2.1 유전율의 불연속 내삽을 이용한 해석식 유도
본 논문에서는 비스듬히 기울어진 모델 계면에 대한 전기장을 계산하기에 앞서, 해당 계면에서의 유전율의 불연속을 해당 위치에 대한 내삽(Interpolation)을
이용하여 구하고자 한다. 기존의 연구에서는 계면에서의 정확한 전기장을 구하는 것이 아닌 최대 발생 가능한 전기장 대비 비율의 형태로 표현이 되었고,
재귀함수의 형태로 표현이 되었다 (1-24). 실제 기울어진 형태에 대해서 구하는 경우 일종의 좌표변환의 형태인 등각사상법으로 구할 수 있을 것이라고 판단이 가능하지만 기존의 연구 등에서 보듯이
전압 인가 전극과 접지 전극이 평행하지 않은 경우에 대해서만 다루었다 (25-27). 그 이유는 본 논문의 주제에 해당하는 경우에 대해서는 좌표변환을 할 경우 경계조건을 만족하는 것에 대하여 표현하기가 상당히 어렵기 때문이다. 따라서
본 논문에서는 계면에서의 유전율의 불연속 특성을 이용하고자 한다. 계면에서의 유전율의 불연속은 단위 계단 함수(Heaviside unit-step
function)으로 유전율을 표현할 수 있으나, 단위 계단 함수의 경우를 적용하는 경우는 점근함수(Asymptotic Function)를 사용하는
것이 까다로울뿐더러, 미분계수 즉 해당 지점에서의 기울기가 상당히 크기 때문에 향후 연구에서 다루고자 한다. 따라서, 본 논문에서는 해당 위치에 대한
내삽을 일차함수의 형태로 유전율의 식을 근사화하여 구하고자 한다. 먼저 유전율의 불연속을 일차함수의 형태로 근사화하는 것에 대한 모델은 그림 1과 같다.
그림. 1. 유전율의 불연속에 대한 일차함수 근사
Fig. 1. Linear Function Approximation about Dielectric Constants Discontinuity
그림 1은 유전율의 계면에서의 불연속에 대한 일차함수로의 근사방법을 보여준다. $x=-x_{1}$인 경우에 $V_{0}$의 전압이 인가되며 $x=x_{2}$인
경우는 접지가 되어 있는 형태이다. $- x_{1}\le x<\dfrac{-h}{2}$인 경우 매질의 유전율은 $\epsilon_{1}$이며, $\dfrac{h}{2}<x\le
x_{2}$인 경우 매질의 유전율은 $\epsilon_{2}$이고, $h$가 0으로 수렴함에 따라 실제 본 논문에서 다루고자 하는 형태가 되는 것을
알 수가 있다. 본 논문에서 다루고자 하는 라플라스 방정식은 유전율의 값이 위치에 따라 다른 형태이므로 아래 표현된
식(1)과 같이 나타난다.
$- x_{1}\le x<\dfrac{-h}{2}$인 경우는 유전율이 일정한 형태이므로
식(1)의 $del\epsilon =0$이 된다. 마찬가지로 $\dfrac{h}{2}<x\le x_{2}$인 경우도 유전율이 일정한 형태이므로
식(1)의 $del\epsilon =0$이 된다. 따라서,
식(2)와 같은 형태로 나타낼 수 있다.
전압의 이계도함수가 0이므로 전압은 위치에 따른 일차함수로 표현할 수가 있다. 그러므로 각 부분에 대한 전압과 관련된 식은 아래에 표현되는
식(3)과
식(4)로 구할 수 있다.
유전율이 일정한 부분에서는 위의
식(3)과
식(4)와 같이 전압이 나타난다. 그러나, 계면에서의 전압과 관련된 식은 유전율의 변화가 있으므로 위의
식(1)을 그대로 사용할 수 있다. $\dfrac{-h}{2}\le x\le\dfrac{h}{2}$인 경우 유전율의 값이 $\epsilon(x)=mx+n$의
형태이므로 아래
식(5)와 같이 표현할 수 있다.
식(5)에서 전기장 $E=-\dfrac{d\Phi}{dx}$이므로
식(6)과 같이 나타낼 수 있다.
식(6)의 해를 구하면 $E=\dfrac{k}{mx+n}$의 형태로 나타난다. 따라서, 전압은 $\Phi =k'\ln(mx+n)$으로 표현할 수 있고, $E=k'\dfrac{m}{mx+n}$으로
표현이 가능하다. $x=\dfrac{-h}{2}$일 때와 $x=\dfrac{h}{2}$일 때의 전기장의 값이 연속이므로
식(3)과
식(4)를 이용하여
식(7)과
식(8)을 구할 수 있다.
전체구간$(- x_{1}\le x\le x_{2})$을 전기장의 크기에 대하여 적분을 하면 전체 전압이 나타나므로
식(7)과
식(8)을 이용하여
식(9)와 같이 나타낼 수 있다.
따라서 계수 $k'$는 아래
식(10)과 같이 나타난다.
그러므로 계면에서의 전기장 $E$는 아래
식(11)과 같이 최종적으로 나타낼 수 있다.
따라서 본 논문에서는 유도된 전기장과 관련된
식(11)을 이용하여 계면에서의 전기장을 구하고자 한다.
그림. 2. 계면에서의 전기장 계산 방법
Fig. 2. Electric Field Calculation Method at the Interface
본 논문에서는 계면에 해당하는 지점을 앞서 표현한 방법대로 원점으로 정하여 $x_{1}=d-x\tan\theta$, $x_{2}=x\tan\theta$로
하여 $0\le x\le\dfrac{d}{\tan\theta}$인 구간의 점들에 대해서
식(11)을 이용하여 전기장을 구하게 된다.
2.2 사례 연구
2.1절을 통하여 유도한 전기장 계산식을 이용하여 구한 식을 검증하기 위하여 간단한 실험을 진행하였다. 실제로 여러 경우에 대하여 실험을 수행하기가
곤란하여 계면 각도가 45°인 경우와 아크릴판을 이용하여 간단한 시험을 수행하였다. 너비와 높이와 길이가 각각 1[m]인 정육면체에 대해 아래 그림 3과 같은 실험방식을 이용하여 전압을 측정하는 방식으로 진행하였다.
그림. 3. 검증을 위한 간단한 실험구성도
Fig. 3. Simple Experiment Block Diagram for Verification
전압 500[V]를 인가하여 1[m]의 높이로 길이와 너비 방향으로 개방되어 있는 형태로 구성하여 실험을 진행하였다. 내부의 전기장을 측정하는 방식이
상당히 곤란하므로 본 논문에서는 A지점(접지부분에서 1/4 높이 위 지점)과 B지점(인가전극부분에서 1/4 높이 아래 지점)에 대한 전압을 1000:1
프로브를 통하여 측정하여 오실로스코프에서 전압값을 측정하는 형태로 구성을 하였다. 아크릴판의 유전율은 2.56이라고 정하여 계산을 하였다. 유전율의
값이 실제로는 보통 주파수에 대한 함수이지만 본 논문에서는 DC에서의 유전율을 사용하였다. 전압은 A 지점에서 502.24[V], B 지점에서 805.72[V]로
측정되었으며 전체 높이가 1[m]이므로 A 지점에서는 502.24[V/m], B 지점에서는 805.72[V/m]로 전기장이 측정되었음을 알 수 있었다.
실험결과와 본 연구에서 유도한 계산식을 통한 결과에 대한 그림은 아래
그림 4와 같다. 간단한 실험이지만 아래
그림 4와 같이 전기장의 크기가 거의 비슷함을 알 수가 있었기 때문에 해석식의 신뢰성을 갖추고 있다고 판단을 하였다.
그림. 4. 해석식과 실험결과와의 비교
Fig. 4. Comparision between Analytical Results and Experimental Results
그림. 5. 계면 각도가 30°일 때의 전기장 크기 (시뮬레이션 결과)
Fig. 5. Electric field intensity magnitude for 30° (Simulation Result)
그림. 6. 계면 각도가 45°일 때의 전기장 크기 (시뮬레이션 결과)
Fig. 6. Electric field intensity magnitude for 45° (Simulation Result)
그림. 7. 계면 각도가 60°일 때의 전기장 크기 (시뮬레이션 결과)
Fig. 7. Electric field intensity magnitude for 60° (Simulation Result)
2.1절을 통하여 유도한 전기장 계산식을 이용하여 Matlab으로 전기장을 계산하고, 비교 검증을 위하여 상용프로그램인 Maxwell을 사용하였다.
인가되는 전압은 50[kV]로 설정하고, 전극 간 거리는 5[cm]로 설정하였다. 비유전율은 2, 4, 6, 8, 10의 경우로 나누어서 계산을 하였고,
계면의 각도는 30°, 45°, 60°의 경우로 각각 나누어서 계산을 하였다.
그림 5, 그림 6및 그림 7에서 보듯이 본 절에서 유도된 해석식을 이용한 결과와 상용프로그램인 Maxwell을 이용하여 구한 데이터를 비교한 결과, 값이 거의 일치함을 보였다.
그러나, 대부분의 경우 삼중점(Triple Junction Point) 부근에서는 즉, 고압전극과 두 개의 유전체가 만나는 부분과 접지전극과 두 개의
유전체가 만나는 부분의 경우에서는 상용프로그램을 사용할 시 메쉬를 나누는 문제뿐만 아니라, 경계조건을 만족해야 하는 경우 에러가 많이 발생할 수 있는
특이점의 경우이기 때문에 상용프로그램을 이용하여 전기장을 구한 경우 삼중점(Triple Junction Point) 부근에서 전기장의 크기가 변곡점을
갖고 꺾이는 형태로 나타남을 알 수 있었다. 특이점에서 변곡점을 갖고 꺾이며 경로에 따른 적분값이 경계조건인 인가전압을 만족해야 하므로 고압전극 부근의
전기장이 상승하면 접지전극 부분의 전기장은 감소하는 형태를 나타내었다. 또한 해석식을 이용한 결과의 경우 특히 그림 5의 계면 각도가 60°일 경우에는 본 논문에서 고려한 모델이 유전율의 불연속을 이용하여 구한 모델이므로 계면의 각도가 90°로 증가하면 전기장에 대한
유전율의 불연속의 영향이 줄어들게 되므로 해석식의 결과와 수치 해석프로그램을 이용하여 계산된 결과와 일치하지 않는 부분이 다른 경우보다 상대적으로
많음을 알 수 있었다.