주영준
(Youngjun Joo)
†iD
Copyright © The Korea Institute for Structural Maintenance and Inspection
Key words
Control system design, Iterative design procedure, PID controller, PID gain tuning method
1. 서 론
비례-적분-미분(PID, proportional-integral-derivative) 제어기는 간단한 구조와 강력한 제어 성능으로 인해 모터 제어[1], 전력 시스템[2], 로봇 매니퓰레이터[3], 스팀 제어 시스템[4] 등 다양한 산업 분야에서 사용하고 있다. 제어 성능과 강인성 향상을 위해 슬라이딩 모드(sliding mode) 제어기, 궤환 선형화(feedback
linearization) 기법, 수동성 기반(passivity-based) 제어기 등 다양한 비선형 제어 기법[5]에 대한 연구가 활발하게 이루어지고 있음에도 불구하고, 전 세계적으로 실제 사용되고 있는 제어기의 90% 이상이 PID 혹은 PID 구조를 변형한
형태의 제어기이다[6]. 따라서 Ziegler-Nichols 조절 규칙, Cohen-Coon 방법, 내부 모델(internal model) 방법, 자동 이득 조절(autotuning)
방법 등 PID 제어기를 설계하기 위한 다양한 방법들이 제시되었다[7-11].
PID 제어기는 세 개의 매개 변수(비례, 적분, 미분 제어 이득)만을 선택하기 때문에 제어기의 설계가 간단하다. 또한, 매개 변수들은 각각의 물리적
의미를 통해 폐루프(closed-loop) 시스템의 응답 특성에 영향을 미치기 때문에, 시스템 파라미터의 변화나 외란에 대응해서 간편하게 제어 이득을
조절할 수 있다. 예를 들어, 2차 시스템에 대해서 PID 제어기를 설계하는 경우를 고려해 보자. 비례 이득이 증가하면 폐루프 시스템의 비감쇠 고유진동수(undamped
natural frequency)가 증가, 상승 시간과 정상 상태 오차가 감소하면서 시스템의 응답 특성이 개선된다. 미분 이득이 증가하면, 감쇠비(damping
ratio)가 증가하고 이에 의해 오버슈트(overshoot)가 감소하여 과도 응답 특성이 개선된다. 마지막으로 적분 제어를 사용한다면, 개루프(open-loop)
시스템에 적분기를 추가하기에 정상 상태 오차가 감소한다. 제어 이득이 시스템의 응답에 미치는 효과를 고려하여 개별 제어 이득을 반복적으로 조절하여
만족할 수 있는 시스템의 성능을 확보하도록 제어기를 설계할 수 있지만, 숙련된 전문가가 많은 시간을 투여해야 한다.
PID 제어 이득을 결정하기 위한 효과적인 방법 중 한 가지는 비례 이득과 미분 이득을 하나씩 반복적으로 증가시키는 것이다. 특히 로봇 매니퓰레이터나
모바일 로봇, 휴머노이드 로봇 등 기계적인 시스템은 토크 입력부터 속도 출력까지 수동성 조건을 만족하기 때문에, 비례-미분 (PD) 제어기를 사용하여
안정성과 제어 성능을 확보할 수 있다[12]. 먼저 시스템이 임계진동(critically oscillation)할 때까지 비례 이득을 증가시킨 이후, 오버슈트가 없는 과도 응답 혹은 만족할
만한 과도 응답 특성을 얻도록 미분 이득을 증가시킨다. 이 과정을 반복적으로 수행한다면 충분히 큰 비례 이득을 통해 만족할 수 있는 시스템의 응답
특성을 얻을 수 있다. 마지막으로 시스템에 정상 상태 오차가 존재한다면 적분 제어기를 추가하여 정상 상태 오차를 감소시킨다.
일반적으로 제어기 설계 시, 비선형성이나 입력 제한 등의 영향으로 인해, 비례 이득이 큰 폭으로 증가하면 폐루프 시스템이 불안정하다. 하지만 미분
이득을 함께 증가시키는 알고리즘에 의해 안정성을 보장하면서 큰 비례 이득을 확보할 수 있다. 참고문헌[13]에서 위에서 설명한 방법을 체계화한 반복적 PID 제어기 설계 알고리즘과 그 안정성 조건들을 제시하였다. 하지만 제시된 안정성 조건들은 전달 함수의
분자 다항식이 상수 형태인 선형 시불변(LTI, linear time-invariant) 시스템에 한정하여 적용할 수 있다. 따라서 본 논문은 [13]에서 제시된 알고리즘의 안정성 조건들을 일반적인 선형 시불변 시스템으로 확장한다. 또한 제시된 알고리즘을 1축 유연 관절 로봇 시스템에 적용하고,
모의실험을 통해서 제어 성능 및 안정성을 검증한다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 PID 제어기를 고려한 폐루프 시스템과 본 논문에서 다루는 문제 설정을 설명한다. 3장에서는 반복적 PID
제어 이득 조정 알고리즘을 소개하고, 개별 제어 이득을 증가시킬 때의 안정성 조건들을 제안한다. 4장에서는 1축 유연 관절 로봇 시스템에 대한 PID
제어 이득 설정 및 모의실험 결과를 통해 제시된 알고리즘의 유효성을 검증한다. 마지막으로 5장에서는 논문의 결론 및 추후 연구 과제에 대해 제시한다.
2. 문제 설정
그림 1의 폐루프 시스템을 고려하자. 여기서 $P$와 $C$는 실제 플랜트와 제어기, 신호 $y_{r}$, $u$, $\sigma$, $y$는 각각 기준
입력(reference input), 제어 입력, 외란, 출력을 의미한다. 오차 $e:=y_{r}- y$는 기준 입력과 출력의 차이로 정의한다. $P$는
단일 입출력(single-input single-output), 선형 시불변 시스템으로 아래 식 (1)의 전달 함수로 표현할 수 있다.
그림 1. 전체 폐루프 시스템의 구조
Fig. 1. The configuration of the closed-loop system
여기서 $n_{p}(s)$는 정수 $m>0$의 차수를 가진 분자 다항식, $d_{p}(s)$는 정수 $l > 0$의 차수를 가진 분모 다항식이고 분모의
차수가 분자의 차수보다 크다(strictly proper, $m < l$). 기준 입력과 외란으로부터 출력까지 전달 함수를 계산하면 식 (2)와 같이 나타난다.
여기서 전달 함수 $T_{ry}:= n_{ry}/ d_{cl}$, $T_{dy}:= n_{\sigma y}/ d_{cl}$이고, $n_{ry}$,
$n_{\sigma y}$는 각각 기준 입력과 외란으로부터 출력까지의 분자 다항식, $d_{cl}$는 폐루프 시스템의 분모 다항식을 의미한다. 일반적으로
제어기 $C$는 실제 플랜트 $P$를 포함한 폐루프 시스템을 안정화하면서, 출력 $y$가 기준 입력 $y_{r}$을 추종하고, 외란 $\sigma$의
영향을 최소화하는 제어 목적을 달성하도록 설계한다. 다시 말해서, 고려하고 있는 주파수 영역에서 전달 함수가 $T_{ry}(j\omega)\approx
1$, $T_{\sigma y}(j\omega)\approx 0$를 만족하도록 $C$를 설계해야 한다. 또한 폐루프 시스템이 Hurwitz 안정할
필요충분조건은 분모 다항식 $d_{cl}$이 Hurwitz 다항식, 즉 모든 근이 열린 좌반 복소평면(open left-half complex plane)
상에 존재하는 것이다. 이러한 제어 목적을 동시에 달성하기 위해서 본 논문에서는 식 (3)과 같은 PID 제어기 $C(s)$를 고려한다.
여기서 $K_{P}$, $K_{I}$, $K_{D}$는 각각 비례(P, proportional), 적분(I, integral), 미분(D, derivative)
이득 계수를 의미한다.
3. 반복적 PID 제어 이득 조절 방법
3.1 PID 제어 이득 조절 알고리즘
본 장에서는 비례 이득 $K_{P}$를 최대화하기 위한 반복적 PID 제어 이득 조절 알고리즘을 소개한다[13].
반복적 PID 제어 이득 조절 알고리즘
단계 $0$ : 비례 이득 $K_{P}^{0}$와 미분 이득 $K_{D}^{0}$의 초깃값 및 최대 반복 횟수 $k$와 허용 오차(tolerance)
$\epsilon > 0$을 선택
단계 $1$ : 비례 이득을 $K_{P}^{0}$에서 증가시키며 폐루프 시스템의 출력이 임계 진동할 때의 비례 이득을 ${K}_{P}^{0}$로 선택
후, $K_{P}^{0}< K_{P}^{1}<{K}_{P}^{0}$를 만족하는 이득 $K_{P}^{1}$을 선택. 선택한 $K_{P}^{1}$에 대해
미분 이득을 $K_{D}^{0}$에서 증가시키며 과도 응답의 오버슈트를 최소화(가능하면 임계 감쇠)하는 이득을 $K_{D}^{1}$으로 선택.
단계 $i$ ($i = 2,\: \cdots ,\: k - 2$) : 비례 이득을 $K_{P}^{i-1}$에서 증가시키며 폐루프 시스템의 출력이
임계 진동할 때의 비례 이득을 ${K}_{P}^{i-1}$로 선택 후, $K_{P}^{i-1}< K_{P}^{i}<{K}_{P}^{i-1}$를 만족하는
이득 $K_{P}^{i}$를 선택. 선택한 $K_{P}^{i}$에 대해 미분 이득을 $K_{D}^{i-1}$에서 증가시키며 과도 응답의 오버슈트를
최소화하는 이득을 $K_{D}^{i}$로 선택. 비례 이득의 증가치가 허용 오차보다 작다면($K_{P}^{i}- K_{P}^{i-1}<\epsilon$),
$K_{P}= K_{P}^{i}$, $K_{D}= K_{D}^{i}$로 설정하고 단계 $k$로 이동.
단계 $k-1$ : 비례 이득을 $K_{P}^{k-2}$에서 증가시키면서 폐루프 시스템의 출력이 임계 진동할 때의 비례 이득을 ${K}_{P}^{k-2}$로
선택 후, $K_{P}^{k-2}< K_{P}^{k-1}<{K}_{P}^{k-2}$를 만족하는 이득 $K_{P}^{k-1}$을 선택. 선택한 $K_{P}^{k-1}$에
대해 미분 이득을 $K_{D}^{k-2}$에서 증가시키며 과도 응답의 오버슈트를 최소화하는 이득을 $K_{D}^{k-1}$로 선택. $K_{P}=
K_{P}^{k-1}$, $K_{D}= K_{D}^{k-1}$로 설정하고 단계 $k$로 이동.
단계 $k$ : 정상 상태 오차가 존재한다면 설정한 $K_{P}$와 $K_{D}$에 대해서 적분 이득을 $0$에서부터 증가시켜 폐루프 시스템의 출력이
임계 진동할 때의 적분 이득을 ${K}_{I}$로 선택 후, $0 < K_{I}<{K}_{I}$를 만족하는 이득 $K_{I}$ 선택. 알고리즘 종료.
□
서론에서 언급하였듯이, 미분 이득이 증가하면 오버슈트가 감소하여 과도 응답 특성이 개선된다. 하지만 실제 플랜트가 비최소위상(nonminimum-phase)
시스템이거나 모델링에 포함되지 않은 동역학이 존재하는 플랜트의 상대 차수가 $4$ 이상이라면, 미분 이득이 큰 폭으로 증가하는 경우 폐루프 시스템을
불안정하게 할 수 있다.
알고리즘 1 반복적 PID 제어 이득 조절 알고리즘
Algorithm 1 Iterative PID control gain tuning algorithm
따라서 제안된 알고리즘의 각 단계에서 비례 이득은 최대화하는 방향으로 선택하지만, 미분 이득은 과도 응답의 오버슈트를 최소화하도록 선택하게 된다.
위에서 제시한 알고리즘을 직관적으로 설명하기 위해서 다음의 알고리즘 1을 제시한다.
3.2 안정성을 보장하기 위한 PID 제어기 설계 조건
외란에 강인한 추종 성능을 보장하기 위한 제어기를 설계하기 위해서는 PID 제어기의 비례 이득 $K_{P}$를 충분히 크게 설정해야 하지만, $K_{P}$를
증가시킬 경우 폐루프 시스템의 안정성을 보장할 수 없다. 따라서 본 논문에서는 $K_{P}$를 증가하면서도 안정성을 보장하기 위한 안정성 조건을 제시한다.
보조정리 1 플랜트 $P$가 Hurwitz 안정하다고 가정하자. 비례 제어기 $C(s)= K_{P}$에 대해서 상수 ${K}_{P}> 0$가 존재해서
$0\le K_{P}<{K}_{P}$을 만족하는 모든 $K_{P}$에 대해 폐루프 시스템 (2)가 Hurwitz 안정하다.
□
증명 식 (2)의 폐루프 시스템의 특성 방정식을 계산해 보면 아래와 같다.
두 다항식 $d_{p}(s)$와 $d_{cl}(s)$의 $l$개의 근을 $p_{i}$와 $q_{i}$, $i = 1,\: \ldots l$라고 하자.
가정에 의해 $d_{p}(s)$는 Hurwitz 다항식이므로 모든 $p_{i}$들은 열린 좌반 복소 평면 안에 존재하고, 모든 $p_{i}$에 대해서
$Re(p_{i})+\epsilon <0$을 만족하는 양의 정수 $\epsilon$이 존재한다. 여기서 $Re(p_{i})$는 $p_{i}$의 실수
부분을 의미한다. 그러므로 Rouchĕ의 정리[14]와 [15]의 보조정리 1에 의해서, 양의 상수 ${K}_{P}$가 존재해서, 부등식 $0\le K_{P}<{K}_{P}$를 만족하는 모든 비례 이득 $K_{P}$에
대해서 $vert p_{i}-q_{i}vert <\epsilon ,\: i = 1,\: \ldots ,\: l$의 관계를 만족하므로 $d_{cl}(s)$가
Hurwitz 다항식이다. 이로써 증명을 마친다. ■
보조정리 1은 위의 증명이 아닌 다른 방법으로도 설명이 가능하다. 근궤적법에 의해서 모든 근궤적은 개루프 시스템의 극점($d_{p}(s)$의 근)에서
출발해서 영점($n_{p}(s)$의 근과 무한대의 영점, infinity zero)으로 수렴한다. 그러므로 작은 양의 상수 ${K}_{P}$가 존재해서,
$0\le K_{P}<{K}_{P}$를 만족하는 모든 $K_{P}$에 대해서 $d_{cl}(s)$의 근이 $d_{p}(s)$의 근 근처에 머물러 있으므로
$d_{cl}(s)$은 Hurwitz 다항식이다.
다음으로 보조정리 1의 결과를 이용하여, 이전 단계에서 결정한 PD 제어기가 존재하는 상황에서 $K_{P}$를 증가시킬 때, 폐루프 시스템의 안정성을
보장하기 위한 안정성 조건을 제안한다.
정리 2 PD 제어기 $C(s)= K_{P}+ K_{D}s$가 폐루프 시스템 (2)를 Hurwitz 안정화하도록 $K_{P}$와 $K_{D}$를 선정했다고
가정하자. 그렇다면, 상수 ${K}_{P}> 0$가 존재해서 $K_{P}\le\widetilde{K}_{P}<{K}_{P}$을 만족하는 모든 $\widetilde{K}_{P}$에
대해서 PD 제어기 $C(s)=\widetilde{K}_{P}+ K_{D}s$가 폐루프 시스템 (2)를 Hurwitz 안정화한다.
□
증명 가정에 의해 아래의 식 (5)는 Hurwitz 다항식이다.
이때, PD 제어기 $C(s)=\widetilde{K}_{P}+ K_{D}s$에 대한 폐루프 시스템의 특성 방정식을 계산해 보면 아래와 같다.
$d_{cl}(s)$이 Hurwitz 다항식이므로, 보조정리 1과 같이 양의 상수 ${K}_{P}> K_{P}$가 존재해서 $K_{P}\le\widetilde{K}_{P}<{K}_{P}$를
만족하는 모든 $\widetilde{K}_{P}$에 대해 $\widetilde{d}_{cl}(s)$는 Hurwitz 다항식이다. 이로써 증명을 마친다.
■
다음으로 $K_{D}$를 증가하면서도 안정성을 보장하기 위한 안정성 조건을 제시한다.
보조정리 3 플랜트 $P$가 Hurwitz 안정하다고 가정하자. 미분 제어기 $C(s)= K_{D}s$에 대해서 상수 ${K}_{D}>0$가 존재해서
$0\le K_{D}<{K}_{D}$을 만족하는 모든 $K_{D}$에 대해 폐루프 시스템 (2)가 Hurwitz 안정하다.
□
증명 식 (2)의 폐루프 시스템의 특성 방정식을 계산해 보면 아래와 같다.
$d_{p}(s)$의 차수가 $n_{p}(s)$의 차수보다 크기 때문에 ($m < l$), 다항식 $d_{cl}(s)$과 $d_{p}(s)$는 $l$개의
같은 개수의 근을 갖는다. 이후의 증명은 보조정리 1의 증명과 같은 방식으로 유도할 수 있으므로 생략한다.
■
정리 2의 대응 쌍으로, 이전 단계에서 결정한 PD 제어기가 존재하는 상황에서 $K_{D}$를 증가시킬 때, 폐루프 시스템의 안정성을 보장하기 위한
안정성 조건을 제안한다.
정리 4 PD 제어기 $C(s)= K_{P}+ K_{D}s$가 폐루프 시스템 (2)를 Hurwitz 안정화하도록 $K_{P}$와 $K_{D}$를 선정했다고
가정하자. 그렇다면, 상수 ${K}_{D}> 0$가 존재해서 $K_{D}\le\widetilde{K}_{D}<{K}_{D}$을 만족하는 모든 $\widetilde{K}_{D}$에
대해서 PD 제어기 $C(s)= K_{P}+\widetilde{K}_{D}s$가 폐루프 시스템 (2)를 Hurwitz 안정화한다.
□
증명 PD 제어기 $C(s)= K_{P}+\widetilde{K}_{D}s$에 대한 폐루프 시스템의 특성 방정식을 계산해 보면 아래와 같다.
가정에 의해서 $d_{cl}(s)$이 Hurwitz 다항식이므로, 보조정리 1, 3과 같이 양의 상수 ${K}_{D}> K_{D}$가 존재해서 $K_{D}\le\widetilde{K}_{D}<{K}_{D}$를
만족하는 모든 $\widetilde{K}_{D}$에 대해서 $\widetilde{d}_{cl}(s)$는 Hurwitz 다항식이다. 이로써 증명을 마친다.
■
마지막으로 PD 제어기를 설계한 이후 정상 상태 오차를 줄이기 위해 적분 제어기를 추가하는 경우의 안정성 조건을 제안한다.
정리 5 식 (1)의 플랜트 $P$가 원점이나 양의 실수축 위에 영점을 갖지 않고, PD 제어기 $C(s)= K_{P}+ K_{D}s$에 의해서 Hurwitz 안정화하도록
$K_{P}$와 $K_{D}$를 선정했다고 가정하자. 그렇다면, 상수 ${K}_{I}> 0$가 존재해서 $K_{I}<{K}_{I}$을 만족하는 모든
$K_{I}$에 대해서 PID 제어기 $C(s)= K_{P}+ K_{I}(1/s)+ K_{D}s$가 폐루프 시스템 (2)를 Hurwitz 안정화한다.
□
증명 PID 제어기 $C(s)= K_{P}+ K_{I}(1/s)+ K_{D}s$에 대한 폐루프 시스템의 특성 방정식을 아래와 같이 계산할 수 있다.
$\widetilde{d}_{cl}(s)$의 근은 전달함수 $K_{I}n_{P}(s)/ s d_{cl}(s)$의 단위 궤환(unity feedback)
시스템의 근과 같다. 근궤적법[7]에 의해서, 폐루프 시스템의 근은 $K_{I}$의 값이 증가함에 따라 $sd_{cl}(s)$의 근에서 시작해서 $n_{P}(s)$의 근이나 무한대의
영점으로 수렴한다. 가정에 의해서 $d_{cl}(s)$는 Hurwitz 다항식이므로, 상수 ${K}_{I}^{1} ＞０$이 존재해서, $d_{cl}(s)$의
근에서 출발한 근궤적은 ${K}_{I}^{1} > K_{I}$인 모든 $K_{I}$에 대해서 열린 복소 좌반 평면에 머물러 있다. 또한 실수축 위의
근궤적은 홀수 개수의 개루프 시스템의 극점과 영점 좌측에 존재한다. 따라서 식 (1)의 시스템이 원점이나 양의 실수축 위에 영점을 갖지 않는다는 가정에 의해서, 원점에서 출발한 근궤적은 초기에 $K_{I}$가 증가함에 따라 음의 실수축
방향으로 이동하고, 상수 ${K}_{I}^{2} ＞０$가 존재해서, ${K}_{I}^{2} > K_{I}$인 모든 $K_{I}$에 대해서 열린 복소
좌반 평면에 머물러 있다. 그러므로 양의 상수 ${K}_{I}\le\min({K}_{I}^{1},\: {K}_{I}^{2})$가 존재해서 ${K}_{I}>
K_{I}$인 모든 $K_{I}$에 대해서 개루프 시스템의 극점에서 출발한 근궤적은 열린 복소 좌반 평면에 머물러 있다. 이로써 증명을 마친다.
■
4. 모의실험
본 논문에서 제안한 반복적 PID 제어 이득 조정 알고리즘의 유효성을 확인하기 위해서 1축 유연 관절 로봇 시스템에 대한 모의실험을 수행한다. 이를
위해 아래와 같이 직류 모터를 고려한 로봇 동역학식을 고려해 보자[16].
여기서 $\theta_{l}$, $\theta_{m}$, $\omega_{l}$, $\omega_{m}$, $i$는 각각 링크와 모터의 각도와 각속도,
전류를 나타내고, $u$와 $y$는 각각 시스템의 입력과 출력이다. 모의실험에서 사용한 파라미터의 설명과 값은 표 1에 제시하고, 식 (10)을 전달 함수로 표현하면 아래와 같다.
\begin{align*}
&\Delta(s)=(J_{l}s^{2}+B_{l}s+K)(J_{m}s^{2}+B_{m}s+K/N^{2})(Ls+R)\\& +K_{t}K_{b}(J_{l}s^{2}+B_{l}s+K)s-(K^{2}/N^{2})(Ls+R)\\
& =\alpha_{5}^{5}+\alpha_{4}s^{4}+\alpha_{3}s^{3}+\alpha_{2}s^{2}+\alpha_{1}s\\
&\alpha_{5}=J_{l}J_{m}L,\: \alpha_{4}=J_{l}B_{m}+J_{m}B_{l}+J_{l}J_{m}R,\: \\
&\alpha_{3}=({J}_{{l}}{K}/{N}^{2}+{J}_{{m}}{K}+{B}_{{l}}{B}_{{m}}){L}+({J}_{{l}}{B}_{{m}}+{J}_{{m}}{B}_{{l}}){R}+{K}_{{t}}{K}_{{b}}{J}_{{l}},\:
\\
&\alpha_{2}=({B}_{{l}}{K}/{N}^{2}+{B}_{{m}}{K}){L}+({J}_{{l}}{K}/{N}^{2}+{J}_{{m}}{K}+{B}_{{l}}{B}_{{m}}){R}+{K}_{{t}}{K}_{{b}}{B}_{{l}},\:
\\
&\alpha_{1}=({B}_{{l}}{K}/{N}^{2}+{B}_{{m}}{K}){R}+{K}_{{t}}{K}_{{b}}{K}.
\end{align*}
제안한 알고리즘에 따라서 단계 $0$에서 초기값을 $K_{P}^{0}=10$, $K_{D}^{0}=0$, 최대 반복 횟수 $k=3$, 허용 오차 $\epsilon
= 1$로 선택한다. 단계 $1$에서 시스템의 출력이 임계 진동할 때의 비례 이득이 ${K}_{P}^{0}=20.6$이므로 $K_{P}^{1}=20$으로
선택한다. 선택한 $K_{P}^{1}$에 대해서 적절한 과도 응답 특성을 갖도록 미분 이득 $K_{D}^{1}= 50$으로 선택한다. 반복적인 방법으로
단계 $2$에서 $K_{P}^{2}= 1000$, $K_{D}^{2}=380$, 단계 $3$에서 $K_{P}^{3}= 7600$, $K_{D}^{3}=1430$로
비례, 미분 이득을 얻을 수 있다. 로봇 시스템은 전달 함수 (11)에서 확인할 수 있듯이, 입력부터 출력까지의 관계에서 적분기를 포함하고 있는 타입-1 형태의 시스템이다. 그러므로 PD 형태의 제어기를 적용하였을
경우, 계단형 단위 입력에 대해서 정상 상태 오차를 나타내지 않고 적분 제어기를 추가로 설계하지 않았다.
표 1 모의실험에서 사용한 파라미터
Table 1 The parameters used in the simulations
|
$J_{l}$
|
링크 관성 계수
|
$1.625kg m^{2}$
|
|
$J_{m}$
|
모터 관성 계수
|
$1.625kg m^{2}$;
|
|
$B_{l}$
|
링크 마찰 계수
|
$1.625\times 10^{-2}N m s / rad$
|
|
$B_{m}$
|
모터 마찰 계수
|
$1.625\times 10^{-2}N m s / rad$
|
|
$K$
|
스프링 상수
|
$0.5868$
|
|
$K_{t}$
|
토크 상수
|
$0.9N m / A$
|
|
$K_{b}$
|
역기전력 상수
|
$0.9N m / A$
|
|
$N$
|
기어비
|
$2$
|
|
$R$
|
저항 계수
|
$0.5 ohm$
|
|
$L$
|
인덕턴스 계수
|
$25.0\times 10^{-3}H$
|
표 2 반복적 PID 제어 이득 결정 알고리즘과 Ziegler-Nichols 방법에 의해 결정한 제어 이득
Table 2 Control gains of the proposed iterative PID gain tuning algorithm and Ziegler-Nichols
method
|
설계 방법
|
$K_{P}$
|
$K_{D}$
|
$K_{I}$
|
|
반복 알고리즘 (단계 0)
|
$10$
|
$0$
|
-
|
|
반복 알고리즘 (단계 1)
|
$20$
|
$50$
|
-
|
|
반복 알고리즘 (단계 2)
|
$1000$
|
$380$
|
-
|
|
반복 알고리즘 (단계 3)
|
$7600$
|
$1430$
|
-
|
|
Ziegler-Nichols 방법
|
$12.36$
|
$18.0583$
|
$2.115$
|
하지만 실제 플랜트가 적분기를 추가하지 않은 타입-0 형태의 시스템이거나 외란의 영향을 크게 받는 시스템이라면 적분기를 추가하여 정상 상태 오차를
제거할 수 있다. 또한, Ziegler-Nichols 방법[7]으로 설계한 PID 제어기($K_{P}^{z}= 12.36$, $K_{D}^{z}=18.0583$, $K_{I}^{z}=2.115$)와의 성능 비교를
통해서 제안한 알고리즘의 유효성을 확인한다. 모의실험에서 사용한 제어 이득에 대해서는 표 2에서 제시한다.
그림 2는 Ziegler-Nichols 방법에 의해 결정한 PID 제어 이득과 본 논문에서 제안한 반복적 PID 제어 이득 결정 알고리즘에 의해서 결정한
PD 제어 이득을 적용한 유연 로봇 시스템의 계단 응답에 대한 모의실험 결과를 보여준다. 그림에서 확인할 수 있듯이, 제안한 알고리즘이 더 좋은 성능을
보여준다. 또한 그림 2를 확대한 그림 3에서 보여주는 것처럼 반복 단계가 증가함에 따라 시스템의 출력이 계단 입력을 신속하고 정확하게 추종하는 것을 확인할 수 있다.
또한 제어 성능 평가를 위해서 표 3에 계단 응답에 대한 절대오차적분과 제곱오차적분 계산 결과를 제시한다. 모의실험
그림 2. 모의실험 결과 (ZN: Ziegler-Nichols 방법에 의해 결정한 PID 제어 이득에 의한 계단 응답, Step 1: 단계 1의 제어
이득에 의한 계단 응답, Step 2: 단계 2의 제어 이득에 의한 계단 응답, Step 3: 단계 3의 제어 이득에 의한 계단 응답)
Fig. 2. Simulation results (ZN: the step response with PID gains designed by Ziegler-Nichols
method, Step 1: the step response with PD gains at Step 1, Step 2: the step response
with PD gains at Step 2, Step 3: the step response with PD gains at Step 3)
그림 3. 그림 2를 확대한 모의실험 결과
Fig. 3. Enlargement of Fig. 2.
표 3 계단 응답에 대한 절대오차적분과 제곱오차적분
Table 3 Integral of the absolute error and integral of squared error for the step
response
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설계 방법
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절대오차적분
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제곱오차적분
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반복 알고리즘 (단계 1)
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3.0731
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1.9333
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반복 알고리즘 (단계 2)
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0.4128
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0.2910
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반복 알고리즘 (단계 3)
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0.2144
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0.1265
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Ziegler-Nichols 방법
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17.1697
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7.6198
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결과에서 확인할 수 있듯이, 단계가 증가함에 따라서 더 큰 비례 이득 $K_{P}$를 선택할 수 있고, 이에 따라 전체 시스템의 응답 특성이 개선된다.
5. 결 론
본 논문에서는 제어 성능 및 강인성 향상을 위해 비례 이득을 최대화 하기 위한 반복적 PID 제어 이득 조절 알고리즘을 제시하였다. 또한, 비례,
미분, 적분 이득을 증가시킬 때, 일반적인 선형 시불변 시스템을 고려한 폐루프 시스템의 안정성 조건을 제안하였다. 또한 1축 유연 관절 로봇 시스템에
대한 모의실험을 통하여 제시된 알고리즘의 성능을 검증하였다. 향후 시간 지연 시스템이나 비선형 시스템에 대해서 안정성 조건을 구한다면, 본 논문에서
제시된 알고리즘의 적용성을 높일 수 있다고 기대한다.
Acknowledgements
This Research was supported by Sookmyung Women’s University Research Grants 1-2403-2013.
References
H. Kim, and Y. Noh, “Study on non-singular terminal sliding mode speed control and
vector control for improving the dynamic response of interior permanent magnet synchronous
motor,” The Transactions on the Korean Institute of Electrical Engineers, vol. 72,
no. 12, pp. 1646-1656, December 2023. DOI:10.5370/KIEE.2023.72.12.1646
B. An, J. Park, T. Kim, J. Che, S. Pyo, and T. Park, “A study on speed control of
variable frequency transformer for suppressing power system low frequency oscillation,”
The Transactions on the Korean Institute of Electrical Engineers, vol. 71, no. 5,
pp. 675-684, May 2022. DOI:10.5370/KIEE.2022.71.5.675
J. Lee, and S. Jung, “A comparative study of tracking performances on angular acceleration
estimation for time-delayed control of a robot manipulator,” The Transactions on the
Korean Institute of Electrical Engineers, vol. 71, no. 1, pp. 182-188, January 2022.
DOI:10.5370/KIEE.71.1.182
K. Park, and D. H. Kim, “Implementation of a steam control system using Fuzzy PID
control,” The Transactions on the Korean Institute of Electrical Engineers, vol. 73,
no. 1, pp. 163-169, January 2024. DOI:10.5370/KIEE.2024.73.1.163
H. K. Khalil, Nonlinear control, Pearson, 2015.
K. H. Ang, G. Chong, and Y. Li, “PID control system analysis, design, and technology,”
IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 13, no. 4, pp. 559-576, July
2005. DOI:10.1109/TCST.2005.847331
K. Ogata, Modern control engineering, 5th ed., Pearson, 2010.
K. J. Åstrȍm, and T. Hȁgglund, Advanced PID control, ISA-The Instrumentation, Systems
and Automation Society, 2006.
G. J. Silva, A. Datta, and S. P. Bhattacharyya, PID controllers for time-delay systems,
Springer Science & Business Media, 2007.
H. Zhang, W. Assawinchaichote, and Y. Shi, “New PID parameter autotuning for nonlinear
systems based on a modified Monkey-multiagent DRL algorithm,” IEEE Access, vol. 9,
pp. 78799-78811, May 2021. DOI:10.1109/ACCESS.2021.3083705
J. G. Lee, J. Jeong, and Y. C. Kim, “A novel PID controller tuning for desired time
response using a ulse response,” Journal of Electrical Engineering & Technology, vol.
19, pp. 1861-1879, March 2024. DOI:10.1007/s42835-023-01673-y
M. W. Spong, S. Hutchinson, and M. Vidyasagar, Robot modeling and control, John Wiley
& Sons, 2020.
A. Lee, and Y. Joo, “Iterative PID control design approach for maximizing proportional
gain,” IEEE Access, vol. 12, pp. 126478-126485, August 2024. DOI:10.1109/ACCESS.2024.3444925
S. P. Bhattacharyya, H. Chapellat, and L. H. Keel, Robust control: the parametric
approach, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1995.
H. Shim, and N. H. Jo, “An almost necessary and sufficient condition for robust stability
of closed-loop systems with disturbance observer,” Automatica, vol. 45, no. 1, pp.
296-299, January 2009. DOI:10.1016/j.automatica.2008.10.009
Y. Li, S. Tong, and T. Li, “Adaptive fuzzy output feedback control for a single-link
flexible robot manipulator driven DC motor via backstepping,” Nonlinear Analysis:
Real World Applications, vol. 14, no. 1, pp. 483-494, February 2013. DOI:10.1016/j.nonrwa.2012.07.010
저자소개
He received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Seoul National University, Korea,
in 2005, 2007, and 2014, respectively. From 2014 to 2015, he was a Postdoctoral Researcher
with Hanyang University, Korea. From 2015 to 2018, he was a Postdoctoral Researcher
with the University of Central Florida, USA. From 2018 to 2022, he was a Professional
Researcher with LG Electronics. Since 2022, he has been an Assistant Professor with
the Department of Electrical Engineering, Sookmyung Women’s University, Korea. His
research interests include control theory, cooperative control, and robotic manipulators.