2.1 수신신호 모델

그림 1은 다중경로 수신신호 모델링을 위한 상대기하를 나타낸다. 이때 표적 및 표적(target)의 해면 반사점(image)에 대한 레이더 반사 신호의 정합필터링(matched filtering) 및 하향변조(down-converting) 과정을 거친 합/차채널 수신신호는 다음 식으로 쓸 수 있다^[3].

위의 식에서 아래첨자 $t$와 $i$는 각각 표적과 표적 이미지(해면 반사점)를 의미한다.

잘 알려져 있듯이 수신신호와 레이더-표적-다중경로 간섭을 야기하는 해면 반사 특성은 크게 정반사 및 난반사 효과로 구분된다^[4]. 정반사 계수는 숙임각 $ψ_{ga}$이 충분히 작은 경우, 주로 해수면 상태에 의해 결정된다.

여기서 Γ는 해수 특성이 반영된 Fresnel 반사계수, $σ_{h}$는 파고의 RMS, $\lambda$는 반송파 파장을 의미한다.

해수면 상태에 따라 그 값이 결정되는 정반사 계수와 달리 난반사 계수는 불규칙 특성을 가지며, 그 확률 밀도는 레일리 분포로 모델링되는 것으로 알려져 있다^[4].

여기서 $ρ_{d0}$는 레일리 분포의 모양변수를 의미한다. 또한, 식 (1)에서 난반사에 의해 유발되는 위상간섭 $\phi_{d}$는 $(-\pi ,\: \pi)$ 사이에서 균등분포를 따르는 것으로 간주한다.

식 (2)에서 확인할 수 있듯이 $g_{o}$가 작을 때 다중경로에 결정적인 영향을 끼치는 정반사 계수 $\rho_{s}$가 커지는 특성이 있다. 즉, 숙임각(grazing angle)이 낮은 해상 저고도 비행 표적 추적 상황에서 다중경로 오차가 더욱 두드러지게 나타난다.

2.2 고각 측정치 모델링

합/차채널 수신신호를 $s = s_{I}+ js_{Q},\: d = d_{I}+ jd_{Q}$로 재정의하면, 모노펄스 비(monopulse ratio)는 다음과 같이 계산된다.

참고로 표적이 레이더 빔 폭 내에 존재한다면 모노펄스 비에 합/차채널 빔 패턴으로부터 사전 모델링되는 모노펄스 이득 $k_{m}$를 곱하여 실제 고각을 손쉽게 산출할 수 있다.

합/차채널 수신기 잡음이 서로 독립이고, 표준편차가 $\sigma_{s}$인 영평균 정규분포를 따르는 반면, 난반사 계수 $\rho_{d}$와 난반사로 인한 위상 $\phi_{d}$이 각각 레일리 분포와 균등분포를 따른다. 더욱이 표적 RCS의 요동(scintillation)을 고려하는 경우 식 (1)의 $\alpha_{t}$도 정규분포로 모델링될 수 없다. 따라서, 엄밀하게 말하면 합/차채널 수신신호 (1)은 비정규 확률분포 특성을 지닌다. 다만, 해상 저고도 표적에 대한 근접방어무기체계(CIWS)의 표적 조우기하 상에서는 통상 $g^{2}\rho_{d}^{2}\ll g\rho_{d}$이 만족되므로 수신신호 $s$ 및 $d$의 확률분포를 정규분포로 근사하더라도 그 일반성을 잃지 않는다.

합/차채널 수신신호를 $X =\begin{bmatrix}s_{I}&d_{I}&s_{Q}&d_{Q}\end{bmatrix}$, 수신신호 파라미터를 $\Phi =\left\{\alpha_{t},\: \eta_{t},\: \eta_{I},\: g,\: \Delta ϕ,\: \rho_{S},\: \rho_{d0},\: \sigma_{S}\right\}$로 정의하면, 식 (1)로부터 수신신호가 $\Phi$에 대한 조건부 영평균 특성을 가짐을 알 수 있다.

수신기 열잡음 $n_{s},\: n_{d}$과 난반사 계수 $ρ_{d}$ 및 그 위상 $ϕ_{d}$이 서로 비상관되어 있으므로, 합/차채널 신호의 조건부 분산을 다음 식으로 쓸 수 있다.

여기서 신호 대 잡음비 참값을 $R_{sn}=\sigma_{t}^{2}/2\sigma_{S}^{2}$라 하면

표적 고각 측정치는 거리-도플러 평면에서 큰 신호 대 잡음비를 갖는 표적신호를 검출하고, 이후 모노펄스 연산을 통해 산출된다. 즉, 고각 측정치 분포는 SNR 측정치 $R_{o}= | s |^{2}/2\sigma_{s}^{2}$에 대한 조건부 확률분포로 기술되어야 한다.

식 (4) 혹은 식 (5)는 조건부 결합 정규분포를 따르는 확률벡터(random vector) $X$의 비선형 함수이다. 따라서, 확률변수 간의 비선형 변환을 고려하여 고각 측정치 분포를 정규분포로 손쉽게 근사할 수 있다.

여기서 $Ξ = | p_{11}p_{22}- p_{12}^{2}- p_{14}^{2}|$이다. 위 식은 다중경로현상이 심각한 구간에서 SNR이 낮아지는 경우 고각 편향오차 분산이 매우 커질 것임을 보여준다. 식 (8)의 결과는 다중경로 상황에서 고각 측정치의 통계적 특성을 보여준다. 이를 이용하면 현재 추적중인 해상 저고도 표적에 대한 측정치의 편향오차를 보상할 수 있으며, 측정오차 분산도 추정할 수 있다. 이 결과는 참고문헌 ^[13]에서 제시한 다중경로 편향오차 추정치와 동등한 값임을 알 수 있다.

이상의 모델링 결과를 요약하면, 해상에서 저고도로 비행하는 표적에 대한 레이더 반사신호는 직접적인 반사신호 뿐 아니라 해면에서 반사하는 해면 반사신호들이 동시에 수신되므로, 이들 신호들이 상호 간섭 및 증폭되는 다중경로 신호 수신 현상이 발생한다. 수신신호의 SNR은 급격하게 변화하게 되며, 합/차신호의 비율을 기반으로 표적에 대한 고각을 계산하는 모노펄스 레이더의 경우 SNR의 열화 현상은 그대로 고각 측정치의 오차분산을 크게 악화시키는 결과를 초래한다.

그림 2는 해상상태 2에서 고도 5m로 해면 밀착비행하는 표적의 다중경로 현상을 고려한 지면거리에 대한 SNR 측정치(하늘색)와 그 평균(청색)을 도시한 것이다. 그림에서 볼 수 있듯이 다중경로를 포함하는 수신신호의 SNR은 여러 개의 널(null)과 마루를 가져, 다중경로가 없는 경우의 SNR(적색)과 극명한 대비를 이룬다. 식 (8)에서 수신신호의 SNR 변화는 고각 측정치의 통계적 특성에 직접적인 영향을 끼쳐 비정상적인 고각 측정치 오차를 유발한다.

그림 3은 다중경로 오차를 포함한 고각 측정치와 상대거리를 이용하여 등가 고도 측정치를 계산한 결과를 보여준다. 참고로 일단 표적이 탐지되면 레이더에 대한 표적의 상대거리 측정치에는 다중경로의 영향이 크게 작용하지 않는다. 그림에서 확인할 수 있듯이, SNR이 나쁜 구간에서는 수십m 이상의 등가 고도 측정오차가 유발될 수 있다. 따라서, 등가 고도 측정치를 이용하여 고도를 추정하는 필터를 구성하는 경우에는 고도 추정치가 상당하게 흔들리는 구간이 발생할 뿐 아니라, 많은 구간에서 음의 고도 추정치가 산출될 수 있다. 대함유도탄 표적은 항상 해수면 위를 밀착 비행하므로 기하학적으로 의미없는 음고도 측정치를 이용해 기존의 필터링 기법으로 고도를 추정하게 되면 근접방어무기체계의 성능을 크게 악화시킬 우려가 있다. 그러므로 SNR이 매우 나쁜 경우에는 음고도 측정치를 배제하여, 고도 추정필터의 극단적인 오동작을 예방하는 것이 바람직하다.

3.1 양고도 전제(음고도 배제) 측정치 특성

앞서 설명하였듯이 해상 저고도 비행 표적에 대한 레이더 반사 신호는 해면 반사파에 의한 다중경로현상으로 인하여 신호대 잡음비의 급격한 악화가 발생하는 구간이 존재하며, 이 구간에서는 표적에 대한 고도/고각 정보에 대한 극단적인 불확실성 및 오류를 포함하는 측정치가 수신될 가능성이 매우 높다. 그러므로 이러한 측정치를 그대로 이용하여 추적필터를 구동할 때 발생할 수 있는 고도 추정 성능의 치명적인 열화를 방지하기 위하여, 다음과 같이 고각 측정치를 고도 측정치로 변환하여 음의 고도 값을 제외한 측정치로 고도 추적필터를 구성함으로써 다중경로 영향이 큰 구간에서 추적필터의 오동작을 방지한다.

고각 측정치를 $z_{\theta_{k}}$라 하면, 상대거리 추정치 $\hat{\rho}_{k}$를 이용하여 고도를 계산하고, 이를 선형화함으로써 다음과 같은 의사 고도 측정 모델을 만들 수 있다.

여기서 $\Delta\rho_{k}$는 고도 추정오차, $\Delta\theta_{k}$는 분산이 $R_{\theta_{k}}$인 고각 측정오차이며, 의사고도 측정오차 $v_{k}^{u}$는 분산이 $R_{k}^{u}=\hat{\rho}_{k}R_{\theta_{k}}$인 영평균 정규잡음으로 근사할 수 있다.

위의 식 (9)로부터 의사 고도 측정치는 상대거리가 길수록, 또 표적의 비행고도가 낮을수록 음의 값을 가질 가능성이 높다는 것을 알 수 있다. 특히 다중경로 현상이 극심하여 고각 측정치의 오차 분산이 급격히 증가하는 구간에서는, 그림 3에서 볼 수 있듯이, 음으로 수 km에 달하는 의사 고도 측정치가 발생한다. 그러므로 다음 식과 같이 의사 고도 측정치 집합 $\left\{z_{k}^{u}\right\}$에서 음의 값을 가지는 측정치를 제외하여 고도 추적필터를 구동하기 위한 양고도 측정치를 구할 수 있다.

식 (10)의 양고도 측정치는 의사 고도 측정오차 $v_{k}^{u}$중에서 음의 고도측정치를 발생시키는 경우를 제외한 양고도 측정치 측정오차 $v_{k}$를 도입함으로써 다음과 같이 모델링할 수 있다.

여기서 $v_{k}$의 확률분포는 그림 4와 같이 구할 수 있다.

앞에서 의사고도 측정오차 $v_{k}^{u}$는 개략적으로 영평균 정규분포를 가진다고 하였으므로 그림 4에서 점선으로 표시된 확률밀도함수를 가진다고 할 수 있다. 양고도 측정치는 의사고도 측정치 중에서 양의 값을 가지는 경우만을 선정한 것이므로, 현재 고도를 $h$라 할 때 $v_{k}^{u}> -h$인 의사고도 측정오차가 선택된 경우에 해당하며 이는 그림 4의 수직점선 오른쪽에 있는 확률밀도함수만을 선택한 것에 해당한다. 따라서 양고도 측정오차 $v_{k}$는 그림의 수직점선 왼쪽에서는 0이 되고 오른쪽에서는 $v_{k}^{u}$의 확률밀도함수와 비례하는 값을 가지게 된다. 그런데, 일반적으로 확률밀도함수의 적분은 1이 되어야 하므로, $v_{k}$의 확률밀도함수는 $v_{k}^{u}$의 일점쇄선 우측부분을 다시 정규화하여 그 적분치가 1이 되도록 하여야한다. 이 경우 정규화 상수 $c_{h}$는 다음과 같이 계산할 수 있다.

이 결과를 종합하면, 현재 고도가 $h$일 때, 양고도 측정오차 $v_{k}$의 확률밀도함수는 다음과 같아진다.

여기서 $p\left(v_{k}^{u}\right)$는 분산이 $R_{k}^{u}=\hat{\rho}_{k}R_{\theta_{k}}$인 영평균 정규분포 확률밀도함수이다. 그림 4에서 볼 수 있듯이 양고도 조건부 고도측정오차는 정규분포에 음고도를 발생시키는 측정오차를 제외한 형태를 가지므로, 고도에 따른 편향성을 가지며, 정규잡음도 아니다. 따라서 양고도 측정치를 이용하여 고도 필터를 설계할 때에는 이러한 측정오차의 비정규 특성을 반영하여야 한다.

3.2 양고도 전제 측정치 적용을 위한 고도 필터 기법

일반적으로 상태변수 추정 알고리듬은 시간에 대한 상태변수 추정치 시간전파(time propagation)와 측정치를 이용한 측정치 갱신(measurement update)의 두 부분으로 이루어진다^[10]. 상태변수 시간전파는 추정하고자 하는 상태변수의 시간에 대한 변화를 고려하는 과정으로서 상태변수의 시간에 대한 동력학적 모델에 바탕을 두고 수행된다. 본 연구에서는 해상 저고도를 유지하며 비행하는 표적에 대한 고도 추정 필터를 설계하기 위하여 다음과 같은 상태변수 동력학 모델을 가정하였다.

여기서 상태변수 $x_{k}$는 고도이고, 공정잡음 $w_{k}$는 분산 $Q_{k}$를 가지는 정규잡음이라 가정한다. 식 (14)는 일반적인 선형 가우시안 모델이므로 식 (15)의 칼만필터의 시간전파식을 그대로 활용하여 고도에 대한 시간전파를 수행할 수 있다.

여기서 $\hat{x}_{k+1\vert k},\: \hat{x}_{k \vert k}$는 각각 상태변수에 대한 사전, 사후 추정치이고, $P_{k+1\vert k},\: P_{k \vert k}$는 각각 사전 및 사후 추정오차 공분산이다.

본 연구에서 고려하고 있는 측정모델인 식 (11)은 일반적인 칼만필터에서 활용하는 백색 정규 측정잡음이 포함된 형태가 아니므로, 칼만필터 측정치 갱신식을 그대로 적용할 수 없다. 따라서, 본 연구에서는 측정치에 대한 상태변수의 조건부 확률공간을 직접적으로 계산하는 형태에 기반한 세 가지 준최적 알고리듬을 제안하였다^[10].

첫 번째 측정치 갱신 방법은 사전확률분포를 양자화하고, 양자화된 고도 추정치 각각에 대한 우도함수를 계산하여 베이시안 측정치 갱신을 수행하는 방법이다. 이 방법에서는 그림 5에 도시된 바와 같이 상태변수의 사전확률분포를 양자화한다. 우선 상태변수의 사전 확률분포를 정규분포로 가정하고, 이를 유한개의 양자화점 에 대하여 사전확률분포에 비례하는 확률을 가지도록 확률질량함수(probability mass function)로 근사한다. 이때, $i$번째 양자화점의 양자화 확률은 다음 식과 같다.

여기서 $c$는 확률질량함수의 합이 1이 되게 하는 정규화 상수이다.

양자화 기반 측정치 갱신은 사전확률분포 양자화점 각각에 대하여 측정치 갱신을 수행하여 양자화된 사후확률분포를 구하고, 이 양자화 사후확률분포에 대한 평균과 분산을 구하여 최종적인 사후확률분포를 구하는 과정으로 수행된다. 측정치 갱신을 수행하기 위하여 양자화점 각각에 대하여 식 (11)과 (13)을 이용하여 다음과 같이 우도함수를 구한다.

식 (17)의 우도함수를 이용하여 베이즈 법칙(Bayesian rule)을 적용하면, $i$번째 양자화점 에 대하여 측정치 갱신을 수행한 양자화 사후 확률질량함수의 확률은 다음과 같이 계산된다.

여기서 $c_{1}$은 정규화상수이다. 식 (18)을 이용하여 상태변수의 사후 추정치와 오차공분산을 다음과 같이 구할 수 있다.

이 방법은 추정치의 확률밀도함수와 측정치의 우도함수를 직접적으로 활용한 근사적 필터링 방법이므로, 충분히 촘촘하게 고도 추정치 분포를 양자화 근사한다면 상당한 정확도로 최적 필터 성능을 얻을 수 있을 것이 기대되는 반면에 상당한 계산량이 필요할 것으로 예상된다.

두 번째 방법은 그림 4의 확률분포에 기반하여 측정치가 가질 수 있는 편향오차 를 계산하고, 칼만필터 측정치 갱신시 이를 보상하는 방법이다. 칼만필터 사전추정치에 의하여 현재 고도의 확률분포가 주어지므로, 이를 이용하면 측정치 편향오차 는 식 (13)의 확률분포로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 $p(v_{k}^{u})$는 분산이 $R_{k}^{u}$인 영평균 정규분포 확률밀도함수이다. 칼만필터가 충분히 수렴하여 사전추정치의 오차공분산이 충분히 감소하여 확률밀도함수가 실제고도 주변으로 형성된다면, 식 (20)의 외부에 있는 사전추정치에 대한 기댓값 계산을 생략하여 다음과 같이 측정치 편향오차의 근사값을 구할 수 있다.

식 (21)의 편향오차 추정치의 계산은 수치적분을 통하여 구할 수 있으나 매 시각 수치 적분을 수행하는 것은 비효율적이므로, 표준화된 정규 확률밀도함수(standard normal probability density function)에 대하여 편향오차 추정치를 구하고, 이를 다항식으로 근사한 표준편향오차 근사함수를 구하여 이를 활용한 편향오차 추정치를 구하는 것이 현실적이다. 자세히 설명하면, 식 (22)의 수치적분 결과를 다항식으로 근사하여 표준편향오차 근사함수 $\hat{B}^{st}\left(h^{st}\right)$를 구하고, 식(23)의 표준화 관계식을 이용하여 식 (21)을 계산하는 것이 실제적인 적용 방법 중 하나가 될 수 있다.

여기서 $c_{h^{st}} = 1 -\int_{-\infty}^{-h^{st}}\dfrac{1}{2\pi}e^{-\dfrac{1}{2}x^{2}}dx$이며, 표준화 변수와의 관계식은 다음과 같다.

이와 같이 구한 측정치 편향오차는 다음과 같이 칼만필터 측정치 갱신식을 수정 적용하여 보상한다.

위의 식에서 $K_{k}$는 칼만이득이다.

세 번째 방법은 좀 더 보수적인 방향에서 측정치 편향오차를 추정하는 방법이다. 식 (11)을 이용하여 고도 $h$인 경우의 측정치의 평균을 근사하면 다음과 같다.

이 결과를 이용하면, 측정치 편향오차 추정치를 얻을 수 있다.

식 (26)에서 $c_{h}$도 식 (22)의 경우와 마찬가지로 표준화된 정규 확률밀도함수를 이용하여 계산할 수 있다. 측정치 편향오차의 보상은 식 (22)와 같은 방법으로 수행한다.

식 (27)의 적분을 근사하는 부분을 살펴볼 때, 이 방법은 근사를 통하여 얻어지는 고도측정치의 평균이 항상 원래 고도보다 크게 나타나며, 표준화된 고도가 높을수록 정확한 편향오차 추정치를 제공한다.