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The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

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The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

KIEE Vol. 74, No. 02, p.287-294

ISSN (print) :

1975-8359

ISSN (online) :

2287-4364

Received : 30 Sep. 2024Revised : 20 Dec. 2024Accepted : 31 Dec. 2024

DOI :

https://doi.org/10.5370/KIEE.2025.74.2.287

인덕턴스 계산 방식에 따른 매입형 영구자석 동기 전동기의 전자기 해석 결과 비교

Comparison of Electromagnetic Analysis in Interior Permanent Magnet Synchronous Machines According to Inductance Derivation Methods

이수진 (Soo-Jin Lee) ¹iD (Nguyen Manh Dung) ¹iD 엄석현 (Seok-Hyeon Eom) ¹iD 김태성 (Tae-Seong Kim) ¹iD 김상협 (Sang-Hyeop Kim) ¹iD 김용주 (Yong-Joo Kim) ²iD 신경훈 (Kyung-Hun Shin) ^†iD 최장영 (Jang-Young Choi) ^†iD

(Dept. of Electrical Engineering, Chungnam National University, Republic of Korea.)
(Dept. of Biosystem Machinery Engineering, Chungnam National University, Republic of Korea.)

^†Corresponding Author : Dept. of Electrical Engineering, Chungnam National University, Republic of Korea. E-mail : choi_jy@cnu.ac.kr

^†Corresponding Author : Dept. of Electrical Engineering, Changwon National University, Republic of Korea. E-mail : kshin@changwon.ac.kr

License :

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0)which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Translated Abstract

This paper compares inductance calculation methods for IPMSM (Interior Permanent Magnet Synchronous Machine) considering core non-linearity and analyzes electromagnetic performance based on different types of inductance. Inductance is classified into inductance based on matrix, obtained through d-q transformation, and incremental inductance, depending on the calculation method. The torque and output characteristics are analyzed accordingly. By applying motor operating limit conditions, torque and voltage results are compared at the point of maximum torque. The validity of the proposed inductance calculation method is verified by comparing results obtained through finite element analysis. In conclusion, an inductance calculation method that considers core non-linearity while offering superior control simplicity is proposed.

Key words

Electromagnetic performance, Interior permanent-magnet synchronous machine, Apparent inductance, Incremental inductance, Magnetic saturation

1. 서 론

전 세계적으로 심각해지는 화석 연료 고갈 문제와 탄소 중립 요구에 따라, 내연 기관 대신 전동기와 발전기를 활용하는 전동화가 동력 시스템의 핵심 기술로 부각되고 있다. 이에 따라 전동기의 출력 밀도 향상, 진동 및 소음 저감, 고효율화를 목표로 한 연구가 활발히 진행 중이다^[1].

다양한 전동기 중 영구자석 동기 전동기(PMSM, Permanent Magnet Synchronous Motor)는 높은 토크 밀도와 유지보수의 용이성으로 인해 전기자동차와 항공기 산업 등 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다. PMSM은 회전자 형상에 따라 표면 부착형(SPMSM, Surface Mounted Permanent Magnet Synchronous Motor)과 매입형(IPMSM, Interior Permanent Magnet Synchronous Motor)으로 구분되며, 특히 IPMSM은 넓은 운전 속도 범위와 높은 토크 밀도로 인해 산업 및 공학적 활용성이 높다^[2]. PMSM의 토크 제어는 단위 전류당 최대 토크 제어(MTPA, Maximum Torque Per Ampere)와 약자속 제어(FW, Field Weakening)를 통해 이루어지며, 이를 통해 고속 영역에서도 높은 토크를 유지할 수 있다. 이러한 전류 제어기술은 소형화 및 경량화가 필수적인 압축기용 IPMSM 설계에서 중요한 역할을 한다^[3]. PMSM 제어는 일반적으로 2축(d축 및 q축) 모델에 기반하며, 이를 위해 기기의 매개변수에 대한 정확한 산정이 필수적이다. 그러나 매개변수는 작동 조건에 따라 비선형적으로 변화하며, 이는 전동기의 철심 포화와 자기장 분포에 영향을 미친다^[4]. 특히, 영구자석 전동기의 경우 전류 크기와 위상각 변화에 따라 자기 회로의 포화 정도가 달라지므로 실제 운전 조건에서 인덕턴스 변화를 고려하는 것이 중요하다. 매개변수가 부정확하면 제어 성능이 저하되고, d-q축 전류 왜곡으로 인해 최대 성능을 발휘하기 어려워진다.

정확한 성능 예측을 위해 다양한 인덕턴스 계산 방법이 연구되어 왔다. ^[5]의 저자는 히스테리시스 자기장 해석을 위한 동결 투자율 방법을 제안하였고, ^[6]은 유한요소해석(FEM, Finite Element Method)보다 적은 계산 시간으로 PMSM의 인덕턴스를 산정하는 수식적 방법을 제시하였다. 또한, ^[7]은 자기등가회로를 기반으로 철손과 교차 자기 포화를 고려한 인덕턴스 계산 방식을 제안하였다. ^[8]은 동결 투자율, 벡터 기반 행렬 기반의 인덕턴스, 증분형 인덕턴스 등의 다양한 방식들을 비교하였으며, ^[9]은 계자 권선형 동기 전동기에서 교차 자화를 고려한 행렬 기반의 인덕턴스와 증분형 인덕턴스의 차이를 분석하였다.

본 논문에서는 ^[9]에서 제시된 위상 좌표계를 이용한 행렬 기반의 인덕턴스와 증분형 인덕턴스 산정 방식을 비교하고, 이를 전기자동차 압축기용 IPMSM에 적용하여 철심 포화를 고려한 성능 해석을 수행하였다. 이를 통해 제어 용이성과 산업 현장 적용성을 모두 만족시키는 최적의 인덕턴스 계산 방식을 제안한다.

2. IPMSM의 인덕턴스 계산 방식

2.1 IPMSM의 형상 및 사양

그림 1은 본 논문에서 분석에 사용된 매입형 영구자석 동기 전동기의 형상을 나타낸다. 표 1에 나타난 Limit Current와 Limit Voltage는 배터리의 전압 제한과 인버터의 전류 제한을 의미하며, 이를 기준으로 전동기의 성능을 해석하고 최적 운전 특성을 도출하였다.

그림 1. 매입형 영구자석 동기 전동기의 형상

Fig. 1. Topology of Interior Permanent Magnet Synchronous Machine

표 1 매입형 영구자석 동기전동기의 설계 사양 및 요구 조건

Table 1 Design and requirements of interior permanent magnet synchronous machine

Parameter	Value	Unit
Rated torque	6.6	N·m
Rated speed	6540	rpm
Rated power	4.5	kW
Pole-pairs	3	-
Stator slots	27	-
Frequency	327	Hz
Outer diameter of stator	100	mm
Axial length	50	mm
Limit current	24	Amax
Limit voltage	150	Vmax

2.2 행렬 기반의 인덕턴스 계산

본 논문에서 상용 유한요소해석 프로그램인 ANSYS Electronics 을 이용하여 전자기장 해석을 진행하였다. 프로그램의 토크 계산은 맥스웰 응력 텐서 방정식을 기반으로 수행된다. 식 (1)에 해당 방정식이 표현되어 있으며, 토크는 자속밀도 성분의 적분을 통해 계산됨을 나타낸다.

(1)

$T=\dfrac{L_{stk}r_{g}}{2\mu_{0}}\int_{0}^{2\pi}B_{r}B_{\theta}d\theta$

식 (식)의 Lstk는 기기 축방향 길이, rg는 공극의 반경, μ0는 진공의 투자율, Br은 반경 방향의 자속밀도, Bθ는 접선 방향의 자속밀도를 의미한다.

전동기의 물리적 특성을 기반으로 계산된 인덕턴스는 자기 포화 및 교차 포화 현상을 고려하여 전동기의 전자기 특성을 보다 정확히 예측할 수 있다^[10].

(2)

$\lambda_{A}=L(A,\: A)\bullet I_{A}+L(A,\: B)\bullet I_{B}+L(A,\: C)\bullet I_{C}$

(3)

$L_{mat}=\left[\begin{matrix}L_{d}&M_{dq}&M_{dz}\\M_{qd}&L_{q}&M_{qz}\\M_{zd}&M_{zq}&L_{z}\end{matrix}\right]=T_{p}·T_{c}·\left[\begin{matrix}L_{a}&M_{ab}&M_{ac}\\M_{ba}&L_{b}&M_{bc}\\M_{ca}&M_{cb}&L_{c}\end{matrix}\right]·T_{c}^{-1}·T_{p}^{-1}$

식 (식)의 λA는 A상의 쇄교자속을 나타내며, L(x,x) (x=A, B, C)는 x상에서 생성된 자속이 y상에 미치는 영향을 나타낸다. x와 y가 동일할 경우에는 자기 인덕턴스, 다를 경우에는 상호 인덕턴스로 정의된다. 자기 인덕턴스는 특정 상에 인가된 전류로 생성된 자속이 동일 상에서 쇄교하는 정도를 의미하고, 상호 인덕턴스는 다른 상에 미치는 영향을 나타낸다^[11]. Ix (x=A, B, C)는 각 상에 흐르는 전류를 나타낸다. FEM을 사용하면 각 상에 유도된 자속 값을 구할 수 있으며, 인가된 전류와 쇄교자속의 관계를 통해 인덕턴스를 도출할 수 있다.

본 논문에서 행렬 기반의 인덕턴스 계산을 식 (3)에 나타내었다. 이는 자기 인덕턴스와 상호 인덕턴스로 구분할 수 있다. dq 첨자를 갖는 행렬은 abc 첨자를 갖는 행렬에 Park 및 Clarke 변환을 적용하여 얻은 결과로, 교류 모터의 동적 특성 해석에 있어 유용한 도구가 된다. Tp와 Tc는 각각 Park와 Clarke 변환 행렬을 의미한다. 본 논문에서는 z축 성분을 무시하였는데, 이는 권선 연결이 접지된 경우 z 성분의 영향이 미미하기 때문이다. 또한, abc상의 인덕턴스는 FEM 해석을 통해 물리적으로 얻어진 값으로, 비선형 특성을 포함한다. 이는 해석 조건에 따라 철심 재료의 자화 곡선을 입력함으로써 반영된다. 이를 통해 제어 시스템에 적용할 수 있다^[12-^13].

본 논문에서 행렬 기반의 인덕턴스 중 자기 인덕턴스만을 고려한 방법을 기존 행렬 기반의 인덕턴스로 정의하고, 자기 인덕턴스와 상호 인덕턴스를 모두 고려한 방법을 개선된 행렬 기반의 인덕턴스로 정의한다. 개선된 행렬 기반의 인덕턴스은 토크 및 출력 예측의 정확도가 높은 장점이 있지만, Mdq항의 추가로 인하여 제어 시스템의 복잡성을 증가시키는 단점이 있다.

그림 2. 전류 운전점에 따른 행렬 기반의 인덕턴스 계산 결과: (a) d축 인덕턴스, (b) q축 인덕턴스, (c) d-q축 상호 인덕턴스

Fig. 2. Matrix-based inductance calculation results according to current operating points: (a) Ld (b) Lq (c) Mdq

그림 2는 행렬 기반의 인덕턴스를 사용하여 d-q축 전류에 따른 결과를 3차원 그래프로 나타낸 것이다. 그림 2(a)는 d축 인덕턴스, 그림 2(b)는 q축 인덕턴스, 그림 2(c)는 d축과 q축 간 상호 인덕턴스를 보여준다.

2.3 증분형 인덕턴스 계산

그림 3은 매입형 영구자석 동기 전동기의 정상 상태 벡터도를 나타낸다. 제 1사분면 다이어그램을 통해 d-q축 인덕턴스를 도출하고, 이를 바탕으로 전동기의 수학적 모델링을 수 행할 수 있다. 영구자석에 의한 쇄교 자속, 권선 전류, 그리고 전류에 의한 자속을 활용하여 IPMSM의 전압 방정식을 유도한다. PMSM은 3상 구조로 각 상이 120도의 위상차를 가진 전원에 연결되며, 권선의 저항에 의해 시간에 따라 변하는 쇄교 자속이 각 상에 정현파 형태로 흐른다^[14]. 쇄교 자속은 고정자 권선과 영구자석에 의한 자속으로 나뉜다. 무부하 상태에서는 고정자 권선에 전류가 흐르지 않아 쇄교 자속은 영구자석에 의한 d축 성분만 존재한다. 겉보기 인덕턴스는 그림 3의 벡터도를 활용하여 계산한다. 벡터도는 d-q 좌표계에서의 자속과 전류 간의 관계를 나타낸다. 이 관계에 기반으로 겉보기 인덕턴스를 식 (4)-(5)에 나타낸다.

그림 3. 매입형 영구자석 동기 전동기의 벡터도

Fig. 3. Vector diagram of IPMSM

(4)

$L_{d,\: app}=\dfrac{\lambda_{o}\cos\alpha -\lambda_{pm}}{i_{d}}$

(5)

$L_{q,\: app}=\dfrac{\lambda_{o}\sin\alpha}{i_{q}}$

여기서 Ld,app와 Lq,app는 d-q축의 겉보기 인덕턴스이고, α는 무부하 및 부하 쇄교 자속의 위상 차, λ0는 부하 시 쇄교자속을, λpm은 무부하 시 영구자석의 쇄교자속을 의미한다.

그림 4는 자화 특성 곡선을 기반으로 한 인덕턴스 계산 방법을 나타낸다. 겉보기 인덕턴스는 운전점과 원점을 잇는 직선의 기울기로 정의하는 반면, 증분형 인덕턴스는 운전점에서 전류와 쇄교 자속의 미소 증분 값의 기울기로 정의된다. 행렬 기반의 인덕턴스는 자기 인덕턴스뿐만 아니라 상호 인덕턴스를 포함해야 정확한 추정이 가능한 반면, 겉보기와 증분형 인덕턴스는 단일 인덕턴스만으로 정확도 높은 추정이 가능하다. Ld,inc, Lq,inc는 식 (6)~(7)을 통해 계산되며 λpm,inc은 식 (8)을 통해 계산된다.

(6)

$L_{d,\: in c}=\dfrac{\lambda_{d}(I_{d}+\triangle I_{d},\: I_{q})-\lambda_{d}(I_{d},\: I_{q})}{\triangle I_{d}}$

(7)

$L_{q,\: in c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\lambda_{q}(I_{d},\: I_{q}+\triangle I_{q})}{I_{q}+\triangle I_{q}}+\dfrac{\lambda_{q}(I_{d},\: I_{q})}{I_{q}}\right)$

(8)

$\lambda_{pm,\: in c}=\dfrac{\lambda_{d}(I_{d}+\triangle I_{d},\: I_{q})+\lambda_{d}(I_{d},\: I_{q})}{2}-L_{d,\: in c}\times I_{d}$

Ld,inc와 Lq,inc는 d, q축의 증분형 인덕턴스이고, λpm,inc은 증분형 인덕턴스를 사용할 때의 영구자석의 쇄교자속을 의미한다. λd와 λq는 각각 d-q축의 쇄교 자속을 나타내며, Δid와 Δiq는 각 축의 전류 id와 iq의 미소 증분값을 나타낸다. Δid가 매우 작을 때, λd는 Ld,app의 정의와 수식적으로 수렴하므로 본 논문에서 증분형 인덕턴스를 이용한 전자기 특성 해석을 수행하였다.

그림 4. 자화 곡선의 인덕턴스 계산 방식 비교

Fig. 4. Comparison of inductance calculation methods based on magnetization curves

그림 5. 전류 운전점에 따른 증분형 인덕턴스 계산: (a) d축 인덕턴스, (b) q축 인덕턴스

Fig. 5. Incremental inductance calculation results for different current operating points: (a) Ld and (b) Lq.

그림 5는 증분형 인덕턴스를 사용하여 d-q축 전류에 따른 결과를 3차원 그래프로 나타낸 것이다. 그림 5(a)는 d축 인덕턴스, 그림 5(b)는 q축 인덕턴스를 나타낸다.

특히 쇄교 자속 곡선이 포화 지점 이후 비선형적으로 변할 경우, 증분형 인덕턴스를 사용하는 것이 높은 정확도를 제공한다. 증분형 인덕턴스는 전류 위상각 변화에 따라 비선형적으로 증가하며, 모든 운전점에서 정확한 인덕턴스 계산을 가능하게 한다. 이를 위해 3차원 보간 기법을 활용하여 계산 시간을 단축시켰으며, 전류 간격을 두고 쇄교 자속을 계산한 후, 간격 사이의 데이터를 추정하였다. 이를 통해 도출된 증분형 인덕턴스는 행렬 기반의 인덕턴스 계산 방식에서 고려했던 3개의 성분 대신 두 개의 성분만으로 성능을 예측할 수 있어 제어 시스템 구성을 단순화할 수 있다. 행렬 기반의 인덕턴스 방식은 상호 인덕턴스를 포함하면 정확한 추정이 가능하지만, 증분형 인덕턴스 방식은 단일 추정이 가능하고, 전류 위상각 변화에 따른 비선형적 증가 특성을 고려한다 ^[15].

3. IPMSM의 전자기 특성 해석

3.1 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 전압 특성

(9)

$V_{mat,\: imp}=\omega_{e}\sqrt{\begin{aligned}(L_{d}i_{d}+M_{dq}i_{d}+\lambda_{pm})^{2}\\+(L_{q}i_{q}+M_{dq}i_{q})^{2}\end{aligned}}$

(10)

$V_{mat,\: conv}=\omega_{e}\sqrt{(L_{d}i_{d}+\lambda_{pm})^{2}+(L_{q}i_{q})^{2}}$

(11)

$V_{in c}=\omega_{e}\sqrt{(L_{d,\: in c}i_{d}+\lambda_{pm,\: in c})^{2}+(L_{q,\: in c}i_{q})^{2}}$

식 (9)과 (10)은 개선된 행렬 기반의 인덕턴스와 행렬 기반의 인덕턴스를 사용하여 구한 전압 방정식이고, 식 (11)은 증분형 인덕턴스를 사용하여 구한 전압 방정식이다. ωe는 전동기의 전기적 각속도를 의미한다. 그림 6는 식 (9)~(11)를 사용하여 구한 전압과 FEM을 사용하여 구한 전압으로 구분하여 d-q축 전류에 따른 3차원에 표현한 결과이다.

그림 6. 전류 운전점에 따른 전압: (a) 개선된 행렬 기반의 인덕턴스, (b) 기존 행렬 기반의 인덕턴스, (c) 증분형 인덕턴스, (d) 유한요소해석

Fig. 6. Voltage at different current operating points: (a) Lmat,imp (b) Lmat,conv (c) Linc (d) LFEM

3.2 IPMSM의 토크 제어

IPMSM은 마그네틱 토크만 사용하는 SPMSM과 달리 릴럭턴스 토크를 추가적으로 활용하며, 이를 통해 비교적 높은 토크 사용를 구현할 수 있다. 따라서 정밀한 토크 제어가 필수적이다. 본 논문에서 최대 토크를 위한 id, iq를 도출하는 단위 전압당 최대 토크(MTPV, Maximum Torque Per Voltage) 제어와 FW 제어를 적용하여 특성 해석을 수행하였다.

식 (12)와 식 (13)의 Vapp와 Vinc은 식 (9)-(11)의 전압을 의미하고, Imax와 Vmax는 표 1의 전류 및 전압 제한을 의미한다.

(12)

$i_{d}^{2}+i_{q}^{2}\le I_{\max}^{2}$

(13)

$V_{in c}\le V_{\max}$, $V_{mat}\le V_{\max}$

그림 7은 전압 및 전류 제한 조건을 적용한 운전 가능 영역을 나타낸다. 전류 제한원과 전압 제한 타원의 교집합이 전동기의 운전 가능한 전류의 집합을 나타내며, 본 연구에 사용된 전동기는 전기자동차 압축기용으로 설계되어 초고속 운전이 요구되지 않는다. 따라서, MTPV는 고려하지 않고, 교집합 내에서 최대 토크를 도출하였다.

그림 7. 매입형 영구자석 동기 전동기의 전압 및 전류 제한

Fig. 7. Voltage and current limits of IPMSM

3.3 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 토크 특성

식 (14)는 개선된 행렬 기반의 인덕턴스를 사용한 토크, 식 (15)은 기존 행렬 기반의 인덕턴스 토크, 식 (16)는 증분형 인덕턴스를 고려한 토크를 나타낸다.

(14)

\begin{align*}T_{mat,\: imp}=\dfrac{3}{2}P_{s}(\lambda_{pm,\: d}i_{q}-\lambda_{pm,\: q}i_{d}\\+(L_{d}-L_{q})i_{d}i_{q}+M_{dq}(i_{q}^{2}-i_{d}^{2}))\end{align*}

(15)

\begin{align*}T_{mat,\: conv}=\dfrac{3}{2}P_{s}(\lambda_{pm,\: d}i_{q}-\lambda_{pm,\: q}i_{d}\\+(L_{d}-L_{q})i_{d}i_{q})\end{align*}

(16)

$T_{in c}=\dfrac{3}{2}P_{s}(\lambda_{pm}i_{q}+(L_{d,\: in c}-L_{q,\: in c})i_{d}i_{q})$

행렬 기반의 인덕턴스를 사용한 토크는 d축과 q축 전류 간의 상호 결합 효과를 반영하여 전동기의 물리적 특성을 더욱 정확히 표현한다. 제어의 용이성을 위해 행렬 기반의 인덕턴스를 상호 인덕턴스의 유무로 구분해 전자기 특성 해석을 분석하였다. 토크 방정식 항의 개수는 제어 시스템 구성에 있어 중요한 요소로, Tinc는 2개, Tmat,conv는 3개, Tmat,imp는 4개의 항을 가진다. 따라서 항 개수가 가장 적은 Tinc가 제어 시스템 구성에 더 적합하다.

그림 8. 전류 운전점에 따른 토크: (a) 개선된 행렬 기반의 인덕턴스, (b) 기존 행렬 기반의 인덕턴스, (c) 증분형 인덕턴스, (d) 유한요소해석

Fig. 8. Torque at different current operating points: (a) Lmat,imp (b) Lmat,conv (c) Linc (d) LFEM

그림 8는 식 (14)~(16)을 사용하여 구한 토크와 FEM을 사용하여 구한 토크로 구분하여 d-q축 전류에 따른 3차원에 표현한 결과이다.

3.4 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 특성 분석

표 2과 3는 정격 속도일때의 파라미터 및 전자기 특성 결과를 인덕턴스 산정 방식 별로 비교한 것이다. 표 3은 주 운전점인 6540rpm에서의 Ld와 Lq의 크기를 Lapp와 Linc로 구분하여 비교하고 있으며, 표 3는 표 2에 나타낸 세 가지 인덕턴스를 사용하여 구한 매입형 영구자석 동기전동기의 성능을 FEM 결과와 비교한다.

정격 속도에서의 개선된 행렬 기반의 인덕턴스와 증분형 인덕턴스를 통한 전자기 성능 해석 결과의 정확도가 높은 것을 확인하였다. 다만, 기존 행렬 기반의 인덕턴스는 FEM 해석 결과보다 작은 것을 확인하였다. 이는 상호 인덕턴스를 고려하지 않았기 때문이다. 그림 9(a), (b), (c)는 세 가지 인덕턴스 산정 방법에 따른 토크 계산 결과와 FEM 결과 간의 오차율을 나타내며, 그림 9(d), (e), (f)는 전압 계산 결과와 FEM 결과와의 오차율을 나타낸다.

표 4는 모든 전류 운전점에서의 평균 오차율을 보여준다. 전압과 토크를 계산할 때, 상호 인덕턴스의 유무에 따라 FEM과의 오차가 다르게 나타난다. 이는 각 파라미터의 계산 과정과 상호 작용의 복잡성에 기인한다. 토크에 비해 전압의 평균 오차율이 더 큰 것을 확인할 수 있다. 토크 특성에서는 개선된 행렬 기반의 인덕턴스가 FEM과의 오차가 가장 작은 반면, 전압 특성에서는 증분형 인덕턴스가 FEM과의 오차가 가장 작다. α는 토크 방정식의 항 개수를 나타낸다.

토크 계산은 상대적으로 단순한 자속과 전류의 영향을 받는다.

표 2 정격 속도에서 계산 방식 변화에 따른 인덕턴스

Table 2 Inductance at Rated Speed Based on Calculation Variations

	L_d [H]		L_q [H]
L_mat,imp	M_dd	M_dq	M_qq	M_qd
L_mat,imp	0.0012	0.00011	0.0024	0.00011
L_mat,conv	M_dd	M_dq	M_qq	M_qd
L_mat,conv	0.0012	-	0.0023	-
L_inc	0.00091		0.0019

표 3 정격 속도에서 인덕턴스 계산 방식 변화에 따른 전자기 특성 해석

Table 3 Electromagnetic Characteristics Analysis Considering Inductance Calculation Method Variations at Rated Speed

	Voltage [V]	Torque [N·m]
L_mat,imp	141.505	6.679
L_mat,conv	139.792	6.479
L_inc	141.484	6.672
L_FEM	141.495	6.680

그림 9. 인덕턴스 계산 방식 변화에 따른 토크와 전압의 유한요소해석 결과와의 오차율: (a) Tmat,imp (b) Vmat,imp (c) Tmat,conv (d) Vmat,conv (e) Tinc (f) Vinc

Fig. 9. Error Rate in Torque and Voltage Compared to FEA Results Based on Inductance Calculation Method Variations: (a) Tmat,imp (b) Vmat,imp (c) Tmat,conv (d) Vmat,conv (e) Tinc (f) Vinc.

표 4 인덕턴스 계산 방식 변화에 따른 토크와 전압의 유한요소해석 결과와의 평균 오차율

Table 4 Mean Error Rate in Torque and Voltage Compared to FEA Results Based on Inductance Calculation Method Variations

	T_error [%]	V_error [%]	α
L_mat,imp	0.06	1.24	4
L_mat,conv	2.52	1.03	3
L_inc	0.83	0.25	2

기존 행렬 기반의 인덕턴스는 교차 자화 효과를 반영하지 못하므로, 토크 오차율이 가장 큰 것을 확인하였다. FEM은1상의 쇄교자속을 3상이 여자된 상태에서 산정하므로, 상호 인덕턴스 성분을 반영한 토크 산정 결과이다.

전압 계산은 전류와 자속 간의 동적 상호 작용이 시간의 영향을 크게 받는다. 자기 인덕턴스와 상호 인덕턴스가 동시에 존재할 경우, 회전자의 동적 변화를 충분히 고려하기 어려우므로 증분형 인덕턴스의 전압 평균 오차율이 가장 큰 것을 확인하였다^[16-^17].

따라서 제어적 용이성 및 해석적 편리성을 고려할 때, 간단한 토크 식을 사용할 수 있는 기존 행렬 기반의 인덕턴스와 증분형 인덕턴스 중에서 정확도가 더 높은 증분형 인덕턴스를 통한 토크 추정 방식이 가장 합리적이다. 또한, 전압 계산 결과와 제어 시스템에서 중시되는 α를 고려하면, 가장 용이한 인덕턴스 산정 방법은 증분형 인덕턴스임을 알 수 있다.

3.5 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 성능 곡선

그림 10는 인덕턴스 추정 방식에 따른 토크와 출력의 성능 곡선을 나타낸다. 그림 10의 (a)와 (b)에서 FEM 해석의 성능 곡선이 행렬 기반의 인덕턴스를 사용한 해석, 증분형 인덕턴스를 사용한 해석, 그리고 상호 인덕턴스를 고려하지 않은 행렬 기반의 인덕턴스를 사용한 해석 순으로 유사함을 확인하였다.

성능 곡선을 통해, 초기에 주어진 설계 사양인 정격속도 6540rpm 일 때 정격 토크 6.6 N·m와 정격 출력 4.5 kW을 만족하는 것을 확인하였다.

그림 10. 인덕턴스 계산 방식에 따른 성능 곡선: (a) 토크-속도, (b) 출력-속도

Fig. 10. Performance curves according to inductance calculation method (a) Torque–speed (b) Power–speed.

4. 결 론

본 논문에서는 매입형 영구자석 동기 전동기의 코어 비선형성을 고려하는 인덕턴스 계산 방식을 비교하였다. 행렬 기반의 인덕턴스와 증분형 인덕턴스를 사용한 방식으로 구분한 뒤, 행렬 기반의 인덕턴스를 상호 인덕턴스의 유무에 따라 구분하였다. 총 3가지의 인덕턴스 계산 방식을 유한요소해석 결과와 비교 및 분석하였다. 또한, 토크 제어를 통해 정격 속도에서의 최대 토크 추정 과정을 제시하였다.

본 연구를 통해 산업적 측면에서 효율적으로 사용될 수 있는 증분형 인덕턴스 방식을 입증하였다. 이 방식은 전 운전점에 있어 유한요소해석과의 평균 토크 오차율이 0.83%, 평균 전압 오차율이 0.25%로 매우 낮음을 확인하였다. 따라서, 증분형 인덕턴스 계산 방식이 신뢰성 있는 파라미터 추정 방식이며, 압축기용 전동기 이외의 자동차, 가전 등 널리 활용될 것이라 사료된다. 본 연구는 IPM 전동기의 정확한 모델링과 효율적인 제어 시스템 설계에 기여할 것으로 사료된다.

Acknowledgements

This work was supported by Korea Institute of Planning and Evaluation for Technology in Food, Agriculture, Forestry(IPET) through Eco-friendly Power Source Application Agricultural Machinery Technology Development Program, funded by Ministry of Agriculture, Food and Rural Affairs(MAFRA)(322047-5) and the Industrial Strategic Technology Development Program (20023098, Development of power train system for 55kW class electric tractor) funded By the Ministry of Trade, Industry & Energy(MOTIE, Korea).

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저자소개

이수진(Soo-Jin Lee)

She received the B.S. degree from the Chungnam National University, Daejeon, Korea, in 2024. She is currently working toward M.S. degree in electrical engineering at Chungnam National University.

Tel : 042-821-7610

E-mail : soozin@o.cnu.ac.kr

Nguyen Manh Dung

He received a B.S. degree from Hanoi University of Science and Technology, Hanoi, Vietnam, in 2021. He is currently working toward M.S. and Ph.D. in electrical engineering at Chungnam National University, Daejeon, Korea.

Tel : 042-821-7610

E-mail : nguyenmanhdung@o.cnu.ac.kr

엄석현(Seok-Hyeon Eom)

He received the B.S. degree from the Chungnam National University, Daejeon, Korea, in 2023. He is currently working toward M.S. degree in electrical engineering at Chungnam National University.

Tel : 042-821-7610

E-mail : ror7894@o.cnu.ac.kr

김태성(Tae-Seong Kim)

He received the B.S. degree from the Chungnam National University, Daejeon, Korea, in 2023. He is currently working toward M.S. degree in electrical engineering at Chungnam National University.

Tel : 042-821-7610

E-mail : myxotjd@o.cnu.ac.kr

김상협(Sang-Hyeop Kim)

He received the B.S. degree from the Woosong University, Daejeon, Korea, in 2023. He is currently working toward M.S. degree in electrical engineering at Chungnam National University.

Tel: 042-821-7610

Email: guq8552@o.cnu.ac.kr

김용주(Yong-Joo Kim)

He received the Ph.D. degree from Sungkyunkwan University, Suwon, Korea, in 2008. From Aug. 2008 to Dec. 2011, he was a senior researcher at the Central Research Institute of LS Mtron. From Jan. 2013 to Feb. 2014, he was a central research institute tractor and head of the power mechanical group at the center of the LS Mtron Institute. He is currently working as professor of biosystems machinery engineering at Chungnam National University.

Tel: 042-821-6716

Email: babina@cnu.ac.kr

신경훈(Kyung-Hun Shin)

He received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Chungnam National University, Daejeon, Korea, in 2014, 2016, and 2019, respectively. From Feb. to Aug. 2019, he was an Intern Resarcher with the Division of Multi-Physical Modeling, Mitsubishi Electric Research Laboratories, Cambridge, MA, USA. From Oct. 2019 to Jul. 2020, he was a Postdoc Researcher with the Dept. of Electrical and Computer Engineering with the University of Illinois at Urbana-Champaign, Urbana, IL, USA. From 2020 to 2024, he was also an Assistant Professor with Chonnam National University, Yeosu, Korea. Since 2024, he has been an Assistant Professor with Changwon National University, Changwon, Korea.

Tel: 055-213-3635

Email: kshin@changwon.ac.kr

최장영(Jang-Young Choi)

He received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Chungnam National University, Daejeon, Korea, in 2003, 2005, and 2009, respectively. From Jan. 2009 to Aug. 2009, he was a Senior Researcher in Halla Climate Control Corp.. From 2019 to 2020, he was visiting scholar at Portland State University, Portland, OR. He is currently professor in the Dept. of electrical engineering at Chungnam National University.

Tel: 042-821-7610

Email: choi_jy@cnu.ac.kr

KIEEThe Transactions ofthe Korean Institute of Electrical Engineers

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

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Comparison of Electromagnetic Analysis in Interior Permanent Magnet Synchronous Machines According to Inductance Derivation Methods

Translated Abstract

Key words

1. 서 론

2. IPMSM의 인덕턴스 계산 방식

2.1 IPMSM의 형상 및 사양

2.2 행렬 기반의 인덕턴스 계산

(1)

(2)

(3)

2.3 증분형 인덕턴스 계산

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

3. IPMSM의 전자기 특성 해석

3.1 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 전압 특성

(9)

(10)

(11)

3.2 IPMSM의 토크 제어

(12)

(13)

3.3 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 토크 특성

(14)

(15)

(16)

3.4 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 특성 분석

3.5 인덕턴스 산정 방식에 따른 IPMSM의 성능 곡선

4. 결 론

Acknowledgements

References

저자소개

이수진(Soo-Jin Lee)

Nguyen Manh Dung

엄석현(Seok-Hyeon Eom)

김태성(Tae-Seong Kim)

김상협(Sang-Hyeop Kim)

김용주(Yong-Joo Kim)

신경훈(Kyung-Hun Shin)

최장영(Jang-Young Choi)

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