2.1 기호 및 좌표계 정의

잠항 이동체의 SDINS 오차 모델을 유도하기 위해 사용하는 주요 변수는 아래와 같이 요약된다.

$ X^{I}$, $ Y^{I}$, $ Z^{I}$ :관성 좌표계

$ X^{E}$, $ Y^{E}$, $ Z^{E}$ : 지구고정 좌표계

$ X^{N}$, $ Y^{N}$, $ Z^{N}$ : 항법 좌표계

$ X^{B}$, $ Y^{B}$, $ Z^{B}$ : 동체 좌표계

$\lambda$, $\Lambda$, $-h$ : 위도, 경도, 심도

$ V^{N}\equiv \begin{bmatrix}v^{N}& v^{E}& v^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 항법 좌표계 속도 벡터 및 그 성분

$ f^{N}\equiv \begin{bmatrix}f^{N}& f^{E}& f^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 항법 좌표계 비력 벡터 및 그 성분

$ f^{B}\equiv \begin{bmatrix}f^{X}& f^{Y}& f^{Z}\end{bmatrix}^{T}$ : 동체 좌표계 비력 벡터 및 그 성분

$ g^{N}$ : 항법 좌표계 중력가속도 벡터

$R_{E}$, $R_{N}$ : 횡, 자오선 곡률반경

$R_{EE}$, $R_{NN}$ : 위도에 대한 $R_{E}$, $R_{N}$의 변화율

$R_{o}$, $g_{o}$ : 구(球)로 근사된 지구모델 반경, 중력가속도

$\omega_{s}$ : 슐러(Schuler) 주기

$\omega_{e}$, $\omega_{f}$ : 24시간, 푸코(Foucault) 주기

$\omega_{IB}^{B}\equiv \begin{bmatrix}p & q & r\end{bmatrix}^{T}$ : 관성 좌표계에 대한 동체 좌표계의 회전각속도 벡터

$\omega_{IE}^{E}\equiv \begin{bmatrix}0 & 0 &\omega_{e}\end{bmatrix}^{T}$ : 관성 좌표계에 대한 지구고정 좌표계의 회전각속도 벡터

$\omega_{IE}^{N}\equiv \begin{bmatrix}\omega^{N}& 0 &\omega^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 항법 좌표계에서 표현된 $\omega_{IE}^{E}$

$\omega_{EN}^{N}\equiv \begin{bmatrix}\rho^{N}&\rho^{E}&\rho^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 지구고정 좌표계에 대한 항법 좌표계의 회전각속도 벡터

$\mu_{\times}$ : 임의의 벡터 $\mu$에 대한 왜대칭행렬 (skew-symmetric matrix)

$C_{\eta}^{\xi}$ : $\eta$ 좌표계에서 $\xi$ 좌표계로의 변환 행렬

$\psi$, $\theta$, $\phi$ : 요, 피치, 롤 자세

$\delta\psi$, $\delta\theta$, $\delta\phi$ : 요, 피치, 롤 자세 오차

$\delta\lambda$, $\delta\Lambda$, $-\delta h$ : 위도, 경도, 심도 오차

$\delta P^{N}\equiv \begin{bmatrix}\delta p^{N}&\delta p^{E}&\delta p^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 항법 좌표계 위치오차 벡터 및 그 성분

$\delta V^{N}\equiv \begin{bmatrix}\delta v^{N}&\delta v^{E}&\delta v^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 항법 좌표계 속도오차 벡터 및 그 성분

$\delta\phi\equiv \begin{bmatrix}\delta\alpha &\delta\beta &\delta\gamma\end{bmatrix}^{T}$ : 정렬자세 오차 벡터 및 그 성분

$ B_{a}^{N}\equiv \begin{bmatrix}b_{a}^{N}& b_{a}^{E}& b_{a}^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 항법 좌표계 가속도계 편향 오차 벡터 및 그 성분

$ B_{\omega}^{N}\equiv \begin{bmatrix}b_{\omega}^{N}& b_{\omega}^{E}& b_{\omega}^{D}\end{bmatrix}^{T}$ : 항법 좌표계 각속도계 편향 오차 벡터 및 그 성분

전술한 변수들이 정의되는 좌표계는 다음과 같다.

▪ 관성 좌표계 (I-frame)

그림 2와 같이 원점은 지구모델 중심, $ X^{I}$축은 지구모델 중심에서 춘분점(vernal equinox) 방향, $ Z^{I}$축은 지구 자전축 방향, $ Y^{I}$축은 오른손 법칙으로 표현되는 직교 좌표계로 정의된다.

▪ 지구고정 좌표계(E-frame)

원점은 지구모델 중심, $ X^{E}$축은 지구 중심에서 적도평면과 본초자오선(Greenwich meridian)이 만나는 지점을 잇는 방향, $ Z^{E}$축은 지구 자전축 방향, $ Y^{E}$축은 오른손 법칙으로 결정되는 직교 좌표계로 정의된다. 명칭에서 유추할 수 있듯, 지구에 고정되어 $ Z^{E}$축을 기준으로 24시간 주기 $\omega_{e}$만큼 지구 자전을 따라 함께 회전하는 좌표계이다.

▪ 항법 좌표계 (N-frame)

원점은 잠항 이동체에 장착된 SDINS의 위치(통상 잠항 이동체의 무게중심으로 가정, 그림 3 참조), $ X^{N}$축은 정북방향, $ Y^{N}$축은 정동방향, $ Z^{N}$축은 잠항 이동체가 기준으로 삼는 지구모델의 국지 수평면에 수직하여 지구 중심으로 향하는 방향으로 정의된다. 항법 좌표계는 NED(North-East-Down) 좌표계로도 불리며, 잠항 이동체의 위치(위도 $\lambda$, 경도 $\Lambda$)를 이용하여 지구고정 좌표계와 항법 좌표계 간 좌표변환 행렬 $C_{E}^{N}$을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위 식에서 $R_{\xi}(\epsilon)$은 $\xi$축을 각도 $\epsilon$만큼 회전시킨 회전변환 행렬을 의미하며, 축 별 회전변환 행렬을 아래와 같이 방향코사인 행렬(direction cosine matrix)로 기술할 수 있다.

$R_{x}(\epsilon)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & c\epsilon & s\epsilon \\ 0 & -s\epsilon & c\epsilon\end{bmatrix}$, $R_{y}(\epsilon)=\begin{bmatrix}c\epsilon & 0 & -s\epsilon \\ 0 & 1 & 0 \\ s\epsilon & 0 & c\epsilon\end{bmatrix}$, $R_{z}(\epsilon)=\begin{bmatrix}c\epsilon & s\epsilon & 0 \\ -s\epsilon & c\epsilon & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$,

$c\epsilon\equiv \cos\epsilon$, $s\epsilon\equiv \sin\epsilon$.

▪ 동체 좌표계 (B-frame)

그림 3과 같이 원점은 잠항 이동체의 무게중심, $ X^{B}$축은 잠항 이동체의 함수 방향, $ Z^{B}$축은 잠항 이동체의 하단 방향, $ Y^{B}$축은 오른손 법칙을 따르는 직교 좌표계이다. 항법 좌표계에서 동체 좌표계로의 좌표변환 행렬 $C_{N}^{B}$는 식 (2)와 같이 축 별 자세각과 회전변환 행렬로 표현된다.

2.2 관성센서 편향 오차를 포함하는 SDINS 오차전파 모델

잠항 이동체의 SDINS 오차전파 모델을 유도하기 위해, 아래와 같이 항법 좌표계 상의 순수항법 방정식을 고려해 보자.

비선형 미분방정식으로 이루어진 (3-5)에 대하여, 섭동(perturbation) 방법을 적용함으로써 다음과 같은 선형화된 순수항법 오차방정식을 얻을 수 있다.

여기서 $\delta\mu$는 섭동에 의한 임의의 벡터 $\mu$의 오차를, $C_{B}^{N}$은 동체-항법 좌표계 간 좌표변환 행렬($C_{B}^{N}=\left(C_{N}^{B}\right)^{T}$)을 의미한다.

전술한 오차방정(6-8)은 편향/환산계수 오차 등을 내재한 관성센서 오차 성분(가속도계 $C_{B}^{N}\delta f^{B}$, 각속도계 $C_{B}^{N}\delta\omega_{IB}^{B}$)을 포함하고 있다. 잘 알려져 있듯, 관성센서의 오차 요인 중 편향 오차 성분이 순수항법 오차에 가장 우세한 영향을 미치므로 아래와 같이 편향 오차로 대체할 수 있다^[23].

이제, (6-10)을 종합함으로써 순수항법 오차방정(6-8)에 관하여 다음과 같이 일반적인 15차 SDINS 오차전파 모델로 쓸 수 있다^[9].

식 (11)의 SDINS 오차전파 모델을 기술하기 위하여 사용한 부행렬(sub-matrix)들에 관한 정의를 부록 A에 정리하였다.

3.1 근사화된 수평면 SDINS 오차전파 모델

본 논문에서 제안하는 수평면 SDINS 장주기 위치오차 해석 해를 산출하기 위한 기본 가정은 다음과 같다.

(A1) 잠항 이동체는 안정적인 심도 정보 획득을 목적으로 수직 채널 안정화 루프를 도입함으로써 수직면 상의 순수항법 오차를 억제한다 ($-\delta h =\delta v^{D}= b_{a}^{D}= 0$).

(A2) SDINS 위치오차에 포함되는 주기 오차는 초기 운동 정보와 관성센서 편향 오차에서 비롯되며, 잠항 이동체의 운동 변화와는 무관하다 ($ V^{N}= 0$, $f^{N}= f^{E}= 0$).

(A3) 지구는 구(球)체이며, 그 반경은 WGS84 지구타원체 모델의 장반경이다 ($R_{E}= R_{N}= R_{o}$, $R_{EE}= R_{NN}= 0$).

(A4) 중력가속도는 위도 변화와 무관하며, 적도의 중력가속도로 일정하다 ($f^{D}= -g_{o}$).

위 가정들로부터, 전술한 15차 SDINS 오차전파 모델을 아래와 같이 수평면 12차 오차 모델로 근사할 수 있다.

근사화된 수평면 12차 SDINS 오차전파 모델의 두드러진 특성을 확인하기 위해 그림 4와 같이 블록선도로 도시하였다. 그림 4로부터 정북 및 정동방향에 관한 중주기 특성인 슐러 루프(Schuler loop)뿐만 아니라, 여러 결합 성분들을 통해 SDINS 위치오차가 지니는 장주기를 손쉽게 볼 수 있다. SDINS 주기 오차 및 그 크기를 정리하면 다음과 같다.

▪ 슐러 주기 (Schuler period ; $\omega_{s}\equiv \sqrt{g_{o}/R_{o}}$)

지구 곡률에 의한 기울기 오차가 있는 항법 좌표계에서 관성센서 측정치를 적분하고, 그 결과(속도/위치)를 이용하여 다시 항법 좌표계를 정의하는 궤환 루프로 인해 발생하는 불안정 주기이며, 약 84분으로 계산된다.

▪ 24시간 주기 (Earth rotation period ; $\omega_{e}$)

대표적인 장주기 특성으로, 지구 자전(24시간)이 직접적으로 영향을 미치는 주기이다 ($\omega_{e}^{2}\ll \omega_{s}^{2}$).

▪ 푸코 주기 (Foucault period ; $\omega_{f}\equiv \omega_{e}\sin\lambda$)

장주기 특성 중 하나이며, 지구 자전에 의해 변조된 슐러 주기로서 정북/정동방향 간 90$^{\circ}$ 변조 위상차가 존재한다. 잠항 이동체의 위도 $\lambda$에 따라 그 주기가 달라지며, 중위도 지역에서 약 40시간의 값을 갖는다 ($\omega_{f}^{2}\ll \omega_{s}^{2}$).

3.2 수평면 SDINS 위치오차 해석 해

식 (12)의 수평면 SDINS 오차전파 모델에서 각 항법오차 요인들이 순수항법 위치오차에 미치는 영향을 수학적으로 분석하기 위한 해석 해 산출을 위해, 다음과 같이 상태천이 행렬의 형태로 표현해 보자.

여기서 $\Phi(0)= I$, $\delta x_{L}(t_{0})$는 초기 항법오차를 나타낸다.

식 (13)의 상태천이 행렬에서, 아래와 같이 라플라스 역변환 관계를 이용하여 항법오차 해석 해를 유도할 수 있다.

위 식에서 $s$는 라플라스 연산자를, $L^{-1}\{·\}$는 라플라스 역변환 관계를 뜻한다.

식 (14)에서 위도 및 경도 오차, 다시 말해 상태천이 행렬 $\Phi(t)$의 6행 및 7행 성분들의 선형 조합으로 수평면 SDINS 장주기 위치오차 해석 해를 기술할 수 있다.

여기서 $\delta\chi_{0}$는 오차전파 모델의 초기값을 의미하며, 표 1에 기재된 각 오차 상태변수 $\delta\chi$의 해석 해 성분 $f_{\xi ,\: \chi}(·)$은 전술한 주기 성분 간 크기에 따른 대소관계를 적용하여 정리한 결과이다.

위 식으로부터 알 수 있듯, 기존 방법들과 달리 제안된 해석 해는 장시간 특성에 관한 수평면 위치오차의 수학적 검토가 가능하다. 제안된 해석 해가 갖는 수학적 구조로부터 손쉽게 확인 가능한 주요 특성들을 아래와 같이 요약하였다.

(1) 제안된 해석 해는 지구모델 파라미터 $R_{o}$, $g_{o}$와 잠항 이동체의 위도 $\lambda$, 그리고 주기 성분 $\omega_{s}$, $\omega_{e}$, $\omega_{f}$로 모델링 된다.

(2) 기존의 오차 해석 해에서 볼 수 있는 슐러 주기함수 $p_{s}(t)$ 및 지구 자전주기 $p_{e}(t)$와 더불어, 푸코 주기 특성을 나타내는 $p_{f}(t)$가 반영되어 있다.

(3) 관성센서 편향 오차, 초기 정렬자세 오차 요인들이 야기하는 수평면 순수항법 위치오차에는 편향 성분이 포함된다.

(4) 초기 경도오차 $\delta\Lambda_{0}$는 정북방향 위치오차에 영향을 미치지 않으며, 정동방향 위치오차에서 초기 오차의 크기만큼 편향 성분으로 표현된다.

(5) 항법 좌표계 상의 각속도계 편향 오차 $b_{\omega}^{N}$ 및 $b_{\omega}^{D}$가 각각 지니는 $\cos\lambda· t$, $\sin\lambda· t$ 성분으로 인해, 시간이 지남에 따라 정동방향 위치오차가 점진적으로 증가 및 발산한다.

4.1 모의실험 조건

제안된 수평면 SDINS 장주기 위치오차 해석 해의 유용성을 확인하기 위해 컴퓨터 모의실험을 수행하였다. 이를 위해, 그림 5의 6-자유도 잠항 이동체 시뮬레이터에 표 2의 초기 위치 및 명령을 입력하여 그림 6과 같이 수평면에서 42시간 등속 이동하는 잠항 이동체 궤적을 모의하였다. 식 (11)의 일반적인 SDINS 오차전파 모델을 이용하여 산출된 항법오차를 참값으로 간주하고 각 오차 요인에 의한 순수항법 위치오차 해석 해와의 유사성을 먼저 확인한 다음, (3-5)의 순수항법 방정식으로 설계한 SDINS M&S S/W에서 출력된 위치오차와 전체 오차 요인에 따른 해석 해의 합산 결과를 비교 분석하였다. 더불어, 부록 B에 기술된 기존의 간략화된 정북/정동방향 장주기 및 정북방향 중주기 위치오차 해석 해(표 3, 표 4 참조) 기반의 오차분석 결과를 추가함으로써 해당 채널에서의 SDINS 위치오차 모의 수준을 함께 비교하였다. 수평면 순수항법 오차를 유발하는 SDINS 오차 규격은 잠항 이동체의 SDINS 보정항법 관련 연구결과에서 제시한 모의실험 지표를 도입하였으며, 그 값을 표 2에 정리하였다^[2]. 참고로, 해당 파라미터를 이용하여 설계한 SDINS M&S S/W 출력의 수평면 거리오차 RMSE(root mean square error) 최대치는 24시간 시점에서 약 1.4 해리(약 2.5 [km])에 이른다.

4.2 모의실험 결과 분석

전술한 모의실험 조건을 토대로, 제안된 해석 해를 이용하여 각 요인들이 수평면 SDINS 위치오차에 미치는 영향을 분석한다. 먼저, 초기 정렬자세 오차에 의한 영향을 그림 7 및 그림 8에 도시하였다. 제한된 채널(정북방향) 및 오차 요인에 대하여 슐러 주기만을 모의함에 따라 약 3시간 이후에는 유효한 결과를 제공하기 어려운 기존의 중주기 위치오차 해석 방법과 달리, 제안된 해석 기법은 모든 초기 정렬자세 오차 요인에서 슐러 주기와 함께 장주기 성분 및 편향 오차를 표현할 수 있어 참값 오차정보와 유사한 수치를 산출한다. 구체적으로, 제안된 해석 해의 정렬자세 기울기오차(tilt error) $\delta\alpha_{0}$, $\delta\beta_{0}$는 크기가 최대 약 40 [m], 헤딩오차(heading error) $\delta\gamma_{0}$는 약 80 [m] 내에서 슐러/푸코 및 24시간 주기로 진동하는 위치오차를 야기한다. 또한, 표 1에서 알 수 있듯 정동방향의 초기 오차 요인 $\delta\alpha_{0}$ 및 $\delta\gamma_{0}$에서 각각 $-\cos\lambda$, $\sin\lambda$ 만큼의 편향 오차를 지니고 있어 위치오차 참값의 편향치를 적절한 수준으로 모사한다.

다음으로, 수평면 상의 초기 속도/위치오차가 유발하는 SDINS 위치오차를 그림 9~그림 12에 나타내었다. 초기 속도/위치오차에 의한 SDINS 위치오차를 슐러 주기와 단순한 편향 오차만으로 분석해야 했던 중주기 해석 해와 다르게, 제안된 해석 해는 장주기 오차 성분들을 손쉽게 관찰할 수 있어 이들이 갖는 위치오차 특성 확인이 용이하다. 한편, 모의실험 조건에서 언급한 24시간 경과 시 위치오차 크기(약 2.5 [km]) 측면에서 전술한 정렬자세 오차와 더불어 초기 속도/위치오차, 다시 말해 초기 운동 정보 오차에 의한 수평면 SDINS 위치오차 크기가 수십 ~ 수백 [m]로 작은 수준임을 볼 수 있다. 이는 순수항법 위치오차를 야기하는 다양한 SDINS 오차 요인 중 관성센서 편향 오차의 영향이 우세함을 암시하는 것이다. 이러한 이유로 간략화된 장주기 위치오차 분석 기법은 해석해산출 과정에서 상기 오차 요인들을 의도적으로 생략하였으나, 순수항법의 위치오차 특성을 정밀하게 분석하기 위한 측면에서는 제안된 해석 해 대비 한계가 존재함을 알 수 있다.

이제, 관성센서 오차에 의한 순수항법 성능을 분석해 보자. 가속도계 및 각속도계에 내재한 편향 오차가 생성하는 수평면 SDINS 위치오차는 그림 13~그림 16과 같다. 가속도계 편향 오차 관련 결과(그림 13 및 그림 14 참조)에 따르면, 기존 해석 기법들은 단순히 슐러 주기에 의한 위치오차 특성만이 검출되나 제안된 해석 해는 지구 자전에 의해 변조된 슐러 주기인 푸코 진동을 함께 기술하고 있어 위치오차에 관하여 세밀한 수학적 검토가 가능하다. 이때, 위치오차 크기를 감안하면 $b_{a}^{N}$에 의한 순수항법 오차는 $b_{a}^{E}$에 비하여 미미하므로 사전에 정동방향 가속도계 편향 오차 $b_{a}^{E}$의 크기를 알 수 있을 경우 제안된 장주기 해석 해를 바탕으로 SDINS 위치오차의 주된 진폭 변화를 분석 및 예측할 수 있다. 더욱이, 그림 15 및 그림 16의 각속도계 편향 오차 역시 기존의 중주기 오차 해석만으로는 설명이 어려운 장주기 특성은 물론, 시간에 따라 점진적으로 증가하는 위치오차 특성까지 반영되어 있다. 이에 더하여, 동일한 장주기 해석 해의 결과임에도 제안된 방법은 푸코 주기에 의한 영향이 포함되어 있으므로 기존 기법보다 정밀한 위치오차 분석을 시도할 수 있다. 게다가, 제안된 해석 해로부터 수평면 SDINS 위치오차 발산을 직접적으로 유발하는 주 요인이 각속도계 편향 오차임을 명확히 할 수 있어 이를 적절히 추정 혹은 보상하는 보정 알고리듬 등의 요구사항을 손쉽게 도출할 수 있다. 나아가, 각속도계 제원과 장주기 해석 해를 이용하여 오차 크기를 정량적 수치로 관측함으로써 잠항 이동체 운용조건에 적합한 SDINS 정확도를 판별하거나 잠항 이동체의 항법성능 예측에 관한 수학적인 지표화가 가능하다.

마지막으로, 모든 오차 요인을 합산한 수평면 순수항법 위치오차와 SDINS M&S S/W의 위치오차 출력 및 그 차이를 각각 그림 17 및 그림 18에 도시하였다. 정북방향의 경우, 오차가 발산하는 중주기 해석 해와 달리 장주기 해석 기법들은 그 정도가 높지 않은 채로 SDINS에서 출력된 위치 근방에 놓여 있음을 알 수 있다. 정동방향에서는 기존 및 제안된 장주기 해석 해 모두 음의 방향으로 위치오차 크기가 증가하고 있다. 이러한 특성은 섭동 방식으로 유도된 선형 오차전파 모델로부터 도출한 해석 해가 비선형 순수항법 방정식을 온전히 모사하는 관점에 있어 일부 제한됨을 나타내는 것이다. 그럼에도 불구하고, 간략화된 장주기 해석 해와 다르게 제안된 기법은 초기 운동 정보에 의한 순수항법 오차 및 푸코 주기를 포함하고 있어 위치오차 참값과의 차에 따른 진폭 수준이 작게 유지된다. 이러한 특성은 제안된 해석 해가 장시간 SDINS 운용 시 필연적으로 나타나는 중/장주기와 선형적으로 증가하는 위치오차 크기 성분을 적절한 수준으로 모의할 수 있음을 의미하는 것이다. 이상의 결과로부터, 제안된 수평면 SDINS 장주기 위치오차 해석 해는 장시간 운용하는 잠항 이동체의 보정 기법 설계를 위한 기초자료 및 체계개발을 위한 SDINS 성능지표 검출 등에 용이하게 활용할 수 있을 것으로 판단된다.