1. 서 론

전자계 문제의 해석은 맥스웰 방정식에 경계 조건을 적용하여 계산한다. 기하 구조가 구, 타원체 등과 같이 간단한 문제의 경우에는 이론적인 해가 존재한다. 하지만 대부분의 실제 복잡한 구조의 문제는 이러한 엄밀한 해를 구하는 것은 매우 어렵다. 실제 문제는 다양한 매질로 구성되어 있어 산란, 감쇄, 위상 지연과 같은 현상 등이 발생하기 때문이다.

따라서 이러한 문제의 해석을 위해 컴퓨터를 이용한 수치해석 방법을 적용하여 근사 해를 얻는다. 수치해석은 해석 대상에 따라 적합한 방법이 다르기에 해석 대상에 맞는 방법을 사용하는 것이 중요하다. 오늘날에는 유한요소법, 시간 유한 차분법(Finite-Difference Time-domain, FDTD), 모멘트 법과 같은 다양한 수치해석 방법들과 혼합 수치해석 방법들이 연구되고 있다.

이러한 여러 수치해석 방법 중 FDTD 기법은 역행렬의 연산 과정이 필요한 유한요소법과 같은 수치해석 기법과 다르게 행렬 계산이 없어 컴퓨터의 메모리 사용이 적다. 따라서 이 방법은 수 MHz 이상의 주파수 대역에서 인체 모델과 같은 복잡하고 여러 가지 매질로 이뤄져 있는 문제를 해석할 때 가장 널리 사용되는 방법의 하나다⁽¹⁾.

기존 전자파의 인체 영향 연구는 주로 전력 송전선 문제를 위한 극저주파 대역과 휴대전화와 같은 문제를 위한 고주파 대역에서 진행되어 왔다. 최근에는 많은 유형의 장치들이 무선 통신과 무선 전력 전송 분야에서 중간주파수 대역을 사용하여 개발되고 있다⁽²⁾, ⁽³⁾. 따라서, 이러한 장치에서 발생하는 전자파의 인체 안전에 대한 관심도 증가하고 있다. 세계보건기구에서는 중간주파수 대역 전자기파의 인체 영향에 대한 연구를 권장하고 있다⁽⁴⁾.

하지만 중간주파수 대역에서 일반적인 FDTD 기법은 정상 상태로 수렴하기 위한 계산 횟수가 매우 커짐에 따라 해석 시간이 과도하게 길어지게 된다. 이러한 문제를 다루기 위해 ADI-FDTD^(5)-(8)와 FDTD의 변형 기법의 적용을 고려할 필요가 있다^(9)-(15).

ADI-FDTD는 이론적으로는 다른 조건과 상관없이 안정적이지만 수치 분산 특성(numerical dispersion)이 가속인자가 커질수록 급격하게 악화되어 정확도가 줄어든다. 즉, 이 기법은 시간 차분 수치해석 기법이 만족해야 하는 CFL(Courant-Fridrichs- Lewy) 안정 조건에는 제한을 받지 않지만, 해석의 정확도는 제한을 받는다. 따라서 중간주파수 이하에서는 높은 정확도를 기대하기 어려워 사용하기 어렵다. 극저주파에서 사용될 수 있도록 준정적 근사를 이용한 impedance network 방법⁽⁹⁾, ⁽¹⁰⁾, current vector potential method⁽¹¹⁾, scalar potential finite difference ⁽¹²⁾ 등의 FDTD 변형 기법들은 입사 자기장의 해석은 패러데이의 법칙을 이용하여 빠르게 해석할 수 있지만 입사 전기장 문제는 고려하지 못한다. 하지만, 중간주파수 대역에서는 입사 전기장에 의한 영향도 무시할 수 없다는 연구 결과가 있기에 극저주파에서 사용하는 방법들을 중간주파수 문제에 적용하기는 어렵다⁽¹³⁾. Frequency-scaling FDTD 기법은 모든 소스 원의 입사에 대해 고려할 수 있으나 주파수의 변형에 따른 오차가 발생하고, 여전히 긴 해석 시간이 필요하다⁽¹⁴⁾. 이러한 문제점을 해결하기 위해 준정적 FDTD 기법⁽¹⁵⁾은 Frequency-scaling FDTD 기법을 개선한 방법을 제안하였다. 이 방법은 해석 주파수대역이 준정적 조건을 만족할 때 효과적으로 전자기 문제를 해석할 수 있으나 평면파 입사 문제 해석에만 제한적으로 적용되었다.

수정된 준정적 FDTD 기법은 중간주파수에서 다양한 입사 자기장과 전기장 문제의 해석을 위하여 개발되었다⁽¹⁶⁾. 이 방법은 표면등가이론을 기반으로 한 준정적 FDTD 기법으로 구조체로부터 방사되는 전자기파에 의해 유전체 내부에 유기되는 전계를 계산하여 상용 툴과 결과 비교를 통해 중간주파수 대역에서 적용할 수 있음을 확인하였다⁽¹⁷⁾. 본 논문에서는 수정된 준정적 FDTD 기법에 대해 요약하고 방법의 타당성을 검증하기 위해 이론 해가 있는 해석 문제와 결과 비교를 하였다. 그리고, 기존 일반적인 FDTD와의 성능 비교도 기술하였다.

2. 수정된 준정적 FDTD 기법

수정된 준정적 FDTD 기법의 기본적인 개념은 표면 등가 원리와 준정적 FDTD 기법의 혼합이다. 이 방법은 일반적인 FDTD 기법이 문제를 한 번에 계산하는 것과 다르게 두 단계로 나뉘어 있다.

이 기법의 과정을 간략히 설명하면 첫 단계는 안테나와 같은 방사체와 소스 원을 포함하는 구조를 선택하는 것이다. 기존의 준정적 FDTD 기법을 방사체가 있는 해석 문제에 바로 적용하면 방사 특성을 고려할 수 없기에 제안한 방법에서는 표면 등가 원리를 적용하여 이러한 문제를 해결하였다. 이 원리는 복잡한 구조의 전자파 산란을 해석할 때 유용한 개념으로 안테나, 반사체와 같은 실제 소스 원을 그것을 포함하는 가상의 폐곡면(closed surface)에 유기된 가상의 전류로 치환한다. 등가표면은 일반적으로 구, 원기둥, 직육면체 등과 같은 계산하기 쉬운 표면을 택하는데 본 논문에서는 FDTD 기법에 적용하기 위해 정육면체 표면을 선택했다. 첫 단계의 다음 과정은 위에서 선택한 정육면체의 각 면에서 소스 원으로부터 유기된 전류를 구하는 것이다. 계산한 표면 전류는 표면 등가 원리에 의해 새로운 소스 원으로 다음 단계에서 활용된다.

다음 단계는 위에서 구한 표면 전류에 준정적 근사를 이용하여 준정적 FDTD의 소스 원으로 변경한다. 준정적 전자계에서는 유전 물질의 내부와 외부의 특성에 따라 경사 함수(ramp function)를 입사파로 사용하면, 대상 외부의 전자기장은 선형성을 보이고, 대상 내부에서는 상숫값을 갖는다. 본 논문에서는 준정적 FDTD 기법과 같이 시작 부분이 부드럽게 처리된 경사 함수를 사용하였다⁽¹⁵⁾.

여기서 $\tau$는 경험적인 값으로 보통 100$\triangle t$ 정도의 값을 사용한다.

마지막으로 근사화된 소스 원은 다음과 같은 시간 영역 Maxwell 방정식에 적용된다.

해석 영역 내의 모든 전자기장은 일반적인 FDTD 방법으로 위의 식을 계산함으로 구해진다.

그림 1은 이 기법의 흐름도이다.

그림. 1. 수정된 준정적 FDTD 기법의 흐름도

Fig. 1. Flowchart of modified quasi-static FDTD

3. 결과 및 토의

수정된 준정적 FDTD 기법의 이론 해와의 검증을 위하여 미소 다이폴로부터 유전체 구 내부로 유기된 전기장 계산 결과를 비교하였다. 구형 모델을 이용하여 수정된 준정적 FDTD 기법을 검증하는 이유는 널리 알려진 이론 해가 있기 때문이다. 일반적으로 실제의 문제들은 복잡한 형상으로 구성되어 있기에 대부분 이론 해를 구할 수 없다. 따라서 보통 수치해석법을 검증하기 위해 구, 타원과 같은 이론해가 존재하는 모델과 결과를 비교한다.

표 1은 해석에 사용한 변수들이다.

3.1 미소 전기 다이폴

미소 다이폴로부터 유전체 구 내부로 유도되는 전기장 값은 전류 분포를 알고 있다는 가정에서 경계치 문제의 계산을 통해 구할 수 있다. 그림 2는 반지름 a를 갖는 유전체 구와 구의 중심에서 b의 거리에 있는 미소 다이폴을 나타낸다.

그림. 2. 미소 다이폴과 유전체 구

Fig. 2. Hertzian dipole and dielectric sphere

R’=b, $\theta$=0, $\phi$=0에 위치한 미소 전기 다이폴로부터 구에 유도되는 전계는 다음과 같이 표현된다.

(4)

\begin{align*} \vec{E_{e}}(\vec{R}')=-\dfrac{\omega k_{1}\mu C_{e}}{4\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n+1}{n(n+1)}\bullet \\ \left\{c_{n}^{(1)}h_{n}\left(\rho_{3}\right)\bar{M_{o1n}}(k_{2})+d_{n}^{(1)}\dfrac{\left[\rho_{3}h_{n}\left(\rho_{3}\right)\right]'}{\rho_{3}}\bar{N_{e1n}}(k_{2})\right\} \end{align*}

여기서 $h_{n}$은 구면 한켈함수이고, $\bar{M}$과 $\vec{N}$은 동차 벡터 파동 방정식의 해이다. 또한, $k_{1}$과 $k_{2}$는 각각 구 외부와 내부의 전파 상수이고 $\rho_{3}=k_{1}b$이다. 그리고 계수 $c_{n}^{(1)}$과 $d_{n}^{(1)}$은 다음과 같이 나타낸다.

(5)

$c_{n}^{(1)}=\dfrac{\left[\rho_{1}h_{n}(\rho_{1})\right]'j_{n}(\rho_{1})-\left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\right]'h_{n}(\rho_{1})}{\left[\rho_{1}h_{n}(\rho_{1})\right]'j_{n}(\rho_{2})-\left[\rho_{2}j_{n}(\rho_{2})\right]'h_{n}(\rho_{1})}$

(6)

$d_{n}^{(1)}=\dfrac{\sqrt{\epsilon_{r}}\left[\rho_{1}h_{n}^{(1)}(\rho_{1})\right]'j_{n}(\rho_{1})-\sqrt{\epsilon_{r}}\left[\rho_{1}j_{n}(\rho_{1})\right]'h_{n}(\rho_{1})}{\epsilon_{r}\left[\rho_{1}h_{n}(\rho_{1})\right]'j_{n}(\rho_{2})-\left[\rho_{2}j_{n}(\rho_{2})\right]'h_{n}(\rho_{1})}$

수정된 준정적 FDTD 기법과 이론 해의 결과는 100 kHz와 1 MHz에서 2차원 단면의 백분율 오차로 비교하였다.

(7)

$백분율 오차(\%)=\dfrac{\sum^{n}\left |\dfrac{이론 해-수정된 준정적 FDTD}{이론 해}\right |\times 100}{n}$

그림. 3. 미소 전기 다이폴: x=0 단면의 100 kHz에서 구 내부의 유도 전기장

Fig. 3. Hertzian electric dipole: Induced electric field cross-section at 100 kHz in the plane x=0

그림. 4. 미소 전기 다이폴: x=0 단면의 1 MHz에서 구 내부의 유도 전기장

Fig. 4. Hertzian electric dipole: Induced electric field cross-section at 1 MHz in the plane x=0

표 2. 미소 전기 다이폴: 백분율 오차

Table 2. Hertzian electric dipole: Percent error

Frequency	Plane x=0	Plane y=0	Plane z=0
100 kHz	8.43	8.64	7.28
1 MHz	8.59	8.92	7.57

그림 3과 4는 x=0 단면에서 각각 100 kHz와 1 MHz에서의 결과 비교이다. 표 2는 각 단면에서의 백분율 오차를 나타낸다. 수정된 FDTD 기법은 중간 주파수에서 미소 전기 다이폴 문제에 대하여 이론 해와 10 % 내외의 오차를 갖는 것을 확인하였다.

그림. 5. x=0 단면의 구 내부 유도 전기장 비교 결과

Fig. 5. Comparison result of induced electric field cross-section in the plane x=0

오차는 그림 5에서와 같이 경계부에서 크게 확인되었는데 이는 일반적인 FDTD 기법의 계단 근사 오류로부터 발생하였고 그 외의 부분에선 이론 해와 거의 일치함을 보였다.

3.2 미소 자기 다이폴

미소 자기 다이폴로부터 유전체 구 내부로 유도되는 전기장 값은 다음과 같다.

(8)

$\vec{E_{m}}(\vec{R}')=\dfrac{i\omega k_{1}\mu C_{m}}{4\pi\eta_{1}}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n+1}{n(n+1)}\left\{\begin{aligned}c_{n}^{(1)}\dfrac{\left[\rho_{3}h_{n}\left(\rho_{3}\right)\right]'}{\rho_{3}}\bar{M_{o1n}}(k_{2})\\ -d_{n}^{(1)}h_{n}\left(\rho_{3}\right)\bar{N_{e1n}}(k_{2})\end{aligned}\right\}$

여기서 $\eta_{1}=\sqrt{\mu_{1}/\epsilon_{1}}$으로 자유 공간의 고유 임피던스이고, 나머지 변수들은 미소 전기 다이폴 해석과 같다.

미소 전기 다이폴과 마찬가지로 100 KHz와 1 MHz에서 결과를 비교하였다.

그림. 6. 미소 자기 다이폴: z=0 단면의 100 kHz에서 구 내부의 유도 전기장

Fig. 6. Hertzian magnetic dipole: Induced electric field cross-section at 100 kHz in the plane z=0

그림. 7. 미소 자기 다이폴: z=0 단면의 1 MHz에서 구 내부의 유도 전기장

Fig. 7. Hertzian magnetic dipole: Induced electric field cross-section at 1 MHz in the plane z=0

표 3. 미소 자기 다이폴: 백분율 오차

Table 3. Hertzian magnetic dipole: Percent error

Frequency	Plane x=0	Plane y=0	Plane z=0
100 kHz	10.24	11.56	9.94
1 MHz	10.25	11.56	9.97

그림 6과 7은 z=0 단면에서 각각 100 kHz와 1 MHz에서의 결과 비교이다. 표 3은 각 단면에서의 백분율 오차 결과이다. 그림 8에서 수정된 준정적 FDTD 기법은 거의 의미 없을 정도로 작은 중앙과 경계면을 제외하고 대체로 미소 전기 다이폴 해석과 유사하게 이론 결과와 일치함을 알 수 있다.

논문에서 수행한 모든 해석에 사용한 반복 횟수는 600번이다. 일반적인 FDTD 기법이 한 주기의 해석에 요구하는 반복 계산 횟수는 다음과 같다⁽¹⁸⁾.

그림. 8. z=0 단면의 구 내부 유도 전기장 비교 결과

Fig. 8. Comparison result of induced electric field cross-section in the plane z=0

(9)

$N=\dfrac{\sqrt{n}\bullet c_{0}}{frequency\bullet\triangle x}$

해석에 필요한 총 계산 횟수는 식 (9)에 따라 주파수와 격자의 크기와 관련이 있다. 일반적인 FDTD 기법은 수렴을 위해 3~4주기의 계산이 필요하기에 중간주파수 대역에서 사용하기 어렵다. 또한, 주파수가 내려갈수록 해석 시간이 더욱 많이 요구되는 데 반해 수정된 FDTD 기법은 주파수의 변화에 크게 영향을 받지 않기에 더욱 강력한 성능을 보인다.

위와 같은 특성으로 이 기법은 저주파수 전자기파의 인체 영향 문제에 일반적인 FDTD 기법과 비교하여 빠르게 적용할 수 있음을 보였고^{(16), (17)} 본 논문에서는 이론 해와 비교하여 기법의 정확성에 대해 조사하였다.

4. 결 론

본 논문에서는 중간주파수 대역에서 입사 전기장과 자기장 문제를 해석할 수 있는 수정된 준정적 FDTD 기법을 이론 해와 비교하였다. 속도와 메모리의 관점에서 전자기장에 의한 생체영향 해석에 가장 널리 사용되는 FDTD 기법은 저주파수에서 CFL 안정조건을 만족시키기 어려워 제한적으로 사용되어 왔다. 수정된 준정적 FDTD 기법은 FDTD 기법이 가진 장점을 기반으로 빠른 시간에 수렴할 수 있는 방법을 고안하기 위해 표면 등가 원리와 준정적 근사를 이용하였다.

이 기법은 유전체 구 문제에 대하여 100 kHz와 1 MHz에서 이론 해와 10 % 내외의 오차를 보였다. 이 기법은 일반적인 FDTD 기법으로는 안정 조건을 만족하기 위한 반복 계산 횟수가 너무 커져 해석하기 어려운 주파수에서 매우 적은 횟수로 이론 결과와 크게 벗어나지 않는 결과를 보였다. 따라서, 수정된 준정적 FDTD 기법은 준정적 가정이 보장되는 한 해석 시간의 문제로 계산하기 어려웠던 중간주파수 대역 문제에 FDTD 기법의 사용을 확장했다.