2.1 기구부 구조

본 논문에서는 ball and plate 시스템을 위한 기구부로 pitch, roll, vertical 움직임에 관하여 자유도를 가지는 3 자유도 Stewart platform을 채택한다. 그림 1은 본 논문에서 채택한

platform의 개념도이며, 다음과 같은 역할을 하는 3개의 층으로 구성된다.

· Plate 층: Base 층의 모터에 의해 picth, roll, vertical에 대한 자유도를 가지고 동작한다. Ball의 위치를 측정하는 센서가 부착되어 있으며, ball and plate 시스템이 구현되는 층이다.

· Base 층: 3개의 모터를 부착하여 platform의 움직임을 생성한다.

· Control 층: 센서 데이터 수집과 모터 구동을 위한 인터페이스 보드가 장치된 층이다.

기구부에 부착되는 모터로는 정밀 제어가 용이하며 강한 힘을 출력할 수 있도록 감속기를 갖는 DC 모터를 사용한다. 그림 2는 base 층에 부착된 DC 모터의 구조를 보여준다. 고분해능의 자기식 엔코더와 자석 거치대를 장착하여 정밀한 회전각의 측정이 가능하고, 어댑터를 이용하여 엔코더와 모터를 결합할 수 있도록 제작한다⁽²³⁾. 또한 platform이 제한된 공간 내에서 넓은 동작범위를 가지도록 revolute joint를 사용하는 구조를 갖는 것이 특징이다. 그림 3(a)은 3차원 설계 SW로 설계한 전체 platform을 나타낸다. 그림 3(b)은 모터에 부착되어 plate를 구동하는 arm의 구조를 보여준다.

2.2 기구학

Ball and plate 시스템의 기구부 구조로 제안하는 3 자유도 Stewart platform을 동작시키기 위해서는 이에 대한 기구학에 대한 지식이 요구된다. 3 자유도 Stewart platform의 기구학(Kinematics)과 역기구학(Inverse kinematics) 문제에 대해 platform의 base 층과 plate 층에 삼각형 모양으로 배치된 joint를 연결하는 link의 길이와 plate 층의 pitch, roll, vertical 움직임의 관계에 대하여 다룬 연구가 있다⁽²⁴⁾. 이때 link의 길이는 prismatic joint에 의해 결정되는데 본 논문에서 제안하는 기구부는 그림 1과 같이 prismatic joint가 아닌 revolute joint를 사용하므로 기구학에 대한 새로운 유도가 필요하다. 따라서 본 논문에서는 revolute joint를 사용한 3 자유도 Stewart platform의 기구학을 유도한다.

먼저 수학적으로 정리하기 위해 arm을 기술하기 위한 파라미터를 표 1과 같이 정의한다. Platform은 그림 3(b)과 같이 3개의 joint($J_{b i}$, $J_{p i}$, $J_{si}$)와 2개의 link($L_{bs}$, $L_{ps}$)로 이루어진 arm을 사용하여 base 층과 plate 층을 연결하는 구조이다. $L$은 $J_{b i}$와 $J_{p i}$ 사이에 존재하는 virtual leg에 대응하며, 길이는 모터의 움직임에 의해 결정된다⁽²⁴⁾. 따라서 본 논문에서 제안하는 platform의 기구학을 base 층에 부착된 모터의 회전각과 base 층의 무게 중심을 origin으로 한 base frame으로부터 plate 층의 무게 중심을 origin으로 한 plate frame까지의 수직 거리(height), plate frame의 pitch, roll과의 상관관계로 나타내고자 한다.

$J_{b i}$와 $J_{p i}$의 좌표를 정의하고자 한다. 식을 간단히 하기 위해 앞으로 삼각함수 수식은 $\sin\alpha =s_{\alpha}$, $\cos\alpha =c_{\alpha}$, $\tan\alpha =t_{\alpha}$의 형태로 표현한다. $J_{b i}$와 $J_{p i}$의 좌표는 각각 base frame을 기준으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$J_{p i}$를 $x-y$평면($z=0$)으로 정사영시키면 그림 4(a)와 같이 반지름이 다른 3개의 가상의 원 모양에 $120^{\circ}$간격으로 배치되며 정사영 된 $J_{p i}$의 좌표는 다음과 같다.

모터가 그림 4(b)처럼 $\gamma$만큼 회전했을 때 $\alpha$와 $\beta$는 다음과 같이 구한다.

이때 $R_{m}$, $D_{s}$는 platform 설계 시 정해지는 값이고, $l$은 모터가 회전함에 따른 virtual leg($L$)의 길이로 $J_{b i}$와 $J_{p i}$의 좌표를 통해 구할 수 있다. 여기서 $J_{p i}$의 좌표는 정사영 된 $J_{p i}$의 좌표에 대한 회전행렬($R$)과 병진 벡터($\xi$)를 통해 표현할 수 있으므로 $l$은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$R$은 $SO(3)$행렬로, pitch-roll-yaw($\psi$, $\theta$, $\phi$) 또는 Rodrigues’ rotation formula로 표현된다. 이때 $n$와 $\delta$, $N$는 각각 회전축 상의 단위벡터, 회전각, skew-symmetric 행렬을 의미한다⁽⁸⁾.

여기서 $r_{ij}$와 $\delta$, $n$은 다음의 관계를 가진다.

3 자유도 Stewart platform에서 $J_{p i}$는 각각 평면 $\Pi_{1}$, $\Pi_{2}$, $\Pi_{3}$ 상에 존재해야 하므로 $R$과 $\xi$는 임의로 선택할 수 없고 제약 조건(constraint equation)을 만족해야 하며 다음과 같이 정리된다⁽²⁴⁾. 여기서 $x_{G}$와 $y_{G}$, $z_{G}$는 base frame 기준으로 한 plate frame의 origin의 좌표이다. $z_{G}$는 사용자가 정하는 값으로, base frame으로부터 plate flame까지의 수직 거리(height)에 해당한다.

$s_{\delta}\ne 0$이라면 식 (6), (7)에 의해 $\phi$는 $\psi$와 $\theta$의 종속 변수임을 알 수 있다.

따라서 식 (5), (6)을 $\psi$와 $\theta$로 나타낼 수 있다.

제약 조건을 통해 $\psi =\theta =0$인 경우에만 $x_{G}=y_{G}=0$이 성립하고 나머지 경우에는 $0$이 아닌 값을 가질 수 있음을 알 수 있다. 즉 plate frame의 origin은 고정되어 있지 않고, plate가 회전함에 따라 다음과 같이 이동한다.

이로 인해 plate frame의 pitch, roll은 $R$에서 정의한 $\psi$, $\theta$와 다를 수 있으므로 plate frame의 pitch($\bar{\psi}$), roll($\bar{\theta}$)을 새롭게 정의해야 한다. Plate frame의 $z$축 벡터는 base frame의 $z$축 벡터에 $R$을 곱하여 표현할 수 있다. 또한 plate frame의 $z$축 벡터는 plate에 수직이므로 다음과 같은 평면의 방정식으로 나타낼 수 있으며 $J_{p i}$는 이 평면 위에 있다.

식 (11), (12)을 통해 $\bar{\psi}$와 $\bar{\theta}$는 다음과 같이 유도된다.

이를 통해 $\psi$는 $\bar{\psi}$과 같지만, $\theta$는 $\bar{\theta}$와 $\psi$의 종속 변수임을 알 수 있다. 따라서 새롭게 정의된 $\bar{\psi}$와 $\bar{\theta}$을 사용하여 기구학을 유도해야 한다. 결론적으로 base 층의 모터의 회전각은 $J_{bi}$, $J_{p i}$와 관련 있으며 $J_{b i}$는 고정 파라미터이고 $J_{p i}$는 $R$과 $\xi$을 통해 알 수 있다. 이는 plate frame의 $z_{G}$와 $\bar{\psi}$, $\bar{\theta}$에 의해 결정된다.

2.3 센서부 및 인터페이스 보드

Ball and plate 시스템을 구현하기 위해서는 ball의 위치를 측정하고 사용 가능한 데이터로 가공하여 LW-RCP에 전달하는 과정이 요구된다. Ball의 위치를 측정하기 위해 10.2인치 크기의 터치패널과 ADS7846E 터치패널 컨트롤러를 사용한다. 이 컨트롤러는 터치패널의 $x$, $y$, $z$축에 대한 전압 데이터를 측정하여 SPI(Serial Peripheral Interface) 통신을 통해 MCU(Microcontroller Unit)로 송신한다. $x$, $y$는 각각 $x$, $y$축 위치에 대한 정보를, $z$는 터치패널의 접촉 여부에 대한 정보를 의미하며 그림 5과 같이 VCC와 GND의 연결을 변경하여 측정한다. MCU는 측정 데이터를 사용 가능한 데이터로 가공하여 LW-RCP에 전달한다.

Control 층에 부착한 인터페이스 보드(그림 6)는 LW-RCP와 platform 간의 연계 역할을 한다. 이 보드는 센서 측정과 모터 구동을 위한 데이터를 처리하고 송수신하기 위한 것으로 모터 드라이버와 터치패널 컨트롤러, STM32F407VE (메인 보드)가 장치되어 있다. Platform과 인터페이스 보드, LW-RCP 간의 전반적인 데이터 처리 및 송수신 과정은 그림 7과 같다. LW-RCP는 SPI 통신을 지원하지 않기 때문에 터치패널의 데이터를 직접적으로 처리하지 못한다. 따라서 측정된 ball의 위치 데이터는 인터페이스 보드에 장치된 메인 보드에서 측정하고 LW-RCP로 전송한다. Ball의 위치에 대한 데이터는 터치패널의 아날로그 전압이며 컨트롤러로부터 SPI 통신을 통해 메인 보드가 수신한다. 이를 PWM(Pulse Width Modulation) 신호로 변환하여 LW-RCP로 송신한다. 모터 구동에 필요한 PWM 데이터는 인터페이스 보드의 모터 드라이버에 전달해 모터에 전압을 인가한다. 엔코더 데이터는 인터페이스 보드를 거쳐 LW-RCP로 전달된다.

3.1 모델 방정식

그림 8은 ball and plate 시스템의 개념도를 보여준다. $x$와 $y$는 plate의 origin을 기준으로 한 ball의 좌표이고, $\alpha$와 $\beta$는 plate의 pitch, roll이다. Plate의 회전으로 ball이 이동하는 ball and plate 시스템의 수학적 모델은 Euler-Lagrange 방정식을 이용하여 유도한다. 수학적 모델을 선형화시키면 2개의 독립적인 단일 입출력 시스템으로 분리된다. 또한 두 식은 구조가 동일하기 때문에 하나의 시스템만 고려하여 제어기를 설계하면 다른 시스템에 똑같이 적용할 수 있다^(4,12).

이론적으로는 2차 시스템의 모델을 이용하여 제어기를 설계하면 ball을 제어할 수 있다. 하지만 실제 실험 환경에서는 시스템이 놓여진 바닥 면의 기울기에 의한 offset 오차가 존재한다. 이를 보정하기 위해 ball의 위치 오차에 대한 적분 요소를 추가한 모델을 적용하여 제어기를 설계한다⁽¹⁴⁾. 식 (14)는 보정이 필요한 요소를 추가한 상태방정식 모델의 A, B,　C 행렬이며 $x_{1}$과 $x_{2}$, $g$는 각각 ball의 위치와 속도, 중력가속도를 의미한다. 이때 ball의 질량은 참고문헌⁽¹²⁾에서와 같이 ball and plate의 모델 방정식을 유도하고 선형화하는 과정에서 약분되므로 제어시스템에 영향을 미치지 않는다.

3.2 제어기 설계

본 논문에서는 모델 방정식을 통해 최적화된 제어 입력을 만드는 LQ 제어기를 설계하여 제안하는 ball and plate 시스템의 유용성을 확인할 수 있다. 제어기의 목표는 ball의 상태(위치, 속도)와 입력 각도를 최소화하는 입력을 찾는 것으로 이에 대한 비용 함수 $J$는 가중행렬 $Q$, $R$과 함께 다음과 같이 나타난다. 비용 함수 $J$를 최소화하는 입력 $u$는 식 (15)처럼 현재 상태 $x$와 원하는 기준 상태 $x_{r}$의 차이에 LQ 이득 계수인 $K$를 곱한 형태로 표현된다. 제어기 입력을 만들기 위해 $K$를 구해야 하고 $K$를 구성하는 행렬 $P$는 이산 시간에 대한 Riccati 방정식을 사용해 구한다. MATLAB 환경에서 LQ 제어기를 구현하기 위한 되먹임 이득 행렬 $K$는 dlqr 함수를 사용해 구할 수 있다⁽¹⁴⁾.

4.1 LW-RCP

Ball and plate 시스템을 구현하기 위해서 연구실에서 자체 개발된 LW-RCP를 사용한다. LW-RCP는 dSpace⁽²⁵⁾나 Quanser Consulting⁽²⁶⁾과 같은 회사에서 판매하는 상용 RCP 장비와 대등한 성능을 가지지만 상대적으로 경제적인 비용으로 구성이 가능한 장비로, 그동안 연구실에서 다양한 연구에 사용되었다^(2,14,20). LW-RCP는 하드웨어 인터페이스를 담당하는 LW-RCP 하드웨어 장치와 Simulink에서 사용하는 라이브러리 블록으로 구성된다. 사용자는 LW-RCP 라이브러리에서 제공하는 블록을 이용하여 하드웨어 접근을 담당하는 블록 기반 알고리즘을 구성하고, Simulink에서 기본적으로 제공하는 블록들을 이용하여 제어 연산과 관련된 부분의 알고리즘을 구성한다. LW-RCP 하드웨어 장치와 LW-RCP 라이브러리 블록을 이용하여 구성한 Simulink 모델은 그림 10과 같은 방식으로 상호 작용한다. 센서 데이터의 측정이나 제어 데이터를 출력 peripheral에 적용하는 것과 같이 하드웨어 인터페이스가 필요한 부분은 LW-RCP가 담당하고 Simulink 기반의 제어 알고리즘은 제어 연산을 담당하는 구조이다. Simulink가 동작하는 PC와 LW-RCP 하드웨어 장치와의 통신은 High-speed USB 통신을 통해 이루어지며 최고 2kHz까지의 샘플링 주파수를 지원한다.

그림 9는 LW-RCP02의 실물 사진을 보여준다. LW-RCP01과 LW-RCP02의 입/출력 기능의 차이는 표 2와 같다. LW-RCP02의 경우 엔코더 카운터의 channel 수가 8개로 LW-RCP01에 비해 월등히 앞서며 그 외에도 LW-RCP01에 비해 입/출력 기능이 크게 향상되었다.

그림 11은 LW-RCP02에서 지원하는 입/출력 라이브러리 블록을 보여준다. Ball and plate 시스템의 경우, base 층의 3개의 모터를 구동하기 위한 PWM, 엔코더 카운터가 각각 3채녈, control 층의 인터페이스 보드로부터 ball의 위치 데이터를 송신 받는 period and duty의 3 channel을 처리할 수 있어야 한다. LW-RCP02의 경우 이에 충족하므로 ball and plate 시스템에 활용될 수 있다.

그림 12는 Simulink와 LW-RCP02를 통해 ball and plate 시스템을 구현한 전체 블록선도이며, Simulink의 서브시스템을 이용하여 최상위 계층의 신호 연결 관계를 보여준다. 각 서브시스템은 다음의 역할을 수행한다.

· X(Y) Ball Pos: 터치패널을 통해 측정한 ball의 위치 데이터와 reference 데이터를 출력한다.

· Pitch(Roll) Con: ball의 위치 제어기로 측정 데이터와 reference 데이터를 입력받아 pitch, roll 데이터를 출력한다.

· Touch Data: 터치패널의 터치 여부를 출력한다.

· Ball Plate: 3 자유도 Stewart platform의 기구학을 구현한 S-function 블록으로, 입력받은 pitch, roll, height 데이터를 만족하기 위한 구동부의 3개의 모터 회전각을 출력한다.

· Servo motor 1(2, 3): 모터 위치 제어시스템을 위한 서브시스템으로 ‘Ball Plate’ 서브시스템에서 출력되는 reference 회전각을 추종한다.

Subsystem의 내부는 Simulink의 라이브러리 블록, 그리고 LW-RCP02의 라이브러리 블록을 조합하여 구성된다. 일례로 그림 13은 'Servo motor 1’'의 이름을 갖는 서브시스템의 내부 구성을 보여준다. LW-RCP02의 PWM, 엔코더 카운터 라이브러리 블록과 ‘Gain’, ‘Add’, ‘Saturation’과 같은 Simulink의 라이브러리 블록을 조합하여 모터 위치 제어시스템을 구성한다.

4.2 실험 결과

구현된 시스템의 효용성을 확인하기 위하여 그림 12의 제어 알고리즘을 이용한 제어 실험을 수행했다. 그림 14은 ball and plate 제어시스템을 실험한 영상을 Youtube에 upload 한 후 Youtube 화면을 캡쳐한 사진을 보여준다. 실제 Youtube 영상의 주소는 https://youtu.be/XaEVODCnmJE (영상 제목 : Ball-and- plate control system, Channel 이름 : Embedded Control Lab.)로 실험 결과를 영상을 통해 확인할 수 있다.

그림 15는 영상 중 regulation 문제에 대한 구현된 시스템이 동작한 결과를 나타내는 그래프로, 좌측 그래프는 $x$축 기준의 ball 위치 reference와 센서를 통해 측정된 데이터를 나타내며, 우측 그래프는 reference에 수렴하기 위한 roll($\theta$) 움직임을 나타낸다. Reference가 변함에 따라 ball이 수렴하고 균형을 유지하기 위해 동작하는 것을 보여준다. 바닥 면의 기울어짐에 의해 ball이 움직이므로 정상상태에 도달한 후 흔들리면서 균형을 유지함을 알 수 있다. 그림 16은 영상 중 Tracking 제어 문제에 대해 구현된 시스템이 동작한 결과를 나타내는 그래프로, 평균적으로 0.005[m] 정도의 오차를 보이면서 원 모양의 reference를 추종하는 것을 보여준다.

실험 영상을 통해 확인할 수 있듯 다양한 기준 입력을 추종하는 제어 실험을 손쉽게 수행할 수 있고 이러한 과정을 통해 제어와 관련된 효과적 교육을 제공할 것으로 기대한다.