1. 서 론

현대 제어 시스템은 복잡성의 증가와 함께 고정밀도, 강인성 (robustness), 그리고 물리적 제약 조건의 준수라는 다면적인 요구사항에 직면해 있다. 특히 자율 주행 자동차, 로봇 매니퓰레이터, 정밀 공정 제어와 같은 응용 분야에서는 외부 외란 (external disturbance)과 모델 불확실성 (model uncertainty)이 존재하는 환경에서도 안정적인 제어 성능을 보장하는 것이 필수적이다. 슬라이딩 모드 제어 (Sliding Mode Control, SMC)는 비선형 제어 이론의 가장 대표적이고 강력한 기법 중 하나로, 지난 수십 년간 학계와 산업계에서 광범위하게 연구되어 왔다 ^{[1- 4]}. SMC의 핵심 원리는 시스템의 상태 (state)가 상태 공간 (state-space) 내에 미리 정의된 초평면 (hyperplane), 즉 슬라이딩 표면 (sliding surface)에 도달하도록 유도하고, 일단 도달한 후에는 시스템의 동역학이 오직 해당 표면의 기하학적 특성에 의해 결정되도록 구속하는 것이다 ^[1]. 이 제어 기법의 가장 큰 장점은 매칭된 불확실성 (matched uncertainty)에 대한 시스템의 불변성 (invariance)에 있다 ^[1]. 시스템이 슬라이딩 모드 (sliding mode)에 진입하여 표면 위를 미끄러지듯 이동하는 동안, 시스템은 제어 입력 채널로 들어오는 외부 외란이나 파라미터 변동에 영향을 받지 않고 설계자가 의도한 축약된 차원 동역학 (reduced-order dynamics)을 따르게 된다 ^[2]. 이러한 특성 덕분에 SMC는 정확한 모델링이 어렵거나 환경 변화가 심한 시스템 제어에 매우 효과적인 솔루션으로 자리 잡았다. 또한, 제어 법칙의 설계가 비교적 직관적이며, 시스템의 차수를 낮춰 해석할 수 있다는 점 또한 SMC가 널리 사용되는 이유이다.

전통적인 SMC가 가진 이론적 강인성에도 불구하고, 실제 응용 단계에서는 몇 가지 본질적인 문제점이 제기되어 왔다. 첫째는 채터링 (chattering) 현상이다. 이상적인 슬라이딩 모드는 무한히 빠른 스위칭 주파수를 요구하지만, 실제 하드웨어 (액추에이터, 센서, 마이크로프로세서)는 물리적 한계로 인해 유한한 스위칭 속도를 갖는다. 이로 인해 시스템 상태가 슬라이딩 표면에 완벽하게 고정되지 못하고 표면 주변을 고주파수로 진동하게 되는데, 이는 액추에이터의 마모를 가속화하고 제어 정밀도를 저하시키며 시스템에 원치 않는 고주파 동역학을 유기할 수 있다. 둘째, 도달 단계 (reaching phase)에서의 강인성 부재이다 ^[5]. 전통적인 SMC는 시스템 상태가 초기 위치에서 슬라이딩 표면에 도달하기까지 걸리는 시간, 즉 도달 단계 동안에는 슬라이딩 모드 특유의 불변성이 보장되지 않는다 ^[6]. 이 구간에서는 외부 외란에 민감하게 반응할 수 있으며, 이는 전체 시스템의 과도 응답 성능을 저하시키는 요인이 된다. 이를 해결하기 위해 적분 슬라이딩 모드 제어 (integral SMC) 등이 제안되었으나 ^{[5- 7]}, 이는 제어기 구조를 복잡하게 만들거나 오버슈트 (overshoot) 문제를 야기할 수 있다. 셋째, 제약 조건 (constraints) 처리의 어려움이다. 실제 산업 공정이나 자율 주행 차량과 같은 시스템에서는 입력 전압의 한계, 조향각의 물리적 범위, 안전을 위한 상태 변수의 제한 등 다양한 제약 조건이 존재한다. 전통적인 SMC 설계 방식은 이러한 제약 조건을 명시적으로 고려하기 어렵다. 제어 입력이 포화 (saturation)될 경우 슬라이딩 조건이 깨질 수 있으며, 이는 시스템의 안정성을 위협하는 치명적인 결과로 이어질 수 있다. 특히 입력 제약이 있는 상황에서 큰 초기 오차는 과도한 제어 입력을 유발하여 시스템 성능을 심각하게 저하시킨다.

앞서 언급한 도달 단계에서의 강인성 부재와 과도한 제어 입력 문제를 해결하기 위해 시변 슬라이딩 모드 (time-varying SMC, TV-SMC) 기법이 연구되었다 ^[8]. TV-SMC의 핵심 아이디어는 슬라이딩 표면을 고정된 (fixed) 평면으로 두지 않고, 초기 상태에서 시작하여 시간이 지남에 따라 목표 지점으로 이동하거나 회전하는 동적인 표면으로 설계하는 것이다. J. S. Kim 등은 자율 주행 차량의 차선 변경 제어를 위해 최적 시변 슬라이딩 모드 (optimal TV-SMC)를 제안하였다 ^[8]. 이 연구에서는 슬라이딩 표면의 기울기를 시간의 함수로 정의하여, 초기 상태가 이미 슬라이딩 표면 위에 있도록 설정함으로써 도달 단계를 제거하였다. 그러나 이 선행 연구는 두 가지 중요한 한계를 지니고 있었다. 첫째, 시스템의 제약 조건을 명시적으로 고려하지 못했다. 시뮬레이션 기반 탐색은 제약 조건을 위반하는 해를 수동으로 제거할 수는 있으나, 최적화 과정 자체에 제약 조건을 포함하여 해를 구하는 구조적 접근은 아니었다. 둘째, 임의의 초기 상태 (arbitrary initial state)에 대한 최적성을 보장하지 못했다. 최적화된 파라미터는 특정 초기 조건에 대해서만 유효했으며, 초기 상태가 달라지면 해당 파라미터는 더 이상 최적해 (optimal solution)가 아니었다.

최근 제어 이론 분야에서는 이러한 한계를 극복하기 위해 슬라이딩 모드 제어와 모델 예측 제어 (Model Predictive Control, MPC)를 융합하려는 시도가 활발히 이루어지고 있다 ^{[9- 10]}. 이를 슬라이딩 모드 예측 제어 (Sliding Mode Predictive Control, SMPC)라 부른다. SMPC 관련 최신 연구에서는 크게 두 가지 패러다임으로 분류할 수 있다. 1) Block-To-Block (BTB) 방식 ^{[11- 12]}: SMC와 MPC를 독립적인 블록으로 설계하여 결합하는 방식이다. 예를 들어, MPC가 생성한 최적 입력을 SMC가 추종하거나, MPC가 Nominal 제어 입력을 생성하고 SMC가 외란 보상을 담당하는 형태이다. M. Rubagotti 등은 적분 슬라이딩 모드 (integral sliding mode)를 사용하여 강인성을 확보하고 MPC를 통해 제약 조건을 처리하였다 ^[11]. 2) Integrated Block (IB) 방식 ^{[13- 14]}: SMC와 MPC를 하나의 통합된 최적화 문제로 융합하는 방식이다. 이 방식은 슬라이딩 변수 자체를 비용 함수 (cost function)에 포함시키거나, 슬라이딩 모드 도달 조건을 MPC의 종료 제약 조건 (terminal constraint)으로 설정하는 등의 형태로 나타난다. M. Rubagotti 등 이산 시간 시스템에서 MPC의 이동구간 (receding horizon) 구조를 활용하여 입력 및 상태 제약 조건을 만족하면서 슬라이딩 모드를 구현하는 연구를 수행하였다 ^{[13- 14]}. 이 연구는 슬라이딩 표면에 도달하는 과정을 최적화하거나, 제약 조건 하에서 불변 집합 (invariant set)을 유지하는 데 초점을 맞추고 있다. 그러나 기존 연구들의 대부분은 고정된 슬라이딩 표면을 가정하거나, 슬라이딩 표면 자체를 동적으로 최적화하여 설계하는 접근보다는 주어진 표면에 도달하는 제어 입력을 최적화하는 데 주력하는 경향이 있다.

본 논문은 선행 연구의 한계였던 제약 조건 처리 부재와 초기 상태 의존성 문제를 해결하기 위해, 제약 조건을 고려한 최적 시변 슬라이딩 모드 제어 (constrained optimal TV-SMC) 기법을 제안한다. 본 논문의 핵심 기여는 다음과 같다.

첫째, 이동구간 구조를 통한 시변 슬라이딩 표면의 실시간 최적 설계이다. 기존의 고정된 파라미터 탐색 방식에서 벗어나, MPC 구조와 비슷한 이동구간 프레임워크를 도입하여 매 샘플링 시간마다 현재 상태와 제약 조건을 고려한 최적의 슬라이딩 표면을 계산한다. 둘째, 명시적인 제약 조건의 통합이다. 제안하는 기법은 입력 크기, 입력 변화율, 그리고 상태 변수에 대한 제약 조건을 최적화 문제의 부등식 제약 조건으로 직접 고려한다. 이를 통해 물리적 한계를 위반하지 않으면서도 최적의 과도 응답 성능을 보장하는 시변 슬라이딩 궤적을 생성할 수 있다. 셋째, 임의의 초기 상태에 대한 강인한 최적성 확보이다. 선행 연구가 특정 초기 상태에 대해서만 최적화된 궤적을 제공했던 것과 달리, 본 논문은 임의의 초기 상태에서도 이동구간 최적화를 통해 실시간으로 최적의 슬라이딩 궤적을 갱신한다. 이는 시스템의 불확실성이나 초기 조건의 변동에도 불구하고 일관된 제어 성능을 유지하게 한다. 본 논문은 슬라이딩 모드 제어의 강인성과 모델 예측 제어의 최적화 및 제약 조건 처리 능력을, 시변 슬라이딩 표면의 최적 설계라는 새로운 관점에서 유기적으로 통합하였다는 점에서 기존 연구들과 차별화된다.

2. 차량 종 방향 모델

차량의 종방향 동역학은 엔진, 토크 컨버터, 트랜스미션, 타이어 등 복잡하고 다양한 시스템으로 구성되어 있다 ^[15]. 이러한 복잡한 시스템을 모두 비선형으로 모델링하는 것 보다, 본 논문에서는 아래 식과 같이 간단한 시간 지연 모델로 사용한다 ^[15].

여기서 $a$는 차량 center of gravity (c.g.)에서의 종 방향 가속도이고, $a_{des}$는 원하는 차량 종 방향 가속도이다. 종 방향 제어기에서는 $a_{des}$를 제어 입력으로 계산한다. $\tau$는 $a_{des}$값을 차량에 입력하였을 때, 실제로 차량의 종 방향 가속도 $a$가 발생하기까지의 걸린 시간이다. 즉 제어 입력 $a_{des}$를 입력하고 $\tau$ 시간 뒤 실제로 차량의 종 방향 가속도가 발생하는 것이다. (1)을 시간에 대한 방정식으로 변환한 뒤 상태 공간 방정식 (state-space equation)으로 표현 하면 아래 식과 같이 된다.

여기서 $x =\left[\begin{matrix}v & a\end{matrix}\right]^{T}$는 시스템의 상태이며, $v$는 차량 c.g.에서의 종 방향 속도이고, $u$는 제어 입력이며 (1)에서의 $a_{des}$와 같다. 차량 종 방향 모델 (2)를 zero-order hold (ZOH) 방법을 통해 이산화 하면, 아래 식과 같이 이산 시간 모델 (discrete-time model)을 얻을 수 있다.

여기서 $\Phi\in R^{2\times 2}, \gamma\in R^{2\times 1}$이다. 본 논문에서는 (3)을 이용하여 제어기를 설계한다.

3. 이산 시간 슬라이딩 모드 제어

4. 이동구간에서의 최적 시변 슬라이딩 표면

최적의 시변 슬라이딩 $S(k)=\left[\begin{matrix}\nu(k)& 1\end{matrix}\right]$을 계산하기 위해, 먼저 시간 확장 구조를 고려한다. 아래 식은 특정 미래 시간까지 확장한 제어 입력을 나타낸다.

여기서 $\overline{G}\in R^{N\times 2N}$이고, $N$은 미래 시간과 관련된 파라미터이며 높게 값을 설정할수록 먼 미래 시간까지 고려할 수 있다. 시스템의 상태도 시간 확장 구조를 통해 미래 특정 시간까지 표현한다면 아래 식과 같다.

여기서 $\psi\in R^{2N\times 2}$, 그리고 $Y\in R^{2N\times N}$이다. 입력에 대한 변화 $\Delta u(k)=u(k)-u(k-1)$도 시간 확장 구조에서 고려한다.

목표하고자 하는 슬라이딩 표면을 통해 계산된 제어 게인은 아래와 같다.

(14)를 이용하여 최종적으로 목표하는 제어 입력은 (15)와 같다.

이동구간 구조를 통해 최적화를 계산하기 위한 목표 함수 (objective function)는 아래와 같이 설정하였다.

(16)에서 각각 파라미터는 아래와 같다.

또한, 제약 조건을 설정하기 위해 제어 입력에 대한 제약, 제어 변화에 대한 제약, 그리고 시스템 상태에 대한 제약을 아래와 같이 설정하였다.

(17)에서 각 파라미터는 아래와 같다.

최종적으로 제약 조건이 있는 최적화 문제는 다음과 같이 표현된다.

여기서 $p(k)=\left[\begin{matrix}u(k-1)\\x(k)\end{matrix}\right]$ 이다. (18)을 통해 계산된 제어 입력은 제약 조건을 고려한 최적 시변 슬라이딩 제어의 결과라고 볼 수 있다.

5. 시뮬레이션 결과

제안한 알고리즘을 검증하기 위해 MATLAB/Simulink를 이용하였다. 플랜트와 제어기의 샘플 시간은 10ms로 설정하였고, 차량의 초기 상태는 $x_{0}=\left[\begin{matrix}15 & 0\end{matrix}\right]^{T}$로 설정하였다. 시스템의 각 상태의 단위는 각각 m/s, $m/s^{2}$이다. 성능 비교를 위해 선행 연구의 선형 시변 슬라이딩 모드 (Linear TV-SMC) 기법을 대조군으로 사용하였다. 최적화 문제인 (18)을 계산하기 위해 MATLAB의 quadprog 함수를 사용하였다.

그림 1은 시스템의 첫 번째 상태 변수인 차량 속도 $x_{1}$의 응답 특성을 보여준다. 목표 차량 속도에 대해 기존의 선형 기법 (linear)은 제안한 최적 기법 (optimal)보다 빠르게 목표 속도에 도달하는 것처럼 보이지만, 이는 차량의 물리적 제약 조건을 무시한 결과이다. 반면 제안한 최적 기법은 시스템에 부과된 제약 조건을 모두 준수하면서 안정적으로 목표 속도에 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

그림 1. 첫 번째 시스템 상태: $x_{1}$ (차량 속도)

Fig. 1. The first system state: $x_{1}$ (Vehicle Speed)

그림 2는 두 번째 상태 변수인 차량 가속도 $x_{2}$의 궤적을 나타낸다. 본 시뮬레이션에서는 적절한 승차감을 고려하기 위해 가속도에 대한 상태 제약 (state constraint)을 1.5 $m/s^{2}$으로 설정하였다 ^[17]. 기존 선형 기법은 과도 구간에서 가속도가 2.0 $m/s^{2}$까지 치솟으며 제약 조건을 크게 위반하는 반면, 제안한 기법은 가속도가 제약 경계인 1.5 $m/s^{2}$에 도달하면 이를 초과하지 않도록 슬라이딩 표면을 실시간으로 최적화하여 제약 조건을 준수하는 것을 확인할 수 있다.

그림 2. 두 번째 시스템 상태: $x_{2}$ (차량 가속도)

Fig. 2. The second system state: $x_{2}$ (Vehicle Accel.)

그림 3과 그림 4는 각각 제어 입력 $u$와 제어 입력 변화율 $\Delta u$의 결과를 보여준다. 그림 4의 확대된 영역을 보면, 기존 방법은 초기 제어 시작 시점에서 입력 변화율이 제약 범위를 크게 벗어나는 급격한 변화를 보인다. 이는 실제 구동기에 무리를 줄 수 있는 결과이다. 그러나 제안한 알고리즘은 QP (quadratic programming) 프레임워크를 통해 매 순간 입력 제약과 변화율 제약 내에서 최적 해를 도출하므로, 모든 입력이 허용 범위 내에서 부드럽게 생성된다.

그림 3. 제어 입력

Fig. 3. Control input

그림 4. 제어 입력 변화

Fig. 4. Control input rate

그림 5는 시변 슬라이딩 표면의 변화를 결정하는 파라미터 $\eta(k)$의 결과이다. 제안한 기법은 고정된 선형 규칙을 따르는 기존 방식과 달리, 이동구간 프레임워크를 통해 현재 상태와 제약 조건의 여유도를 고려하여 $\eta(k)$를 실시간으로 갱신한다. 이를 통해 제약 조건에 인접한 상황에서도 시스템의 안정성을 유지하며 최적의 슬라이딩 궤적을 형성할 수 있다.

그림 5. 시변 슬라이딩 표면 결과

Fig. 5. Result of time-varying sliding surface

그림 6은 슬라이딩 시퀀스인 $s(k)$의 변화를 나타낸다. 두 기법 모두 시변 슬라이딩 모드의 특성을 활용하여 초기 상태에서 $s(0)=0$을 만족함으로써 도달 단계를 제거하였다. 하지만 기존 방법은 고정된 시변 규칙에 따라 슬라이딩 표면이 변하는 반면, 제안한 방법은 매 샘플링 시점마다 제약 조건을 만족하는 최적의 슬라이딩 파라미터를 실시간으로 계산한다. 결과적으로 제안한 방법은 제약 조건 위배가 예상되는 지점에서 슬라이딩 표면의 기울기를 최적으로 보정하며 더욱 부드러운 수렴 특성을 보여준다.

그림 6. 슬라이딩 시퀀스: $s(k)$

Fig. 6. Sliding Sequence: $s(k)$

그림 7은 제어 입력 $u(k)$와 제어 입력 변화율 $\Delta u(k)$의 상호 관계를 보여주는 결과이다. 검은색 실선으로 표시된 직사각형 영역은 시스템의 물리적 한계를 나타내는 통합 제약 조건 범위를 의미한다. 시뮬레이션 결과, 기존의 선형 시변 슬라이딩 모드 (linear) 기법은 제어 시작 시점 및 과도 응답 구간에서 제약 조건을 크게 벗어나는 궤적을 그린다. 특히 제어 입력의 크기는 한계치 내에 있더라도 입력 변화율 $\Delta u(k)$가 허용 범위를 상회하며 직사각형 상단 밖으로 나가는 양상을 보이는데, 이는 실제 구동기의 응답 속도 한계를 초과하는 과도한 제어 명령이 인가되고 있음을 알 수 있다. 반면, 본 논문에서 제안한 최적 기법 (optimal)은 상태 궤적이 제약 조건의 경계에 도달하더라도 검은색 실선 내부를 벗어나지 않고 경계를 따라 이동하는 것을 확인할 수 있다. 이는 QP 최적화 과정에서 $u(k)$와 $\Delta u(k)$에 대한 제약 조건을 부등식 제약으로 명시적으로 포함했기 때문에 가능한 결과이다. 결과적으로 제안한 기법은 입력의 크기뿐만 아니라 변화율까지 동시에 고려하여, 구동기에 무리를 주지 않으면서도 최적의 슬라이딩 궤적을 유지하는 제어 능력을 볼 수 있다.

그림 7. 제약 조건: 제어입력 - 제어 입력 변화

Fig. 7. Constraint: Control input - control input rate

그림 8은 상태 변수 $x_{2}$의 궤적과 설정된 상태 제약 조건 (state constraint)을 보여준다. 기존의 Linear 방식은 제어 과정에서 상태 변수의 제약 조건을 고려하지 않기 때문에, 과도 상태에서 설정된 제약 조건을 초과하는 결과를 볼 수 있다. 반면, 제안한 기법인 빨간색 선은 MPC 프레임워크 내에서 상태 제약을 명시적으로 고려하여 제약 조건 경계 부근에서 궤적을 능동적으로 조절하여 제약 조건을 위반하지 않고 안정적으로 목표치에 수렴함을 확인할 수 있다.

그림 8. 제약 조건: 제어 입력 - 차량 가속도

Fig. 8. Constraint: Control input - vehicle accel.

표 1은 그림 7과 그림 8의 정량적 분석 결과이다. 제안한 알고리즘은 주어진 제약조건을 위반한 횟수가 없고, 선형 기법의 경우 제어 입력 변화에 대해 2번의 제약 위반, 차량 가속도에 대해 659번의 제약 위반이 발생하였다.

5. 결 론

본 논문에서는 이동구간 접근법을 기반으로 시스템의 물리적 제약 조건을 명시적으로 고려할 수 있는 새로운 최적 시변 슬라이딩 모드 제어기법을 제안하였다. 기존 슬라이딩 모드 제어의 고질적인 문제였던 도달 단계에서의 강인성 부재와 제약 조건 처리의 어려움을 해결하기 위해, 시변 슬라이딩 평면의 설계 문제를 MPC 프레임워크 내의 이차 계획법 문제로 구조화하였다. 차량 종방향 제어 시스템을 대상으로 수행한 MATLAB/Simulink 시뮬레이션 결과, 제안된 기법은 도달 단계를 최소화하고 제어 시작 시점부터 강인성을 확보하였다. 또한, 제어 입력의 크기와 변화율뿐만 아니라 차량의 가속도와 같은 상태 변수에 부과된 제약 조건을 엄격히 준수하였다. 본 논문에서 제안한 알고리즘은 SMC의 강인함과 MPC의 최적화 능력을 유기적으로 통합하여, 복잡한 제약 조건이 존재하는 자율주행 차량 제어 환경에서 안전성과 성능을 동시에 보장할 수 있는 유효한 해법임을 확인하였다.