2.1 히스테리시스 형상 모델링
히스테리시스 전동기 구조는 돌극이 없는 링 모양의 회전자, 일반적인 구조의 고정자로 구분된다. 본 논문의 해석에 사용된 전동기 형상은 그림 1과 같다. 히스테리시스 전동기의 회전자는 반경질 재료로 구성된다. 반경질 재료는 일반적인 경질 자성 재료에 비해 낮은 보자력을 갖고, 철심과 같은
연질 자성 재료 보다 높은 보자력을 갖는 재료이다. 이 재료의 자화 상태는 히스테리시스 오퍼레이터의 분포 함수 또는 에버렡 함수로 추정할 수 있다.
(1)은 분포 함수를 이용한 자화 계산식이다.
그림 1. 해석에 사용된 히스테리시스 전동기 구조
Fig. 1. Hysteresis motor structure
여기서 $\rho(\alpha , \beta)$는 오퍼레이터의 분포 함수, $\gamma_{\alpha\beta}$는 밀도 함수, $H(t)$는 인가
자계를 나타낸다 [7]. 그림 2는 히스테리시스 기본 오퍼레이터의 구조를 보여준다.
그림 2. 기본 히스테리시스 오퍼레이터
Fig. 2. Basic hysteresis operator
그림 2와 (1)은 히스테리시스 전동기 회전자의 자화 상태를 나타내는 요소들이다. (1)의 표현은 오퍼레이터의 분포 함수로 표현되며 자기이력 현상이 표현 가능하다. 이 값은 시료에서의 측정을 통해 구할 수 있다. 분포 함수 $\rho(\alpha
, \beta)$는 시료에서 측정되는 값으로 시료에 의해 결정되는 값이다. 인가 자계 $H(t)$는 입력 전원에 따라 결정되는 값이다. 즉, 착자
패턴은 회전자 형상과 큰 연관이 없음을 알 수 있다.
그림 3. 회전 자계와 회전자 사이의 속도 차이
Fig. 3. Velocity differential between rotating field and
히스테리시스 전동기 회전자 링에는 동기 속도에 진입하기 전의 회전자와 회전 자계 사이의 속도 차이로 인한 교번 히스테리시스가 발생된다 [6]. 교번 히스테리시스는 자속 밀도와 자계로 구성된 루프 형태를 보이며 동기 속도 진입 이후 회전 자계와 회전자의 속도가 동기된 후 일정한 값을 갖게
된다.
인가 전류에 의한 영향을 받는 $H(t)$가 아닌 통상적인 입력인 전압에 영향을 받는 $B(t)$에 따른 변화는 역프라이자흐 모델을 통해 계산할 수
있다. 삼각함수로 표현되는 회전 자계의 자속 밀도 또한 정현파의 형상을 가지고 있으며 이로 인해 회전자는 정현파로 착자될 것이다. 즉, 히스테리시스
전동기의 회전자의 착자는 재료와 인가 자계에는 영향을 받지만, 형상에는 영향을 받지 않음을 알 수 있다. 이는 영구 자석으로 근사해 표현되는 동기
속도 진입 이후에도 회전자의 착자 패턴이 형상에 따라 달라지지 않음을 의미한다. 본 논문에서는 이러한 개념을 적용하여 히스테리시스 전동기의 회전자
형상에 따른 리플 특성을 분석한다.
2.2 회전자 형상에 따른 공간 고조파 분석
회전자 형상에 따른 공간 고조파 분석을 위해 동기 전동기의 고정자와 회전자 형상에 따른 공간 고조파가 정의된다. 고정자와 회전자가 모두 매끄러운 코어
형태의 형상에서는 공간 고조파는 이론적으로 0에 수렴된다. 그 이유는 릴럭턴스의 변화가 공간에 따라 존재하지 않기 때문이다.
그림 4. 매끄러운 단면을 갖는 고정자와 회전자
Fig. 4. Stator and rotor with smooth cross-sections
그림 4와 같은 형상에서는 공극의 자속 밀도는 자석의 자속 밀도에 비례한 값을 갖는다 [8].
(2)에서 자석이 제공하는 자속 밀도인 $B_{m}$이 정현파라면 공극 자속 밀도 또한 정현파의 형상이다. 하지만 폐 슬롯의 구조가 아닌 슬롯을 가지고
있는 전동기는 공간에 따라 다른 릴럭턴스 성분을 포함한다. 이는 그림 5와 같다.
그림 5. 슬롯을 포함한 고정자 형상
Fig. 5. Slotted stator geometry
고정자 슬롯을 포함한 형상에서 공극 자속 밀도 $B_{t}(\theta_{m})$는 자석이 제공하는 자속 밀도 $B(\theta_{m})$와 슬롯의
고조파 항 $S(\theta_{m})$의 곱으로 표현할 수 있다 [8]-
[9].
(3)은 기계각으로 표현된 공간상에서의 자속 밀도의 주기성과 슬롯 배열의 기하학적 간섭으로 발생하는 공간 고조파를 보여주는 수식이며 $B_{n}$은 고조파
차수별 자속밀도의 진폭이며, $k_{m}$은 슬롯 계수, $N_{s}$는 슬롯 수, $\phi_{m}$은 슬롯 위상 각, $\theta$는 공간상에서의
각도, $m$은 자연수이다. 본 논문에서 사용된 4극 24슬롯의 정수 슬롯 구조에서는 적용이 명확하나, 분수 슬롯 구조에서는 부분권선 등의 요소가
고려되어야 하므로 추가적인 검토가 필요하다. (3)의 연산에는 프린징과 누설이 고려되지 않는다. 이에 따라 중첩의 원리를 적용해 노치로 인해 발생하는 고조파 성분을 계산할 수 있다. 노치에 의한 고조파
성분을 $N(\theta_{M})$으로 둔다면 고정자 노치를 포함한 공간 고조파는 (4)로 표현 가능하다. 24슬롯 구조에서 각 슬롯에 노치를 추가했을 때의 수식 표현은 (5)와 같다.
(4)에 (5)를 대입해 얻을 수 있는 주파수 성분은 (3)으로부터 도출된 고조파의 주파수 성분과 동일하다. 이러한 개념으로 인해 슬롯에 노치를 추가하는 것으로 공간 고조파 성분을 제거할 수 있다. 본 논문에서는
위의 접근법을 회전자 형상에 적용하는 방법이 제안된다.
회전자에 노치와 같은 홈을 추가할 때 영향을 받는 항은 (3)의 좌 항인 $B(\theta_{M})$이다. 히스테리시스 전동기의 회전자는 자속을 제공하는 계자이며 이 형상에 홈이 생겨 릴럭턴스의 변화가 생긴다면
$B(\theta_{M})$의 변화가 발생한다. 그림 6은 홈이 추가된 회전자 형상을 보여준다.
그림 6. 홈이 추가된 회전자 형상
Fig. 6. Rotor geometry with additional grooves
이에 따라 그림 6 형상에서 (3)은 (6)으로 표현된다.
여기서 $R(\theta_{M})$은 회전자 노치에 의해 발생하는 공간 고조파이다. 본 논문에서 회전자에 노치를 추가하는 이유는 슬롯에 의해 발생하는
공간 고조파를 상쇄하기 위함이다. 이 목적을 위해 $R(\theta_{M})$의 값의 이상적인 값을 계산할 수 있다.
(7)은 이상적인 수치로 실제로 구현하기 매우 어려운 값 이다. 이를 해결하기 위해 단순화시킨 $R(\theta_{M})$을 계산하는 방법이 제안된다.
계산의 선형성 만족 및 예시를 위해 (3)에 상수를 대입한 계산이 수행된다. 설정된 $N_{s}$는 24, $m$은 1이다. 또한 기계각 표현으로 $B(\theta_{M})$을 완벽한 정현파인
$B_{2}\cos(2\theta_{M}+\phi_{2})$로 표현한다. 회전자 노치에 의해 발생하는 고조파 성분을 분석하기 위해 (6)을 정리해 (8)을 유도한다. (8)에 계산을 위해 설정된 파라미터 들을 넣어 계산하면 (9)가 된다.
(9)는 요구되는 $R(\theta_{M})$을 포함한 계산 결과이다. 이는 테일러 급수 등을 이용하여 수식적으로 계산할 수 있으나, 회전자 노치에 의해
발생하는 공간 고조파 성분은 극 수와 슬롯 수의 합과 차에 의해 유발되며, 회전자에 해당 차수만큼 노치를 배치하면 이 성분을 상쇄할 수 있음이 확인된다.
즉, 슬롯 공간 고조파 제거를 위해 요구되는 주파수 성분이 기계각 4극 24슬롯 형상에서는 22, 26 고조파 성분임을 알 수 있다. 즉, 24 슬롯
전동기의 슬롯 고조파 제거를 위해서는 회전자에 22 또는 26개의 슬롯을 추가하는 것이 요구된다. 고정자 노치와 달리 슬롯 수에 비례한 노치는 슬롯
고조파와 다른 주파수 성분의 고조파를 발생시키기 때문에 오히려 토크 리플을 증가시킬 수 있다. (6)에서 $R(\theta_{M})$을 $k_{1}\cos(24\theta_{M}+\phi)$로 설정한다면 오히려 24 고조파 성분, 48 고조파 성분,
DC 성분이 추가됨을 알 수 있다. 이는 회전자가 제공하는 자속이 릴럭턴스의 변화로 표현되고 공간 고조파를 형성하는 데 더해지는 형태로 계산됨을 의미한다.
만약 그림 6과 같이 회전자에 슬롯이 없다면 이는 릴럭턴스 성분의 변화로 표현 가능하고 그 표현은 (10)과 같다.
여기서 $H_{s}$는 회전자 노치 수, $\phi_{h}$는 회전자 노치 위상 각을 의미한다. 고정자 슬롯과 회전자 노치가 같이 있을 때 표현은
(11)과 같다.
본 논문의 연구 내용은 회전자 노치의 수를 결정하는 것으로 제한된다. 따라서 각 계수의 산출 방법에 관한 내용은 추후 연구될 예정이다. (11)을 통해 슬롯 수에 따른 공간 고조파 성분 제거를 위해 요구되는 회전자 노치 수를 결정할 수 있다. 본 논문에서는 이를 더욱 확장해 회전자 노치에
따른 출력의 변화 또한 분석된다. 히스테리시스 전동기는 회전자 체적 및 부하각에 따라 그 출력이 변경된다. 히스테리시스 전동기의 토크 방정식은 (12)과 같다 [10].
여기서 $V_{r}$은 회전자 체적, $S_{H}$는 히스테리시스 루프 면적, $\delta$는 부하각이다. 회전자 노치가 추가된다면 $V_{r}$은
작아지지만, 회전자 전체에 대해 노치가 차지하는 부분은 극히 일부이기에 그 영향은 적을 것으로 예상된다. 최종적으로, 토크에 큰 영향을 주는 것은
부하각을 포함한 회전자 히스테리시스 루프 면적일 것이다. 본 논문에서는 이를 확인하기 위해 회전자 노치 유무에 따른 토크 출력이 비교된다.