2.1 PMSM의 종류

PMSM은 영구자석 부착형태에 따라 매립형 PMSM (IPMSM : Interior PMSM)과 표면 부착형 PMSM(SPMSM : Surface Mounted PMM)으로 구분된다. 그림 1은 두 가지 형태의 PMSM을 나타낸다.

그림. 1. 영구자석 위치에 따른 PMSM 구조

Fig. 1. PMSM structure according to permanent magnet position

두 모터의 주요 차이점으로 매립형 PMSM은 고정자 각상의 인덕턴스가 회전자가 회전할 때 회전자에 따라 달라지지만 표면 부착형 PMSM은 표면에 자석이 부착되어 있어 회전자가 회전할 때 고정자 각 상 들의 고정된 인덕턴스를 갖는다 ⁽⁸⁾. 이러한 이유로 SPMSM은 영구자석의 토크만 발생하지만 IPMSM은 영구자석의 토크와 인덕턴스 변화에 의한 토크가 함께 발생한다. 본 논문에서는 SPMSM의 모델을 기준으로 사용한다.

2.2 벡터제어

PMSM의 리액턴스는 전동기의 속도에 관련된 함수이며, 시변 미분방정식의 형태로 나타나게 된다. 따라서, PMSM의 과도상태 등을 해석하기 위해서는 3상 전압방정식을 2상 전압방정식으로 변환하여 해석하는 것이 제어가 간단해지며 용이하다. PMSM의 회전자는 고정자의 회전자계와 동일한 위상과 같은 속도로 회전한다. 회전자계와 같은 속도로 회전하는 좌표계에서 회전자는 정지한 상태로 보여진다. 따라서, a, b, c상 중심의 고정좌표계를 회전좌표계로 변환하여 해석해야 한다. 그림 2는 MRAS를 사용한 벡터제어의 블록도를 나타낸다.

그림. 2. MRAS를 사용한 벡터 제어 블록 다이어그램

Fig. 2. Block diagram of vector control using MRAS

2.2.1 고정좌표계 변환 (Clarke Transformation)

PMSM의 3상 고정좌표계를 2차원 공간상의 벡터로 표현하게 되면 3상에 비해서 제어할 변수를 하나 줄일 수 있다. 3상의 고정좌표계와 2상의 고정좌표계는 모두 고정자를 기준으로 하는 정지좌표계이며 3상은 2상 정지좌표계에 비해 $\theta$만큼 회전한 좌표계이다. 전류를 변수로 두면 다음 PMSM은 식 (1)과 같은 동력학 방정식으로 표현할 수 있다 ⁽¹⁾.

(1)

$\begin{bmatrix}i_{\alpha s}\\i_{\beta s}\\i_{os}\end{bmatrix}=\dfrac{2}{3}\begin{bmatrix}\cos\theta &\cos(\theta -\dfrac{2\pi}{3})&\cos(\theta +\dfrac{2\pi}{3})\\-\sin\theta &-\sin(\theta -\dfrac{2\pi}{3})&-\sin(\theta +\dfrac{2\pi}{3})\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{as}\\i_{bs}\\i_{cs}\end{bmatrix}$

여기서, $i_{os}$는 영상분으로 역변환을 하기 위해 있는 무의미한 변수이며, $\alpha s$와 $as$를 일치시키면 $\theta =0$이 된다. 변수를 3상에서 2상으로 좌표 변환할 때 순시치의 진폭을 좌표계 표현과 상관없이 일치시키기 위해 계수를 조정하게 되면 다음 수식 (2)와 같이 표현된다.

(2)

$\begin{bmatrix}i_{\alpha s}\\i_{\beta s}\end{bmatrix}=\dfrac{2}{3}\begin{bmatrix}1&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{as}\\i_{bs}\\i_{cs}\end{bmatrix}$

여기서, $\dfrac{2}{3}$는 정변환과 역변환에서 모두 사용되는 계수이다. $\dfrac{2}{3}$로 하는 이유는 각각의 좌표계에서 순시치의 진폭을 동일하게 사용할 수 있는 장점이 있기 때문이지만 순시 전력량은 동일하지 않기 때문에 $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$로 변경된 계수를 사용하는 경우가 있다. 역변환은 다음 식 (3)으로 표현한다. 그림 3은 Clarke Transformation의 벡터선도를 나타낸다.

(3)

$\begin{bmatrix}i_{as}\\i_{bs}\\i_{cs}\end{bmatrix}=\dfrac{2}{3}\begin{bmatrix}1&0\\-\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha s}\\i_{\beta s}\end{bmatrix}$

그림. 3. 고정좌표계 변환

Fig. 3. Clarke Transformation

2.2.2 회전좌표계 변환

2상으로 변환된 고정좌표계는 $90^{\circ}$의 위상차를 가지고 있으며 일정하게 변화하는 두 방향의 벡터로 표현된다. 다시 2상의 고정좌표계의 $\alpha_{s}$와 $\beta_{s}$의 차를 시계방향으로 $\omega$의 각속도로 회전시키는 벡터 좌표계로의 변환은 다음 식 (4)와 같다.

(4)

$\begin{bmatrix}i_{ds}\\i_{qs}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\omega t&\sin\omega t\\-\sin\omega t&\cos\omega t\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{\alpha s}\\i_{\beta s}\end{bmatrix}$

식 (4)를 역변환시키면 식 (5)로 나타낸다.

(5)

$\begin{bmatrix}i_{\alpha s}\\i_{\beta s}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\omega t&-\sin\omega t\\\sin\omega t&\cos\omega t\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_{ds}\\i_{qs}\end{bmatrix}$

그림 4는 Park Transformation의 벡터선도를 나타낸다.

그림. 4. Park의 좌표 변환

Fig. 4. Park Transformation

2.3 PMSM 모델링

PMSM의 동적방정식은 다음 식 (8)과 같이 동기식 d-q 축을 사용하여 표현할 수 있다 ⁽¹⁾.

여기서, $V_{d},\:V_{q}$는 d-q 프레임 고정자 전압 (제어 입력)이고, $i_{d},\:i_{q}$는 d-q 프레임 고정자 전류이다. $R_{s}$는 고정자의 저항이고, $L_{d}$와 $L_{q}$는 d-q축 인덕턴스다. 또한, $L_{d}= L_{q}= L_{s}$이며 $\omega_{s}(t)= N_{p}\times\omega_{g}(t)$는 회전자의 속도, $\psi_{f}$는 영구자석에 의해 설정된 자속 밀도이며, 회전자 속도의 동적 방정식은 다음 식 (9)와 같이 표현할 수 있다.

여기서, 부하토크 $T_{L}=0$으로 설정한다.

2.4 SVPWM

SVPWM (Space Vector Pulse Width Modulation)은 3상 인버터의 지령 전압을 복소 공간 벡터를 통해 변조하는 방법이다. 기준전압을 공간벡터로 제공되는 방식이기 때문에 인버터의 3상 출력 상전압 역시 공간벡터로 표현해야 한다. 그림 5는 공간 전압 벡터도로 인버터의 출력전압 벡터를 복소수 공간상에 표현한 것이다.

그림. 5. 공간 전압 벡터 다이어그램

Fig. 5. Space voltage vector diagram

그림 5에 의하면, 전압벡터$V_{1}\sim V_{6}$는 유효전압 벡터로 각각 $60^{\circ}$의 위상차가 있으며, DC전압의 $\dfrac{2}{3}$의 크기를 갖는다. 그리고, $V_{0},\:V_{7}$은 영전압 벡터로 부하를 인가하지 않은 상태이다. 그림 6과 같이 SVPWM의 기본적인 원리는 지령 전압과 인접한 2개의 유효벡터, 영전압을 이용하여 한 주기 동안의 평균을 합성하는 것으로, 이를 식 (14)로 표현할 수 있다.

여기서, $T_{0}$는 영벡터 인가시간이고 $T_{1}$은 $V_{n}$전압의 인가시간, $T_{2}$는 $T_{n+1}$전압 인가시간, $T_{s}$ 는 샘플링 주기이다. 식 (14)를 벡터선도로 표현하면 그림 6과 같이 나타낼 수 있다. 전압 지령을 생성하는 과정은 3단계로 나뉘며 이는 스위칭 주파수에 의해 결정된 샘플링 주기마다 반복된다. 먼저, $0\sim T_{1}$에 해당하는 시간 동안 $V_{1}$의 방향으로 전압을 인가하면, $V_{1}(T_{1}/T_{s})$크기의 전압이 발생한다. 그다음 $T_{2}$시간 동안 $V_{2}$방향으로 전압이 인가되면, 지령 전압과 같은 위상과 크기가 맞춰진다. 마지막으로 $T_{1}$과 $T_{2}$시간의 합이 샘플링 주기보다 작으면 나머지 시간동안 영전압 벡터를 인가한다. 그림 6과 같이 지령전압 벡터가 Sector1에 위치한 경우 식 (15)와 같이 표현될 수 있다.

그림. 6. SVPWM의 전압 변조 과정

Fig. 6. Voltage modulation process of SVPWM

식 (15)를 유효전압 벡터 인가시간으로 정리하면 식 (16)과 같다.

이와 같은 방법으로 Sector 2 ~Sector 6 영역에 대한 기준 전압벡터의 위치에 따라 인가되는 유효전압벡터 및 인가시간을 구할 수 있다.

3.1 속도제어를 위한 참조모델 설계

MRAS는 두 가지의 추정기 출력을 비교하여 회전자의 속도를 얻는 방식이다. 회전자의 속도 값이 포함되어 있지 않는 추정기는 PMSM 기준모델, 속도 값을 포함하는 추정기는 조정 가능한 모델로 간주한다. 두 모델에서 구한 추정치의 차이를 이용하여 참조모델과 제어를 위한 속도 추정값을 구할 수 있다 ⁽¹⁸⁾. 참조모델 출력벡터는 조정 가능한 모델 상태벡터와 비교되며, PMSM의 안정적인 속도측정을 보장한다. 식 (11)과 식 (13)에서 참조모델은 다음 식 (17)과 같이 선택할 수 있다. 그림 7은 제안하는 PMSM을 위한 MRAS기반의 제어 블록도를 나타낸다.

그림. 7. PMSM을 위한 MARS 기반 제어 전략의 블록 다이어그램

Fig. 7. Block diagram of the MARS-based control strategy for PMSM

식 (17)에서 참조모델을 식 (18)과 같이 작성할 수 있다.

여기서, $\dot{i}(t)=\left[\begin{array}{cc}\tilde{i}_{d}(t) & \tilde{i}_{q}(t)\end{array}\right]^{T}, \dot{u}(t)=\left[\begin{array}{ll}\dot{V}_{d}(t) & \dot{V}_{q}(t)\end{array}\right]^{T}$

이며 $A=\begin{bmatrix}-\dfrac{R_{s}}{L_{s}}&\widetilde\omega_{s}\\-\widetilde\omega_{s}&-\dfrac{R_{s}}{L_{s}}\end{bmatrix},\: B=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{L_{s}}&0\\0&\dfrac{1}{L_{s}}\end{bmatrix}$이다.

조정 가능한 모델 식 (13)과 참조모델 식 (18)을 사용하여 다음 식 (19)와 같이 오류를 계산할 수 있다.

식 (19)에서, $M=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 이고, 오류는 다음 식 (20)과 같이 표현된다.

식 (19)에서 다음 식 (21)과 같은 최종 오류 모델을 얻을 수 있다.

$\widetilde A_{c}=\begin{bmatrix}-\dfrac{R_{s}}{L_{s}}&\omega_{s}\\-\omega_{s}&-\dfrac{R_{s}}{L_{s}}\end{bmatrix}$

여기서, $\widetilde{\acute e_{dq}}(t)=\begin{bmatrix}\widetilde{\acute e_{d}}(t)&\widetilde{\acute e_{q}}(t)\end{bmatrix}^{T},\: X=M(\omega_{s}-\omega_{s})\widetilde{\acute i}(t)$이다.

Popov안정도 판별법 ⁽¹⁸⁾에 따르면 다음 식 (22)와 같이 MRAS 기반 적응제어 법칙의 회전자속도 추정치의 차이를 나타낼 수 있다.

여기서, $E_{F}=(i_{d}\widetilde{\acute i_{q}}-\widetilde{\acute i_{d}}{\acute i_{q}})=\acute i\times\widetilde{\acute i} .$ $K_{p},\:K_{i}$는 각각 제어기의 비례이득과 적분이득이며, 식 (12)와 식 (22)에서 다음 식 (23)을 나타낼 수 있다.

식 (22)를 시간에 대해 적분하면 다음 식 (24)와 같이 회전자의 위치를 추정할 수 있다.

마지막으로 식 (23)과 식 (24)를 사용하여 MRAS기반의 제어 이론을 통해 PMSM의 회전자 속도와 전기각도의 위치를 효과적으로 추정할 수 있다.

3.2 기존 PI제어

PI 제어란 오차신호를 적분하여 제어신호를 만드는 적분제어를 비례 제어와 병렬로 연결하여 사용하는 제어기법이다. 이 기법에 의해 동작하는 제어기를 비례적분(PI) 제어기라고 한다. 그림 8은 플랜트에 PI제어기를 연결해 구성한 되먹임 제어시스템이며, PI제어기의 전달함수는 식 (25)와 같다

그림. 8. PI 컨트롤러의 블록 다이어그램

Fig. 8. Block diagram of PI controller

여기서 $K_{p}$는 비례계수이며, $K_{i}$는 적분계수다. 이 제어신호를 시간영역으로 나타내면 다음 식 (26)과 같다.

PI제어를 이용하면 시스템의 차수가 증가하여 정상상태오차를 개선할 수 있다.

3.3 외부루프 셀프튜닝 PI 제어

외부루프 속도 제어의 주요 목적은 PMSM의 속도 오류를 제거하는 것이다. PMSM은 제어기의 기준속도를 따라 가야하며 속도오류를 정의하면 다음 식 (27)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $\widetilde\omega_{g}(t),\:\omega_{g}(t)$ 는 PMSM에서 측정된 회전자 속도와 기준속도이며, 기존의 외부루프 속도제어기는 다음 식 (28)과 같이 표현된다.

여기서 $K_{p},\:K_{i}$는 각각 속도제어기의 비례 이득 및 적분 이득이다. 제안된 셀프튜닝 방법을 개발하기 위해 식 (1)을 이 용한다. 제안된 외부루프 속도제어기는 다음 식 (29)와 같이 표현된다.

식 (29)에서 제어이득은 다음 식 (30)과 같이 표시된다.

폐 루프 셀프튜닝 PI 제어 방법을 사용하면 $\Delta\widetilde K_{p},\:\Delta\widetilde K_{i}$ 매개 변수가 시간에 따라 업데이트되며, 튜닝 매개변수는 목표 대역폭 근처의 예상 시스템 주파수 응답에 따라 달라진다.

3.4 내부루프 전류제어

내부 루프 전류제어기는 고정자 전류를 조절하는데 사용된다. 전압 제어는 다음 식 (31)과 같은 제어 입력을 사용하여 생성된 PMSM에 대한 d-q 축 프레임에서 사용된다.

여기서, $K_{p},\:K_{i}$는 현재 제어기의 이득이며, 자속기준 제어방법(FOC)에 따르면, $i_{dref}=0$이고 $i_{qref}$는 외부 루프 셀프튜닝 속도 제어 방법에서 직접 얻어져 부하 토크 외란의 변화에서 정상상태 오차가 0이 된다.

4.1 시뮬레이션 매개변수 설정

본 실험에서는 Matlab / Simulink에 구현된 MRAS를 이용한 3상 PMSM의 벡터제어 기반 셀프튜닝 PI 제어 시뮬레이션 모델을 사용하여 제안한 모델과의 우수성을 검증하였고, 외부 루프 제어 방식은 셀프튜닝 PI 제어방식을 사용했다. 표 1은 제안된 제안된 방법의 우수성을 검증하기 위해 시뮬레이션에서 사용된 PMSM의 매개변수를 나타낸다.

4.2 PMSM에서 제안된 MRAS의 성능검증

제안된 MRAS 기반 제어방법은 3상 PMSM으로 검증된다. MRAS 기반 제어방법에서 PMSM의 회전자속도 $\widetilde\omega_{s}(t)$는 식 (32)을 사용하여 계산하고, 전기각도는 식 (23)을 사용하여 측정한다.

그림 10은 3상 PMSM의 실제 회전자의 속도와 MRAS를 사용하여 측정된 회전자의 속도를 보여준다. 그림 11은 제안된 MRAS 기반의 속도제어 방법에 따라 실제 및 측정된 전기각도의 추정값을 보여준다. 그림 10에서 볼 수 있듯이 MRAS기반의 회전자 속도 추정시간에서 2.4초부터 시작되는 셀프튜닝 기간은 소음 및 부하 토크 변동에 안정적임을 볼 수 있다. 또한, 제어되지 않는 구간의 튜닝 기간(0 ~2.4초)을 필요로 하지 않고, MRAS 기반 제어 전략으로 회전자의 속도를 효과적으로 추정하였음을 알 수 있다.

그림. 9. 제안된 MRAS 제어 전략에 따른 PMSM의 실제 및 측정된 회전자 속도 변화.

Fig. 9. Actual and measured rotor speed variation of PMSM under the proposed MRAS control strategy.

그림. 10. 제안된 MRAS 제어 전략에 따른 PMSM의 실제 및 측정된 전기각 변화.

Fig. 10. Actual and measured electrical angle variation of PMSM under the proposed MRAS control strategy

그림 12(a)는 d-q축의 전류 변화량을 보여주며, 그림 12(b)는 a, b, c상의 전류변화량을 보여준다.

그림. 11. d-q 축 전류 변화 및 a, b, c 상 전류.

Fig. 11. d-q axis current change and a, b, c phase current

4.3 제안된 셀프튜닝 PI 속도제어방법의 성능검증

제안된 안정적인 PI 셀프튜닝 속도제어방법의 성능분석은 PMSM모델을 통해 검증하였다. 그림 13은 제안된 셀프튜닝 PI 속도제어방법의 회전자 속도 변화를 보여준다. 그림 13에서 볼 수 있듯이, 기존의 PI 제어는 튜닝 기간이 없으면 기존 PI 제어가 PMSM의 기준 속도에 효과적으로 도달하지 못한다. 튜닝이 시작되면 PMSM의 회전자의 속도가 매우 짧은 시간 내에 기준 속도 1000rpm에 도달하였으며, 그림 14는 다양한 튜닝 매개 변수에 따른 회전자 속도의 변화를 보여주고 있다. 그림 14의 튜닝 매개 변수는 셀프튜닝 PI 속도 제어방법에서 매우 중요한 역할을 한다. 그림 14에 의하면, 제안된 셀프튜닝 PI 속도제어는 기존 PI 속도제어방법에 비해 짧은 시간 내에 기준 속도에 도달하는 걸 확인할 수 있다.

그림. 12. 제안한 자체 튜닝 PI 속도 제어 방법의 회전자 속도 변화.

Fig. 12. Rotor speed variation of the proposed self-tuning PI speed control method

그림. 13. 제안하는 자체 튜닝 PI 속도 제어 방법의 다양한 튜닝 매개변수에 따른 회전자 속도 변화.

Fig. 13. Rotor speed variation under different tuning parameters of the proposed self-tuning PI speed control method.