1. 서 론

영구자석 동기전동기의 제어는 스칼라제어, 벡터제어, 또는 직접토크제어에 의해서 이루어지는데, 과도상태에서 우수한 성능을 얻기 위해서는 벡터제어 또는 직접토크제어를 이용하며, 과도상태의 우수한 성능을 얻을 필요가 없는 에어컨디셔너, 송풍기, 컴프레서와 같은 분야에서는 제어기가 간단해서 구현하기 쉬운 V/f 일정제어가 폭넓게 사용된다^[1~5].

V/f 일정제어에서 모터의 속도는 V/f의 비가 일정하도록 주파수 f를 변화시켜서 제어하게 된다. 고정자권선의 저항은 작으므로 보통 고정자권선의 저항을 무시하며, 주파수를 변화시켜도 전동기에서 발생하는 최대토크는 일정한 값이 되므로 안정적인 제어가 가능해서^[6] V/f 일정제어가 폭넓게 사용되고 있다. 그러나 고정자권선의 저항을 무시하면 주파수가 변화할 때 최대토크는 동일한 것이 아니라 주파수 감소에 따라 최대토크의 값이 감소하게 되며 이 때문에 속도제어에 문제가 발생하게 되는데, 이에 관한 연구가 이루어지지 않았다.

본 논문에서는 고정자저항을 고려했을 때 V/f 일정제어에 의해서 주파수의 감소에 따라 최대토크가 일정한 것이 아니라 감소함을 보이고, 이 때문에 부하토크의 변화에 의해서 속도제어에 문제가 발생하게 됨을 보인다. 그리고 주파수 변화와 무관하게 최대토크가 일정하도록 하는 고정자저항을 고려한 전압을 제안하며, 제안한 방법에 의해서 주파수가 감소해도 최대토크가 일정함을 보인다. 시뮬레이션 결과에서 제안한 방법에 의해서 부하 증가 시에도 속도제어가 안정적으로 이루어짐을 보이고, 정역운전도 잘 이루어짐을 보인다.

2. 표면부착형 영구자석 동기전동기 모델

표면부착형 영구자석 동기전동기의 전압압정식은 d-q 동기좌표계에서 다음과 같다^[4].

여기서 $v_{d}$는 d축 전압, $v_{q}$는 q축 전압, $i_{d}$는 d축 전류, $i_{q}$는 q축 전류, $r_{s}$는 고정자 저항, $\omega$는 전기각속도, $\lambda_{m}$은 영구자석의 쇄교자속, $L_{s}$는 고정자 인덕턴스인데 표면부착형 영구자석 동기전동기에서 d축 인덕턴스 $L_{d}$ 및 q축 인덕턴스 $L_{q}$와 같다.

토크는 다음과 같다.

여기서 $P$는 극쌍수이다.

$\omega_{r}$의 각속도로 회전하는 회전체의 운동방정식은 다음과 같다.

여기서 $T_{L}$은 부하토크이며, $J$는 회전체의 관성모멘트이다.

$\omega_{r}=\omega /P$의 관계가 성립하며, 회전속도를 [rpm] 단위로 나타내면 $N_{r}=\omega_{r}\times\dfrac{60}{2\pi}$이 된다.

정상상태에서 $\dfrac{di_{d}}{dt}$와 $\dfrac{di_{q}}{dt}$는 0이 되며, 식 (1)과 식 (2)로부터 페이저도를 그리면 그림 1과 같다. $V_{s}$는 공급전압, $i_{s}$는 고정자전류, $v_{d}=-V_{s}\sin\delta$, $v_{q}=V_{s}\cos\delta$, $\delta$는 전기각이다.

3. V/f 일정제어

V/f 일정제어는 구현이 간단하고 저가의 장점으로 폭넓게 이용되고 있다^[1~5]. V/f의 비가 일정하도록 주파수 f와 전압 V를 조절하여 전동기의 속도를 제어하게 되는데, 고정자권선의 저항은 작으므로 보통 고정자저항을 무시하게 되며, 주파수가 0 Hz 근방에서는 리액턴스가 작아지므로 고정자저항의 전압강하를 무시할 수 없으므로 부스트(boost)전압을 공급한다^[3].

정상상태에서 고정자저항을 무시하면 식 (1)에서 $i_{q}$는 식 (5)와 같으며, $i_{q}$를 식 (3)에 대입하면 토크 $T$는 식 (6)과 같다. 그림 1에서 $v_{d}=-V_{s}\sin\delta$를 식 (6)에 대입하면 식 (7)을 얻는다.

식 (7)에서 주어진 주파수에서의 최대토크 $T_{m}$은 $\sin\delta =1$일 때의 토크이며, $V_{s}/f$의 비율이 일정하도록 주파수를 변화시키면 주파수 변화와 무관하게 $T_{m}$이 일정하게 됨을 알 수 있다.

그림 2는 고정자저항을 무시했을 경우에 $\delta$의 변화에 따른 식 (7)의 토크 $T$의 곡선을 나타내고 있다. V/f 일정제어를 하기 때문에 주파수 $f$가 $f_{1}$, $f_{1}/2$, $f_{1}/4$으로 변화해도 주파수와 무관하게 토크의 곡선이 동일한 모습을 나타내고 있다. 부하토크가 모터의 발생토크인 $T_{1}$과 같을 때 주파수의 변화에 의한 속도의 변화에도 불구하고 $\delta$가 $\delta_{1}$으로 일정하기 때문에 V/f 일정제어가 널리 사용되고 있다^[6].

그러나 고정자저항을 고려하면 주파수가 변화할 때 토크의 곡선은 그림 2와 같이 동일한 것이 아니라 주파수 감소에 따라 토크의 값이 감소하게 되며 이 때문에 속도제어에 문제가 발생하게 된다. 본 논문에서는 고정자저항을 고려했을 때 주파수가 감소해도 최대토크가 일정하도록 하는 전압을 제시하며 제시한 전압에 의해서 부하증가 시에도 속도제어가 잘 이루어짐을 보인다.

4. 제안한 방법에 의한 전압

정상상태에서 식 (1)을 $i_{d}$에 관해서 정리하면 식 (8)과 같으며, $i_{d}$를 식 (2)에 대입하면 $v_{q}$는 식 (9)와 같고, 식 (9)에서 $i_{q}$를 구해서 식 (3)에 대입하여 토크 $T$에 대해서 쓰면 식 (10)과 같다.

그림 1의 페이저도에서 $v_{d}=-V_{s}\sin\delta$, $v_{q}=V_{s}\cos\delta$를 식 (10)에 대입하면 다음의 식을 얻는다.

토크가 최대가 되는 $\delta_{m}$을 구하기 위해서 식 (11)에서 $\dfrac{d T}{d\delta}=0$을 계산하면 식 (12)를 얻게 되며, $\delta_{m}$은 식 (13)과 같다.

60 Hz의 주파수에서 공급전압 $V_{s}$의 정격치를 $V_{sn}$이라 하면, $\delta =\delta_{m}$에서 60 Hz의 최대토크 $T_{m60}$은 다음과 같다.

여기서 $X_{s60}=120\pi L_{S}$ , $\omega_{60}=120\pi$이다.

식 (11)에서 $V_{s}$에 대해서 정리하면 다음의 식을 얻는다.

전동기에 공급되는 전압의 주파수가 60 Hz보다 낮은 주파수 $f_{1}$일 때 최대토크가 발생하는 $\delta$는 $\delta_{m1}=\tan^{-1}(\dfrac{2\pi f_{1}L_{s}}{r_{s}})$가 되며, $\delta_{m1}$을 식 (15)에 대입하고, $f_{1}$일 때의 최대토크가 60 Hz일 때의 최대토크 $T_{m60}$과 같도록 하기 위해서 $T_{m60}$을 식 (15)의 $T$에 대입하고 $\omega$에 $2\pi f_{1}$을 대입하여 정리하면 $f_{1}$의 주파수에서 $\delta$의 변화에 따른 토크곡선의 최대토크가 $T_{m60}$이 되도록 하는 전압 $V_{sf1}$은 식 (16)이 되는데, 절대치 기호는 역방향 회전을 고려한 것이다.

표 1은 본 논문에서 사용한 표면부착형 영구자석 동기전동기의 사양을 나타내고 있다. 고정자권선은 Y 결선이며 상전압 $V_{s}$의 정격치 $V_{sn}$은 220 V이다.

그림 3은 제안한 방법에 의한 전압과 V/f 일정제어의 전압을 나타내고 있다. 제안한 방법에 의한 전압은 식 (16)에서 주파수 $f_{1}$을 0에서 60 Hz까지 변화시키면서 $V_{sf1}$을 계산하여 그래프로 나타낸 것이다.

그림 4는 주어진 주파수에서 $\delta$를 변화시키면서 식 (11)의 토크 $T$를 그래프로 나타낸 것이다. 곡선 ②는 60 Hz, 220 V의 조건에서의 토크의 곡선이며, 이 경우에 고정자저항을 무시($r_{s}=0$Ω)하면 곡선 ①이 되는데, $\delta$가 $\pi /2$일 때 토크가 최대가 되는 모습을 나타내고 있으며, 토크의 최대치도 곡선 ②보다는 큰 모습을 나타내고 있다. 고정자저항은 리액턴스에 비해서 작으므로 보통 무시를 하는데, 무시하게 되면 곡선 ①이 되면서 오차가 발생하게 되는 것을 나타내고 있다.

주파수가 60 Hz에서 30 Hz 및 15 Hz로 감소할 때 제안한 방법(식 (16)의 전압 사용)에 의한 토크곡선은 ②에서 ③ 및 ④로 변화하면서 최대토크가 일정한 모습을 나타내고 있으며, V/f 일정제어인 기존방법에 의한 토크곡선은 ②에서 ⑤ 및 ⑥으로 변화하게 된다. V/f 일정제어를 하면 주파수가 변해도 최대토크의 값은 일정한 것으로^[6] 되어 있으나, 그림에서처럼 주파수가 감소함에 따라 최대토크의 값이 감소하게 됨을 알 수 있다.

주파수가 30 Hz일 때 곡선 ⑤의 최대토크는 185.7 N.m로 계산되었다. 부하토크가 190 N.m일 때 30 Hz의 경우에 제안한 방법(곡선 ③)에 의해서는 제어가 가능하나 V/f 일정제어(곡선 ⑤)에 의해서는 부하토크가 최대토크보다 크므로 제어가 안 된다는 것을 의미한다.

그림 5는 5 Hz에서 60 Hz의 주파수 범위에서의 제안한 방법과 V/f 일정 제어의 최대토크를 나타내고 있다. 제안한 방법의 최대토크는 주파수 변화와 무관하게 일정하나 기존방법에서는 주파수의 감소에 따라 최대토크가 감소하고 있는 모습을 나타내고 있다. 60 Hz에서의 최대토크는 217.1 N.m인데 5 Hz에서의 기존방법의 최대토크는 53.2 N.m로 크게 감소함을 나타내고 있다.

5. 시뮬레이션 결과

표 1의 전동기에 제안한 방법을 적용하여 ACSL(Advanced Continuous Simulation Language)를 이용해서 시뮬레이션을 수행하였다. 그림 6은 제안한 방법의 제어 블록도를 나타내고 있다. 속도제어주기는 1.25 ms이며, $\omega^{*}$는 지령치이며, $\omega$는 회전자의 전기각속도이고, 속도제어기의 출력은 리미터(Limiter)에 의해서 크기가 제한($\pm 1$)된다. $f_{1}^{*}=\omega_{1}^{*}/(2\pi)$으로 계산된 $f_{1}^{*}$을 식 (16)에 대입하여 전압의 지령치 $V_{s}^{*}$를 계산한다. 속도제어기의 gain $k_{p}$는 0.1이다.

그림 7은 제안한 방법에 의한 시뮬레이션 결과를 나타내고 있다. 속도지령은 0 s에 600 rpm이며, 부하는 0 s에 100 N.m가 연결된 상태로 기동하며, 15 s에 190 N.m로 증가된다. 100 N.m의 부하토크가 걸려있는 상태에서 기동을 하기 때문에 속도는 –68 rpm까지 감소한 다음에 다시 증가하는 모습이며, 15 s에 부하가 190 N.m로 증가한 다음에 정상상태에서 속도는 600 rpm으로 제어되고 있는 모습을 나타내고 있다.

그림 8은 V/f 일정제어에 의한 시뮬레이션 결과를 나타내고 있다. V/f 일정제어에서는 100 N.m의 부하를 걸은 상태에서 기동이 이루어지지 않아서 무부하로 기동한 후에 100 N.m의 부하토크로 제어되는 상태이며, 15 s에 부하토크가 100 N.m에서 190 N.m로 증가된다. 그림 4의 곡선 ⑤는 30 Hz(600 rpm)의 경우인데, 토크의 최대치가 185.7 N.m이다. 15 s에 185.7 N.m의 토크를 초과하는 190 N.m의 부하가 걸리면서 제어가 안 되는 모습을 나타내고 있다.

그림 9는 제안한 방법의 정역운전의 결과이다. 무부하이며, 600 rpm으로 회전하다가 10 s에 속도지령이 –600 rpm으로 변경된다. 속도가 600 rpm에서 –600 rpm으로 제어되고 있는 모습을 나타내고 있다.

6. 결 론

본 논문에서는 표면부착형 영구자석 동기전동기의 V/f 일정제어에서 고정자저항을 무시한 경우의 문제점을 살펴본 후 고정자저항을 고려한 스칼라제어에서 주파수변화에 따른 공급전압을 제안하였다. 고정자저항을 고려하지 않은 V/f 일정제어에서 주파수가 60 Hz에서 5 Hz로 감소함에 따라 최대토크가 217.1 N.m에서 53.2 N.m로 감소하는 모습을 확인하였으며, 제안한 방법에서는 주파수를 감소시켜도 토크곡선의 최대토크가 217.1 N.m로 일정한 값을 유지함을 확인하였다.

시뮬레이션 결과, 고정자저항을 무시한 V/f 일정제어에서는 부하 증가시 주파수 감소에 따라 토크곡선의 레벨(level)이 낮아져서 속도제어가 이루어지지 않음을 확인하였으며, 제안한 방법에서는 부하가 연결된 상태에서 기동이 되었으며, 부하 증가시에도 제어가 잘 이루어졌고, 또한 정역운전도 원활하게 이루어짐을 확인했다.

영구자석 동기전동기의 스칼라제어는 구현이 간단하고 저가의 장점으로 폭넓게 이용되고 있는데, 향후 본 논문에서 제안한 전압을 적용한 다양한 스칼라제어 기법에 대해서 연구를 수행하고, 또한 본 논문에서는 고려가 되지 않은 파라미터인 철손을 고려한 제어기법에 대한 연구를 추가로 진행한다면 향상된 제어성능을 얻을 수 있을 것으로 사료된다.