2.1 통합 유도 제어 문제

유도탄의 통합 유도 제어 문제를 고려하기 위하여 식 (2)의 유도탄 동역학과 식 (3)의 유도 기하를 하나의 문제로 통합하고 구동기 동역학을 포함하여 식 (4)와 같이 구성하였다⁽¹²⁾.

그림. 1. 2차원 평면에서의 유도탄 종말 호밍 유도 기하 (a) 평면에서의 교전 기하; (b) 시선각 frame에서 정의된 교전 기하

Fig. 1. Missile terminal homing phase geometry in a two-dimensional plane (a) Planar engagement geometry; (b) engagement geometry defined on initial LOS frame.

식 (4)에서 $Z_{\delta},\: Z_{\alpha},\: M_{\delta},\: M_{\alpha},\: M_{q}$는 공력 계수를 의미하고, $q_{m}$은 유도탄의 pitch rate을 의미한다. 구동기 동역학은 $1/w_{a}$를 시정수로 하는 간단한 1차 지연 시스템으로 구현하였으며, $\delta_{c}$는 fin 조종 명령을 의미한다.

식 (4)의 시스템 특성 방정식은 샘플링 주기 $\Delta t$를 기준으로 이산화하여 식 (5)와 같이 재구성할 수 있다. 여기서, $\bar{A}$와 $\bar{B}$ 행렬은 각각 $e^{\Delta t\bar{A}}$와 $(\int_{0}^{\Delta t}e^{\tau\bar{A}}d\tau)\bar{B}$ 식을 통해 구할 수 있다.

horizon의 개수를 ${N}=(t_{f}- t_{0})/\Delta t$으로 정하고, 입력 변수 $u_{k}\in R^{u}$와 상태 변수 $x_{k}\in R^{x}$로 구성된 유도조종 문제를 아래 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $C_{k}$는 가속도, 탐색기 시선각 및 시선각속도 제한조건이며 time step $k$ 마다 아래 식과 같이 구성할 수 있다. 행렬에서 $R_{k}$는 $k$번째의 range-to-go를 의미하고, $R_{k}= R_{0}- k(v_{m}+ v_{t})\Delta t$로 계산할 수 있다.

구성한 문제의 동역학과 제한조건들은 모두 선형이므로 Model Predicted Control(MPC)을 적용할 수 있다. 입력 변수, 상태 변수 및 제한조건을 쌓아 $U=\begin{bmatrix}u_{0}^{T}& u_{1}^{T}&\cdots & u_{N-1}^{T}\end{bmatrix}^{T}$, $X=\begin{bmatrix}x_{1}^{T}& x_{2}^{T}&\cdots & x_{N-1}^{T}\end{bmatrix}^{T}$에 대한 문제로 식 (8)과 같이 재구성하였다.

2.2 Alternating Direction Multiplier Method(ADMM) 기반 유도조종 알고리듬

ADMM은 dual ascent 방법을 사용하므로 목적함수를 작은 문제들의 합으로 분할할 수 있고, 연산의 병렬처리가 용이하다. 특히, primal 문제에 추가 항을 더하여 수렴성을 보장하는 augmented lagrangian 방법을 사용하여 높은 수렴 속도를 가지게 된다. 이와 같은 ADMM의 특성은 본 논문에서 제시하는 문제와 같은 대형 스케일 최적화에 적합하며, 연산 복잡도가 낮고 메모리 효율이 우수한 장점이 있다^(13,14).

앞서 구성한 통합 유도조종 문제를 아래 식과 같은 ADMM 문제의 기본형으로 재구성하였다. 목적함수는 에너지를 최소한으로 사용하도록 하는 항과 부등식 구속 조건을 위한 indicator function $I_{C}(\bullet)$로 구성하였다. 여기서 $C$는 구속 조건 (8.2)를 만족하는 feasible set을 의미하고, $r$은 feasible set C로 해를 업데이트 하기 위한 primal variable을 의미한다.

목표물 요격을 위한 최적 궤적은 표 1에 제시된 알고리듬으로 도출할 수 있다. 알고리듬은 식 (9)의 최적화 문제를 세 개의 작은 문제로 나누어 해결하도록 구성되어 있다. 초기 조건과 종말 조건, 제한조건을 통해 벡터 $y$와 행렬 $\widetilde C$, $\widetilde D$를 도출한다. 그 후 식 (10)를 만족하는 $y^{+}$를 계산하고, 계산된 $y^{+}$와 식 (11)을 통해 $h^{+}$를 도출할 수 있다. 여기서 $h^{+}$는 식 (12), (13)를 통해 한 번 더 값을 갱신하는 과정을 거친다. 이는 계산 된 제어 명령 $y^{+}$가 가속도, 탐색기 시선각 조건을 넘어서지 않도록 제한하기 위해 구성한 식이다. 마지막으로 dual variable $\gamma^{+}$를 앞서 갱신한 $y^{+}$, $h^{+}$와 식 (14)으로 갱신하는 과정을 거친다. 최적 궤적 $y_{{optimal}}$은 위와 같은 방법으로 종료 조건을 만족할 때까지 $y$, $h$, $\gamma$를 차례로 갱신하여 얻을 수 있다⁽¹⁵⁾.

3.1 실시간 연산

제한된 물리적 공간, 전력, 발열 등의 유도탄 특성상 그의 온보드 컴퓨터는 임베디드 시스템으로 구성되어야 하며, 유도탄의 종말 호밍 유도 조종을 위해서는 최적 궤적의 실시간성이 보장되어야 한다. 본 연구에서 제안하는 알고리듬은 유도 조종 문제를 통합하여 horizon size만큼 쌓아 한 번에 연산할 수 있도록 구성하였기 때문에, 대형 행렬 연산을 반복하여 수행하게 된다. 이러한 알고리즘의 성능은 대형 스케일 행렬-벡터 연산 능력에 따라 좌우된다. GPU를 사용하여 ADMM 알고리즘의 실시간성을 보장하기 위한 연구들이 수행되었으나^(15,16), 해당 연구들은 범용 시스템(General Purpose System) 기반으로 연구가 진행되었으므로 임베디드 시스템 적용에 적합하지 않다. 따라서 본 논문에서는 유도탄 환경을 고려하여 임베디드 시스템에서 CPU와 GPU를 상호 설계하여 병렬화 및 가속화를 진행하였다.

CPU와 GPU 상호 설계를 위해서는 ADMM 기반 유도조종 알고리듬의 연산 부하량을 판단하고 연산 집약적 알고리듬 부분을 식별해야한다. 따라서 CPU에서의 그림 2과 같이 알고리듬 흐름도를 구성하였다. 흐름도는 먼저 Missile의 속력, System 파라미터, Design 파라미터를 정한 후 궤적 최적화 알고리듬 수행을 위한 변수 $y$, $h$, $\gamma$를 초기화한다. 다음으로 식 (9)와 같은 형태로 통합 유도 조종 문제를 구성한 후 Table 1에 제시된 알고리듬을 통해 최적 궤적을 도출하게 된다. 통합 유도 조종 문제 구성을 위해 필요한 Matrix Formulation 및 Local Problem은 유도탄의 동역학, 제어 시스템이 정해진 후 한 번의 계산만 요구된다. 그러나 최적 궤적은 수렴할 때까지 연산을 실시간으로 반복하여 얻어지므로 최적 궤적 설계를 위한 연산 과정(Sol ADMM)의 연산 가속화가 필수적이다.

그림. 2. 유도조종 알고리듬 흐름도

Fig. 2. Flowchart of integrated guidance and control

3.2 병렬 연산 구조

그림 3의 흐름도는 통합 유도 조종 알고리듬의 연산 과정을 병렬화하여 각각의 커널에 할당한 것이다. 알고리듬 연산 시 동시에 연산이 수행되어도 연산 결과에 영향을 미치지 않는 과정들을 판단하여 병렬적으로 연산을 수행하도록 했다. 그림 3의 최적 궤적 도출을 위한 연산 중 가장 많은 시간이 소요되는 과정은 Matrix-Vector 곱 연산 과정으로, Matrix와 Vector의 크기에 따라 연산량과 메모리 접근 횟수가 선형적으로 증가한다. 따라서 GPU의 Matrix-Vector 곱셈 연산의 성능 향상은 연산의 병렬화와 메모리 활용이 중요하다. 특히, GPU 하드웨어 메모리 특성과 연산 데이터 크기를 고려하여 커널 구조를 설계하는 것이 중요하다^(17)(18)(19). 본 연구에서는 임베디드 환경에서 알고리듬의 실시간 연산을 위해 커널 파라미터와 메모리 구조를 최적화하였다. 병렬화 Thread 수는 알고리듬의 Vector 크기를 고려하여 설계했다. Vector의 크기는 유도탄의 state와 제어 명령을 horizon size만큼 쌓아 구성한 것이므로 2100개의 요소를 가진 vector가 되고, CUDA Block 구조에 따라 하나의 Block에 최대 1024개의 Thread 할당이 가능하여, 하나의 Block에 Thread 700개를 할당하였고 이 Block을 3개 구성하여 병렬화했다. 또한 CUDA 메모리 구조는 그림 4와 같이 크게 Block 내부의 Thread들이 접근할 수 있는 Shared memory와 Block 외부의 Global Memory로 나뉜다. Shared memory는 일종의 Cache 역할을 하는 고성능 메모리로 Block 내부에 있으며, 빠른 메모리 접근시간을 가진다. Global memory는 Block 간의 데이터를 공유할 수 있도록 Block 외부에 있으며, 접근 속도가 Shared memory에 비해 느리다. 따라서 본 연구에서는 그림4와 같이 Matrix-Vector 곱셈 연산 시 데이터 접근이 많은 Vector 데이터를 Global Memory에서 Shared Memory로 업로드 후, 연산하는 Tiling 기법을 적용하였다. 하나의 Block에는 700개의 Thread를 할당하고 각 Thread는 그림 5와 같이 Vector element 한 개와 Matrix element 열 한 개를 연산한다. 이러한 Thread 700개가 모여 그림 5에서 짙은 색으로 표시된 element들을 연산한다. 총 3개의 Block을 통해 2100x2100x2100 Matrix-Vector 곱셈 연산을 수행한다. 이를 통해 Block 내의 메모리 병합률을 높이고 Global memory 접근을 줄여 연산 시간을 단축하였다.

그림. 3. CUDA 커널 흐름도

Fig. 3. Flowchart of cuda kernel

그림. 4. Matrix-Vector 곱셈 연산 커널 구조도

Fig. 4. Structure diagram of matrix-vector multiplication kernel

그림. 5. Matrix-Vector 곱셈 메모리 구조도

Fig. 5. Memory structure diagram of matrix-vector multiplication

4.1 Simulation 결과

앞서 구현한 유도조종 알고리듬의 연산 시간 분석을 위하여 수치 시뮬레이션을 수행하였다. 시뮬레이션에 사용된 파라미터들의 값은 표 2와 같이 적용하였으며, 결과는 그림 6에 도시하였다. 그림 6에서 붉은 점선은 유도탄의 제한조건을 나타낸 것으로, 가속도, 탐색기 시선각과 시선각속도 제한조건을 모두 위반하지 않는 최적 궤적을 도출할 수 있음을 확인하였다.

4.2 GPU 기반 연산 가속화 결과 분석

본 논문에서의 병렬화 및 가속화 실험은 NVIDIA Jetson Xavier 환경에서 진행되었으며, CPU는 6-core NVIDIA Carmel ARM v8.2 64-bit GPU는 NVIDIA Volta architecture with 384 NVIDIA CUDA cores 사양을 가진다. 실험에서는 CPU만을 사용하여 병렬화하지 않은 알고리듬, 그림 3, 4, 5의 설계를 적용한 CPU-GPU 병렬화 알고리듬, 그림 3의 커널 흐름을 적용하지 않은 알고리듬 그리고 그림 4의 커널 구조를 적용하지 않고 NVIDIA 공개 라이브러리인 cuBLAS를 사용한 알고리듬을 비교한다. 그림 7, 그림 8그리고 표 3에서는 ADMM 기반 유도 조종 알고리듬의 표 1의 반복문에 대한 알고리듬별 수행시간 비교 결과를 나타낸다. 모든 알고리듬은 54회 반복 후 수렴하였으며, 제한조건을 위반하지 않는 최적 궤적을 도출하였다. 그림 7은 제안한 알고리듬과 CPU만을 사용한 알고리듬에 대한 비교이다. GPU를 사용하지 않은 것에 비해 약 19배 빠른 결과를 얻었다. 그림 8은 제안한 방법과 그림 3의 커널 흐름을 적용하지 않은 직렬 커널 알고리듬 그리고 그림 4의 커널 구조를 적용하지 않고 cuBLAS 라이브러리를 사용한 알고리듬의 비교이다. 그림 3의 커널의 병렬 구조를 적용했을 경우와 아닌 경우 약 1.3배 빠른 결과를 얻었는데, 이는 각 커널 데이터가 서로 관련이 없는 경우 병렬화되어 연산하는 것과 모든 커널이 순차적으로 실행되는 것에 대한 차이이다. 또한 그림 4의 커널 구조를 적용한 것과 범용 라이브러리인 cuBLAS를 사용한 알고리듬의 차이는 약 2.1배 빠른 결과를 얻었는데, 이는 cuBLAS 라이브러리를 사용하기 위해 초기 설정 및 메모리 오버헤드이다. 따라서 커널 병렬화, 메모리 설계에 따라 같은 GPU일지라도 최대 2.1배의 연산 가속화가 가능한 것을 알 수 있다. 표 3은 CPU만을 사용한 알고리듬과 제안한 알고리듬의 파트별 연산 시간과 전체 연산 시간을 나타낸다. 표 2의 직렬 커널 흐름과 cuBLAS 커널의 데이터는 제안한 방법과 Sol ADMM 파트 시간에만 차이가 있으므로 제외하였다. 파트 별 연산 시간 중 Initial condition의 역행렬 연산 소요 시간이 매우 크게 나타났으나, 유도탄의 동역학 및 제어시스템 파라미터를 통해 비행 전 사전에 계산되는 항으로 최적 궤적 도출을 위한 iteration 반복 과정에 영향을 미치지 않는다. 또한, 제안한 알고리듬의 CUDA init delay에 소모되는 시간의 경우, CUDA 행렬을 할당하고 CPU의 데이터를 CUDA 데이터로 전송하는 데 소모되는 시간이다. init delay는 행렬의 크기에 비례하는 오버헤드가 소모되지만, init delay 또한 최적 궤적 도출을 위한 iteration 과정에 영향을 미치지 않는다.