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Impact Angle Guidance Law, Autopilot Lag, Second-Order Error Dynamics

1. 서 론

무인비행체의 유도 법칙은 비행체가 표적에 도달할 때 표적과 비행체 사이의 오차 거리(Miss Distance)가 최소가 되도록 설계한다. 무인비행체의 가장 대표적인 비례항법 유도법칙(Proportional Navigation Law)은 비행체와 표적 사이의 시선각 변화율(LOS Rate)이 최소가 되도록 하여 오차 거리가 0에 수렴하도록 한다[1].

입사각 유도 법칙은 오차 거리와 표적에 도달할 때의 각도를 모두 제어하는 유도 법칙이다. 유도무기의 경우 표적에 대한 탄착 요구조건으로 입사각이 사용되며[2], 재사용 발사체의 경우 비행 단계를 전환하기 위한 파라메터로 사용된다[3]. 대부분의 입사각 유도 법칙은 비행체의 속도가 일정하다는 가정에서부터 출발한다. 그 이유는 비행체 엔진이 항력 크기와 동일하면서 진행 방향으로 추력을 생성하여 비행체가 일정한 속도로 비행하기 때문이다.

그러나 부스터가 장착된 비행체는 엔진이 장착된 비행체와 달리 속력이 변화한다. 부스터 추진기관 내부의 추진제 특성에 따라 형성되는 추력 프로파일이 달라져서 비행체 항력과 상관없이 시간에 따라 추력이 변화하여 비행체의 속력이 계속 변한다. 만약 부스터의 실제 추력 프로파일이 예상 추력 프로파일과 매우 다를 경우 비행체에 부여된 임무가 실패할 수 있으므로 비행체 속력을 유도 법칙에서 고려해야 한다.

비행체의 속력 변화를 고려한 다양한 연구들이 진행되었다[4-6]. 종말 탄착 속력과 추진기관 추력을 고려한 최적 유도 법칙[4], 일정한 가감속을 고려한 최적 유도 법칙[5], 표적 기동을 고려한 통합 유도법칙[6]이 개발되었으나 입사각은 고려되지 않았다. 최근에 비행체의 속력과 입사각을 고려한 비선형 입사각 유도법칙[7]이 개발되었다. 또한 오토파일럿 지연을 고려한 최근 연구[8]도 있었다. 이 연구에서는 오토파일럿의 지연 시간을 추정하는 지연 시간 추정기와 백스테핑 방법을 통해 유도 명령을 구성하였다.

본 논문은 추력에 의한 속력 변화와 입사각, 그리고 오토파일럿을 고려한 유도 법칙을 제안한다. 기존에 수행했던 연구[7]에서는 오토파일럿이 유도 루프에 비해 충분히 빠르다는 가정으로 유도법칙 설계 단계에서 오토파일럿 동특성을 고려하지 않았다. 그러나 오토파일럿이 충분히 빠르지 않을 경우 오토파일럿 동특성에 의해 유도 성능이 상당히 저하됨을 알 수 있었다[9].

본 논문에서는 오토파일럿 동특성을 유도 법칙에서 고려하기 위해 상쇄기법을 적용한다. 먼저 오토파일럿 동특성을 1차 선형 미분방정식으로 모델링한다. 1차 선형 미분방정식으로 모델링을 하는 이유는 유도법칙 입장에서 오토파일럿 동역학을 지연 요소로 볼 수 있기 때문이다. 그리고 1차 선형 미분방정식이 고차 선형 미분방정식보다 유도법칙에서 오토파일럿 지연요소를 상쇄하기 더 유리하다. 이렇게 모델링한 지연 요소를 상쇄하기 위한 항을 유도 법칙에 포함한다. 그리고 제안하는 유도법칙을 적용한 시선각 오차 폐루프 동역학이 해석적 해를 가질 뿐만 아니라 리아푸노프 안정도를 통해 유한시간 수렴성을 보장하는 것을 보인다.

논문의 구성은 다음과 같다. 첫 번째 절에서는 문제 설정을 위한 유도 기하와 추력 변화를 고려한 기하학적 지배방정식, 그리고 가정들에 대해 서술한다. 두 번째 절에서는 비선형 시변 계수를 갖는 2차 미분 오차방정식을 설명한다. 세 번째 절에서는 오토파일럿 지연 상쇄 비선형 입사각 유도법칙을 제시한다. 네 번째 절에서는 모의시험 결과, 마지막 절에서는 결론을 언급한다.

2. 문제 설정

본 논문에서 유도 기하는 아래와 같이 2차원 평면을 고려한다.

그림 1. 2차원 유도 기하

Fig. 1. 2-D Guidance Geometry

../../Resources/kiee/KIEE.2024.73.10.1699/fig1.png

그림에서 $L$은 무인비행체, $T$는 표적, $\lambda$는 무인비행체와 표적과의 시선각, $\xi$는 표적과의 시선각에 대한 헤딩오차각, $V$는 무인비행체가 표적에 접근하는 속도, $r$은 무인비행체와 표적 사이의 거리를 의미한다. $r$과 $\lambda$의 관계식은 다음과 같이 유도된다.

(1)
$\dot{r}=-V\cos\xi$
(2)
\begin{align*}\dot{\lambda}& =-\dfrac{V}{r}\sin\xi \end{align*}
(3)
$\xi =\gamma -\lambda$

표적에 탄착할 때 시선각 $\lambda_{d}$는 표적의 입사각과 동일하므로 시선각 오차는 다음과 같이 정의한다.

(4)
$e =\lambda_{d}-\lambda$

(1)에서 $V$는 다음과 같은 식으로 주어진다.

(5)
$\dot{V}=\begin{cases}f(t)&{if}{t}<{t}_{{b}}\\0&{if}{t}\ge{t}_{{b}}\end{cases}$

(5)에서 $t_{b}$는 추력 소진시간을 의미하고, $f(t)$는 추력 프로파일을 의미하므로, 현재 시간이 추력 소진시간보다 작으면 시간에 따라 변하는 추력 함수 $f(t)$에 의해 가속도가 변화하며, 현재 시간이 추력 소진 시간보다 크면 현재 가속도는 0이다. 식 (5)에서 일반적으로 속도 제어가 가능한 비행체는 가속도가 항상 0이나 본 논문에서는 이 조건보다 확장된 임의의 가속도에 대한 유도법칙을 고려한다.

본 논문에서는 다음과 같은 가정을 한다.

1. 무인비행체의 헤당각 오차의 크기는 90도 미만이다.

2. 무인비행체의 속도는 항상 0보다 크다.

3. 표적은 고정되어 있다.

4. 표적 요구 입사각은 일정하다.

5. $\dfrac{\ddot{V}}{V}\approx 0$ 이다.

6. $\sin\xi\dot{\xi}\approx 0$ 이다.

일반적으로 속도 벡터는 표적에 다가갈수록 표적의 시선각을 향하지만, 초기 발사 시점의 속도 벡터는 시선각과 차이가 나타날 수 있다. 가정 1은 초기 속도 벡터의 방향이 시선각의 수직인 방향까지 고려함을 의미한다. 가정 2는 무인 비행체의 초기 속도가 0이 아님을 의미한다. 가정 3, 4는 고정된 표적에 요구 입사각이 일정한 상황을 의미한다. 가정 5는 가속도 변화율 $\ddot{V}$를 두 번 적분한 속도 $V$가 계속 증가하므로 정상상태에서는 $\ddot{V}/V$이 매우 작음을 의미한다. 가정 6은 비행시간 대부분에서 $\sin\xi\dot{\xi}$이 작음을 의미한다.

3. 비선형 시변 계수를 갖는 2차 미분 오차방정식

본 논문에서는 비선형 시변 계수를 갖는 2차 미분 오차방정식을 소개한다[7]. 일반적으로 2차 미분방정식의 해석적 해는 시불변 계수에 대해서 존재하지만, 제안하는 미분방정식은 시변 계수에 대해 해석적 해가 존재한다. 따라서 시간에 따라 가속도가 변화하여도 해석적으로 해를 구할 수 있는 장점이 있다.

보조정리 1[7]. $c,\: x,\: k_{1}$이 각각 $c\ne 0$, $x\ne -1$, $k_{1}\ne 0$인 상수라고 한다. 다음은 비선형 시변 계수를 갖는 2차 미분방정식이라고 하자.

(6)
$\left(r^{2}\right)\ddot{e}+\left(k_{1}Vr\cos\xi\right)\dot{e}+(k_{2}V^{2}\cos^{2}\xi)e=0$

이 때 $k_{2}$가 다음을 만족하면 식 (6)는 해석적 해를 갖는다.

(7)
$k_{2}=(x+1)\left[\begin{aligned}k_{1}\left(1+\dfrac{\dot{V}r}{V^{2}\cos\xi}\right)\\-x\left(1+\dfrac{\dot{V}r}{V^{2}\cos\xi}\right)^{2}\\-\dfrac{\dot{V}r}{V^{2}\cos\xi}-2\left(\dfrac{\dot{V}r}{V^{2}\cos\xi}\right)^{2}\end{aligned}\right]$

이 때 해석적 해는 다음과 같다.

(8)
$e=c\left(\dfrac{r}{V}\right)^{x+1}$

(증명) $\beta =\dot{V}/V$라고 하자. $r/V$를 첫 번째 미분한 결과와 두 번째 미분한 결과는 다음과 같다.

(9)
$\left(\dfrac{r}{V}\right)^{'}=\dfrac{\dot{r}}{V}-\beta\dfrac{r}{V}$
(10)
$\left(\dfrac{r}{V}\right)^{''}=\dfrac{\ddot{r}}{V}-\left(\dfrac{r}{V}\right)\left(\dfrac{\ddot{V}}{V}\right)-2\beta\dfrac{\dot{r}}{V}+2\beta^{2}\dfrac{r}{V}$

가정 5, 6을 이용하여 식 (9), 식 (10)을 다시 정리하면 다음과 같다.

(11)
$\left(\dfrac{r}{V}\right)^{'}=-\cos\xi -\beta\dfrac{r}{V}$
(12)
$\left(\dfrac{r}{V}\right)^{''}=\beta\cos\xi +2\beta^{2}\dfrac{r}{V}$

(8)을 한번 미분한 결과와 두 번 미분한 결과, 그리고 식 (11), 식 (12)를 이용하여 식 (6)을 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

(13)
$c\left(\dfrac{r}{V}\right)^{x+1}\left[\begin{aligned}x(x+1)\left(1+\dfrac{\beta r}{V\cos\xi}\right)^{2}\\ +(x+1)\left(\dfrac{\beta Vr\cos\xi +2\beta^{2}r^{2}}{V^{2}\cos^{2}\xi}\right)\\ -k_{1}(x+1)\left(1+\dfrac{\beta r}{V\cos\xi}\right)+k_{2}\end{aligned}\right]=0$

(13)에서 식 (7)을 만족시키면, $c\left(\dfrac{r}{V}\right)^{x+1}$와 상관없이 식 (13)이 항상 만족된다. 따라서 해석적 해는 식 (8)과 같다.

4. 오토파일럿 지연상쇄 비선형 입사각 유도법칙

본 절에서는 앞 절에서 언급한 해석적 해를 이용한 유도법칙에 대해 서술한다. 식 (4)의 오차를 0으로 수렴하기 위한 오차 동역학 방정식을 식 (2), 식 (3)을 이용하여 유도하면 다음과 같다.

(14)
\begin{align*}\ddot{e}=-\dfrac{\dot{V}}{r}\sin\xi +\dfrac{V\dot{r}}{r^{2}}\sin\xi \\-\dfrac{V^{2}}{r^{2}}\sin\xi\cos\xi -\dfrac{V}{r}\cos\xi\dot{\gamma}\end{align*}

여기서, 오토파일럿 지연 요소가 없다면 $\dot{\gamma}$이 제어 입력, 즉 유도명령이고, 만약 오토파일럿 지연 요소가 있다면 $\dot{\gamma}$을 오토파일럿 출력으로 사용한다. 그 이유는 유도 루프와 오토파일럿 루프가 직렬로 연결되어 있기 때문이다. 오토파일럿 지연은 다음과 같이 1차 미분방정식으로 모델링한다.

(15)
$\dot{\gamma}=-\alpha\gamma +\alpha\dot{\gamma_{c}}$

여기서, $1/\alpha$는 시상수(Time Constant)를 의미한다. 식 (15)의 오토파일럿 지연 모델은 오토파일럿 지연을 해석적으로 상쇄시키는데 유리하다. 식 (14)와 식 (15)를 이용하여 식 (6)의 오차 동역학을 갖기 위해서 오토파일럿 지연 상쇄 비선형 입사각 유도법칙을 다음과 같이 제안한다.

(16)
$\dot{\gamma_{c}}=\dfrac{1}{\alpha}\left\{\begin{aligned}\left(2-\dfrac{\dot{V}}{V}\dfrac{r}{\dot{r}}\right)\dot{e}+k_{1}\dot{e}\\+k_{2}\left(\dfrac{V\cos\xi}{r}\right)e+\alpha\gamma\end{aligned}\right\}$

(16)에서 첫 번째, 두 번째, 세 번째 항은 식 (14)의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 항을 차례대로 상쇄시키는 항이고, 식 (16)의 마지막 항은 식 (15)의 오토파일럿 지연요소를 상쇄시키는 항이다. 유도법칙의 설계 파라메터 $k_{1}$, $k_{2}$는 두 번째 항과 세 번째 항에 포함된다. 제안된 유도 법칙의 수렴성은 다음의 정리 1을 이용하여 증명한다.

정리 1. 임의의 양의 상수 $x$와 보조정리 1의 식 (7)을 만족하는 $k_{2}$에 대하여 표적과의 거리 $r$이 0으로 갈 때, 시선각 오차 $e$는 0으로 간다.

(증명) 식 (15), 식 (16)을 식 (14)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

(17)
$\left(r^{2}\right)\ddot{e}+\left(k_{1}Vr\cos\xi\right)\dot{e}+(k_{2}V^{2}\cos^{2}\xi)e=0$

(17)를 다음과 같이 정리하면,

(18)
$\dot{e}=\dfrac{V}{\left(k_{1}r\cos\xi\right)}\left(-\left(\dfrac{r}{V}\right)^{2}\ddot{e}-(k_{2}\cos^{2}\xi)e\right)$

리아푸노프 함수 후보를 $V(e)=\dfrac{1}{2}e^{2}$라고 하자. 이를 미분하면 다음과 같다.

(19)
$\dot{V}=-\dfrac{r}{k_{1}V\cos\xi}e\ddot{e}-\dfrac{k_{2}V\cos\xi}{k_{1}r}e^{2}$

(19)에서 $\dot{V}$이 음인지를 증명하기 위해 식 (8)을 이용하여 $e\ddot{e}$ 식을 정리하면 다음과 같다.

(20)
\begin{align*}e\ddot{e}=c^{2}\left(\dfrac{r}{V}\right)^{2x}(x+1)\\\left(x\left(\cos\xi +\beta\left(\dfrac{r}{V}\right)\right)^{2}+\beta\cos\xi\left(\dfrac{r}{V}\right)+2\beta^{2}\left(\dfrac{r}{V}\right)^{2}\right)\end{align*}

$r$이 0이 아닌 경우 $\left(\cos\xi +\beta\left(\dfrac{r}{V}\right)\right)$은 양이고, $\beta\cos\xi\left(\dfrac{r}{V}\right)+2\beta^{2}\left(\dfrac{r}{V}\right)^{2}$이 양이고, $x$도 양이다. $k_{1}$과 $k_{2}$도 양이므로 $\dot{V}<0$ 이다. $r$이 0인 경우 식 (8)은 0이므로 $V=0,\: \dot{V}=0$이다. 따라서 $r$이 0으로 가면 시선각 오차 $e$도 0으로 간다. 그리고 $r$이 0이면 시선각 오차 $e$도 0이다.

5. 모의시험 결과

제안된 알고리듬을 검증하기 위해 무인비행체와 표적 사이의 초기 거리는 4.5689km, 초기 비행경로각은 10도, 초기 속도는 500m/s로 고려한다. 유도이득 $k_{1}$은 20으로 설정한다. 모의시험 시나리오는 총 5가지를 고려한다. Case1과 Case2는 오토파일럿 상쇄 유도법칙이 적용되지 않은 기존 유도법칙[7]이고, Case 3부터 Case 5는 오토파일럿 상쇄 유도법칙이 적용된 경우이다. Case 1, 3는 시상수가 3초인 경우(즉, $\alpha =1/3$), Case 2, 4는 시상수가 5초인 경우이다(즉, $\alpha =1/5$). Case 5는 오토파일럿 상쇄 유도법칙의 오토파일럿 시상수를 3초 모델링하였지만, 실제 오토파일럿 시상수가 5초인 경우이다. Case 5는 제안하는 오토파일럿 상쇄 유도법칙에서 실제 오토파일럿 시상수를 완벽하게 상쇄하지 못할 때 성능과 기존 유도법칙 Case 2의 성능을 비교하기 위함이다. 추력 변화에 의한 가속도 프로파일은 1Hz 주기를 갖는 사인함수를 다음 그림 2와 같이 고려한다. 그림 2의 가속도를 속력 프로파일로 변화하면 그림 3과 같다.

그림 2. 추력에 의한 가속도 프로파일

Fig. 2. Acceleration Profile of Thrust

../../Resources/kiee/KIEE.2024.73.10.1699/fig2.png

그림 3. 무인비행체 속력 프로파일

Fig. 3. UAV Speed Profile

../../Resources/kiee/KIEE.2024.73.10.1699/fig3.png

그림 3에서 가속도에 1Hz 진동이 포함되어 속력에도 1Hz 진동이 포함되어 있는 것을 알 수 있다. 그리고 가속도에 의해 속도가 계속 증가함을 알 수 있다. 총 5가지 시나리오에 대한 유도오차와 입사각 오차는 다음 표 1, 표 2와 같다.

표 1 시나리오에 따른 기존 유도법칙[7] 오차 성능

Table 1 Error Performance of Previous Work[7]

항목

Case 1

Case 2

유도 오차

0.0043 m

0.0067 m

입사각 오차

-8.77e-4°

-1.10e-3°

표 2 시나리오에 따른 제안하는 유도법칙 오차 성능

Table 2 Error Performance of Proposed Work

항목

Case 3

Case 4

Case 5

유도 오차

0.0035m

0.0035m

0.0053m

입사각 오차

1.54e-6°

1.54e-6°

2.18e-4°

표 1의 결과에서 Case 1, Case 2을 비교하면, 시상수가 커질수록 유도오차와 입사각 오차가 증가함을 알 수 있다. 표 2의 결과에서 Case 3은 Case 1의 시상수가 존재할 때 오토파일럿 지연 상쇄 유도법칙을 적용한 결과이고, Case 4는 Case 2의 시상수가 존재할 때 오토파일럿 지연 상쇄 유도법칙을 적용한 결과이다. Case 3, 4의 오토파일럿 지연 상쇄 유도법칙이 Case 1, 2의 기존 유도법칙보다 유도오차와 입사각 오차를 줄일 수 있음을 알 수 있다. 또한 Case 5는 오토파일럿 시상수가 부분적으로 상쇄가 되더라도 Case 2의 기존 유도법칙보다 유도오차와 입사각 오차를 줄일 수 있음을 알 수 있다. 다음은 Case 1부터 Case 5까지 모의시험을 수행한 결과이다.

그림 4. Case 1, 2, 3, 4, 5에 대한 궤적 프로파일

Fig. 4. Trajectories of Case 1, 2, 3, 4, and 5

../../Resources/kiee/KIEE.2024.73.10.1699/fig4.png

그림 4에서 기존 유도법칙의 Case 1, 2는 제안하는 유도법칙의 Case 3, 4, 5보다 궤적이 벗어남을 알 수 있다. 그 이유는 기존 유도법칙은 유도명령을 오토파일럿이 추종할 때 시간지연이 있어 궤적이 벗어나지만, 제안하는 유도법칙은 그러한 시간지연을 상쇄하기 때문에 상대적으로 궤적이 벗어나지 않기 때문이다. 그림 5, 그림 6, 그림 7은 비행경로각, 시선각 오차, 헤딩각 오차를 각각 나타낸 그림이다. 그림 5에서 제안하는 유도법칙의 비행경로각은 표적을 향해 일정하게 줄어드는 반면 기존 유도법칙은 오토파일럿 시간 지연으로 인해 비행경로각이 비행 초중반에는 언더슈트, 비행 후반에는 오버슈트가 생기다가 표적 도달 시 입사각 조건을 맞추기 위한 비행 경로각이 형성됨을 알 수 있다. 그림 6의 시선각 오차는 기존 유도법칙에서 오토파일럿 지연 상수가 커짐에 따라 시선각 오차가 커지다가 종말 비행구간에서 표적 입사각 조건을 맞추기 위해 오차가 0으로 감을 알 수 있다. 그림 7의 헤딩각 오차는 식 (3)에 의해 비행 경로각과 시선각의 차이로 인해 값이 나타남을 알 수 있다.

그림 5. Case 1, 2, 3,4, 5에 대한 비행경로각

Fig. 5. Flight Path Angles of Case 1, 2, 3, 4, and 5

../../Resources/kiee/KIEE.2024.73.10.1699/fig5.png

그림 6. Case 1, 2, 3, 4, 5에 대한 시선각 오차

Fig. 6. LOS Errors of Case 1, 2, 3, 4, and 5

../../Resources/kiee/KIEE.2024.73.10.1699/fig6.png

그림 7. Case 1, 2, 3, 4, 5에 대한 헤딩각 오차

Fig. 7. Heading Errors of Case 1, 2, 3, 4, and 5

../../Resources/kiee/KIEE.2024.73.10.1699/fig7.png

그림 8. Case 1, 2, 3, 4, 5에 대한 유도명령

Fig. 8. Guidance Command of Case 1, 2, 3, 4 and 5

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그림 8은 Case 1-5까지 유도명령을 비교한 그림이다. 그림 8의 유도 명령에 진동이 포함된 이유는 가속도와 속도에 1Hz 진동이 포함되어 있어서 발생한 것이기 때문에 안정도와 상관없는 진동이다. 기존 유도법칙의 Case 1-2는 시간이 지남에 따라 유도명령이 커짐을 알 수 있다. 그 이유는 오토파일럿 지연에 의해 시선각 오차가 커지고 궤적이 벗어남에 따라 이를 제어하기 위해 유도명령이 커지기 때문이다. 반면에 제안하는 유도법칙의 Case 3-5는 오토파일럿 상쇄 유도법칙에 의해 오토파일럿에 의해 발생한 위상을 리드시키는 명령으로 오토파일럿 지연이 상쇄되어 시간에 따라 유도명령이 증가하지 않음을 알 수 있다. 그림 1~그림 8을 통해 제안하는 유도법칙의 성능이 기존 유도법칙의 성능보다 더 우수함을 알 수 있다.

6. 결 론

본 논문은 오토파일럿 지연이 존재할 경우 오토파일럿 지연을 상쇄하는 유도법칙에 관한 것이다. 기존 유도법칙은 오토파일럿 지연이 커질수록 유도오차와 입사각 오차가 커졌다. 이를 보완하기 위해 제안하는 유도법칙은 오토파일럿 지연을 상쇄시키는 항을 포함하여 오토파일럿 지연에 의한 궤적 편차, 시선각 오차, 헤딩각 오차가 커지는 것을 방지하였다. 뿐만 아니라 리아푸노프 안정도 해석을 통해 제안하는 유도법칙의 유한시간 수렴성을 증명하였다.

Acknowledgements

이 논문은 2023년도 순천대학교 학술연구비(과제번호: 2023-0312) 공모과제로 연구되었음.

This paper was supported by Sunchon National University Research Fund in 2023(Grant number: 2023-0312)

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저자소개

조성진(Sungjin Cho)
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Sunchon National University Assistant Professor

From 2002 to 2022, he was a Researcher with the Agency for Defense Development, South Korea. He received the Ph. D. degree in Electrical and Computer Engineering from the Georgia Institute of Technology (Atlanta), USA in 2017. His research interests include robotics, systems and control theory, and mobile sensor network.