2.1 표적차량 운동 모델

표적차량 운동을 모델링하기 위해 그림 1의 상대기하를 생각해보자. 그림에서 사용된 좌표계의 정의는 다음과 같다.

관성좌표계 (I-frame)

차량의 관성운동을 기술하기 위한 기준 좌표계로, 편의상 $X^{I}$축이 정북방향, $Y^{I}$축이 정동방향 그리고 $Z^{I}$축이 지구중심 방향으로 정의되는 NED (North-East-Down) 좌표계로 정의한다. 원점은 자차의 초기위치로 설정된다.

차량좌표계 (V-frame)

원점이 자차의 중심과 일치하고, $X^{V}$축은 차량 진행방향,$Y^{V}$축은 차량 우측방향으로 하는 오른손 좌표계이다. 그림 1과 같이 I-frame을 자차 헤딩각($\psi$)만큼 회전한 후 자차의 현재 위치로 원점 이동하면 V-frame이 얻어진다. $Z$축에 대해 각도 $\epsilon$ 만큼 회전시키는 회전변환행렬을 $R_{Z}(\epsilon)$이라 하면, I-frame에서 V-frame으로의 좌표변환행렬 및 그 역변환은 다음과 같이 정의된다.

본 논문에서 사용된 주요 변수들은 다음과 같이 정리된다.

$(X^{I},\: Y^{I})$ 관성좌표계(I-frame)

$(X^{V},\: Y^{V})$ 차량좌표계(V-frame)

$\vec{R}^{I}_{h}=[x_{h}^{I}y_{h}^{I}]^{T}$ 자차 위치벡터(I-frame)

$\vec{R}^{I}_{t}=[x_{t}^{I}y_{t}^{I}]^{T}$ 표적차량 위치벡터(I-frame)

$\vec{R}^{V}_{ht}=[xy]^{T}$ 자차에 대한 표적차량 상대위치(V-frame)

$v_{h},\:v_{t}$ 자차 및 표적차량 속력

$\omega_{h},\:\omega_{t}$ I-frame에 대한 자차, 표적차량의 동체각속도

$\psi$ 자차 헤딩각(I-frame)

$\gamma ,\:\phi$ I-frame 및 V-frame 표적차량 헤딩각

$r,\: \lambda$ 표적차량 상대거리 및 시선각

$L=\lambda -\phi$ 레이더의 표적 측각(look angle)

V-frame 자차 속도 $\vec{V}_{h}^{V}=\left[\begin{matrix}v_{h}^{x}& v_{h}^{y}\end{matrix}\right]^{T}$와 각속도 $\omega_{h}$는 주행거리계 및 각속도계 정보로 계산 가능한 물리량들이므로, 자차 관련 가용정보 $u^{c}\equiv[v_{h}^{x} v_{h}^{y} v_{h}\omega_{h}]^{T}$를 이용하면 표적차량의 수평면 상대운동 모델을 식 (2)와 같이 기술할 수 있다 ⁽¹²⁾.

샘플링 주기가 $T$일 때, 위 식에 사용된 표적차량의 운동학적 상태변수 $x_{k}$와 비선형함수 $f_{k}(·)$는 다음과 같이 정의된다.

\begin{align*} x\equiv\left[\begin{aligned}x\\ y\\ v_{t\\}\phi \\\omega_{t}\end{aligned}\right],\: f(x ,\: u^{c})\equiv\left[\begin{aligned}f_{p}(x ,\: u^{c})\\v_{t}\\\phi +T(\omega_{t}-\omega_{h})\\\omega_{t}\end{aligned}\right],\: \end{align*}\begin{align*} f_{p}(x ,\: u_{c})=\left[\begin{matrix}\cos(\omega_{h}T)& \sin(\omega_{h}T)\\-\sin(\omega_{h}T)& \cos(\omega_{h}T)\end{matrix}\right]\left[\begin{aligned}x-Tv_{h}^{x}\\y-\left(Tv_{h}^{y}+\dfrac{1}{2}T^{2}v_{h}\omega_{h}\right)\end{aligned}\right]\\ +\dfrac{2v_{t}}{\omega_{t}}\sin\left(\dfrac{T}{2}\omega_{t}\right)\left[\begin{aligned}\cos\left(\phi -\omega_{h}T+\dfrac{T}{2}\omega_{t}\right)\\\sin\left(\phi -\omega_{h}T+\dfrac{T}{2}\omega_{t}\right)\end{aligned}\right],\: \end{align*}

식 (2)에서 표적차량의 상대운동 모델링 오차를 반영하기 위해 도입된 공정잡음 $u_{k}$는 분산이 $Q_{k}$인 영평균 백색 정규잡음으로 가정한다.

2.2 차량용 고해상도 레이더 탐지정보 측정모델

레이더 신호가 반사되는 주반사점은 표적차량 중심이 아닌 표적차량의 둘레에 주로 위치하는 경향이 있다. 따라서 MD의 잡음특성은 비정규분포를 따른다. 이러한 특성을 확인하기 위해, 그림 2(a)와 같이 TI AWR2243 레이더를 활용한 실험을 수행하였다. 그림 2(b)는 200회 측정을 통해 획득된 표적차량의 MD 히스토그램, 그림 2(c)는 고해상도 레이더가 제공하는 저수준 데이터인 표적차량의 정규화된 평균 반사신호 세기를 나타낸다. 그림 2(c)에서 신호세기가 클수록 픽셀이 더 밝은 색을 띤다. 실측 결과로부터 MD 출현 빈도(그림 2(b))가 대체로 반사신호 세기(그림 2(c))에 비례함을 알 수 있다. 이는 표적 반사신호 세기를 이용해 MD의 공간적 분포를 모델링 할 수 있음을 암시하는 것이다. 그림 2(d)는 정규화된 표적 반사신호 세기를 거리-방위각 평면 상에서 혼합정규분포로 근사한 것이다. 이러한 방법을 통해 그림 2(c)의 반사신호 세기, 다시 말해 MD의 출현 위치와 빈도를 잘 모사할 수 있다. 이러한 관찰을 바탕으로, 본 논문에서는 고해상도 레이더에서 제공하는 저수준 데이터, 즉 정규화된 표적 반사신호 세기를 혼합정규분포로 근사하여 MD의 측정잡음 분포를 모델링한다.

여기서 $v$는 MD 측정잡음, $N_{v}$는 주 반사점에 대응되는 모드(정규분포) 개수이고, $\pi_{v}^{i}$는 $i$번째 모드의 가중치, $ℳ_{v}\equiv$$N(\mu_{v},\:P_{v})$는 평균이 $\mu_{v}$이고 분산이 $P_{v}$인 모드를 의미한다.

측정잡음 분포 (4)를 사용하여 $k$번째 시점에서의 차량용 고해상도 레이더의 측정방정식을 다음과 같이 기술할 수 있다.

$\left(r^{i},\:\lambda^{i}\right)$를 반사점의 거리 및 방위각이라 하면, 식 (5)에서 측정치 $Z_{k}$, 측정함수 $h(\bullet)$, 측정잡음 벡터 $v_{k}$는 다음과 같이 정의된다.

\begin{align*} Z_{k}\equiv\begin{bmatrix}\vdots \\ z_{k}^{j}\\\vdots\end{bmatrix},\: z_{k}^{j}=\left[\begin{aligned}\widetilde r_{k}^{j}\\\widetilde\lambda_{k}^{j}\end{aligned}\right],\: h(\bullet)\equiv\begin{bmatrix}\vdots \\h^{j}(\bullet)\\\vdots\end{bmatrix},\: v_{k}\equiv\begin{bmatrix}\vdots \\ v_{k}^{j}\\\vdots\end{bmatrix},\: v_{k}^{j}\sim\sum_{i=1}^{N_{v,\: k}}\pi_{v,\:k}^{i}ℳ_{v,\:k}^{i},\: \end{align*}

$h^{j}(·)=\left[\begin{aligned}\sqrt{(x_{k}+x_{v,\:k}^{i})^{2}+(y_{k}+y_{v,\:k}^{i})^{2}}\\\tan^{-1}\left(y_{k}+y_{v,\:k}^{i}/ x_{k}+x_{v,\:k}^{i}\right)\end{aligned}\right],\:$ \begin{align*} \left[\begin{aligned}x_{v}^{i}\\y_{v}^{i}\end{aligned}\right]=R_{Z}(-\lambda)\left[\begin{aligned}r^{i}\cos(\lambda^{i})\\r^{i}\sin(\lambda^{i})\end{aligned}\right] \end{align*}.

MD의 공간분포는 레이더-표적 간 상대기하에 영향을 받는다. 따라서 식 (4)에 사용된 파라미터 ($\pi_{v}^{i}$,$\mu_{v}^{i}$,$P_{v}^{i}$) 모델링 시 이러한 영향을 고려해야 한다. 다행히 레이더 반사특성은 상용 RF해석 SW로 손쉽게 분석 가능하므로, 이를 통해 파라미터($\pi_{v}^{i}$,$\mu_{v}^{i}$,$P_{v}^{i}$)를 사전지식화 할 수 있다.

참고 1. 차량용 고해상도 레이더는 MD뿐만 아니라 잠재적 표적차량에 대한 바운딩 박스(bounding box)를 제공한다. 따라서, 바운딩 박스로부터 계산된 개략적인 표적차량 거리 $r$과 헤딩 $\phi$를 사전지식 데이터베이스에서 측정잡음 분포 (4)를 결정하는 파라미터를 추출하는 데 사용할 수 있다.

참고 2. 표적차량의 헤딩 정보가 추적 필터의 수렴 속도를 높이는 데 중요한 역할을 한다는 것은 잘 알려진 사실이다. 바운딩 박스에 해당하는 저수준 반사신호 세기 정보를 추출하여 정규화한 후, 사전지식 데이터베이스와의 템플릿 매칭을 수행하면 표적 헤딩 측정치를 획득할 수 있다. 이 경우, 측정방정식 (5)는 다음과 같이 수정된다.

문제를 단순화하기 위해, 표적헤딩 산출오차 $\delta\phi_{k}$는 $v_{k}$와 상호 비상관이고 분산이 $\sigma_{\phi}^{2}$인 영평균 백색 정규잡음으로 가정한다.

문제 1 (고해상도 차량용 레이더 표적추적 문제) 표적차량의 상대운동 모델과 고해상도 레이더 MD 측정모델로 정의되는 이산시간 비선형 시스템을 생각하자.

여기서 공정잡음 $u_{k}$와 MD 측정잡음 $v_{k}=\begin{bmatrix}\cdots &(v_{k}^{j})^{T}& \cdots\end{bmatrix}^{T}$는 상호비상관이며 다음 확률분포를 따른다.

$u_{k}\sim N(0,\:Q_{k})\equiv ℳ_{u}^{1,\:}v_{k}^{j}\sim\sum_{i=1}^{N_{v,\: k}}\pi_{v,\:k}^{i}N(\mu_{v,\:k}^{i},\:P_{v,\:k}^{i})\equiv\sum_{i=1}^{N_{v,\:k}}\pi_{v}^{i}ℳ_{v}^{i}$.

위의 식에서 $N_{\chi}$는 확률변수 $\chi$의 확률밀도함수를 구성하는 모드 개수, $ℳ_{\chi}^{i}\sim N(\mu_{\chi}^{i},\: P_{\chi}^{i})$는 평균과 분산이 $\mu_{\chi}^{i}$, $P_{\chi}^{i}$로 정의된 $i$번째 모드, $\pi_{\chi}^{i}$는 $i$번째 모드의 가중치를 의미한다. 이때, 혼합정규분포를 이루는 모드들의 가중치 합은 항상 1이다. 고해상도 레이더 표적추적 문제는 비선형 확률동적시스템 (7)에 대해, 가용 센서정보인 MD와 파라미터 ($\pi_{v,\:k}^{i}$,$\mu_{v,\:k}^{i}$,$P_{v,\:k}^{i}$)에 대한 사전지식을 이용하여 표적차량 상태변수 $x_{k}$의 사후확률분포 $p(x_{k}| Z^{k})$$=$$p(x_{k}| Z_{1},\: Z_{2},\:\cdots ,\: Z_{k})$를 산출하는 것이다.

3.1 정규합 근사에 의한 베이지안 상태추정 일반해

문제 1을 해결하기 위해서는 전확률법칙(law of total probability)과 베이즈 정리(Bayes’ theorem)를 이용하여 다음과 같이 상태변수에 대한 사전 및 사후확률분포를 갱신해야 한다.

여기서 $Z^{k}=\left\{Z_{1,\:}\cdots ,\: Z_{k}\right\}$는 $k$번째 시점까지 획득된 MD 집합을 의미한다.

이제 GSF개념을 확장해 복수 탐지정보 기반 표적추적 문제의 해, 즉 MD-GSF를 유도하자. 주요 기호 정의는 다음과 같다.

$M_{k}$ : $k$번째 시점에 획득된 탐지정보의 총 개수

$N_{\bar{x},\:k},\:N_{x,\:k}$ : $k$번째 시점 사전, 사후확률분포 모드 개수

$\theta_{k}^{j}= i$ : MD 획득모드 가설

즉, $k$번째 시점의 $j$번째 탐지정보 $z_{k}^{j}$가 측정잡음 분포의 $i$번째 모드 $ℳ_{v}^{i}$에서 획득됐을 가설

$\theta_{k}^{j}$ : MD 획득모드 가설경로, $\theta_{k}^{j}=\left\{\theta_{1}^{1},\:\cdots ,\:\theta_{k}^{j}\right\}$

$I[\theta]$ : $\theta$를 따라 갱신된 사후확률분포의 모드 인덱스 추출 연산자

MD-GSF의 모드 갱신과정을 설명하기 위해. $(k-1)$번째 시점의 사후확률분포가 다음과 같이 주어졌다고 가정한다.

주어진 시스템 모델이 비선형이라면 비선형 필터링 기법을 이용해 각 모드 조합에 대한 시스템 전파를 수행할 수 있다. 본 논문에서는 편의상 확장칼만필터식을 사용한다.

Step 1: 시스템 전파를 통한 사전확률분포 모드 산출

식 (10)의 각 모드에 대해 식 (8)의 시스템 전파를 수행하면 $k$ 번째 시점의 사전확률분포는 다음과 같이 계산된다.

표적차량 운동모델의 불확실성을 반영하기 위해 도입된 공정잡음은 통상 영평균 백색 정규분포로 가정해도 무방하다. 이 경우, 시스템 전파를 통해 산출된 사전확률분포와 이전 시점 사후확률분포는 동일한 모드 개수를 갖는다. 사전확률분포를 구성하는 모드들의 가중치와 평균 및 분산은 다음과 같다.

$\left . P_{x,\:k}^{m}=F_{k}^{m}P_{x,\:k-1}^{m}\left(F_{k}^{m}\right)^{T}+Q_{k},\: F_{k}^{m}=\dfrac{\partial f_{k}(·)}{\partial x^{T}}\right |_{x = \mu_{x,\:k-1}^{m}}$

여기서 $\forall \theta_{k-1}^{M_{k-1}}; m= I\left[\theta_{k-1}^{M_{k-1}}\right],\: 1\le m\le N_{\bar{x},\:k}=N_{x,\:k-1}$이다.

Step 2: 측정치 갱신을 통한 사후확률분포 모드 산출

$k$번째 시점에 획득된 MD $Z_{k}$를 독립이라 가정하면 사후확률분포는 다음과 같이 기술된다.

$Z_{k}=\left\{z_{k}^{1},\: z_{k}^{2},\:\cdots ,\: z_{k}^{M_{k}}\right\}$에 대한 측정치 갱신 프로세스 (13)에서 $z_{k}^{1}$에 의한 갱신과정을 추출하면 다음과 같다.

전술한 바와 같이 사전확률분포와 측정잡음 분포가 모두 혼합정규분포이므로, 두 분포 사이에 가능한 모든 짝짓기 조합을 고려한 측정치갱신이 수행된다. 그 결과는 아래와 같다.

모든 $\theta_{k-1}^{M_{k-1}}$에 대해 $1\le n\le N_{v,\:k}$이므로, $\bar{m}= I\left[\theta_{k-1}^{M_{k-1}}\right]$, $m = I\left[\theta_{k}^{1}=\left\{\theta_{k-1}^{M_{k-1}},\:\theta_{k}^{1}=n\right\}\right]$으로 정의하면, 식 (15)에서 측정치 갱신 과정을 통해 산출된 사후확률분포의 $m$번째 모드 가중치와 평균 및 분산은 아래와 같이 계산된다.

$\left. P_{\gamma ,\:k}^{m}=(H_{k}^{\bar{m}})P_{x,\:k}^{\bar{m}}(H_{k}^{\bar{m}})^{T}+P_{v,\:k}^{n},\: H_{k}^{\bar{m}}=\dfrac{\partial h_{k}(·)}{\partial x^{T}}\right |_{x= \mu_{x,\:k}^{\bar{m}}}$

$K_{k}^{m}=(P_{x,\:k}^{\bar{m}})(H_{k}^{\bar{m}})^{T}(P_{\gamma ,\: k}^{m})^{-1}$, $\mu_{x,\:k}^{m}= \mu_{x,\:k}^{\bar{m}}+K_{k}^{m}\gamma_{k}^{m}$

$P_{x,\:k}^{m}=P_{x,\:k}^{\bar{m}}-K_{k}^{m}H_{k}^{\bar{m}}P_{x,\:k}^{\bar{m}}$

$\pi_{x,\:k}^{m}=\pi_{x,\:k}^{\bar{m}}\pi_{v,\:k}^{n}N(\gamma_{k}^{m}; 0,\: P_{\gamma ,\: k}^{m})/C_{\pi},\: C_{\pi}=\sum_{m}\pi_{x,\:k}^{m}$

여기서 $1\le\bar{m}\le N_{\bar{x},\:k}$, $1\le m\le N_{\bar{x},\:k}\times N_{v,\:k}$이다.

식 (15)~(16)을 $z_{k}^{2}\sim z_{k}^{M_{k}}$에 순차적으로 적용하면 사후확률분포를 손쉽게 계산할 수 있다.

위 결과를 종합하면 MD를 이용한 고해상도 레이더 표적추적 문제의 일반해를 얻을 수 있다.

시스템 전파식

$\left. P_{x,\:k}^{m}=(F_{k}^{\bar{m}})P_{x,\:k}^{\bar{m}}(F_{k}^{\bar{m}})^{T}+Q_{k},\: F_{k}^{\bar{m}}=\dfrac{\partial f_{k}}{\partial x^{T}}\right |_{x=\mu_{x,\:k}^{\bar{m}}}$

여기서 $\bar{m}= I[\bar{\theta}]$, $m = I[\theta]$이고, $\bar{\theta}$와 $\theta$는 각각 $(k-1)$시점 사후확률분포 및 $k$시점 사전확률분포의 MD 획득모드 가설경로이다.

측정치 갱신식

$\left. P_{\gamma ,\: k}^{m}=(H_{k}^{\bar{m}})P_{x,\:k}^{\bar{m}}(H_{k}^{\bar{m}})^{T}+P_{v,\:k}^{n},\: H_{k}^{\bar{m}}=\dfrac{\partial h_{k}}{\partial x^{T}}\right |_{x = \mu_{x,\:k}^{\bar{m}}}$

$K_{k}^{m}= P_{x,\:k}^{\bar{m}}(H_{k}^{\bar{m}})^{T}(P_{\gamma ,\: k}^{m})^{-1}$, $\mu_{x,\:k}^{m}= \mu_{x,\:k}^{\bar{m}}+K_{k}^{m}\gamma_{k}^{m}$

$P_{x,\:k}^{m}=P_{x,\:k}^{\bar{m}}- K_{k}^{m}H_{k}^{\bar{m}}P_{x,\:k}^{\bar{m}}$

$\pi_{x,\:k}^{m}=\pi_{x,\:k}^{\bar{m}}\pi_{v,\:k}^{n}N(\gamma_{k}^{m}; 0,\: P_{\gamma ,\: k}^{m})/C_{\pi},\: C_{\pi}-\sum\pi_{x,\:k}^{m}$

여기서 $\bar{m}= I[\bar{\theta}]$, $m = I[\theta]$이고, $\bar{\theta}$와 $\theta$는 각각 $(k-1)$시점 사후확률분포 및 $k$시점 사전확률분포의 MD 획득모드 가설경로(이력)을 의미한다.

이해를 돕기 위해 그림 3의 예제에 대한 MD-GSF 측정치 갱신 과정을 살펴보자. 사전확률분포는 단봉함수, 측정잡음 분포는 $N_{v,\:k}= 2$개의 모드를 갖는다. 주어진 2개의 MD $Z_{k}=$$\left\{z_{k}^{1},\: z_{k}^{2}\right\}$를 이용하여 사후확률분포를 산출하려면, 식 (17)과 같이 측정치 갱신을 $M_{k}= 2$번 반복해야 한다. 첫 번째 탐지정보$(z_{k}^{1})$에 대한 측정치 갱신 과정에서 탐지정보 분포의 다중모드 특성을 반영하기 위해 각각의 모드에 대해 측정치 갱신을 수행한다. 측정잡음 분포는 2개의 모드로 구성되어 있으므로 2개의 가설 경로가 새롭게 생성되며, 이를 모드 생성 가설로 표현하면 그림 4(a)와 같다 $(N_{\bar{x},\:k}\times N_{v,\:k}=1\times 2=2)$. 첫 번째 탐지정보에 대한 갱신 결과로 생성된 모드는 그림 4(b)에 도시하였다. 그림을 통해 탐지정보 $z_{k}^{1}$와 가까운 첫 번째 탐지정보 분포 모드를 이용하여 측정치 갱신된 모드가 전체 확률분포 구성에 우세한 영향을 끼침을 알 수 있다. 두 번째 탐지정보 $z_{k}^{2}$에 대한 측정치 갱신 프로세스는 앞서 첫 번째 측정치 갱신 과정을 통해 생성된

확률분포의 2개 모드와 탐지정보 분포의 2개 모드 사이에 가능한 짝짓기 조합들에 대해 수행된다. 이 때 생성된 가설 경로는 그림 5(a)에서 알 수 있듯 4개$(N_{\bar{x},\:k}\times N_{v,\:k}\times N_{v,\:k}=$$1\times 2\times 2=4)$이며 각각의 가설 경로에 해당하는 모드는 그림 5(b)와 같다.

3.2 MD-GSF 구현을 위한 모드관리 기법

MD-GSF에 의해 산출된 사후확률분포는 $k$시점에서 $N_{x,\:k}$개의 모드를 갖는다.

여기서 $N_{x,\:0}$는 초기 확률분포의 모드 개수, $N_{v,\:i}$와 $M_{i}$는 각각 $i$번째 시점 확장측정치 모드 개수와 측정치 개수를 의미한다.

식 (20)으로부터 측정치갱신 과정을 반복함에 따라 사후확률분포를 구성하는 모드가 지속적으로 늘어남을 알 수 있다. 따라서 별도의 모드관리가 수반되지 않는다면 요구 메모리 급증으로 인해 MD-GSF의 구현이 사실상 불가능해진다. 다행히 그림 3~5에서 확인할 수 있듯이 사후확률분포 구성에 중요한 역할을 하는 모드는 소수에 불과하다. 따라서, 주요 모드를 취사선택하여 유지, 관리할 수 있는 기법이 고안된다면 추정성능 저하를 최소화하면서 연산부담을 줄일 수 있다.

이를 위해, 본 논문에서는 $k$시점 MD 중 $(N+1)$개 탐지정보를 순차적으로 처리하면서, 동일한 MD 획득모드 가설경로에 따라 산출된 사후확률분포의 모드들을 병합한다. 이는 동일한 획득모드 가설경로를 따라 갱신된 사후확률분포의 모드들이 인접한 곳에 위치하는 성질을 활용한 것이다. 고해상도 레이더와 같이 측정잡음 분포 모드의 분산이 작은 경우 갱신된 사후확률분포 모드들이 더욱 밀착하게 되므로 제안한 방법에 의한 모드관리의 효율성도 높아진다. 병합된 모드의 가중치와 평균 및 분산은 아래와 같이 계산된다.

$\bar{P}_{x}=\sum_{l\in \theta}\pi_{x}^{l}\left(P_{x}^{l}+(\mu_{x}^{l}-\bar{\mu}_{x})(\mu_{x}^{l}-\bar{\mu}_{x})^{T}\right)/\bar{\pi}_{x}$

여기서 $\theta$는 유사 모드들의 인덱스 집합을 의미한다.

제안한 기법은 참가설 삭제 가능성을 줄일 수 있어 만족할 만한 추정성능을 보일 뿐만 아니라, 측각 변화에 의해 측정잡음 분포를 구성하는 모드 개수가 변하더라도 유연하게 대처할 수 있다.

예를 들어, 제안한 모드병합 개념은 그림 6과 같이 현재 처리 중인 $j$번째 탐지정보 $z_{k}^{j}$의 측정치 갱신을 위해 생성된 가설 $\theta_{k}^{j}$와 이전에 처리했던 $(j-1)$번째 탐지정보 $z_{k}^{j-1}$의 측정치 갱신을 위해 생성되었던 가설 $\theta_{k}^{j-1}$이 동일한 경우, 해당 가설에 의해 산출된 사후확률분포 모드들을 병합(merging)한다. 모드병합을 수행하지 않은 실제 사후확률분포 $p(x_{k}| Z^{k})$와 모드병합 후의 사후확률분포 $\widetilde p(x_{k}| Z^{k})$는 그림 7과 같다. 그림에서 확인할 수 있듯이 병합 후 사후확률분포는 4개의 모드만으로도 병합 전 8개의 모드로 구성된 사후확률분포를 잘 근사한다. 이는 제안한 기법이 사후확률분포의 주요 모드를 유지하고, 이를 중심으로 덜 중요한 모드들을 병합하고 있음을 보여준다. 이러한 결과는 본 논문의 MD-GSF이 지닌 준최적성을 암시하는 것이다. 모드 관리기법을 포함한 전체 표적추적 필터의 연산과정은 그림 8과 같다.