제안하는 RBF 신경망 관리제어기를 외란이 존재하는 두 가지 제어시스템에 적용하여 그 성능을 시험한다. 3.1절에서는 공장 자동화 시스템에 자주 채택되는
인덱스 기구에 대한 강인한 속도 제어 문제를 다루고, 3.2절에서는 대표적인 비선형 시스템인 역진자 시스템에 대한 제어 성능을 확인한다.
3.1 인덱스 기구의 속도 제어
간헐 회전 운동이 요구되는 공장 자동화 조립 라인에 그림 2와 같이 웜기어 형태의 롤러 기어 인덱스나 Geneva 휠(15)과 디스크 캠의 중간 형태인 평행 인덱스 기구(16)가 자주 사용되고 있다. 인덱스 기구는 모터에 의하여 등속 회전하는 드라이브와 이와 연동하여 간헐 회전하는 분할판 (turret)으로 구성되어 있으며
분할판에 턴 테이블 등의 부하가 실리게 된다 (그림 3참조).
그림. 2. 롤러 기어 인덱스 및 평행 인덱스 (17)
Fig. 2. Roll gear and parallel indices (17)
그림. 3. 평행 인덱스의 내부 구조 (17)
Fig. 3. Details of the parallel index (17)
대부분의 응용에서는 개루프 제어 방식에 의하여 드라이브를 구동함에 따라 부하 변동시 분할판의 속도가 변화하는 단점이 있다. 이에 따르는 여러 가지
비효율성을 개선하기 위하여 인덱스 드라이브가 부하에 관계없이 일정한 속도로 회전하도록 강인한 속도 제어기를 설계한다.
본 절에서 고려하는 시스템은 그림 3에서와 같이 정지 대 회전의 시간 비가 2:1로서 소위 할부각이 120°이며, 90°씩 네번 간헐 회전함으로서 등분수가 4인 평행 인덱스이다. 본
인덱스는 상/하 드라이브 판에 존재하는 이중 캠과 분할판 상의 캠종동절 (cam follower)이 차례로 맞물리며 회전함으로써 분할판의 간헐운동을
구현한다. 인덱스 기구의 구동에는 일반적으로 전기 모터가 사용되고 있으며 여기서는 표 1과 같은 제원의 11 kW급 직류 모터를 고려한다.
표 1. DC 모터 파라미터
Table 1. DC motor parameters
$R_{a}$
|
0.169 [$\Omega;$]
|
$k_{A}$
|
10
|
$J$
|
0.85 [${kg m}^{2}$]
|
$b_{m}$
|
5e-5 [Nm/(rad/s)]
|
$k_{b}$
|
1.12 [V/(rad/sec)]
|
$k_{m}$
|
1.12 [Nm/A]
|
증폭기의 전압 이득을 $k_{A}$, 점성마찰 계수를 $b_{m}$, 모터의 전기자 저항, 토크 상수, 관성 부하, 역기전력 상수를 각각 $R_{a}$,
$k_{m}$, $J$, $k_{b}$라고 할 때 전기적인 동특성을 무시한 모터 입력 전압과 출력 속도간의 전달함수는 아래와 같다 (18,19).
한편 외란은 모터의 실제 회전각($\theta_{a}$), 각속도($\omega_{a}$), 각가속도($\alpha_{a}$) 등의 함수이다. 즉,
한 주기당 인덱스 기구의 변위 선도인 modified sine 곡선 (20) 식 (2a)를 기준으로 연산하면 식 (22c)와 같이 외란 신호 $T_{d}$를 구할 수 있다.
위 식에서 $\theta_{c}$, $\alpha_{c}$, $J_{c}$는 각각 분할판의 회전각, 각가속도 및 관성부하를, $\theta_{0}$와
$\mu_{s}(·)$는 각각 초기각과 단위 계단함수를 나타낸다. 모의실험에서 사용된 $J_{c}= 0.15$[${kg m}^{2}$]이다.
그림 4는 기준 속도 $y_{d}$가 400rpm 혹은 $40\pi$/3rad/s일 때의 속도 제어 모의 결과이다. 제안하는 제어기 (Proposed)와
PI-제어기 (PIC) 및 슬라이딩 모드 제어기 (SMC)를 함께 비교하였다.
모터의 속도 제어 시스템이므로 제안하는 제어기 그림 1에서 $u_{p}= k_{p}e$를 사용하고 샘플링 주기 0.1ms일 때 폐루프 시정수가 3ms가 되도록 $k_{p}$를 정하였다. 간단한 구현을
위해 가우스 함수의 개수 $m$ = 6으로 하고, 파라미터 $b$ = 10*[1, 1, 1, 1, 1, 1] 및 $c$ = 10*[-5, -3, -1,
1, 3, 5]는 기준 입력 크기를 고려하여 업데이트 없이 상수로 결정하였다. 가중치 $w$의 초기치는 매틀랩 함수로 임의로 정하였고 학습률 $\eta$
= 0.3을 사용하였으며, 함께 사용한 슬라이딩 모드 제어기 파라미터 $\mu$ = 10, $\sigma = 5$이다. PI-제어기 설계는 전달함수
정보를 사용하였으며 이득은 제어기의 분자가 시스템 전달함수의 분모를 소거하면서 폐루프 전달함수의 시정수가 3ms가 되도록 정하였다.
그림 5는 제어 오차를 확대해서 나타내었고, 그림 6은 제어 입력을 비교하고 있다. 그림 7은 제안하는 제어기로 정속 운전시 입력되는 부하 토크 외란을 보여준다. 외란 및 불확실성에도 불구하고 제안하는 제어기를 통해 제어 목표가 달성되고
있음을 확인할 수 있다 (그림 5). 그림 8은 제안하는 제어기의 가중치 최신화 과정을 나타낸다.
그림. 4. 인덱스 모터 속도 제어 성능
Fig. 4. Index motor speed control performance
그림. 5. 인덱스 모터 속도 제어 오차
Fig. 5. Index motor speed control error
그림. 6. 인덱스 모터 제어 입력
Fig. 6. Index motor control input
그림. 7. 인덱스 모터 부하 토크 외란
Fig. 7. Index motor load torque disturbance
그림. 8. RBF 가중치 $w$의 업데이트
Fig. 8. Update of RBF weight $w$
그림 9는 슬라이딩 모드 제어기 (18)의 이득 변화에 따른 성능 개선 효과를 확인하기 위해 $\mu = 10$ 인 경우 (SMC)와 $\mu$ = 50인
경우 (SMC2)를 제안하는 제어기와 함께 비교하였다. 스위칭 이득을 증가시키면 오차가 감소하지만 오차가 잔류하고 출력값에 진동을 유발시킴을 관찰할
수 있다.
그림. 9. 인덱스 모터 속도 제어 오차 (SMC)
Fig. 9. Index motor speed control error (SMC)
3.2 역진자 시스템 각도 제어
두 번째 예제는 대표적인 비선형 시스템으로 자주 고려되는 역진자 시스템에 대한 각도 제어 문제이다. 제어 대상 시스템은 그림 10과 같고 모의실험에 사용된 식 (1)의 $f(x)$와 $g(x)$는 아래와 같다 (10). 여기서 상태변수 $x_{1},\: x_{2}$는 각각 각도 $\theta$와 각속도를 뜻한다.
위 식에서 중력가속도 $g = 9.8{m}/{s}^{2}$, 카트 질량 $m_{c}= 1{kg}$, 막대 무게 $m = 0.1{kg}$, 막대 길이
$l = 0.5{m}$이다.
그림. 10. 역진자 시스템 (10)
Fig. 10. Inverted pendulum system (10)
기준 각도 $y_{d}= 0.1\sin t$를 추종하는 각위치 제어 성능을 시험한다. 이때 외란 토크 $d = 2 + 2\sin t$가 3초 순간에
인가된다. 비교하는 제어기 파라미터는 표 2에서 정리하였다. 모든 제어기는 현실적인 구현이 용이하도록 샘플링 주기 1ms인 디지털 제어기를 사용하였다.
표 2. 비교 대상 제어기 파라미터
Table 2. Compared controllers parameters
제어기/파라미터
|
$k_{p}$
|
$k_{d}$
|
$\lambda$
|
RBF
|
$\mu$
|
$\sigma$
|
PDSC1: (4)
|
25
|
10
|
2.5
|
사용
|
0
|
0
|
PDSC2: (4)
|
100
|
10
|
10
|
사용
|
0
|
0
|
SMC: (18)
|
100
|
10
|
10
|
x
|
5
|
2
|
SMC2: (18)
|
100
|
10
|
10
|
x
|
50
|
2
|
Proposed: (20)
|
100
|
10
|
10
|
사용
|
5
|
2
|
그림 11~13은 제안하는 제어기 (Proposed)와 2.2절의 전형적 RBF NN 관리 제어기 (PDSC1, PDSC2)를 함께 비교하였다. 두 가지 관리
제어기는 PD-제어 이득 $K$만 달리 하였다. 간단한 구현을 위해 가우스 함수 개수 $m$ = 4로 하고, 파라미터 $b$ = 0.1*[1, 1,
1, 1] 및 $c$ = 0.05*[-2, -1, 1, 2]는 상수를 사용하였으며 가중치 $w$의 업데이트에는 $\eta$ = 0.1을 사용하였다.
실험 결과 초기 수렴 속도 개선을 위해 PD-제어 이득을 키운 PDSC2에 나타나는 진동 현상을 제안하는 제어기가 개선할 수 있음을 확인할 수 있다.
함께 사용한 슬라이딩 모드 제어기 파라미터 $\mu$ = 5, $\sigma$ = 2이다 (표 2).
그림. 11. 역진자 각도 제어 성능
Fig. 11. Inverted pendulum angle control performance
그림. 12. 역진자 각도 제어 오차 (NN)
Fig. 12. Inverted pendulum angle control error (NN)
그림. 13. 역진자 각도 제어 입력
Fig. 13. Inverted pendulum angle control input
그림 14는 슬라이딩 모드 제어기 (18)의 이득 변화에 따른 성능 개선 효과를 확인하기 위해 $\mu$ = 5인 경우 (SMC)와 $\mu$ = 50인 경우
(SMC2)를 제안하는 제어기와 함께 비교하였다. 스위칭 이득을 증가시키면 오차가 감소하지만 추가적인 $\mu$나 $\sigma$의 증가는 출력값에
진동을 유발한다. 제안하는 제어기가 낮은 스위칭 이득($\mu$ = 5)을 사용하고도 가장 우수한 성능을 보여주고 있다.
그림. 14. 역진자 각도 제어 오차 (SMC)
Fig. 14. Inverted pendulum angle control error (SMC)