2.1 동작원리

그림 1은 커플드 인덕터를 이용한 Ćuk CCM 인버터를 나타낸 회로이다. 해당 인버터는 언폴딩 브릿지(Unfolding–bridge)가 연계된 계통 연계형 단일단 인버터(Single power conversion inverter)로서 Ćuk CCM 컨버터단에서 직류 입력 전원을 전파정류된 교류 전력으로 출력하고, 언폴딩 브릿지 회로에서 이를 정현파형을 지니는 교류 전력으로 변환하여 계통으로 전달하게 된다. 이러한 단일단 인버터 방식은 승압형 컨버터와 H-bridge 인버터로 구성된 기존의 두단계 인버터(two-stage inverter) 방식과 달리 고주파수 스위칭 소자가 Ćuk CCM 컨버터 단에만 존재하여 고효율 달성이 용이하며, DC-link단 제거로 큰 커패시터를 제거할 수 있어 고전력밀도 달성에도 용이한 인버터 방식이다^(4)-(7).

첫번째 Ćuk CCM 컨버터단은 1개의 전력 스위치 $S_{1}$와 1개의 다이오드 $D_{1}$, 3개의 캐패시터 $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, 절연 및 승압을 위한 이상적 변압기 T, 그리고 $L_{1}$, $L_{2}$의 인덕턴스와 M의 상호 인덕턴스를 가지는 커플드 인덕터로 구성되어 있다. 여기서 커플드 인덕터의 커플링 계수(coupling coefficient)는 아래와 같이 정의된다.

그림. 3. 커플드 인덕터 기반의 Ćuk CCM 컨버터의 핵심 파형

Fig. 3. Key waveforms of the Ćuk CCM inverter with coupled–inductor

그림. 4. 커플드 인덕터 기반의 Ćuk CCM 인버터 동작 모드

Fig. 4. Operating phases of the Ćuk CCM inverter with coupled–inductor

두 번째 언폴딩 브릿지 회로는 4개의 전력 스위치를 가지는 H-brdige로 구성되어 있으며, 출력단에는 필터 인덕터 $L_{f}$와 연결된다. 여기서 $R_{C3}$와 $R_{Lf}$는 각각 $C_{3}$와 $L_{f}$의 기생 저항성분이며, 계통은 계통 인덕턴스 성분 $L_{g}$와 전압원 $v_{g}$로 표현할 수 있다. 인덕터 $L_{1}$, $L_{2}$에 흐르는 전류는 각각 $i_{L1}$과 $i_{L2}$로 정의하고 캐패시터 $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$에 걸리는 전압은 각각 $v_{C1}$, $v_{C2}$, $v_{C3}$로 정의한다. 언폴딩 브릿지는 계통 전압 주파수에 맞게 스위칭 동작하기에 커플드 인덕터 기반의 Ćuk CCM 컨버터단의 출력 측에서는 전파정류된 교류전력을 출력하게 된다. 그러므로 그림 2와 같이 교류 전원공급원을 전파 정류된 전원공급원 $\left | v_{g}\right |$으로 수정한 등가회로로 사용가능하다.

Ćuk CCM 컨버터는 스위치 $S_{1}$의 온오프 상태에 따라 두가지 모드로 나누어 해석할 수 있다. 주요동작 파형은 그림 3으로 나타내었으며, 컨버터의 출력 전압이 전파정류된 사인파형으로 출력점이 변화하기에 이에 따라 컨버터의 동작점과 변동하지만 스위칭 한주기 동안의 스위치가 ON되는 시간 외엔 동작 모드 양상은 동일하다. 따라서 특정 동작점에서의 한주기 동안의 동작 모드 해석은 아래와 같다.

Mode I(0 ~ $DT_{s}$): $S_{1}$ ON상태 시, $D_{1}$는 OFF되며 인덕터 $L_{1}$, $L_{2}$에 흐르는 전류는 상승한다. 동시에 $C_{1}$에 저장된 에너지가 변압기 T를 통해 2차측으로 전달되며, 결국 $C_{2}$에 저장된 에너지와 함께 최종 출력단으로 전달된다.

Mode II($DT_{s}$ ~ $T_{s}$): $S_{1}$ OFF상태 시, $D_{1}$는 ON되며 인덕터 $L_{1}$, $L_{2}$에 흐르는 전류는 하강하는 동시에 커패시터 $C_{1}$, $C_{2}$를 충전시킨다. 이러한 인덕터와 커패시터의 전압, 전류 파형은 그림 3과 같다.

Ćuk CCM 컨버터를 전파 정류된 교류 전력으로 출력시키기 위해서는 한 스위칭 주기 동안의 $S_{1}$의 온 상태 시간 조절, 즉 스위치 $S_{1}$의 듀티 사이클 d 조절을 통해 가능하다. 그리고 언폴딩 브릿지에서 전파 정류된 교류 전력을 정현파인 교류전력으로 변환시키기 위해서는 반주기 동안은 스위치 $S_{2}$, $S_{5}$가 도통되고 나머지 반주기 동안은 스위치 $S_{3}$, $S_{4}$가 켜진 상태로 유지된다.

2.2 동적 모델링

커플드 인덕터 기반의 Ćuk CCM 인버터는 한 스위칭 주기동안 스위치 온오프 상태에 따라 2가지 모드를 가진다. 그림 4의 등가 회로로부터 첫 번째 모드구간($S_{1}$ ‘ON’상태)과 두 번째 모드구간($S_{1}$ ‘OFF’상태)에서의 상태 공간 방정식은 아래와 같다.

(2)

(3)

여기서 상수 Mk는 $M_{k}=L_{1}L_{2}-M^{2}$로 커패시턴스 $C_{12}$는 $C_{12}=(C_{1}C_{2})/(C_{1}+n^{2}C_{2})$로 정의한다. 위 두 모드에서의 상태공간 방정식을 스위칭 주기 $T_{s}$에 대해 평균화한 모델은 아래와 같다.

(4)

여기서 상태변수는 $x(t)=\left[i_{L1}(t),\: i_{L2}(t),\: v_{C12}(t),\: v_{C3}(t),\: i_{o}(t)\right]$로 정의한다. 위 비선형적인 방정식을 특정 동작 점에서의 선형화를 통해 아래 소신호 모델을 얻을 수 있다.

(5)

위 대문자 상태 변수 $X=\left[I_{L1},\: I_{L2},\: V_{C12},\: V_{C3},\: I_{o}\right]$, D는 특정 동작 점에서의 $x(t)=\left[i_{L1}(t),\: i_{L2}(t),\: v_{C12}(t),\: v_{C3}(t),\: i_{o}(t)\right]$값으로 정의되며, 상태 변수 $\hat x(t)$, $\hat y(t)$는 상태변수 x(t), y(t)의 특정 동작 점에서의 미소 변화량을 나타낸다.

위 소신호 모델을 이용하여 특정 동작 점의 전달 함수를 얻을 수 있으며, 이를 통해 인버터의 동특성 및 안정도를 분석할 수 있다. 듀티 입력에 대한 출력 전류의 전달함수를 구하면 아래와 같다.

위 파라미터 $a_{i}(i=1,\:...,\:4)$, $b_{j}(j=1,\:...,\:6)$의 값은 부록을 참조 바란다. 기존의 Ćuk CCM 토폴로지의 전달함수의 경우 전달 함수에 2개의 우반면 영점(Right-half-plane zero: RHPZ)을 지니고 있어 위상 처짐(phase-lag)이 발생하고 그로인해 충분한 위상 여유를 가지지 못한다. 마찬가지로 식(4)에서 얻어진 제안된 회로의 전달 함수 또한 1개의 좌반면 영점(Left-half-plane zero: LHPZ)과 2개의 우반면 영점(Right-half-plane zero: RHPZ)를 지니고 있어 위상 처짐이 발생하게 된다. 그래서 기존의 PI(Proportional-Integral) 제어기로는 충분한 명령 추종 성능을 가지기 위한 큰 제어 이득 값을 가지는데 한계를 지니게 된다.

디지털 제어 환경에서 제어기를 설계하기 위해서 연속 시간 전달 함수 모델을 샘플링 시간 $T_{s}$에 대한 이산 시간 전달 함수로 아래와 같이 변환이 필요하다.

위 파라미터 $l_{i}(i=1,\:...,\:5)$, $m_{j}(j=1,\:...,\:6)$의 값은 생략한다.

3.1 피드포워드 제어기 및 PI 제어기

계통연계형 Ćuk CCM 인버터의 최종 제어 목표는 출력 전류를 계통 전압과 같은 위상을 가지는 정현파형을 지니도록 제어하는 것이다. 이를 위해 커플드 기반의 Ćuk CCM 인버터단의 출력 전류는 전파 정류된 정현파형으로 제어되어야 한다. 이러한 출력 전류 제어기 설계를 위해 우선, 폐루프 제어시스템이 안정화되도록 PI 제어기 설계하고 피드백 제어기 부담을 줄여주기 위한 피드포워드 제어기를 아래와 같이 설계하도록 한다.

여기서, $k_{p}$와 $k_{i}$는 각각 P 제어기 이득과 I 제어기 이득 값을 나타낸다. 그리고 위의 피드포워드 제어기는 인덕터 $L_{1}$, $L_{2}$, $L_{f}$의 volt–second balance law를 적용하여 유도된 듀티 사이클 값이다.

하지만, 위 피드포워드 및 PI 제어기로는 해당 인버터 시스템 전달함수에 우반면 제로를 지니고 있기 때문에 충분하지 않은 위상 여유로 만족할만한 제어 성능을 얻어 내기 힘들다. 제어 성능 향상을 위해 그림 5와 같이 반복 학습 제어기(Repetitive controller, RC)를 추가적으로 설계하도록 한다.

그림. 5. 제안 제어 시스템 블록선도

Fig. 5. Block diagram of the proposed control system

3.2 반복 학습 제어기

반복 학습 제어기는 이전 주기에서 발생한 오차를 다음 주기 제어에서 이용하는 방식으로 반복된 학습된 제어 입력에 의해 오차를 효과적으로 줄일 수 있는 제어 방식이다⁽¹¹⁾. 이러한 특성으로 반복 학습 제어기는 주기적인 외란을 지니는 커플드 인덕터 기반의 계통 연계형 Ćuk CCM 인버터에 적용하기 효과적인 제어기이다. 반복 학습 제어기의 개루프 전달함수는 아래와 같다.

여기서 $k_{r}$는 반복학습제어기 이득 값이며, 정수 N은 지령 주파수 $f_{g}$에 대한 샘플링 주파수 $f_{s}$의 비율(N = $f_{s}$/$f_{g}$)로 정의된다. 위 전달함수를 분석해 보면 기본 주파수 및 그 배수의 주파수 지점에 극점을 가지고 있어 해당 주파수 지점의 고조파 성분을 효과적으로 보상할 수 있다. Q(z)는 시스템 강인성을 위한 저역 통과 필터이며, $G_{pl}$(z)는 위상 앞섬 보상기(Phase-lead com- pensator)를 나타낸다. 해당 인버터 전달함수의 우반면 영점에 의한 위상 처짐을 보상하기 위해 위상 앞섬 보상기 $G_{pl}$(z)를 설계하며 구현 편의성을 위해 선형 타입의 위상 앞섬 보상기(Linear-type phase-lead compensator)를 사용하도록 한다.

여기서 m은 prediction index값이다.

최종적으로 제안 제어 시스템은 피드포워드 제어기와 PI 제어기, 반복 학습 제어기로 구성되어 있다. 여기서, PI제어기 이득 값은 위상 여유를 고려하여 폐루프 시스템이 안정성을 유지하는 선에서 적절히 설계되어야 한다. 또한 반복 학습 제어기의 이득 값, 저역 통과 필터 Q(z) 및 위상 앞섬 보상기 $G_{pl}$(z) 파라미터 값들도 시스템의 안정성과 제어 성능을 고려하여 적절히 설계되어야 한다. 이러한 제어 파라미터 설계를 위해 다음절에서는 전체 제어시스템의 안정성에 대해 알아보기로 한다.

그림. 6. 제안된 제어 시스템의 수정

Fig. 6. Modification of the proposed control system

3.3 안정성 분석

앞에서 제안된 제어 시스템의 안정성을 알아보기 위해서는 우선, 그림 5로부터 출력 지령 y*(z)에 대한 에러 e(z)의 전달 함수를 도출하면 아래와 같다.

여기서 $G_{cl}$(z)는 PI 제어기만을 고려한 폐루프 전달함수

이다.

위 전달함수를 수정 재분석하면 그림 6와 같이 정궤환 폐루프(Positive feedback closed-loop system)를 가지는 시스템으로 표현 가능하다. 특히, 정궤환 부분의 안정성 분석을 위해 소이득 이론(small-gain theorem)을 사용하면 최종 제어 시스템의 안정성을 가지기 위한 조건은 아래와 같다⁽⁴⁾.

그림. 7. 극점 배치도

Fig. 7. Pole placement map

그림. 8. 전달함수 $z^m G_{cl}$(z)의 위상 그래프

Fig. 8. Phase plot of $z^m G_{cl}$(z)

(a) 폐루프 전달함수 $G_{cl}$(z)은 안정적이다.

(b) |Q(z)| < 1, ∀$z=e^{j\omega T_{s}}$, $0<\omega <\pi /T_{s}$

(c) $\left | 1-k_{r}G_{pl}(z)G_{cl}(z)\right | <1$, ∀$z=e^{j\omega T_{s}}$, $0<\omega <\pi /T_{s}$

위 안정성 조건 (a)를 만족시키기 위해서는 폐루프 전달함수 $G_{cl}$(z)의 극점이 z평면 원점을 중심으로 둔 단위원 내부에 위치하도록 PI 제어기 이득 값 $k_{p}$, $k_{i}$를 도출하면 된다. 안정성 조건 (b)를 만족시키기 위해서는 저역통과필터 Q(z)를 다음과 같이 2차 FIR(Finite impulse response)필터⁽⁴⁾로 설계하도록 한다.

여기서 위 필터가 안정성 조건 (b)을 만족하기 위해 파라미터 는 및 양수로 설정한다.

주파수 영역 디자인 방법⁽⁴⁾을 이용하여 안정성 조건 (c)를 아래와 같이 도출할 수 있다.

안정성 조건 (c)을 만족하기 위해서는 위의 조건 (12), (13)이 저역 통과 필터 Q(z)의 차단 주파수 범위 내에서 만족해야 한다. 여기서, $N_{g}\left(e^{j\omega}\right)$는 $\left | G_{cl}\left(e^{j\omega}\right)\right |$, $\theta_{g}\left(e^{j\omega}\right)$는 $\angle G_{cl}\left(e^{j\omega}\right)$, $\theta_{m}\left(e^{j\omega}\right)$는 $\angle z^{m}$이다.

위상 앞섬 변수 값 m을 조절하여 최대한 넓은 주파수 영역에서 (17)식을 만족할 수 있으며, 이는 해당 주파수 범위에서의 고조파 성분을 감쇄시킬 수 있음을 의미한다. 여기서 그 이후 주파수 영역 범위는 (17)식을 만족시키지 못하므로 저역통과필터 Q(z)의 차단 주파수(cut-off frequency) 조절을 통해 시스템의 안정성을 보장시킬 수 있다. 마지막으로 (17)식에서 도출된 m값을 (16)식 적용하여 최종 반복학습제어기 이득 값 $k_{r}$의 범위를 도출할 수 있다.

3.4 제어 파라미터 설정

앞 절에서는 제안된 제어 시스템의 안정성을 고려한 제어기 파라미터 설정 기준에 대해 알아보았다. 이 기준을 토대로 실제 제어기 파라미터를 도출해 보도록 한다. 먼저, 커플드 인덕터 기반의 Ćuk CCM 인버터 회로 규격(표 1)을 토대로 전달함수를 도출할 수 있다. 하지만, 인버터 동작의 경우 출력 전압이 정현파형을 지니는 교류이므로 여러 동작점이 존재한다. 제어 시스템의 안정성을 위해서는 여러 동작점에서 도출된 전달함수를 이용하여 안정성 검증 절차를 진행해야 하지만, 설계 편의성을 위해 우반면 영점 영향이 가장 클 때인, 최대 순시 전력지점에서의 전달함수를 이용하며, 이를 샘플링 시간에 대한 이산 시간 모델로 변환하면 아래와 같다.

앞 절에서 소개한 안정선 조건 (a)을 만족시키기 위해서 전달함수 $G_{cl}$(z) (18)의 극점들이 모두 안정한 영역 내에 위치해야 한다. 그림 7의 제어 이득 값 $k_{p}$, $k_{i}$에 따른 극점 위치를 살펴보면 $k_{p}$는 0.01에서 0.15까지 $k_{i}$는 0.01에서 0.5까지일 때 극점이 단위원 내부에 위치함을 확인 할 수 있다. 여기서 적절한 이득 값 $k_{p}$ = 0.1, $k_{i}$ = 0.2를 선택하여 사용하도록 한다.

안정성 조건 (c)에서 도출된 조건 (17)을 최대한 넓은 영역에서 만족시키기 위해 앞섬 변수 값 m에 따른 전달함수 $z^m G_{cl}$(z)의 위상 값 변화를 살펴보도록 한다. 그림 8의 위상 그래프를 보듯이 앞섬 변수 값이 m = 3일 때 최대 주파수 영역에서 위상이 90도 이내 범위를 만족함을 알 수 있다. 그리고 고주파수 영역에서의 노이즈 영향에 대응하기 위해 차단주파수 82k rad/s를 가지는 저역통과필터 Q(z) (19)을 설계하도록 한다.

최종 도출된 앞섬 변수 m = 3 값을 안정성 조건 (c)에서 도출된 또 다른 조건 (16)에 적용하여 얻어진 $k_{r}$의 범위는 0 < $k_{r}$ < 0.635이며, 적절한 이득 값 $k_{r}$ = 0.4를 선택하여 사용하도록 한다.

기존의 Ćuk CCM 인버터⁽⁶⁾와 제어기 설계 관점에서 비교해보면 두 회로의 전달함수 모두 2개의 우반면 영점을 지니고 있기에 두 회로의 제어기 모두 위상 앞섬 보상기 기반의 반복학습제어기를 채택하였다. 하지만, 모델링 차이로 우반면 영점의 위치가 달라지므로 각 회로 시스템 안정성을 확보하기 위한 위상 앞섬 보상기(12)의 파라미터, prediction index 값은 달리 설계되었다.