1. 서 론

전력 시스템 내 발전소에서 수용가까지 전력을 안전하고 효율적으로 전달하는 역할을 하는 케이블은 주요 구성요소 중 하나로서 안정성과 신뢰성에 관한 관심으로 점차 그 중요성이 커지고 있다. 장기간 운영으로 케이블의 성능이 저하되거나 고장이 발생할 경우, 전력 공급의 중단이나 장애로 이어질 수 있으며, 기업의 생산성 저하, 경제적 손실, 심각한 경우에는 공공 안전 문제까지 초래할 수 있다. 따라서 전력 케이블의 상태를 지속해서 감시하고, 적절한 상태 유지와 보수를 통해 건전성을 확보하는 것이 필수적이다.

케이블의 상태를 평가하기 위해서는 케이블의 물리적 및 전기적 특성을 분석하는 것이 필요하다. 특히, 케이블의 절연체 건전성 및 누설 전류와 밀접한 관련이 있는 절연저항 (컨덕턴스) 값은 중요한 지표로, 케이블 절연체의 열화, 습기 침투, 기타 결함 발생 시 증가하는 경향이 있다^[1]. 따라서, 내부 컨덕턴스값에 대한 산출 및 모니터링을 통하여 전체 케이블의 잠재적인 상태 평가 및 향후 이상 탐지가 가능하다.

전력 케이블의 건전성을 평가하기 위해 여러 방법이 개발되었으며, 대표적인 방법으로는 부분방전 측정, 절연저항 시험, VLF tan delta 등이 있다. 부분방전 측정은 특정 결함 지점에서 발생하는 부분 방전량 및 시간 지연 정도를 측정하여 이상 지점 유무, 위치를 탐지하는 데 유용하지만, 케이블 전체의 상태를 종합적으로 평가하는 데는 한계가 있다^[2-3]. 절연저항 시험은 케이블 절연 상태를 평가할 수 있지만, 외부 환경 요인에 민감하게 반응하여 정확도가 떨어질 수 있다. VLF tan delta는 저주파수 (약 0.1Hz) 전압 신호를 이용하여 케이블 내 등가회로에서 절연 캐패시턴스와 컨덕턴스의 비율을 측정하여 절연체 내에서 발생하는 전압 손실을 산출하는 방법이다^[4-5]. 이 비율은 절연체의 열화 정도를 반영하며, 절연 상태를 정량적으로 평가한다. 초기 열화나 결함을 조기에 발견하고, 예방적 유지보수 계획을 세우는 데 유용하지만, 용량의 한계로 적용 케이블 길이의 한계가 있으며 고전압 전원이 필요하다.

본 논문은 계단 주파수 반사파 계측법을 기반으로 케이블의 특성 및 열화 상태에 따라 내부 열화 상태를 반영할 수 있는 중요한 지표인 내부 컨덕턴스를 추정하는 방안을 연구하였다. 계단 주파수 반사파 계측법은 케이블에 기준 신호를 입력한 후, 케이블을 따라 전파되면서 물리적인 특성에 따른 영향을 받고 이를 계측하여 케이블의 전체 상태를 추정하는 기법이다^[6-7]. 본 논문의 기법을 활용하여 케이블 내부 절연 상태와 직접적인 관련이 있는 파라미터를 추출함으로써 열화나 손상을 감지하고, 시스템의 신뢰성을 향상하는 데 기여한다.

2. 케이블 모델링 파라미터

그림 1은 동축 전력 케이블에 대하여 전기적 등가회로를 나타낸다. 이 회로는 케이블을 매우 작은 구간으로 나누어 각 구간에 대해 발생하는 전압 및 전류를 분석하는 방식으로 전송선로의 특성을 분석한다^[8].

등가회로 내의 RLGC 파라미터는 각각 케이블의 물리적 구조와 재료 특성을 반영하여 신호 전파에 영향을 미친다^[2]. 저항 (R) 은 케이블을 통해 신호가 전파될 때 발생하는 전력 손실에 대한 모델링을 나타낸다. 주로 도체 부분에 해당하며, 케이블의 도체 재질, 단면적, 주파수에 따라 달라진다. 특히 고주파수 신호에서 표피효과로 인해 전류가 도체 표면을 따라 흐르게 되고 이는 유효 저항을 증가시키게 된다^[9]. 인덕턴스 (L) 은 도체를 따라 흐르는 전류가 생성하는 자기장과 이 자기장이 유도하는 전압 강하를 나타낸다. 인덕턴스는 전류의 변화에 저항하는 성질을 가지고 있으며, 전류의 시간적 변화에 따라 전압을 유도하는 역할을 한다. 인덕턴스값은 케이블의 물리적 특성에 따라 달라지며, 중심도체와 외부 도체 사이의 거리, 절연체의 특성에 영향을 받는다. 이 값이 클수록, 전류의 변화에 대한 반응이 느려지며, 신호의 위상 속도에 영향을 미쳐 전파 속도를 늦출 수 있다. 저항과 인덕턴스는 도체의 전자기적 특성을 반영하지만, 캐패시턴스 (C) 와 컨덕턴스 (G) 는 도체와 외부 시스층 사이의 절연층에 대한 특성을 반영한다^[10]. 캐패시턴스는 중심도체와 외부 도체 사이에 전압이 가해질 때 발생하는 전기장에 의해 전하가 축적되는 현상으로 설명된다^[11]. 이때 절연체의 상대 유전율이 높을수록 중심도체와 외부 시스층 사이의 거리가 가까울수록(즉, 두 도체 사이의 간격이 좁을수록) 커지게 된다. 케이블의 내부 저항, 인덕턴스, 캐패시턴스는 제조할 때의 물리적인 특성으로 인하여 결정되고 운영이 되면서 크게 변하지 않지만, 컨덕턴스는 중심도체와 외부 도체 사이의 절연체에서 발생하는 유전 손실을 나타내기 때문에 전력 케이블이 장기간 운영이 되면서 절연체의 성능이 떨어지게 되고 이는 컨덕턴스의 증가로 이어진다. 따라서, 케이블의 내부 컨덕턴스는 절연 성능 평가 및 건전성에 직접적인 영향을 미치는 요소이다. 컨덕턴스는 절연체의 전기적 특성, 특히 유전율의 허수 성분(즉, 절연체의 손실 탄젠트(loss tangent))에 의해 결정된다. 절연체가 이상적인 상태라면 0에 가깝지만, 실제로는 완벽하게 이상적으로 절연이 되지 않기 때문에 약간의 전류가 누설되며, 이에 따라 전력 손실이 발생한다. 단위길이 dz에서 발생하는 전압과 전류는 다음과 같은 식으로 계산된다.

식 (1) 와 (2)는 각각 케이블을 따라 전파되는 전압 신호와 전류 신호의 변화를 나타낸다. 저항과 인덕턴스가 전류의 시간적 변화와 전류 자체에 의하여 도체와 시스층 사이의 전압 신호가 도체를 따라 전파되면서 어떻게 변화하는 지를 설명한다. 두 미분방정식을 연립하면 전압 신호는 케이블을 따라 전파되면서 다음과 같은 영향을 받는다.

전파 상수 $\gamma $는 복소수로 표현되며, 다음과 같이 정의된다.

여기서 $\alpha $는 신호가 케이블을 따라 전파되면서 발생하는 손실을 나타내는 감쇄 상수이며, $j\beta$는 신호의 위상 변화를 나타내는 위상 상수이다. 따라서, 케이블의 주파수에 따른 RLGC 값을 알고 있다면 케이블의 길이를 따라 전파되면서 감쇄되는 크기 및 위상 변화를 추정할 수 있다.

3. 계단 주파수 반사파 계측법

케이블의 정확한 신호 감쇄 추정 및 모델링을 위해서는 내부 컨덕턴스에 대한 측정이 필요하다. 반사파 계측법은 케이블 시작점에 신호를 주입 후 끝점에서 되돌아오는 반사 신호와의 크기 변화 및 시간 차이를 분석하여 반사 지점의 위치 및 케이블 내부 신호 전파에 미치는 감쇄 특성 등을 파악할 수 있는 기법이다. 주파수에 의존하는 컨덕턴스를 구하기 위해서는 특정 주파수 대역폭을 구성하는 신호를 차례대로 케이블에 인가하고 이들 신호가 케이블 끝점까지 전파되고 반사되며 겪는 영향을 분석해야 한다. 따라서, 본 논문에서는 $\tau_{0}$의 시간 폭을 가지는 사인파 신호들의 주파수를 점점 증가시키면서 계측하는 방식으로 N개 신호들의 집합으로 이루어진 기준 신호를 사용한다^[7].

여기서 $\omega_{0}$는 시작 주파수, $\Delta\omega$는 증가 시키는 주파수를 나타낸다. 케이블에 주입된 기준 신호는 고주파로 갈수록 케이블을 따라 전파되면서 감쇠가 더 크게 발생하므로, 케이블의 길이 및 특성에 따라 끝점에 도달하고 다시 반사되어 돌아올 수 있을 만큼 충분한 에너지를 유지할 수 있는 최대 주파수를 설정하는 것이 중요하다.

4. 케이블 내부 컨덕턴스 추정

그림 2는 특정 주파수를 가지는 사인파 기준 신호를 케이블에 인가한 후 케이블 끝점에서 반사된 신호를 계측한 결과 예시를 나타낸다. 왼쪽의 약 $\pm$2V의 진폭을 가지고 있는 신호가 케이블 시작 지점 (0m) 에 인가하는 신호이며, 약 $2.5\times 10^{-6}$초에 계측되는 신호가 케이블의 끝점에서 반사된 신호이다.

케이블 끝점에서 반사되어 계측된 신호는 전파 속도에 의하여 시간 차이를 가지며 케이블 전파 상수 중 감쇄 상수 $\alpha(\omega)$에 의하여 크기가 감쇄한다. 총길이 $L$ 케이블에 인가되는 신호 $s(t)$와 끝점에서 반사된 신호 $r(t)$는 다음과 같은 관계로 표현할 수 있다.

따라서, 주파수 별 기준 인가신호와 반사된 신호의 크기 비율은 감쇄 상수와 관련 있으며, 지연 시간에 따른 위치 차이는 위상 상수와 관련 있다^[6]. 이는 RLGC 값에 의하여 결정되므로, 측정된 끝점에서의 반사 신호 기반의 감쇄 상수와 RLGC 값에 의한 감쇄 상수를 비교하고, 오차를 최소화하는 컨덕턴스 값을 최적화한다면, 케이블 내부의 단위 길이당 전기적 파라미터를 모두 추정할 수 있다. 계측한 전파 상수의 실수부와 허수부를 토대로 컨덕턴스를 산출하는 식을 각각 $G_{1}$, $G_{2}$로 계산할 수 있다.

두 식의 전제 조건은 저항과 컨덕턴스가 모든 주파수에서 상수값을 갖는다는 것이다. 그러나, 케이블의 표피효과로 인하여 케이블 내부 저항은 베젤함수를 기반으로 주파수가 높아질수록 커지기 때문에 $G_{1}$와 $G_{2}$의 계산값에 오차가 발생한다. 본 논문에서는 모든 주파수에서의 컨덕턴스 계산값들의 오차의 합을 목표 함수로 정하고 Levenberg-Marquardt 알고리즘을 기반으로 비선형 최적화문제를 풀어 컨덕턴스를 추정한다. 두 계산된 컨덕턴스 간 오차를 최소화하는 목적함수는 다음과 같다.

여기서 $G_{1,\: i}$, $G_{2,\: i}$는 각각 i번째 주파수에서 실수부, 허수부를 통해 계산된 컨덕턴스 값이다. Levenberg-Marquardt 알고리즘은 Gauss-Newton 방법과 Gradient Descent 방법을 결합하여 비선형 시스템에서의 최적화를 수행한다. 목적함수의 미분 행렬을 이용하여 문제를 선형화한 후, 이를 기반으로 최적화된 파라미터를 반복적으로 추정한다. 우선, 현재 추정된 파라미터를 중심으로 목적함수의 테일러급수를 이용해 선형으로 근사한다.

처음, 초기 추정 G 값과 조정 파라미터 $\lambda $을 설정한 후 목적함수의 1차, 2차 미분 행렬인 자코비안, 헤시안 행렬을 계산한다. 다음 G 값을 다음과 같은 식을 이용하여 각 단계를 업데이트한다.

Lavenberg-Marquardt 알고리즘은 일반 Newton–Raphson 방법과 달리 비선형성이 강한 경우 이를 수렴시키기 위하여 2차 미분 행렬을 사용한다^[12]. 따라서, Hessian의 대각 성분에 작은 조정 파라미터 λ를 추가하여 각 반복에서 최적화 단계의 크기를 조정하여 수렴성을 높여 문제를 선형화한다. λ는 최적화 과정에서 동적으로 조정되는데, 목표 함수값이 개선되면 λ 값을 줄여서 Gauss-Newton 방식에 더 가깝게 조정하고, 반대로 목표 함수값이 개선되지 않으면 λ 값을 증가시켜 Gradient Descent 방식에 더 가깝게 만든다. 이 과정은 목적함수 값이 더 이상 감소하지 않거나, 파라미터 변경이 매우 작아질 때까지 반복된다.

본 연구에서는 PE 절연체를 사용하는 200m 길이의 동축 RG-58 케이블에 알고리즘을 적용하고, 추정된 컨덕턴스 결과를 분석하였다. 전파 상수 측정을 위해 반사파 계측법을 사용하였으며, 기준 신호는 폭 100ns, 주파수 범위 1~10MHz 사이의 50개의 정현파 신호로 구성되었다. 주파수 대역폭은 케이블의 상태 변화를 정확하게 측정할 수 있는 최대 주파수까지 설정해야 하며, 케이블 길이가 길어질수록 주파수 범위는 더 낮게 설정되어야 한다.

최적화된 결과로 실험 대상 케이블의 내부 컨덕턴스는 $1.087\times 10^{-4}$ [S/m]로 추정되었다. 이 값은 직접적인 비교가 어렵지만, IEEE 400.2에서 제시된 PE 절연 케이블의 VLF Tan Delta 상태 평가 기준에 따른 내부 캐패시턴스 50 [pF/m]을 적용하여 케이블 절연체의 건전성을 Tan delta로 계산한 결과, 정상 케이블의 건전성 기준인 $4\times 10^{-3}$ 의 절반 수준인 $2.2\times 10^{-3}$으로 도출되었다. 이를 통해 알고리즘을 적용한 결과의 신뢰성을 확인할 수 있다. 또한, 케이블 길이에 따라 신호가 끝점까지 왕복하면서 감쇠하는 크기와 위상 변화를 통해 케이블의 상태를 평가할 수 있었다.

일반적으로, 케이블의 누설 컨덕턴스 G는 수Hz~수MHz에 해당하는 저주파 영역에서 절연 재료의 유전 손실이 크지 않기 때문에 G 값은 크게 변하지 않고 일정하게 유지될 가능성이 높아 상수로 간주되며, 주파수가 수 MHz 이상으로 올라가면 케이블 절연체의 유전 손실이 증가하고, 이로 인해 G 값이 주파수에 따라 변동한다. 본 논문에서는 이러한 영향을 고려하여 최대 10MHz의 주파수를 가지는 신호에 대하여 케이블 내부의 컨덕턴스 값을 추정하였다. 그러나, 케이블의 길이가 수십 m 이하인 경우에는 높은 주파수 대역의 신호를 사용해야 하며 이때의 누설 컨덕턴스는 절연체 내부의 복소 유전율을 이용하여 다음과 같은 함수로 모델링할 수 있다.

여기서 $\epsilon_{0}$는 자유 공간에서의 유전율 ($8.854\times 10^{-12}$ F/m) 이며 $\epsilon_{r}''(\omega)$는 절연체의 주파수 의존 유전 손실 성분이다.

본 추정 결과는 케이블마다 고유한 값으로, 정상 케이블에 대한 반사파 계측법의 적용 및 측정 후 케이블 내부 파라미터의 지속적인 모니터링을 통해 건전성 변화를 조기에 진단할 수 있는 근거를 제공할 수 있다.

5. 결 론

논문에서는 케이블 내부 절연 성능과 직접적인 연관이 있는 컨덕턴스를 산출하는 최적화 기법을 제안하였다. 계단 주파수 반사파 계측법을 이용하여 대상 케이블의 길이별 맞춤 주파수 대역폭을 결정하고 주파수별 감쇄 상수와 위상 상수 및 저항, 인덕턴스, 캐패시턴스 값을 기반으로 두 가지 수식을 이용하여 컨덕턴스를 추정한다.

본 기법을 통해 단위 길이당 내부 절연체의 컨덕턴스 값을 추출할 수 있으며, 이를 기반으로 서로 다른 종류와 길이를 가진 케이블의 컨덕턴스를 정량적으로 비교하여 건전성을 평가할 수 있다. 또한, 지속적인 모니터링을 통해 내부 컨덕턴스 변화 추이를 파악하고, 이를 향후 잔여 수명 예측에 활용할 수 있다.