3.1 전류, C-rate 및 방전 깊이(DoD)

k번째 스텝에서 배터리에 흐르는 전류인 $I_{k}$(A), 정격 전류에 대한 전류의 비율인 C-rate, 시간당 증분 방전 깊이 변화량 ($\Delta DoD_{k}$, depth-of-discharge)은 다음과 같이 계산된다.

여기서 $P_{bess, k}$는 k 스텝에서의 BESS 유효전력, $\eta$는 변환 효율, $V_{nom}$은 정격 전압, $I_{nom}$은 정격 전류를 의미한다.

3.2 충전 상태(SoC) 갱신

SoC는 콜롬 카운팅(Coulomb-counting) 모델로 다음과 같이 갱신된다. 여기서 $\Delta t_{MPC}$(s)은 샘플링 시간이다.

이후 SoC는 [$SoC_{\min}$, $SoC_{\max}$]로 상·하한 제한을 적용한다.

3.3 열 거동

k번째와 k+1번째 스텝에서의 배터리 온도는 각각 $T_{k}$, $T_{k+1}$이며, 1차 집중(lumped) 열 모델로 표현된다.

여기서 식 (5)의 $a_{th}$는 열 시상수(thermal time constant) 의 역수에 해당하는 열적 파라미터이며, $\Phi$는 이를 이용하여 $\Delta t_{MPC}$동안의 온도 변화를 반영하는 이산 시간 상태 천이 계수이다. $m$은 배터리 질량(kg), $c_{p}$는 비열(J/kg·K) $hA$는 대류 열전달 계수(W/K), $T_{amb}$는 주변온도(K), $R_{int}$는 내부저항($\Omega$)을 의미한다.

3.4 아레니우스(Arrhenius) 기반 열화 상태

k번째와 k+1번째 배터리의 누적 열화 정도는 각각 $D_{k}$, $D_{k+1}$이며, 아레니우스 형식의 다음 모델로 추적한다.

여기서 $k_{0}$는 기준 속도 상수, $\alpha$는 C-rate에 대한 지수, $\epsilon$은 수치적 안정성을 위한 보정 상수이다. $E_{a}$는 활성화 에너지, $R_{gas}$는 기체 상수이다.

3.5 사이클 기반 열화 비용

온도, C-rate, DoD 보정 계수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 298.15는 절대온도(Kelvin) 단위의 상온 25$^{\circ}{C}$를 의미하며, 배터리 열화 모델링 기준 온도로 사용된다.

$f_{T}$, $f_{C}$, $f_{D}$는 각 스트레스 요인에 의한 수명 감소 가속 계수이며 다음과 같이 정의된다.

여기서 $10^{-9}, 10^{-6}$은 $C_{r, k}, \Delta DoD_{k}$가 0에 근접할 때 분모 발산을 방지하기 위한 수치적 하한으로 사용하였다. 이에 따른 등가 수명 $N_{eq}$와 kWh당 열화 비용 $c_{\deg}$는

로 계산된다. 여기서 $N_{ref}$는 표준조건(25$^{\circ}{C}$, 0.5 C-rate, 80% DoD)에서의 배터리 기준 수명(Cycle), $10^{-6}$은 수치적 하한, $C_{rep}^{USD/kWh}$은 단위 용량당 교체 비용, $FX$는 환율(USD→KRW)을 의미한다. 이렇게 얻은 $c_{\deg}$는 MPC 목적함수에서 직접적인 열화 비용 항으로 사용된다.

4.1 MPC 목적함수

제어기의 목적함수 J는 예측 지평 N 동안의 다목적 비용을 최소화하는 형태로 정의된다.

여기서 $J_{volt, k}$, $J_{\deg , k}$, $J_{price, k}$는 각각 k 스텝에서의 전압 조정비용, 배터리 열화 비용, 전력 차익 거래 비용(수익)을 의미한다.

4.2 제약조건

MPC 최적화 문제에서 상태벡터와 제어 입력은 각각

로 정의한다. 여기서 $D_{k}$는 열화 상태(degradation state), $T_{k}$는 배터리 온도이다. 초기 상태와 초기 충전 상태(SoC)는 다음과 같이 고정한다.

예측 지평 $k=0, \dots, N-1$ 에 대해, 상태방정식과 SoC 갱신식은 다음과 같은 등식 제약으로 주어진다.

여기서 $\eta$는 효율, $V_{nom}$은 정격 전압, $C_{nom, Ah}$는 정격 용량(Ah), $\Delta t_{MPC}$는 MPC 샘플링 시간이다.

배터리의 안전 운전을 보장하기 위해 SoC, 충·방전 전력, 온도, 열화 상태에 대해 다음과 같은 불평등 제약을 부과한다.

여기서 $SoC_{\min}, SoC_{\max}$는 각각 SoC 최소(20%), 최대(80%) 충전량, $P_{\max}$는 BESS의 충, 방전 시 정격 유효전력 한계, $T_{\min}$은 최소 허용 온도(본 연구에서는 298.15K, 25℃), $T_{\max}$는 열적 안전 한계를 나타낸다. $D_{\max}$는 열화 상태의 상한을 의미하며, 모델의 수치적 안정성과 물리적으로 비현실적인 상태를 방지하기 위해 도입된 값이다.

이와 같은 제약조건을 통해 MPC는 최적화 과정에서 배터리의 SoC, 온도, 열화 상태가 모든 시점에서 허용 범위 내에 유지되도록 하면서, 앞 절에서 정의한 전압·열화·가격 기반 목적함수를 동시에 최소화하도록 BESS 출력 궤적을 결정한다.

5.1 가중치 설정이 상이한 MPC 간 비교

이를 바탕으로 본 논문에서는 24시간 시나리오에 대해 네 가지 BESS 운전 전략을 비교한다.

Basic: 전압, 열화, 가격 세 목적에 대해 균형 설정한 기본 MPC.

Degradation: 열화 비용을 우선시하는 설정.

Voltage: 전압 조정을 우선시하는 설정.

Price: 가격 기반 차익 거래를 우선시하는 설정.

각 운전 전략은 J항들의 정규화된 가중치 $W_{volt}$, $W_{\deg}$, $W_{price}$에 대해 Basic 전략을 기준으로 $\pm 0.03$pu 내로 전압을 유지하면서 각각 열화, 전압, 가격을 우선시하여 MPC 로직이 동작하도록 설정하였다.

Fig. 4. Node-1 voltage comparison for four MPC configurations

그림 4에서 전압 중심 설정(Voltage)은 최대 전압, 최소 전압을 기준 전압과 제일 가깝게 유지하였으며 가격 중심 설정(Price)이 그 뒤를 따랐다. 나머지 설정들 또한 기준 전압의 ±3% 내로 전압을 유지하였다.

Fig. 5. BESS state-of-charge comparison for the four MPC configurations.

Fig. 6. Cumulative degradation comparison for the four MPC configurations.

Fig. 7. Total energy sales revenue from BESS discharge for the four MPC configurations

그림 5에서 열화 중심 설정(Degradation)은 SoC 변동 폭을 줄이고 높은 C-rate 구간을 억제함으로써 누적 열화를 최소화하는 반면, 가격 중심 설정은 높은·낮은 가격 구간을 적극 활용하기 위해 SoC 운영 범위를 넓게 사용한다.

그림 6에서 그림 5에 따른 각 운전 전략에 대한 누적 열화 변화가 나타난다. 열화 중심 설정이 가장 작은 열화 증가세를 보이며, 기본 설정(Basic)이 그 중간 수준, 전압 중심 및 가격 중심 설정은 유사한 수준의 누적 열화를 나타낸다.

에너지 판매 수익은 그림 7에 요약되어 있다. 해당 판매 수익은 시간대별SMP $\times$ BESS방전출력으로 계산되었으며 열화로 인한 배터리 교체 비용 등은 고려되지 않은 총 매출이다. 가격 중심 설정은 BESS 방전을 통해 가장 높은 수익을 달성하며, 그 다음으로 기본 설정과 전압 중심 설정이 뒤를 잇는다. 반면 열화 중심 설정은 수익이 가장 낮게 나타난다.

5.2 확장된 배전망에서의 예측 기반 MPC 성능 검증

5.1절의 기초 분석을 바탕으로, 본 절에서는 제안된 기법의 실제 적용 가능성을 평가하기 위해 시뮬레이션 환경을 확장하였다. 두 개 이상의 PV와 부하가 혼재된 시나리오는 단일 시스템 대비 예측 오차의 분산이 크고 제어 난이도가 높다.

Fig. 8. Single-line diagram of the 380-V low-voltage distribution network with an integrated PV–BESS unit.

이러한 복잡한 환경에서의 성능 검증을 위해 그림 8과 같이 PV와 부하를 각각 두 개(PV1·PV2, Load1·Load2)로 확장된 연결망을 구성하고 확장 계통에서는 말단부(50번 노드)에서 전압 변동 및 전압 제약 위반 가능성이 가장 크게 나타나므로, 해당 노드를 관측/제어 타깃 노드로 설정하였다. 이를 통해 분산전원 출력 변동에 따른 전압 영향과 BESS 유효전력 제어의 전압 개선 효과를 동일 지점에서 일관되게 평가하였다.

먼저 CYME에서 각 부하(또는 PV)만 개별적으로 연결한 상태로 시나리오를 돌려, 50번 노드 전압과 유효전력 사이의 관계를 최소자승법으로 근사함으로써 고정 전압 민감도(dV/dP)를 산정하였다. 이렇게 얻은 민감도는 horizon 동안의 전압 변동을 예측하는 데 사용되며, 이를 통해 계산된 전압 예측값은 MPC 로직의 전압 제어 비용 항에 반영된다.

Fig. 9. Proposed forecast-based MPC operation block diagram interacting with CYME.

예측 기반 제어의 효과를 검증하기 위해, 예측을 사용하지 않는 경우(prediction off)와 PV·부하 예측을 사용하는 경우(prediction on)를 비교하였다. 예측이 없는 경우에는 각 시점의 PV·부하 값을 예측 구간 전체에 그대로 복제하여, 향후 출력이 현재와 동일하다고 가정한다. 반면 예측을 사용할 때는 horizon(N) = 4, 15, 20 (각각 약 1시간, 3.75시간, 5시간에 해당) 동안의 PV1·PV2·부하1·부하 2·SMP 예측과 앞서 구한 고정 전압 민감도를 이용해 향후 전압 변동을 계산하고, 이 구간 전체에 대한 BESS 출력 시퀀스를 한 번에 최적화한다.

Fig. 10. Comparison of Equivalent Full Cycles with and without prediction for horizon = 20.

Fig. 11. Comparison of voltage control with and without prediction for horizon = 20.

그림 10, 11은 horizon = 20(약 5시간 예측) 을 사용하는 경우의 결과를 보여준다. 예측을 사용하지 않을 때도 BESS가 과전압을 억제하여 노드 전압을 허용 범위 안에 유지하지만, PV 출력이 급격히 증가·감소하는 구간에서는 BESS 유효전력이 순간적으로 크게 튀었다가 다시 돌아오는 패턴이 나타난다. 이에 따라 노드 전압 역시 완만한 곡선이 아닌 삼각 파형과 유사하게 나타나게 된다.

그림 12에서 horizon = 15(약 3.75시간)에서 예측을 사용하는 경우, 전압 제어 곡선은 horizon = 20일 때만큼 매끄럽지는 않지만, 여전히 예측을 사용하지 않을 때에 비해 PV 피크 출력 구간이나 부하만 존재하는 구간에서 완만한 전압 변동과 출력 프로파일을 보여준다.

Fig. 12. Comparison of voltage control with and without prediction for horizon = 15.

Fig. 13. Comparison of voltage control for horizon = 10 and horizon = 20 with prediction enabled.

그림 13에서 예측을 사용하는 두 경우(horizon = 10과 20) 를 직접 비교하면, 예측 구간이 길수록 BESS를 통한 전압 제어가 훨씬 부드러워지고, 24시간 동안의 누적 등가 사이클도 소폭 감소하는 것을 확인할 수 있다. 즉, 더 나은 전압 품질을 유지하면서 배터리 사용률을 줄이는 방향으로 운전 패턴이 변화한다.

종합하면, 예측을 사용하지 않는 MPC는 현재 전압과 SMP만을 기준으로 반응하기 때문에 PV 급변 구간에서 BESS 출력이 튀고 왕복하는 경향이 있지만, PV·부하 예측을 포함한 MPC는 향후 변화를 미리 반영하여 충·방전을 분산시키므로 출력과 전압이 모두 더 매끄럽게 변하고 배터리 열화도 완만해진다. 이러한 성향은 예측 데이터의 양, 즉 예측 구간이 길어질수록 더욱 뚜렷하게 나타난다.