1. 서 론

자기부상(Electro-magnetic suspension: EMS) 시스템은 입력전압으로 코일에 흐르는 전류를 조정하여 쇠공의 공극을 제어하는 시스템이다. 자기부상열차는 EMS시스템의 대표적 예로서, 환경 친화적이며 열차 내외 소음도 적고 진동이 거의 없는 장점이 있다. 이러한 EMS 시스템에는 무게 변동과 같은 파라메터 변화가 항상 존재하여 이를 보상할 수 있는 다양한 제어기법이 제안되어 왔다^(1-3). 하지만 EMS 시스템은 비선형 상태방정식으로 표현되기 때문에 비선형제어기법을 적용하여야 하는데, 이는 설계 방법이 매우 까다롭고 구현이 복잡한 단점이 있다.

본 논문에서는 비선형 자기부상시스템 제어를 위한 선형 외란관측기(Disturbance Observer; DOB) 제어기 설계방법에 대해서 연구하고자 한다. DOB 제어기는 상대적으로 구현이 간단하면서, 모델링오차를 보상하고 외란의 영향을 효과적으로 억제할 수 있는 것으로 알려져 있다^(4-6). 하지만, EMS 시스템과 같은 비선형 시스템을 위한 비선형 DOB 제어기는 구현이 매우 복잡하다는 단점이 있다. 본 논문에서는 EMS 시스템 사례연구를 통하여 선형 DOB 제어기를 이용하여 비선형 플랜트를 제어하는 방법에 대한 연구를 수행하고자 한다. 대부분의 경우 DOB제어기 설계시 공칭모델의 상대차수는 실제 플랜트의 상대차수와 같게 선정한다^(4-6). 하지만, 본 논문에서는 공칭모델의 상대차수를 그 보다 작게 설계하는 저차 DOB 제어기 설계에 대해서 연구하고자 한다. 저차 DOB 제어기는 기존 DOB 제어기보다 센서잡음 억제 성능이 우수하다고 알려져 있다^(7-8). 본 논문에서는 무게 변동에 의한 모델링 오차가 존재하는 경우에도 자기부상시스템의 강인안정성을 고려한 저차 DOB 제어기 설계 기법에 대해서 연구하고자 한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 본 논문에서 고려하는 자기부상시스템의 비선형 상태방정식과 전달함수를 소개하고 3장에서는 저차 DOB 제어기의 안정성에 대해서 고찰한다. 4장에서는 비선형 EMS 시스템에 저차 DOB 제어기를 설계하기 위한 다양한 방안을 고찰하며, 마지막으로 5장에서는 본 논문의 결론과 향후 연구주제를 제시한다.

다항식 $D(s)= d_{n}s^{n}+ d_{n-1}s^{n-1}+\cdots + d_{1}s + d_{0}$에 대해서 $d_{n}neq 0$이면, 다항식 $D(s)$의 차수는 n이라고 하고 $\deg(D)= n$으로 표시한다. 전달함수 $G(s)= N(s)/D(s)$에 대해서 $G(s)$의 차수와 상대차수는 $\deg(D)$와 $\deg(D)-\deg(N)$으로 정의하며, $G(s)$의 상대차수는 $r.\deg(G)$로 표시한다. 전달함수 $G(s)$에 대해서, $\kappa(G):=\lim_{s\to\infty}s^{r.\deg(G)}G(s)$와 $\mu(G):=$ (G 영점의 모든 합) - (G 극점의 모든 합)으로 정의하며, $\kappa(G)$는 고주파이득이라고 부른다. LHP는 좌반평면(Left Half Plane), 즉 복소평면에서 $Re[s]<0$인 영역을 의미하며, RHP는 우반평면(Right Half Plane)을 의미한다.

2. 자기부상(EMS) 시스템

자기부상(EMS) 시스템의 동력학은 (1)과 같이 표현 가능하다^(1,9).

여기서, $x_{1}$은 쇠공의 위치, $x_{2}$는 쇠공의 속도, $x_{3}$는 전자석 코일에 흐르는 전류이고 $u$는 전자석에 인가하는 전압이며, $R_{c}$는 전자석 코일 저항, $R_{s}$는 전류측정기 저항, $L_{c}$는 코일의 인덕턴스, $m$은 쇠공의 질량, $g$는 중력가속도를 나타내는데, 이들의 공칭값은 표 1과 같이 주어진다⁽⁹⁾. 또한, $x_{1}$, $x_{3}$의 평형상태에서의 값을 $x_{10}$, $i_{0}$로 나타내면, $x_{10}$의 값은 제어목적에 의해서 결정된다. 만약, 제어목적이 쇠공의 위치를 $x_{10}= 7mm$로 제어하는 것이라면, 표 1에 의하여 $x_{10}$, $i_{0}$은 다음과 같이 계산된다.

$x_{10}= 7mm$, $i_{0}= 1A$

자기부상시스템의 선형 DOB 제어기를 설계하기 위해서는 플랜트의 전달함수가 필요하다. 비선형 시스템 (1)을 $(x_{10},\: 0,\: i_{0})$에서 선형화하고 출력변수 $y=x_{1}$에 대해서 자기부상시스템의 전달함수를 계산하면 아래와 같이 주어진다.

3. 저차 DOB 제어기의 안정성

자기부상열차와 같은 자기부상 시스템을 효과적으로 제어하기 위해서는 타고내리는 승객의 무게변화와 같은 외란에 강인한 제어기를 설계하는 것이 중요하다. 이와 같은 모델링 오차에 대한 강인 안정성을 보장하기 위해서는 외란관측기(Distur- bance Observer; DOB) 제어기가 사용될 수 있다. 그림 1은 DOB 제어기를 나타내는데, 신호 $r$, $u$는 시스템의 기준입력과 시스템에 인가되는 제어입력이며, 신호 $d$와 $y$는 입력외란과 시스템의 출력을 나타낸다. 또한, $P$와 $P_{n}$는 실제 플랜트와 공칭 모델(nominal model)이고, $Q$는 $Q$ 필터를 의미하며 주로 (3)과 같은 형태를 사용한다.

여기서, $\tau$는 $Q$ 필터의 시정수로 양의실수이며 $k$, $l$은 양의 정수이며 $l-k\ge r.\deg(P_{n})$으로 가정한다. 또한, $a_{0}= b_{0}$이며 계수 $a_{l-1},\:\cdots ,\: a_{1},\: a_{0}$는 다항식 $s^{l}+a_{l-1}s^{l-1}+\cdots$$+a_{1}s +a_{0}$의 모든 근이 LHP 에 존재하도록 선정하여야 한다.

저차 DOB 제어기는 일반적인 DOB 제어기와 비교할 때, 공칭모델이 간단하여 구현이 간단하며 센서잡음 저감성능이 우수하다고 알려져 있다^(7,8). 본 논문에서는 $r.\deg(P_{n})$$= r.\deg(P)-1=2$인 공칭모델을 사용한 선형 DOB 제어기로 비선형 자기부상시스템을 제어하고자 한다. 이와 같이 실제플랜트의 상대차수보다 작은 상대차수의 공칭모델을 사용하는 경우에 대한 시스템 안정도가 참고문헌⁽⁷⁾에서 연구되었는데, 그 내용을 간단히 소개하면 다음과 같다. 다항식 $N,\: N_{c},\: N_{n},\: D,\: D_{c},\: D_{n}$는 $P(s),\: P_{n}(s),\: C(s)$로부터 $P(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}$, $P_{n}(s)=\dfrac{N_{n}(s)}{D_{n}(s)}$, $C(s)=\dfrac{N_{c}(s)}{D_{c}(s)}$로 정의되는 서로소 다항식(coprime polynomial)이며, $D(s),\: D_{c}(s),\: D_{n}(s)$의 최고차항의 계수는 1이라고 가정한다. 또한, 다항식 $p_{\alpha}(s)$, $p_{\beta}(s)$와 양의정수 $m_{\alpha}$, $m_{\beta}$를 다음과 같이 정의한다.

\begin{align*} p_{\alpha}(s):= N(N_{c}N_{n}+ D_{c}D_{n})\\ p_{\beta}(s):= N_{n}(N_{c}N + D_{c}D) \end{align*}

$m_{\alpha}=\deg(ND_{c}D_{n})$

$m_{\beta}=\deg(N_{n}D_{c}D)$

여기서, $\alpha_{i},\: \beta_{i}$를 다음과 같이 정의하고

\begin{align*} p_{\alpha}(s) &=\alpha_{m_{\alpha}}s^{m_{\alpha}}+\alpha_{m_{\alpha}-1}s^{m_{\alpha}-1}+\cdots +\alpha_{0}\\ p_{\beta}(s)&=\beta_{m_{\beta}}s^{m_{\beta}}+\beta_{m_{\beta}-1}s^{m_{\beta}-1}+\cdots +\beta_{0} \end{align*}

이를 이용하여 다음을 정의하자.

$\pi(s):= s^{l-1}+\cdots + a_{k+1}s^{k}+(a_{k}- b_{k})s^{k-1}+\cdots +(a_{1}- b_{1})$

$\sigma_{+}:=\frac{\alpha_{m_{\dot{v}}}-1}{\alpha_{m_{\boldsymbol{v}}}}-\frac{\beta_{m_{\mathbf{d}}}-1}{\beta_{m_{\mathbf{0}}}}+\frac{\alpha_{m_{\boldsymbol{\theta}}}}{\beta_{m_{\mathbf{0}}}} \frac{a_{0}}{a_{1}-b_{1}}\left(\frac{a_{2}-b_{2}}{a_{1}-b_{1}}-\frac{b_{1}}{a_{0}}\right)$

정리 1⁽⁷⁾ : 그림 1과 같은 DOB 제어 시스템에 대해서 $r.\deg(P)=$$r.\deg(P_{n})+1$이고 다음을 만족한다고 하자.

(H1) $P_{n}C /(1+P_{n}C)$가 안정하고 $P(s)$가 최소위상이다.

(H2) 다항식 $\pi(s)$의 모든 근이 LHP에 존재한다.

(H3) $\kappa(P)$와 $\kappa(P_{n})$의 부호가 같다.

(H4) $\sigma_{+}<0$

그러면, 충분히 작은 $\tau >0$에 대해서 외란관측기 기반 제어 시스템은 안정하다. ■

정리 1의 조건 (H4)를 좀 더 자세히 분석하기 위해 $P(s)$와 $P_{n}(s)$의 분모, 분자를 아래와 같이 표현하자.

1) 예를 들어 $P_{n}(s)=\dfrac{3s^{2}- 8}{2s^{3}+ 4s^{2}+6s + 8}$이라고 하면, $D_{n}(s)=$$s^{3}+ 2s^{2}+ 3s +4$, $N_{n}(s)=\dfrac{3}{2}s^{2}-4$$=\dfrac{3}{2}\left(s^{2}-\dfrac{8}{3}\right)$, $K_{n}= 3/2$이고 $b_{n,\:1}= 0$, $b_{n,\:2}= - 8/3$이다.

그러면, 고주파이득 비율은 다음과 같이 표현되며,

$\dfrac{K_{n}}{K_{p}}={\dfrac{\beta_{m_{\beta}}}{\alpha}}_{m_{\alpha}}$라는 성질을 이용하면 다음을 얻을 수 있다⁽¹⁰⁾.

$\begin{aligned} \sigma_{+}=\left(-b_{n, 1}\right.&\left.+a_{n, 1}\right)-\left(-b_{p, 1}+a_{p, 1}\right) \\ &+\frac{\kappa(P)}{\kappa\left(P_{n}\right)} \frac{a_{0}}{a_{1}-b_{1}}\left(\frac{a_{2}-b_{2}}{a_{1}-b_{1}}-\frac{b_{1}}{a_{0}}\right) \end{aligned}$

한편, Q-필터를 (3) 대신

로 선정한다면 $\sigma_{+}$는 다음과 같이 표현된다.

이제, 쇠공의 실제 무게를 $\widetilde m$로 표현할 때, (8)과 같은 무게변동이 존재한다고 가정하고,

정리 1을 이용하여 DOB 제어기를 설계하는 방법을 고찰해 보자. 먼저 실제 플랜트의 전달함수는 (2)로부터

$P(s)=\dfrac{2G_{i}x_{0}i_{0}}{(-\widetilde m x_{0}^{3}s^{2}+ 2G_{i}i_{0}^{2})(Ls + R_{c}+R_{s})}$

이며 상대차수는 3이다. 플랜트 $P(s)$에는 영점이 존재하지 않기 때문에 $\mu(P)=(R_{c}+R_{s})/L$이고

이다.

4. 저차 DOB 제어기 설계

본 장에서는 비선형 시스템을 제어하기 위하여 저차 DOB 제어기를 설계하는 방법에 대해서 고찰한다. 비선형 자기부상 시스템에 대한 제어목적은 (8)과 같은 무게변동이 존재하더라도, $\lim_{t\to\infty}x_{1}(t)= x_{10}$을 만족하며 정상상태에 1초 이내로 수렴하여야 하는 것이라고 가정한다.

먼저, 상대차수가 2가 되도록 공칭모델을 아래와 같이 선정하였다고 가정해 보자.

$P_{n}(s)= -\dfrac{5}{s(s+20)}$

위에서 정리 1의 (H3)를 만족하기 위하여 $P_{n}(s)$에 (-) 부호가 사용되었다는 점에 주의할 필요가 있다. 또한, 조건 (H1)과 (H2)를 만족하도록 공칭제어기 $C(s)$와 Q-필터는 다음과 같이 선정하였다.

$C(s)=-8$

$Q(s)=\dfrac{1}{(\tau s+1)^{2}}$

식 (9)로부터 $\mu(P_{n})=20,\: \kappa(P_{n})=-5$ 이고 $\mu(P_{n})-\mu(P)$$=-6.66$ 이기 때문에

$\sigma_{+}= -6.66 +\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{2G_{i}x_{0}i_{0}}{\widetilde m x_{0}^{3}L}\right)\dfrac{1}{2^{2}}$

이다. 실제 무게가 $\widetilde m =3 m$인 경우에는 $\sigma_{+}<0$이지만, $\widetilde m = 0.3 m$인 경우에는 $\sigma_{+}= 0.53$이기 때문에 정리 1의 조건 (H4)를 만족하지 않는다. 따라서, DOB 제어기의 재설계가 필요하다.

5. 결 론

본 논문에서는 비선형시스템을 제어하기 위한 선형 저차 DOB 제어기 설계에 대해서 연구하였다. 무게변동이 존재하는 EMS 시스템 사례연구를 통하여 저차 DOB 제어기 설계시 1) 공칭모델의 고주파이득 선정, 2) 공칭모델의 극점과 영점 선정, 3) 적절한 Q-필터 설계, 4) 공칭제어기 설계를 신중히 고려할 필요가 있음을 알 수 있었다. 특히, 저차 DOB 제어기 설계시 공칭모델의 고주파이득을 증가시킬수록 선형플랜트에 대한 강인안정성은 개선되었지만⁽¹⁰⁾, 비선형 플랜트 적용시 불안정해지는 특이한 현상도 발견되었다. 또한, 선형시스템에 적용하는 경우 DOB 제어기 설계시 1)과 2)만 고려하는 것으로도 충분하였지만⁽¹⁰⁾, 비선형 시스템에 적용하는 경우에는 추가로 3)과 4)도 고려하여 DOB 제어기를 설계하는 것이 필요하다는 것을 알 수 있었다.