2.1 유한요소 지배방정식

시스에 유도되는 전압은 크게 전기장에 의한 요인과 자기장에 의한 요인으로 구분할 수 있다. AC 정상상태의 전기장, 자기장 해석을 위해 복소변수를 도입하여 지배방정식을 구성하였다.

(1) 교류 전기장 기여 성분

케이블 시스템의 유전율과 전도성을 지닌 전계분포를 해석하기 위해 식 (1)과 같이 전류 연속 방정식을 구성하였다. 이를 미지수 V에 대해 정리하면 지배방정식은 식 (2)와 같고 복소변수인 식 (3)을 도입하여 최종적으로 AC 정상 상태의 유한요소 지배방정식을 식 (4)와 같이 도출할 수 있다.

여기서 $\rho$는 체적전하밀도, $\vec{J}$는 전류밀도, $\varepsilon$는 유전율, $\sigma$는 도전율,$V$는 전위, $\phi$는 위상각, $\omega$는 각주파수이다.

(2) 교류 자기장 기여 성분

자기유도에 의해 유도되는 전압은 도체에 흐르는 교류 전류가 시간 변화 자기장을 만들고, 이로 인해 시스 및 클리트에 유도전류가 유도되는 현상으로 설명된다. 식 (5)는 암페어 법칙으로 패러데이 전자기 유도 법칙에 의해 도전성 매질에 유도된 전류와 부하에 의해 케이블에 흐르는 전류를 소스원으로 포함한다. 이때 식 (6)과 같이 시변장의 전계 $\vec{E}$는 최종적으로 복수 변수 $\widetilde{A}$를 도입하여 와전류 지배방정식은 식 (7)과 같이 표현된다. 식 (8)은 복소유도전류의 표현식이다.

여기서 $\vec{H}$는 자기장 세기, $\vec{J_{e}}$는 유도 전류밀도, $\mu$는 투자율이다.

그림 1은 자기장 성분에 의한 시스 전압을 해석하기 위한 모델로 트레포일 배열로 배치된 단심 3상 케이블로 구성하였다. 케이블 각 상의 길이는 접속부 수가 과도하지 않고 허용 시스 전압 범위 내에서 설계가 가능한 500 m로 선정하였다. 케이블은 도체, 절연체, 시스로 구성되며 주변은 공기로 가정하고 해석을 진행하였다. 케이블에 사용된 변수는 [표 1]에 나타내었다. 해석 모델의 부하 전류는 국내 주요 제조사 사양서에 명시된 허용전류 범위(약 600~700 A)를 반영하여 700 A의 실효값과 위상차가 $120^{\circ}$인 교류 전류가 각 케이블에 인가되었다. 해석 결과 자기장 성분에 의해 시스에 유도된 전압의 크기는 19.3 V로 나타났다.

그림 1. 3상 케이블 자기장해석모델

Fig. 1. Magnetic field analysis model of a three-phase power cable

2.2 케이블의 시스 전압 근사식

시스에 형성되는 유도전압의 수치해석의 타당성을 검증하기 위하여, 단순화된 해석적 모델을 도입하였다. 트레포일 배열에서 시스에 형성되는 전기장은 식 (9)-식 (11)로 표현된다 ^[8]. 해당 식에서 케이블의 길이를 곱하여 전압을 구하였다.

여기서 $I$는 도체의 실효값 전류, $S$는 도체간 거리, $d$는 시스의 기하 평균 직경을 의미한다. 이는 상호 인덕턴스 기반의 전계 유도 현상을 단순화하여 나타낸 것으로, 시스 전압의 자기장 기여 성분을 평가하는 기준점으로 활용할 수 있다.

전압 근사식을 통해 구한 시스 유도전압의 크기는 약 17.5 V이며, 유한요소법을 이용한 수치해석 결과는 약 19.3 V로 계산되었다. 두 방식의 상대오차는 약 10% 오차를 보였으며, 위상이 포함된 각 상의 시스 전압은 [표 2]와 같다. 해당 오차는 근사식의 단순화 가정과 달리, 시스의 두께와 전자기적 왜곡 효과를 반영한 결과로, 물리적으로 타당한 차이로 판단된다.

3.1 부유도체 전압 형성 메커니즘

부유도체에 형성되는 전압은 두 가지 메커니즘으로 발생한다. 첫째, 케이블 도체에 흐르는 교류 전류가 만드는 시간 변화 자기장에 의해 부유도체에 유도전기장이 유도되지만, 시스가 차폐 역할을 하기 때문에 그 크기가 극히 미소하다. 즉, 자기장 기여만으로는 부유도체에 유의미한 전압이 형성되지 않는다. 둘째, 시스 전압을 소스로 교류 전기장 해석을 통해 부유도체에 전압을 유도한다. 즉, 그림 2와 같이 시스 유도전압은 교류 전·자기장 성분의 합으로 구성되며, 두 번째 메커니즘이 부유도체 유도전압이 지대한 영향을 미친다.

그림 2. 부유도체 전압 해석 메커니즘

Fig. 2. Analysis mechanism of floating conductor voltage

3.2 해석 모델

지중 케이블 전력 시스템은 그림 3과 같이 Cross-bonding 방식을 적용한다. 이는 시스 전류로 인한 손실을 최소화하고 시스 전압을 제어하기 위해 사용되는 접지 방식으로 케이블 성능과 작업자 안전을 확보하는데 중요한 역할을 한다. 본 시뮬레이션에서는 우선 Cross-bonding 방식을 적용하여 교류 전기장 및 자기장에 의한 전자기 해석을 진행하였다. 이후 부유도체인 클리트에 대해 전압을 계산하고자 하였다.

그림 3. 3상 케이블 시스의 Cross-bonding system

Fig. 3. Cross-bonding system of a three-phase cable sheath

(1) 교류 전기장 기여 성분

전기장에서 부유도체에 유도되는 전압 기준은 시스 전압이므로 시스에 유도되는 전압을 먼저 구해야한다. 이를 위해 그림 4와 같은 2차원 축대칭 모델을 각 상의 시스의 위상을 고려하여 구성하였다. 여기서 Cross-bonding 방식을 모사하기 위해 시스층을 제외하고 나머지 재료들을 절연처리 하여 해석을 진행하였다. 해석 결과 시스에 유도되는 전압은 그림 5와같이 B상에서 최대 전압인 0.055 V로 매우 미소한 수준임을 확인할 수 있었다.

그림 4. 3상 전기장 해석 모델

Fig. 4. Electric field analysis model of a three-phase cable

그림 5. 전기장에 성분에 의한 시스 유도전압 분포

Fig. 5. Distribution of sheath induced voltage due to electric field components

(2) 교류 자기장 기여 성분

그림 6 (a)는 교류 자기장 해석에 사용한 모델을 3차원 형상으로 나타낸 그림으로, 실제 해석은 (b)의 2차원 모델로 해석을 진행하였다. 2차원 모델은 그림 1과 동일한 조건에서 크기 $160\times 110\times 50$ [mm]의 알루미늄 도체, 케이블을 감싸는 1 mm 두께의 고무, 결합 시 생길 수 있는 1 mm의 공극을 추가하여 해석을 진행하였다. 그림 6 (c)는 2차원 수치해석 요소망으로 Skin depth를 고려하여 최대 크기를 조정하여 해석에 반영하였다.

그림 6. 부유도체를 포함한 3상 자기장 해석 모델

Fig. 6. Magnetic field analysis model of a three-phase cable with a floating conductor

3.3 부유도체 유도전압 분포 해석 결과

부유도체 전압 형성은 두 가지 메커니즘으로 발생함에 따라 시스 최대 유도전압 시점을 기준으로 부유도체 유도전압 해석을 진행하였다. 자기장에 의한 시스 전압 성분인 19.3 V와 전기장에 의한 시스 전압 성분인 0.055 V의 합인 19.4 V를 소스로 설정하고, 시스에 인가하였다. 그림 7은 부유도체에 나타난 유도전압 분포이다. 해석 결과 위 상이 0도일 때 부유도체가 가질 수 있는 최대 유도전압이 16.9 V로 계산되었다. 정리한 결과를 [표 3]에 나타냈다.

그림 7. 부유도체 유도전압 분포 (위상각 : $0^{\circ}$)

Fig. 7. Induced voltage distribution of the floating conductor (phase angle: $0^{\circ}$)

3.4 부유도체 유도전류 분포 해석 결과

부유도체를 구성하는 재료는 제조 목적별로 달라질 수 있으므로, 추가적으로 재료에 따라 발생하는 유도전류을 분석하였다. 부유도체 재료는 알루미늄(AI), 주석 (Sn), 구리(Cu)로 총 3가지를 가정하였고 각 재료별 물성은 [표 4]에 나타냈다. 유도전류는 부유도체의 전기전도도에 직접적으로 의존하므로, 금속별 특성을 비교함으로써 유도전류 크기와 분포 및 그로 인한 손실 특성을 평가할 수 있다. 부유도체의 재질이 구리일 때 유도전류 분포는 그림 8과 같으며, 전기전도도가 높을수록 크기가 증가하는 양상을 보였다.

그림 8. 알루미늄 부유도체 유도전류 분포 (위상각 : $0^{\circ}$)

Fig. 8. Induced current distribution in the aluminum floating conductor (phase angle: $0^{\circ}$)