3.2 제어기 설계와 안정도 증명
미리 결정해야 할 출력추종 오차의 범위는 다음과 같이 기술된다.
여기서 0<c<1은 설계상수이고
이며 $k_{10}>k_{1 \infty}>0, \mu_{1}>0$은 모두 설계상수이다. 수렴율은 $\mu_{1}$로, 출력추종오차 z의 범위는 $k_{1
\infty}$로 설정할 수 있으며 오버슈트(overshoot)는 $ck_{1}$(t)이하로 제한할 수 있다. 식(13)에 내재된 비대칭성을 대칭으로 변환하기 위해서 다음과 같이 정의한다.
그러면 다음과 같은 부등식이 식(13)과 동일하다는 것을 쉽게 유추할 수 있다.
상태변수 오차는 다음과 같이 정의된다.
여기서 $\zeta_{i}$(t)는 앞으로 제시될 중간 제어 신호이다. 이 상태변수 오차에 대한 성능 범위는 다음과 같이 선정되며
여기서 양의 설계 상수 $p_{i0}$와 $p_{i \infty}$는 $\left|e_{i}(0)\right|<p_{i 0}, p_{i \infty}<p_{i
0}$가 성립하도록 선정한다. $\forall t \geq 0$ 에 대해서 $\left|e_{i}\right|<p_{i}$가 되도록 하는 제어입력은
다음과 같이 결정된다.
여기서 $\gamma_{i}$ 는 양의 제어 이득이고
이며, 함수 v($n_{n}$)은 제어 방향을 추정하는 평활한 함수이고 다음과 같은 특성을 만족하는 양의 상수 $a_{1}$과 $a_{2}$가 존재하여야
한다.
이러한 특성을 만족하는 전형적인 함수는 $\nu\left(\eta_{n}\right)=\sin \left(\eta_{n}\right)$ 혹은 $\nu\left(\eta_{n}\right)=\cos
\left(\eta_{n}\right)$ 이다. 식(20)-식(23)으로부터 제어입력에 대해 서 다음이 성립함은 자명하다.
보조정리 2: 만약 $e_{i}, \dot{e}_{i}, \eta_{i}$ 가 유계라면 $\dot{\zeta}_{i}$ 도 유계이다.$(i=1, \cdots,
n-1)$
증명: 식(19)로부터 다음 등식이 성립한다.
식(14)와 식(15)로부터
이며 다음 부등식이 쉽게 유도된다.
또한 식(18)로부터 다음 부등식도 쉽게 유도된다.
그리고 $\theta \equiv \frac{\pi e_{i}}{2 p_{i}}$라고 정의하면 $\eta_{i}$가 유계라는 가정과 정의식 식(21)에 의해서 $|\theta| \neq \frac{m \pi}{2}(m=1,3,5, \cdots)$라고 유추할 수 있으므로 $1 / \cos ^{2}
\theta$도 역시 유계임을 알 수 있다. 이 사실과 $e_{i}$ 와 $\dot{e}_{i}$ 가 유계라는 사실을 공합하면 $\dot{\zeta}_{i}$
가 유계라는 결론을 도출할 수 있다. ■
정리 1: 시스템 식(1)에 대해서 가정 1과 가정 2가 성립할 때 제어입력 식(20)은 출력추종 오차를 식(13)과 같이 미리 설정된 범위 안으로 제한시킨다.
증명: 식(15)와 식(9)로부터 다음이 성립한다.
여기서 $\hat{z}_{1}=z$이다. 식(17)과 식(10)로부터는 다음이 성립한다.
식(17)과 식(11)로부터 다음과 같이 유도되고
중간값 정리와 식(4)에 의해서 다음을 만족하는 $u$와 0 사이의 중간값 $u_{c}$가 존재한다.
이 사실을 이용하면 식(32)는 다음과 같이 한 단계 더 유도된다.
식 (17)로부터 $\hat{z}_{i+1}=e_{i+1}+\zeta_{i}(i=1, \cdots, n-1)$ 이므로 식(30),식(31),식(34) 는 다음과 같이 재기술할 수 있다.
여기서
만약 오차 $e_{i}$ 가 다른 오차들 $e_{j}(j \neq i)$ 은 경계 안에 유지되고 있는데 $p_{i}$ 의 경계에 처음으로 도달하는
시간 $t_{1}>0$ 이 다음과 같이 존재한다고 가정한다.
식 (40)이 성립할 필요 조건은 다음이 성립하는 것이다.
식(28), 식(29)를 이용하면 식(42)는 다음과 같이 재기술된다.
여기서 $h_{i}$는 다음과 같이 정의되는 음수이다.
가. Case $\mathbf{1}(i=1, \cdots, n-1): \phi_{i}$ 가 유계라는 사실과 다음 사실 을 고려하면
다음으로 귀결되는데
이것은 필요조건 식(43)에 위배된다.
나. Case 2 $(i=n): \phi_{n}$ 이 유계라는 사실과 식(24), 식(25), 그리고 가정 2 로부터 다음이 $g(\cdot)$ 함수의 부호와 무관하게 성립한다.
따라서 다음과 같이 추론할 수 있는데
이것은 필요조건 식(43)에 위배된다.
따라서 Case 1과 Case 2를 종합하면 오차변수가 규정된 경계에 도달하는 시간 $t_{1}$은 존재하지 않는다는 결론을 내릴 수 있으며 모든
오차가 기설정된 범위 안에 머문다는 사실로 귀결된다. ■
참고문헌 (4),(5)에서는 모든 상태변수에 대해서 가상제어항의 부호를 추정했고 그 때문에 매 단계마다 안정도를 증명해야 했다. 하지만 정리 1의 증명에서 기술된 바와
같이 본 논문에서 제안된 방식은 마지막 n번째 상태방정식에 나타나는 이득부호 하나만을 추정하므로 제어식이나 안정도 증명이 더 간결해지는 장점을 가진다.
또한 본 논문에서 다룬 시스템 식(1)은 (4)와 (5)에서 다루는 동특성식보다 범위가 넓은 일반적인 시변 비선형시스템이다.