2.1 대상 시스템 및 문제 정의

본 논문에서 다루는 DC 모터 모델은 다음과 같다⁽¹⁹⁾.

위 식에서 $\omega_{m}$과 $i_{a}$는 각각 전동기의 회전자 속도 및 전류이다. $u$는 입력 전압이고 $T_{L}$은 부하 토크를 나타낸다. $J_{m}$, $B_{m}$은 회전자의 관성 질량과 마찰 계수; $K_{t}$, $K_{b}$는 토크 상수와 역기전력 상수; $L_{a}$, $R_{a}$는 전기자 인덕턴스와 저항이다.

직류 전동기의 전기적인 동특성이 기계적인 동특성에 비해 매우 빠른 경우에 대해서 아래와 같이 전기자 인덕턴스 $L_{a}\approx 0$을 가정한 축소 모델을 고려할 수 있다^(20,21).

본 논문에서는 상수항과 삼각함수 항의 합으로 구성된 기준입력 $r$과 외란 $d$를 고려한다. 이때 $r$과 $d$는 같은 삼각함수 주파수 $\omega_{0}$를 갖고 실험을 통해 그 값을 알고 있다고 가정한다.

쉬운 표기를 위해 $x =\omega_{m}$, $a= -(B_{m}R_{a}+K_{t}K_{b})/(J_{m}R_{a})$, $b= K_{t}/(J_{m}R_{a})$이고 $d = -(R_{a}/K_{t})T_{L}$라고 정의할 때 아래 식을 얻을 수 있다. 이때 $a < 0$이고 $b > 0$이고, $d_{1}$, $d_{2}$, $\theta_{d}$는 모두 미지의 상수이다.

다음 절에서는 식 (3)의 외란 $d$에도 불구하고 기준입력 $r$을 정상상태 오차 없이 추정하기 위한 내부모델 원리 (IMP, Internal Model Principle) 기반 제어기를 소개한다.

2.2 내부모델 원리 (IMP) 기반 제어기

시스템 (3)에 대해 그림 1과 같은 제어시스템을 고려할 때 시스템 전달함수 $G(s)$와 라플라스 변환된 출력 $Y(s)$ 및 제어 오차 $E(s)= R(s)- Y(s)$는 아래와 같다.

식 (6)에서 특성방정식 $\gamma_{p}(s)= 1 + C(s)G(s)= 0$의 모든 근이 복소평면의 좌측에 위치하고 제어기 $C(s)$의 분모가 기준입력 및 외란의 특성다항식을 포함하면 출력의 정상상태 오차 $e_{ss}$를 0으로 만들 수 있다⁽¹⁾. 이처럼 제어기가 기준입력과 외란의 특성다항식, 즉 모델을 포함하고 있으면 폐루프 시스템의 강인한 정상상태 성능($e_{ss}= 0$)을 확보할 수 있는 성질을 내부모델 원리라고 부른다^(1,3). 강인한 정상상태 성능이란 시스템 혹은 제어기 파라미터 정보가 불확실하더라도 폐루프 시스템의 안정도만 유지된다면 정상상태 오차를 항상 0으로 유지할 수 있다는 점을 의미한다. 식 (3)으로부터 라플라스 변환된 $R(s)$ 및 $D(s)$는 아래 식과 같다.

위 식으로부터 제어기 $C(s)$의 분모에 아래와 같이 $s(s^{2}+\omega_{0}^{2})$을 포함하면 정상상태 오차 0인 목표를 달성할 수 있다. 이때 분자 계수 $k_{i}$ ($1\le i\le 4$)는 폐루프 전달함수의 안정도와 과도특성을 고려해서 결정한다.

위 제어기를 사용한 폐루프 시스템의 특성다항식 $\gamma_{p}(s)$는 아래와 같다.

식 (3)의 기준입력 및 외란 신호보다 더 일반적인 경우에 대해서도 그 특성다항식만 알면 정상상태 오차가 없는 제어기 설계가 가능하고 기준입력과 외란의 모델이 다른 경우에는 두 특성다항식의 최소공배수인 식을 포함하면 가능함을 예상할 수 있다. ■

다음절에서는 외란의 영향을 보상하기 위한 다른 방법으로 외란의 모델을 사용한 외란 관측기 기반 제어기를 소개한다. 관측기 설계 시 기준입력을 활용함으로써 내부모델 원리에 기반한 제어기 (9)와 같은 성능을 갖도록 하는 조건식을 제시한다. 이는 외란 관측기 기반 제어기로 외란에 대한 보상뿐만이 아니라 외란이 없을 때도 IMP 기반 제어기 (9)와 같은 기준입력 추종 성능을 가질 수 있음을 의미한다.

2.3 축소차수 외란관측기 기반 제어기

본 절에서는 외란 보상을 위한 축소차수 외란관측기 (RO- DOB, Reduced-order Disturbance Observer) 기반 제어기를 설계한다. 이를 위해 외란 모델을 포함하는 확장된 시스템을 고려한다. 앞 절에서 정의한 외란 $d$에 대한 상태공간 방정식과 행렬 $A_{\xi}$ 및 $C_{\xi}$를 아래와 같이 정의한다.

식 (11)을 이용하여 외란을 포함한 확장된 시스템 식을 아래와 같이 얻을 수 있다.

위 식에서 $z =\begin{bmatrix}z_{1}& z_{2}^{T}\end{bmatrix}^{T}$일 때 $z_{2}=\xi$이고, $A_{11}= a$, $A_{12}=$$\begin{bmatrix}b& 0& 0\end{bmatrix}$, $A_{21}= B_{2}=\begin{bmatrix}0& 0& 0\end{bmatrix}^{T}$, $A_{22}= A_{\xi}$, $B_{1}= b$이다.

확장된 시스템 (12)는 외란을 포함하고 있어 제어가능하지는 않지만 관측가능함을 확인할 수 있다^(1,22). 확장된 상태 일부인 $A_{12}z_{2}$($=\dot z_{1}- A_{11}z_{1}- B_{1}u$)가 측정 가능하다고 가정할 때 아래와 같이 $z_{2}$를 추정하는 축소차수 관측기를 설계할 수 있다. 관측기 이득 $L =\begin{bmatrix}l_{1}& l_{2}& l_{3}\end{bmatrix}^{T}$은 행렬 $A_{o}$($:= A_{22}- LA_{12}$)가 Hurwitz 하게 설계하며, 추가적인 기준입력 항에 대한 이득 $M =\begin{bmatrix}m_{1}& m_{2}& m_{3}\end{bmatrix}^{T}$이다.

식 (13)에서 미분 값 ($\dot z_{1}$)의 사용을 피하기 위해 새로운 상태변수 $z_{c}$를 식 (14)와 같이 정의하고 식 (13)을 다시 쓰면 식 (15)와 같다. 이는 편의상 $z_{1}$은 $x$로 표기하고 실제 행렬값을 대입한 표현이다.

축소차수 관측기를 이용한 추정치 $\hat z =\begin{bmatrix}z_{1}&\hat z_{2}^{T}\end{bmatrix}^{T}$이다. 본 절에서 소개하는 축소차수 외란관측기 기반 제어기 구조는 그림 2와 같다. 관측기는 상태공간 방정식으로 설계하지만, 비교를 위해 그림 1과 같은 문자로 표시하였다. 다음 절에서 결정하는 상수 $n$은 기준입력에 대한 이득이며 $\bar{K}=\begin{bmatrix}k & C_{\xi}\end{bmatrix}$이다.

2.4 두 제어기의 등가성 조건

본 절에서는 앞서 소개한 IMP 기반 제어기 (9)와 그림 2의 RO-DOB 기반 제어기가 같은 성능을 갖기 위한 조건을 조사한다. 그림 2의 제어식을 쓰면 아래와 같다.

먼저 관측기 기반 제어기 (16)이 IMP 기반 제어기 (9)와 같은 형태를 갖도록 이득 값 $n$과 $M$을 결정한다.

식 (16)을 관측기 (15)의 $u$에 대입하여 정리하면 식 (17)을 얻을 수 있다.

식 (17)의 라플라스 변환 식을 다시 식 (16)의 라플라스 변환 식에 대입하면 페이지 하단 식 (18)과 같이 정리할 수 있다. 식 (18)이 식 (9)와 같은 형태가 되기 위해 계수를 비교하면 우선 이득 값 $n$에 대한 식을 아래와 같이 구할 수 있다.

또한, 이득 행렬 $M$의 원소에 대해 아래 식을 만족해야 함을 알 수 있다.

즉, 제어 이득 $k$와 관측기 이득 $L$이 정해지면 위와 같이 상수 $n$과 행렬 $M$을 결정함으로써 RO-DOB 기반 제어기로부터 IMP 기반 제어기와 같은 형태를 얻을 수 있다. 식 (20)을 행렬 형태로 정리하면 아래와 같이 다시 쓸 수 있다. 이때 $I_{3}$는 $3\times 3$ 단위행렬을 의미한다.

식 (9)와 식 (18)의 분자식을 비교하면 식 (9)의 분자식 계수 $K =\begin{bmatrix}k_{1}& k_{2}& k_{3}k_{4}\end{bmatrix}^{T}$는 아래와 같이 표현할 수 있다.

즉, 위 식으로부터 관측기 파라미터 $k$와 $L$을 통해 IMP 기반 제어기의 이득 $K$를 결정할 수 있음을 알 수 있다.

다음으로 IMP 기반 제어기 (9)의 이득 $K$가 먼저 주어진 경우에 대한 관측기 기반 제어 이득 $k$ 및 $L$에 대한 조건식을 구한다. 이를 위해 특성다항식 $\gamma_{c}(s)$와 $\gamma_{o}(s)$을 아래와 같이 정의한다. 단, $A_{o}= A_{22}- LA_{12}$이다.

이때 제어 입력 (16)에 의한 폐루프 시스템의 특성다항식 $\gamma_{cl}(s)$은 두 다항식 $\gamma_{c}(s)$와 $\gamma_{o}(s)$의 곱임을 사용한다⁽¹⁾.

따라서 IMP 기반 제어기 (9)와 관측기 기반 제어기 (16)이 같은 성능을 갖기 위해서는 식 (10)의 특성다항식 $\gamma_{p}(s)$가 식 (24)의 특성다항식 $\gamma_{cl}(s)$가 같아야 함을 알 수 있다. 즉, 4차 다항식 $\gamma_{p}(s)$가 임의의 1차식을 인수로 갖는 경우에는 1차식 $\gamma_{c}(s)$와 3차식 $\gamma_{o}(s)$를 통해 $\gamma_{p}(s)=\gamma_{c}(s)\gamma_{o}(s)$를 만족시키는 이득 $k$ 및 $L$을 항상 찾을 수 있다. 즉, IMP 기반 제어기의 이득 $K$가 먼저 주어진 경우에도 그 특성방정식이 1차 식을 인수로 갖는 경우에는 같은 성능의 외란 관측기 기반 제어기를 설계할 수 있음을 의미한다.

축소 모델 식 (2) 대신 전류 동특성까지 포함한 2차 시스템 (1)을 고려하는 경우에는 폐루프 특성다항식이 5차식이므로 근의 종류에 상관없이 항상 $\gamma_{p}(s)=\gamma_{c}(s)\gamma_{o}(s)$가 되도록 하는 이득 $k$와 $L$을 찾을 수 있다. ■

다음 장에서는 모의실험을 통해 본 논문에서 조사한 조건에 따라 IMP 기반 제어기와 관측기 기반 제어기의 성능이 동일함을 확인한다.