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  1. (Dept. of Mechanical Engineering, Myongji University, Korea)



RBF Neural Network, Supervisory Control, System Uncertainty, Robust Control, Sliding Mode Control

1. 서 론

제어대상 시스템에 일반적으로 존재하는 비선형성과 외란과 같은 불확실성은 제어기 구성 및 설계문제를 어렵게 만드는 주요 원인 중 하나이다. 이에 대응하기 위해 다양한 제어이론 연구가 활발하게 진행되고 있으며 그 중 대표적으로 적응제어 (1,2), 외란 관측기 기반 제어 (3,4), 슬라이딩 모드 제어 (5-8) 등을 언급할 수 있다.

한편 인공 신경망 중의 하나인 RBF 신경망 (Radial Basis Function Neural Network)을 적절히 학습시키면 다층 퍼셉트론 (Multi-Layer Perceptron) 신경망에 비해 비교적 간단하게 임의의 비선형 함수를 근사할 수 있으므로 (9), RBF 신경망을 제어기 설계에 활용하기 위한 연구가 기계 학습 분야의 발전과 더불어 최근에도 활발하게 진행되고 있다 (10-14). 그 중 로봇과 같은 기계 시스템을 대상으로 한 슬라이딩 모드 제어기와 결합한 연구를 쉽게 찾을 수 있다.

본 논문에서는 모델의 불확실성과 외란이 동시에 존재하는 2차 시스템을 대상으로 RBF 신경망을 이용한 관리 제어기 (Supervisory Controller) 설계 방법을 제안한다. 기존 RBF 신경망 관리제어기의 제어 성능을 향상시키기 위한 방법으로 슬라이딩 모드 제어 기법을 결합한 설계 방법을 고안한다. 관리제어 방법과 슬라이딩 모드 제어 기법을 결합하여 피드백 제어기 설계에 필요한 모델 정보에 대한 의존성을 줄일 수 있다. RBF 신경망 관리제어기의 입력이 초기 제어 단계에서 신경망 파라미터의 과도한 변화로 요동하는 것을 막는 방편으로 본 논문은 슬라이딩 모드 제어기의 정상상태 성분 일부를 활용한다. 이를 슬라이딩 모드 제어기 쪽에 적용하면 제어식에서 스위칭 이득이 지나치게 커서 채터링이 심해지는 문제를 막는 방법으로 RBF 신경망을 활용할 수 있음을 의미한다. RBF 신경망 파라미터 업데이트는 간단한 PD-제어기와 슬라이밍 모드 제어기와 결합한 신경망 제어기의 오차 함수에 경사 하강법을 적용해 결정한다.

제안하는 제어기의 성능 확인을 위한 모의실험으로 공장 자동화시 조립 라인에 다용되는 평행 인덱스 기구의 구동에 적합한 모터의 속도 제어 문제와 외란이 존재하는 역진자 시스템의 각도 제어 문제를 다루었다. 제어기들을 디지털 제어기로 구현함으로써 실제 환경에서의 적용 가능성을 함께 테스트하였다. 실험 결과로부터 외란과 시스템 불확실성에 대한 강인성과 기존 방법에 비해 제안하는 방법의 성능 향상을 확인할 수 있다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2.1절에서는 시스템 모델과 논문에서 다루는 제어 문제를 정의하고 2.2절은 RBF 신경망 관리제어 방법을 설명한다. 2.3절에서 미지의 모델에 대한 슬라이딩 제어 방법을 설명하고, 2.4절에서는 두 제어기법을 결합한 새로운 제어기를 제안한다. 3장 모의실험에서는 직류 전동기를 사용한 인덱스 기구의 속도 제어 문제와 역진자 각도 추종 제어 문제를 통해 제안하는 방법의 성능 향상을 확인한다. 마지막 4장은 결론이다.

2. RBF 신경망 제어기 설계

2.1 제어 대상 시스템과 문제 정의

본 논문에서는 아래와 같이 표현된 플랜트에 대한 RBF (Radial Basis Function) 신경망 제어기 설계 문제를 다룬다.

(1)
$\dot x_{1}= x_{2}$, $\dot x_{2}= f(x)+ g(x)(u + d)$, $y = x_{1}$.

위 식에서 상태 $x =[x_{1}x_{2}]^{T}\in{R}^{2}$, 입력 $u \in{R}$, 출력 $y \in{R}$이고, 외란 $d \in{R}$와 동특성을 좌우하는 $f(x)$ 및 $g(x)$는 미지의 함수이다.

제어 목표는 두 번 이상 미분 가능한 기준 신호 $y_{d}$를 시스템 출력이 추종하는 것이다. 만약 외란이 없고 $f(x)$와 $g(x)$를 정확하게 안다면 아래와 같은 이상적인 제어 입력을 통해 제어 목표를 달성할 수 있다.

(2)
$u^{*}=\dfrac{1}{g(x)}\left[-f(x)+\ddot y_{d}+ K E\right]$.

위 식에서 $K =[k_{p} k_{d}]$, $E =[e\dot e]^{T}$이고 $e = y_{d}- y$ 이다.

식 (1)식 (2)를 인가하면 아래와 같은 오차에 관한 미분 방정식을 얻을 수 있으므로 두 양수 $k_{p}$ 및 $k_{d}$에 의해 결정되는 특성방정식의 근에 따라 오차는 0으로 수렴하게 된다.

(3)
$\ddot e + k_{d}\dot e + k_{p}e = 0$.

그러나, 현실적으로 존재하는 모델의 불확실성과 외란 하에서도 제어 목표를 달성하기 위한 방법으로 다음 절에서는 그림 1의 RBF NN (Radial Basis Function Neural Network) 기반 관리 제어 (Supervisory Control) 시스템을 소개한다 (10).

그림. 1. RBF 관리 제어 시스템

Fig. 1. RBF supervisory control system

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig1.png

2.2 RBF 신경망 제어기

모델 불확실성과 외란에 강인한 제어 방법으로 우선 그림 1의 RBF 신경망 기반 제어 시스템을 소개한다. 제어기 출력 $u_{p}$와 RBF NN에 의한 $u_{n}$을 결합함으로써 오차 $e$를 0으로 만들기 위한 제어 입력 $u$를 생성한다. 이때 RBF NN으로 근사하고자 하는 대상은 시변 $y_{d}$ 혹은 외란과 같은 불확실성으로 인해 입력 $u_{p}$가 발생시킬 수 있는 제어 오차를 없애기 위한 전향보상 함수이다.

그림 1의 관리 제어기 입력 $u$와 RBF NN 블록의 출력인 $u_{n}$은 아래 식으로 표현된다.

(4)
$u = u_{p}+ u_{n}$.

(5)
$u_{n}= h_{1}w_{1}+ h_{2}w_{2}+\cdots + h_{m}w_{m}=: w^{T}h$.

위 식에서 $h_{j}(·)$는 아래 식 (6)과 같이 표현되는 가우스 함수이고 $w_{j}$는 각 $h_{j}$에 대한 가중치 (weight)이다. RBF NN으로 근사하고자 하는 이상적인 함수와의 오차는 가우스 함수의 개수 $m$이 증가할수록 임의로 줄일 수 있음이 알려져 있다 (10).

(6)
$h_{j}(y_{d})=\exp\left(-\dfrac{\Vert y_{d}- c_{j}\Vert^{2}}{2b_{j}^{2}}\right)$.

위 식에서 $c_{j}$는 가우스 함수의 중심 (center)이라 불리고, $b_{j}$는 함수의 폭 (width)을 결정한다. 임의의 벡터 $v$에 대해 $\Vert v\Vert^{2}= v^{T}v$를 뜻한다.

이때 RBF 관리 제어 방식은 $u = u_{n}$이 되도록 RBF 파라미터들을 학습시킨다. 즉, 학습에 필요한 비용함수를 아래와 같이 정의하고 경사 하강법 (Gradient Descent Method)을 적용한다.

(7)
$J =\dfrac{1}{2}\left(u_{n}- u\right)^{2}$.

위 함수에 의해 $w_{j}$, $b_{j}$와 $c_{j}$를 최신화 (업데이트)하는 식은 다음과 같다 (10). 여기서 학습률 (learning rate) $\eta$는 0과 1 사이의 값을 갖는다.

(8)
$\triangle w_{j}= -\eta\dfrac{\partial J}{\partial w_{j}}= -\eta(u_{n}- u)h_{j}$,

(9)
$\triangle b_{j}= -\eta(u_{n}- u)w_{j}h_{j}\dfrac{(y_{d}- c_{j})^{2}}{b_{j}^{3}}$,

(10)
$\triangle c_{j}=\eta(u_{n}- u)w_{j}h_{j}\dfrac{(y_{d}- c_{j})}{b_{j}^{2}}$.

한편 학습이 잘 진행되어 식 (7)의 값이 궁극적으로 0 (즉, $u_{p}= 0$)으로 수렴한다는 것이 제어 목표가 달성됨을 확정하기 위해서는 $u_{p}= 0$일 때 $e = 0$이 되도록 $u_{p}$를 설계해야 한다. 따라서 제어 목표 달성을 위한 정상상태 입력 $u = u_{ss}ne 0$인 경우에 필요한 정상상태 입력은 RBF NN의 $u_{n}$이 제공해야 함을 뜻한다.

또한, 상대적으로 $u_{p}$가 큰 값을 갖는 초기 (과도) 단계에서 $u_{n}$ 역시 큰 입력을 제공하도록 신경망 파라미터들이 업데이트되면 플랜트 입출력의 요동 또는 오버슛이 빈번하게 발생할 수 있어 이에 대한 대책이 필요하다.

다음 절에서는 제어 시스템의 성능을 향상시키는 방법으로서 RBF 신경망 학습에 슬라이딩 모드 제어기법을 결합하기 위해 기본적인 슬라이딩 모드 제어기를 간략히 소개한다.

2.3 슬라이딩 모드 제어기법

제어 대상 플랜트 모델의 불확실성에 대처하기 위한 제어 방법으로 슬라이딩 모드 제어기 (SMC, Sliding Mode Controller)가 많이 활용되고 있다. 슬라이딩 모드 제어기 설계를 위해 식 (1)을 아래와 같이 다시 표현한다.

(11)
$\ddot y = u +\delta$, 혹은 $\ddot e =\ddot y_{d}- u -\delta$,

(12)
$\delta := f(x)+(g(x)- 1)u + g(x)d$.

식 (11)에 아래 제어 식 (13)을 인가하면 식 (14)를 얻는다. 입력식에 포함된 $u_{1}$은 $\delta$의 영향을 보상하기 위해 다음 단계에서 부호 함수를 사용해서 결정한다.

(13)
$u = K E +\ddot y_{d}+ u_{1}$,

(14)
$\ddot e = -KE - u_{1}-\delta$.

슬라이딩 함수 $s = KE = k_{d}(\dot e +\lambda e)$로 정하면 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 $\dot e = -\lambda e$이므로 $e\to 0$임을 알 수 있다. 단, 앞 절에서 $k_{p}$와 $k_{d}$는 양수이고, $\lambda := k_{p}/ k_{d}> 0$이다.

슬라이딩 평면에 도달하기 위한 추가 입력 $u_{1}$를 얻기 위해 Lyapunov 함수 $V =\dfrac{1}{2k_{d}}s^{2}$을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(15)
\begin{align*} \dot V =\dfrac{1}{k_{d}}s\dot s = s(\ddot e +\lambda\dot e)= s\left(-s - u_{1}-\delta +\lambda\dot e\right)\\ \le -2 k_{d}V + vert\delta vert vert s vert + s(\lambda\dot e - u_{1}) \end{align*}.

위 식에서 $s ne0$일 때 $\dot V < 0$이 되도록 추가 입력 $u_{1}$을 아래와 같이 결정한다.

(16)
$u_{1}=\lambda\dot e + M{sgn}(s)$.

이때 스위칭 이득 $M$은 미지의 등가 외란의 크기 $vert\delta vert$보다 크게 설계해야 하므로 시행착오를 통한 튜닝 과정이 필요하다 (즉, $M - vert\delta vert >\gamma > 0$). 추가 식 (16)에 의해 식 (15)로 부터 아래 식을 얻을 수 있다.

(17)
$\dot V\le -2 k_{d}V + vert\delta vert vert s vert - M vert s vert$$\le -\gamma\sqrt{2 k_{d}V}$.

위 식에 의해 유한 시간 내에 $s = 0$에 수렴함으로써 $e\to 0$임을 알 수 있다. 결국 본 절에서 설계한 슬라이딩 모드 제어기는 아래 식과 같이 주어진다.

(18)
$u = s +\ddot y_{d}+\lambda\dot e + M{sgn}(s)$.

다음 절에서는 앞 절의 두 제어기의 장점을 결합하여 새로운 RBF 신경망 기반 관리 제어시스템을 제안한다.

2.4 제안하는 RBF NN 제어기

앞 절에서 소개한 RBF 제어기 (4)와 슬라이딩 모드 제어기 (18)을 비교하면 $u_{p}$는 공통이며 제어 목표가 달성된 상태에서 $u_{p}= 0$이므로 정상상태 입력 $u_{ss}$는 아래와 같은 성질을 만족함을 알 수 있다.

(19)
$u_{ss}= w^{T}h =\ddot y_{d}+ M{sgn}(s)$.

따라서 RBF 신경망 관리제어기 설계시 초기 파라미터 업데이트가 과도하게 요동하는 것을 막는 방편으로 $u_{n}$에 슬라이딩 모드 제어기의 정상상태 성분 일부를 활용하는 방법을 생각할 수 있다. 같은 아이디어를 슬라이딩 모드 제어기 쪽에 적용하면 제어식 (18)에서 스위칭 이득 $M$이 지나치게 커서 제어기 샘플링 주기에 따라 채터링이 심해지는 문제를 막는 방법으로 RBF 신경망을 활용할 수 있다. 즉 미지의 등가 외란 $\delta$의 일부를 $w^{T}h$가 근사함으로써 슬라이딩 모드 제어기가 요구하는 $M$의 크기를 줄일 수 있다. 여기에 착안하여 본 논문에서 제안하는 RBF 신경망 기반 제어기는 다음과 같다.

(20)
$u = u_{p}+ u_{ns}$, $u_{ns}= w^{T}h +\ddot y_{d}+\lambda\dot e +\mu\tanh(\sigma u_{p})$.

위 식에서 $u_{p}= KE$ 이고, $\mu$는 스위칭 이득을 줄이기 위해 사용하는 $0 <\mu < M$인 임의의 양수이며 함수 $\tanh(\sigma u_{p})$는 불연속 함수인 ${sgn}(u_{p})$의 사용을 피하기 위해 사용된다. 양수 $\sigma$가 클수록 $\tanh(\sigma u_{p})$가 ${sgn}(u_{p})$에 더욱 근접하겠지만 실제 제어기 구현시 채터링을 유발하기 쉬우므로 주의가 필요하다.

제안하는 제어기의 파라미터 업데이트는 식 (8)~(10)에서 $u_{n}$ 대신 위의 $u_{ns}$을 사용하며 이는 비용함수로서 아래 식을 사용한 결과이다.

$J =\dfrac{1}{2}\left(u_{ns}- u\right)^{2}$.

다음 장에서는 두 가지 시스템에 대한 모의실험을 통해 제안하는 제어기의 성능을 확인한다.

3. 모의실험

제안하는 RBF 신경망 관리제어기를 외란이 존재하는 두 가지 제어시스템에 적용하여 그 성능을 시험한다. 3.1절에서는 공장 자동화 시스템에 자주 채택되는 인덱스 기구에 대한 강인한 속도 제어 문제를 다루고, 3.2절에서는 대표적인 비선형 시스템인 역진자 시스템에 대한 제어 성능을 확인한다.

3.1 인덱스 기구의 속도 제어

간헐 회전 운동이 요구되는 공장 자동화 조립 라인에 그림 2와 같이 웜기어 형태의 롤러 기어 인덱스나 Geneva 휠(15)과 디스크 캠의 중간 형태인 평행 인덱스 기구(16)가 자주 사용되고 있다. 인덱스 기구는 모터에 의하여 등속 회전하는 드라이브와 이와 연동하여 간헐 회전하는 분할판 (turret)으로 구성되어 있으며 분할판에 턴 테이블 등의 부하가 실리게 된다 (그림 3참조).

그림. 2. 롤러 기어 인덱스 및 평행 인덱스 (17)

Fig. 2. Roll gear and parallel indices (17)

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig2.png

그림. 3. 평행 인덱스의 내부 구조 (17)

Fig. 3. Details of the parallel index (17)

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig3.png

대부분의 응용에서는 개루프 제어 방식에 의하여 드라이브를 구동함에 따라 부하 변동시 분할판의 속도가 변화하는 단점이 있다. 이에 따르는 여러 가지 비효율성을 개선하기 위하여 인덱스 드라이브가 부하에 관계없이 일정한 속도로 회전하도록 강인한 속도 제어기를 설계한다.

본 절에서 고려하는 시스템은 그림 3에서와 같이 정지 대 회전의 시간 비가 2:1로서 소위 할부각이 120°이며, 90°씩 네번 간헐 회전함으로서 등분수가 4인 평행 인덱스이다. 본 인덱스는 상/하 드라이브 판에 존재하는 이중 캠과 분할판 상의 캠종동절 (cam follower)이 차례로 맞물리며 회전함으로써 분할판의 간헐운동을 구현한다. 인덱스 기구의 구동에는 일반적으로 전기 모터가 사용되고 있으며 여기서는 표 1과 같은 제원의 11 kW급 직류 모터를 고려한다.

표 1. DC 모터 파라미터

Table 1. DC motor parameters

$R_{a}$

0.169 [$\Omega;$]

$k_{A}$

10

$J$

0.85 [${kg m}^{2}$]

$b_{m}$

5e-5 [Nm/(rad/s)]

$k_{b}$

1.12 [V/(rad/sec)]

$k_{m}$

1.12 [Nm/A]

증폭기의 전압 이득을 $k_{A}$, 점성마찰 계수를 $b_{m}$, 모터의 전기자 저항, 토크 상수, 관성 부하, 역기전력 상수를 각각 $R_{a}$, $k_{m}$, $J$, $k_{b}$라고 할 때 전기적인 동특성을 무시한 모터 입력 전압과 출력 속도간의 전달함수는 아래와 같다 (18,19).

(21)
$G_{p}(s)=\dfrac{k_{A}k_{m}}{R_{a}J s + R_{a}b_{m}+ k_{m}k_{b}}$.

한편 외란은 모터의 실제 회전각($\theta_{a}$), 각속도($\omega_{a}$), 각가속도($\alpha_{a}$) 등의 함수이다. 즉, 한 주기당 인덱스 기구의 변위 선도인 modified sine 곡선 (20) 식 (2a)를 기준으로 연산하면 식 (22c)와 같이 외란 신호 $T_{d}$를 구할 수 있다.

(22a)
$\theta_{c}(\theta_{a})=\theta_{0}+\left\{\dfrac{3}{4}\left(\theta_{a}-\dfrac{4\pi}{3}\right)-\dfrac{1}{4}\sin 3\left(\theta_{a}-\dfrac{4\pi}{3}\right)\right\} \mu_{}s\left(\theta_{a}-\dfrac{4\pi}{3}\right) $,

(22b)
$\alpha_{c}(\theta_{a},\:\omega_{a},\:\alpha_{a})=\omega_{a}^{2}\dfrac{\partial^{2}\theta_{c}}{\partial\theta_{a}^{2}} +\alpha_{a}\dfrac{\partial\theta_{c}}{\partial\theta_{a}}$,

(22c)
$T_{d}(\theta_{a},\:\omega_{a},\:\alpha_{a})= -J_{c}\alpha_{c}$.

위 식에서 $\theta_{c}$, $\alpha_{c}$, $J_{c}$는 각각 분할판의 회전각, 각가속도 및 관성부하를, $\theta_{0}$와 $\mu_{s}(·)$는 각각 초기각과 단위 계단함수를 나타낸다. 모의실험에서 사용된 $J_{c}= 0.15$[${kg m}^{2}$]이다.

그림 4는 기준 속도 $y_{d}$가 400rpm 혹은 $40\pi$/3rad/s일 때의 속도 제어 모의 결과이다. 제안하는 제어기 (Proposed)와 PI-제어기 (PIC) 및 슬라이딩 모드 제어기 (SMC)를 함께 비교하였다.

모터의 속도 제어 시스템이므로 제안하는 제어기 그림 1에서 $u_{p}= k_{p}e$를 사용하고 샘플링 주기 0.1ms일 때 폐루프 시정수가 3ms가 되도록 $k_{p}$를 정하였다. 간단한 구현을 위해 가우스 함수의 개수 $m$ = 6으로 하고, 파라미터 $b$ = 10*[1, 1, 1, 1, 1, 1] 및 $c$ = 10*[-5, -3, -1, 1, 3, 5]는 기준 입력 크기를 고려하여 업데이트 없이 상수로 결정하였다. 가중치 $w$의 초기치는 매틀랩 함수로 임의로 정하였고 학습률 $\eta$ = 0.3을 사용하였으며, 함께 사용한 슬라이딩 모드 제어기 파라미터 $\mu$ = 10, $\sigma = 5$이다. PI-제어기 설계는 전달함수 정보를 사용하였으며 이득은 제어기의 분자가 시스템 전달함수의 분모를 소거하면서 폐루프 전달함수의 시정수가 3ms가 되도록 정하였다.

그림 5는 제어 오차를 확대해서 나타내었고, 그림 6은 제어 입력을 비교하고 있다. 그림 7은 제안하는 제어기로 정속 운전시 입력되는 부하 토크 외란을 보여준다. 외란 및 불확실성에도 불구하고 제안하는 제어기를 통해 제어 목표가 달성되고 있음을 확인할 수 있다 (그림 5). 그림 8은 제안하는 제어기의 가중치 최신화 과정을 나타낸다.

그림. 4. 인덱스 모터 속도 제어 성능

Fig. 4. Index motor speed control performance

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig4.png

그림. 5. 인덱스 모터 속도 제어 오차

Fig. 5. Index motor speed control error

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig5.png

그림. 6. 인덱스 모터 제어 입력

Fig. 6. Index motor control input

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig6.png

그림. 7. 인덱스 모터 부하 토크 외란

Fig. 7. Index motor load torque disturbance

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig7.png

그림. 8. RBF 가중치 $w$의 업데이트

Fig. 8. Update of RBF weight $w$

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig8.png

그림 9는 슬라이딩 모드 제어기 (18)의 이득 변화에 따른 성능 개선 효과를 확인하기 위해 $\mu = 10$ 인 경우 (SMC)와 $\mu$ = 50인 경우 (SMC2)를 제안하는 제어기와 함께 비교하였다. 스위칭 이득을 증가시키면 오차가 감소하지만 오차가 잔류하고 출력값에 진동을 유발시킴을 관찰할 수 있다.

그림. 9. 인덱스 모터 속도 제어 오차 (SMC)

Fig. 9. Index motor speed control error (SMC)

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig9.png

3.2 역진자 시스템 각도 제어

두 번째 예제는 대표적인 비선형 시스템으로 자주 고려되는 역진자 시스템에 대한 각도 제어 문제이다. 제어 대상 시스템은 그림 10과 같고 모의실험에 사용된 식 (1)의 $f(x)$와 $g(x)$는 아래와 같다 (10). 여기서 상태변수 $x_{1},\: x_{2}$는 각각 각도 $\theta$와 각속도를 뜻한다.

(23)
$f(x)=\dfrac{g\sin x_{1}- mlx_{2}^{2}\cos x_{1}\sin x_{1}/(m_{c}+m)}{l(4/3 - m\cos^{2}x_{1}/(m_{c}+m))}$,

(24)
$g(x)=\dfrac{\cos x_{1}/(m_{c}+m)}{l(4/3 - m\cos^{2}x_{1}/(m_{c}+m))}$.

위 식에서 중력가속도 $g = 9.8{m}/{s}^{2}$, 카트 질량 $m_{c}= 1{kg}$, 막대 무게 $m = 0.1{kg}$, 막대 길이 $l = 0.5{m}$이다.

그림. 10. 역진자 시스템 (10)

Fig. 10. Inverted pendulum system (10)

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig10.png

기준 각도 $y_{d}= 0.1\sin t$를 추종하는 각위치 제어 성능을 시험한다. 이때 외란 토크 $d = 2 + 2\sin t$가 3초 순간에 인가된다. 비교하는 제어기 파라미터는 표 2에서 정리하였다. 모든 제어기는 현실적인 구현이 용이하도록 샘플링 주기 1ms인 디지털 제어기를 사용하였다.

표 2. 비교 대상 제어기 파라미터

Table 2. Compared controllers parameters

제어기/파라미터

$k_{p}$

$k_{d}$

$\lambda$

RBF

$\mu$

$\sigma$

PDSC1: (4)

25

10

2.5

사용

0

0

PDSC2: (4)

100

10

10

사용

0

0

SMC: (18)

100

10

10

x

5

2

SMC2: (18)

100

10

10

x

50

2

Proposed: (20)

100

10

10

사용

5

2

그림 11~13은 제안하는 제어기 (Proposed)와 2.2절의 전형적 RBF NN 관리 제어기 (PDSC1, PDSC2)를 함께 비교하였다. 두 가지 관리 제어기는 PD-제어 이득 $K$만 달리 하였다. 간단한 구현을 위해 가우스 함수 개수 $m$ = 4로 하고, 파라미터 $b$ = 0.1*[1, 1, 1, 1] 및 $c$ = 0.05*[-2, -1, 1, 2]는 상수를 사용하였으며 가중치 $w$의 업데이트에는 $\eta$ = 0.1을 사용하였다.

실험 결과 초기 수렴 속도 개선을 위해 PD-제어 이득을 키운 PDSC2에 나타나는 진동 현상을 제안하는 제어기가 개선할 수 있음을 확인할 수 있다. 함께 사용한 슬라이딩 모드 제어기 파라미터 $\mu$ = 5, $\sigma$ = 2이다 (표 2).

그림. 11. 역진자 각도 제어 성능

Fig. 11. Inverted pendulum angle control performance

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig11.png

그림. 12. 역진자 각도 제어 오차 (NN)

Fig. 12. Inverted pendulum angle control error (NN)

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig12.png

그림. 13. 역진자 각도 제어 입력

Fig. 13. Inverted pendulum angle control input

../../Resources/kiee/KIEE.2021.70.12.1984/fig13.png

그림 14는 슬라이딩 모드 제어기 (18)의 이득 변화에 따른 성능 개선 효과를 확인하기 위해 $\mu$ = 5인 경우 (SMC)와 $\mu$ = 50인 경우 (SMC2)를 제안하는 제어기와 함께 비교하였다. 스위칭 이득을 증가시키면 오차가 감소하지만 추가적인 $\mu$나 $\sigma$의 증가는 출력값에 진동을 유발한다. 제안하는 제어기가 낮은 스위칭 이득($\mu$ = 5)을 사용하고도 가장 우수한 성능을 보여주고 있다.

그림. 14. 역진자 각도 제어 오차 (SMC)

Fig. 14. Inverted pendulum angle control error (SMC)

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4. 결 론

본 논문에서는 모델의 불확실성과 외란을 갖는 2차 시스템을 대상으로 RBF 신경망 관리제어기의 제어 성능을 향상시키기 위한 방법으로 슬라이딩 모드 제어 기법을 결합한 제어기 설계 방법을 제안하였다. 관리제어 방법과 슬라이딩 모드 제어 기법을 결합하여 피드백 제어기 설계에 필요한 모델 정보에 대한 의존성을 줄이고 추가로 발생할 수 있는 제어 오차 및 불확실성에 의한 변동에도 제안하는 RBF 신경망 학습을 통해 생성한 보조 입력으로 제어 목표를 달성할 수 있다. 제안하는 제어기의 성능 비교를 위한 모의실험으로 공장 자동화시 조립 라인에 다용되는 평행 인덱스 기구용 모터의 정속도 제어 문제와 외란이 존재하는 역진자 시스템의 각도 제어 문제를 다루었다. 이 때 제어기들을 디지털 제어기로 구현함으로써 실제 환경에의 적용 가능성을 함께 테스트하였다. 실험 결과로부터 외란과 시스템 불확실성에 대한 강인성과 기존 방법에 비하여 제안하는 방법의 성능적 우위를 확인할 수 있었다. 향후 본 논문의 제한적인 결과를 확장하기 위한 실험 연구와 제어기 파라미터 업데이트 방법에 관한 추가 연구가 수행될 예정이다.

Acknowledgements

This research was supported by Korea Electric Power Corporation (Grant number: R17XA05-2).

This work was supported by the National Research Foundation of Korea(NRF) grant funded by the Korea government(MSIT)

(No. 2019R1F1A1058543).

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저자소개

손영익(Young Ik Son)
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He received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Seoul National University, Korea, in 1995, 1997 and 2002, respectively.

He was a visiting scholar at Cornell University (2007~2008) and University of Connecticut (2016~2017).

Since 2003, he has been with the Department of Electrical Engineering at Myongji University, Korea, where he is currently a professor.

His research interests include robust controller design and its application to industrial electronics.

임승철(Seungchul Lim)
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received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Seoul National University, KAIST, and Virginia Tech in 1981, 1983 and 1992 respectively.

He is currently with ME department of Myongji University as a professor.

His research interests include robotics and design of high-performance dynamic systems.