것이다. 즉, $D_{\Gamma}(s)$가 Hurwitz해야, 전달 함수 $G(s)$가 안정하며, $u_{i-1}\equiv 0$에 대하여 $e_{x, i} \rightarrow 0$로 수렴한다.

개별 차량의 안정성이 보장되기 위해서는 $\ddot{x}_{i-1} \rightarrow 0$일 때, $e_{x, i} \rightarrow 0$이 성립하여야 하는데⁽⁴⁾,

의 관계가 성립하기 때문에 $a_{i-1}=\ddot{x}_{i-1} \rightarrow 0$인 경우 $u_{i-1}=a_{\mathrm{d}, i-1} \rightarrow 0$를 만족하고, 이 경우 $G(s)$가 안정하다면 $e_{x, i} \rightarrow 0$가 성립한다. 결과적으로, 군집 주행에 참여하는 차량의 동역학이 식 (4)와 같이 모두 동일한 경우, 식 (8)의 $D_{\Gamma}(s)$를 Hurwitz하도록 $k_{p},\: k_{d}$를 설계하면, 개별 차량의 안정성을 확보할 수 있다.

2.4 대열 안정성

대열 안정성은 식 (2)와 같이 정의된 거리 오차 $e_{x,\:i}$가 군집의 대열 후방으로 갈 때, 즉, $i$가 증가할 때, 그 크기가 증폭되지 않음을 의미한다. 이는 다음 식 (10)과 같이 대열의 후방으로 전파되는 거리 오차의 상대적인 크기 또는 거리 오차의 비율에 대한 식으로 나타낼 수 있으며,

다음과 같은 거리 오차의 비율에 관한 전달 함수를 생각하여 표현할 수도 있다.

전달 함수 $H_{i}(s)$를 계산하기 위해서, 2.3장과 마찬가지로 군집에 참여하는 모든 차량들의 모델에 불확실성이 없고 동일한 동역학을 가져서 식 (4)와 같이 표현되는 경우를 고려하자. 그러면, $H_{i}(s)$는 다음 계산 과정에서 알 수 있듯이 $i$에 의존하지 않고, 식 (6)에서 정의한 $\Gamma(s)$와 일치한다.

대열 안정성은 $H_{i}(s)$의 크기가 항상 1보다 작아야 함을 의미하므로, 다음 조건이 성립하면 대열 안정하게 된다.

식 (6)과 같이 주어진 $\Gamma(s)$에 대해, 모든 주파수 $\omega$에서 다음 식 (14)가 성립하도록 하는 $k_{FF},\: k_{p},\: k_{d}$를 설계하면 대열 안정한 제어기 (3)을 얻을 수 있다.

위의 식은 앞서 가정한 것처럼 모든 차량이 식 (4)와 같이 동일한 모델일 때, 대열 안정성을 확보하기 위한 조건이다. 본 논문에서는 식 (4)가 성립하지 않고, 더욱이 그 파라미터 $\tau_{i}$와 $m_{i}$의 값들이 불확실한 경우에 다음 장에서 설명할 외란 관측기를 추가하여 식 (4)와 근사한 성질을 갖도록 만들어줄 것이다. 그에 따라 대열 안정성을 나타내는 식 (10)의 성질을 식 (3)의 CACC 제어를 이용하여 여전히 유효하게 만들 수 있음을 보여줄 것이다.

2.5 외란 관측기의 공칭 성능 복원

그림. 2. 외란 관측기 기반의 제어기

Fig. 2. Disturbance observer based control system

그림. 3. 외란 관측기의 공칭 성능 복원

Fig. 3. Nominal performance recovery of disturbance observer

외란 관측기는 그림 2의 빨간색 점선과 같은 구조를 갖는 제어기로, 외란 관측기의 입출력 신호 간의 관계를 다음과 같이 정리할 수 있다⁽¹⁴⁾.

여기에서 저주파 통과 필터로 설계되는 Q-필터(그림 2에서 $Q(s)$)를 차단 주파수가 매우 커서 모든 $\omega$에 대하여

이 되게 만들어주고 이를 식 (15)에 대입하면, 그림 2와 같은 외란 관측기 기반의 제어 시스템은

처럼 동작함을 알 수 있다. 이는 그림 2의 외란 관측기 부분의 입출력($u_{r}$, $y$) 관계가 $P_{{n}}(s)$으로 표기된 공칭 시스템과 유사하게 동작함을 의미한다. 즉, 식 (17)에서 확인할 수 있는 것처럼 그림 2의 외란 관측기 기반 제어 시스템은 그림 3의 공칭 시스템처럼 행동하게 되고, 이를 외란 관측기의 공칭 성능 복원 성질이라 한다⁽¹³⁾.

2.6 외란 관측기 기반의 강인 CACC 제어기

본 장에서는 외란 관측기를 활용하여 모델 불확실성에 강인한 CACC 제어기의 구조를 제안한다. 여기서 제안하는 제어기의 핵심은 군집에 참여하는 모든 차량 $i$에 대해 동일한 공칭 모델 $P_{{n}}(s)$을 사용하는 것이다. 공칭 모델 $P_{{n}}(s)$은 공칭 시상수 $\tau_{{n}}$과 공칭 분자 상수 $m_{{n}}$을 갖는 3차 시스템

으로 모든 차량의 외란 관측기에서 동일하게 사용된다. 즉, 그림 2의 $P_{{n}}Q^{-1}(s)$ 블록에서 $P_{{n}}(s)$ 모델이 $i$에 따라 달라지지 않고 같다는 것이다. 그러면, 2.5장에서 살펴본 외란 관측기의 공칭 성능 복원의 성질에 의해, 식 (1)과 같이 주어진 불확실한 시스템 $P_{i}(s)$가 모든 $i$에 대해 공칭 시스템 $P_{{n}}(s)$에 근사될 것이다.

그림. 4. 외란 관측기 기반의 강인한 CACC 제어기

Fig. 4. Disturbance observer based robust CACC

외부 제어기, 즉, 그림 2의 $C(s)$는 2.2장의 식 (3)과 같은CACC로 설계하여 동일한 차량 모델의 군집 주행에서 개별 차량의 안정성뿐만 아니라, 대열 안정성을 확보할 수 있도록 한다. 결과적으로, 본 논문에서 제안하는 제어기는 그림 2와 같은 구조에서, $C(s)$는 식 (3)과 같은 CACC로, 외란 관측기의 $Q(s)$는 식 (16)의 성질을 갖는 저주파 통과 필터로, $P_{{n}}(s)$은 식 (18)로 모든 $i$에 대해 동일하게 설계하는 것이며, 최종적으로 그림 4와 같은 제어기가 된다. 그림 4에서 외부 제어기를 두 부분으로 나누어 표기하였는데, ‘FF’는 식 (3)의 피드포워드 제어기($k_{FF}a_{{d},\:i-1}$)를 나타내는 것이고, ‘PD’는 거리 오차와 속도 오차에 의한 피드백 제어기($k_{p}(x_{i-1}-x_{i}-hv_{i})+k_{d}(v_{i-1}-v_{i})$)를 나타내고 있다. 피드백 제어기에서 속도($v_{i}$, $v_{i-1}$) 값들은, 기본적인 PD 제어기처럼 위치($x_{i}$, $x_{i-1}$)를 미분하여 사용할 수도 있으나, 차량에서는 일반적으로 센서에 의해 속도 값이 측정되므로 센서에 의해 측정된 값을 직접 쓴다. 또한, 거리 오차에서 사용되는 전방 차량과의 거리($x_{i-1}-x_{i}$)도 전방 차량으로부터 위치 정보($x_{i-1}$)를 받아서 활용하는 것보다, 레이더와 같은 차량의 센서에서 측정한 값을 바로 사용하는 것이 실용적으로는 좋은 방법이다.