1. 서 론

해저케이블은 육상 전력망, 해상풍력, 도서 지역 전력 공급 및 국가 간 전력 연계에 사용되는 핵심 전력 설비이다. 해저케이블은 설치 이후 접근 및 보수가 어렵고, 고장 발생 시 정전, 복구 비용 증가, 장시간 운전 중단 등의 문제가 발생할 수 있다. 따라서 안정적인 운용을 위해서는 케이블 내부의 임피던스 불연속, 접속부 이상, 절연 열화 및 고장 위치를 비파괴적으로 진단할 수 있는 계측 기반 진단 기술이 필요하다^[1].

케이블 진단을 위한 대표적인 계측 기법으로는 시간 영역 반사파계측법(time domain reflectometry, TDR), 주파수 영역 반사파계측법(frequency domain reflectometry, FDR), 계단 주파수 파형 반사파계측법(stepped-frequency waveform reflectometry, SFWR), 시간-주파수 영역 반사파계측법(time-frequency domain reflectometry, TFDR) 등이 있다. TDR은 반사 신호의 도달 시간을 이용해 고장 위치를 직관적으로 검출할 수 있으며, FDR 및 SFWR은 주파수 영역 응답을 이용해 케이블의 주파수 의존적 특성과 반사 특성을 분석하는 데 유리하다^{[2, 3]}. 반면 TFDR은 가우시안 포락선 선형 첩(Gaussian enveloped linear chirp, GELC) 신호를 이용하여 시간 및 주파수 정보를 동시에 반영하므로, 약한 반사 신호 검출에 효과적으로 활용될 수 있다^{[4, 5]}.

TFDR에서는 일반적으로 취득 신호를 위그너-빌 분포(Wigner-Ville distribution, WVD)로 변환한 뒤, 인가 신호의 WVD와 시간-주파수 상호상관(time-frequency cross correlation, TFCC)을 수행하여 반사 신호의 위치 및 유사도 계수를 계산한다 ^{[4- 8]}. 그러나 실제 계측 신호는 실수 신호로 취득되므로, 기존 방법에서는 힐베르트 변환을 이용하여 해석신호를 구성한 뒤 이를 복소 신호로 사용한다. 이때 GELC 신호는 시간에 따라 주파수가 변하는 비정상 AM-FM 신호이므로, 유한 길이 FFT, DFT bin 불일치, 스펙트럼 누설 및 베드로시안 조건의 근사적 만족 여부에 따라 이상적인 복소 신호 표현과 차이가 발생할 수 있다. 이러한 복소화 오차는 WVD 표현 왜곡 및 TFCC 기반 검출 성능 저하로 이어질 수 있다^{[9- 11]}.

이에 본 논문에서는 단일 실수 신호에 힐베르트 변환을 적용하는 방식이 아니라, 서로 다른 초기 위상으로 취득된 다중 실수 응답을 이용하여 복소 신호를 직접 추정하는 위상 스윕 기반 복소 신호 추정 방법을 적용한다. 제안 방법은 각 시간 샘플에서 위상 스윕 응답을 코사인 및 사인 기저의 선형 결합으로 모델링하고, 최소제곱법을 통해 복소 응답의 실수부와 허수부를 추정한다. 이를 통해 힐베르트 변환 기반 복소화 오차를 줄이고, WVD 및 TFCC 기반 신호 검출 성능을 향상시키고자 한다.

2. 이론적 배경

3. 위상 스윕 기반 최소제곱법 신호 복소화

본 연구에서는 단일 실수 신호로부터 사후적으로 허수 성분을 추정하는 것이 아니라, 계측 단계에서 서로 다른 초기 위상으로 취득된 다중 실수 응답을 이용하여 복소 응답을 직접 추정하는 방법을 사용한다. 신호의 복소화를 위해 최소한 필요한 것은 동일한 물리 응답에 대해 서로 직교하는 두 성분인 실수 및 허수성분 이다. 이상적인 경우에 어떤 복소 응답 $q(t)$를 다음과 같이 둘 경우 다음과 같이 표현된다.

$c(t), s(t)$를 모두 알 경우, 신호의 진폭 및 위상은 다음과 같이 계산 가능하다.

따라서 신호 복소화의 본질은 $c(t), s(t)$를 안정적으로 추정하는 문제로 볼 수 있다. 이때 $q(t)$에 대해 초기 위상 $\theta_m$이 부여된 m 번째 실수 응답은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $\epsilon_m(t)$은 계측 잡음 및 위상 스윕 과정 간 오차이다. $q(t)$표현을 사용하여 대입 시 각 위상에서의 실수 응답은 코사인 및 사인 항의 선형 결합으로 표현된다.

여기서 $b(t)$는 DC 바이어스 항을 의미한다. 따라서 위상 스윕을 통해 취득한 여러 개의 실수 응답은 각 시간에서 복소 응답의 실수부와 허수부에 대한 관측 모델을 형성한다. 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

여기서 관측 벡터는 서로 다른 위상에서 취득한 실수 응답들로 구성되며, 미지수 벡터는 복소 응답의 실수부와 허수부, 그리고 DC 바이어스 항으로 구성된다. 또한 계수 행렬은 각 인가 위상의 코사인 및 사인 성분으로 구성된다. 위상 개수가 3개 이상이고 계수 행렬이 full 열 랭크를 가지면, 각 시간에서 복소 응답의 실수부 및 허수부는 최소제곱법 (least squares, LS)를 통해 추정할 수 있다.

이를 통해 추정된 실수부와 허수부를 결합하면 위상 스윕 기반 복소 응답을 구성할 수 있다.

이 과정은 각 시간 샘플에서 독립적으로 수행될 수 있으므로, 이산 시간 계측 신호에도 동일하게 적용된다. 샘플링 된 위상 스윕 응답을 사용하면, 각 샘플에서 복소 응답의 실수부와 허수부를 최소제곱법으로 추정하고 이를 결합하여 이산 시간 복소 신호를 구성할 수 있다. 이산 시간에서의 위상 스윕 기반 신호 복소화는 다음과 같이 표현된다.

위상 샘플이 특정 작은 범위에 집중될 경우 및 샘플 개수 M이 적은 경우 계수 행렬의 조건수가 증가하여 사인 성분 추정이 불안정해질 수 있다. 그림 1에서 M 및 평균 위상 간격 $\Delta\theta$에 따른 예시 예상 오차 및 조건수를 나타낸다. 그림 1(a-d)는 M 및 $\Delta\theta$이 증가할 때 전반적으로 감소하는 경향성을 보이지만, 조건수의 경우 일괄적으로 감소하는 것이 아닌, 리플이 생긴다. 이는 $2\pi$의 위상 범위에 대해 위상 간격의 대칭성이 확보되는가 아닌가에 따른 현상이며, 이를 고려하여 M이 커지더라도 등간격 위상을 확보하도록 하는 것이 중요한 것을 알 수 있다. 따라서 등간격 위상 스윕에서는 위상 샘플 수 M이 증가하더라도 복소화 안정성이 단조롭게 개선되지는 않는다. 이는 위상 샘플들이 원형 위상 공간에서 등간격으로 배치되므로 특정 위상 스윕 조건에서는 코사인 및 사인 기저가 대칭적으로 분포하지만, 다른 조건에서는 위상들이 국소적으로 동일한 축에 집중되는 현상이 반복적으로 발생하기 때문이다. 위상 스윕 기반 복소화에서는 위상 샘플이 가능한 넓은 위상 범위에 분포하도록 구성하거나, 실제 취득 위상에 대한 계수 행렬의 조건수를 확인하여 추정 안정성을 평가할 필요가 있다.

추가적으로, 이러한 위상 분포의 균형성은 다음과 같이 평가할 수 있다.

위상 집중도 $\rho$가 0에 가까울수록 위상 기저 행렬의 조건수는 1에 가까워진다. 반대로 이 점수가 1에 가까우면 기저 행렬은 랭크 부족 또는 ill-conditioned 상태에 가까워져 복소 응답 추정 오차가 증가할 수 있다. 즉, $\rho$가 큰 조건에서 추정 안정성이 제한 될 수 있다. 따라서 위상 스윕 기준을 등간격으로 하되, 본 연구에서는 주어진 M에 대해 $\rho$또는 조건수가 작은 rad 단위 위상 간격을 선택함으로 위상 샘플이 원형 위상 공간에서 quasi-uniform 하게 분포하도록 구성한다.

4. 실험 설정

이 절에서는 위상 스윕 기반 신호 복소화 알고리즘 성능을 평가하기 위한 실험 설정을 제공한다. 그림 2와 같이 신호는 함수 발생기를 통해 인가되며 T 커넥터를 통해 대상 계측 케이블 및 디지털 오실로스코프에 신호를 분배하고, 디지털 오실로스코프는 신호를 취득하게 된다. 대상 계측 케이블은 다음과 같이 세 구간 (TR-XLPE, XLPE, TR-XLPE)으로 구성되며, 구간 사이는 공장 접속함으로 연결된다. 신호는 임피던스 불연속점에서 반사되므로, 신호 반사 후보 위치는 공장 접속함 및 케이블 종단으로 둘 수 있다. 따라서 공장 접속함의 위치인 50 m 부근, 160 m 부근 그리고 종단의 위치인 210 m 부근에서 신호가 검출되는지, 그리고 얼마나 검출되는지를 확인하는 것을 목적으로 한다.인가 신호는 GELC 신호이며, GELC 신호 파라미터는 대상 계측 케이블의 전파 특성을 고려하여 경험적으로 케이블 종단점에서의 TFCC가 최대한 높게 나오는 값을 채택하였으며, CF = 11.5 MHz, BW = 18 MHz TD = 400 ns 로 설정하였다. 이에 따라 TB는 약 0.6283으로 도출되었다. 가우시안 백색잡음을 가정하면, 최소제곱법 추정량의 오차 공분산은 위상 스윕 설계행렬의 조건에 의해 결정된다. 위상 샘플이 단위원 상에 균일하게 분포할수록 설계행렬의 조건수가 작아지고, 동상 및 직교 성분의 추정 분산이 감소한다. 본 실험에서는 현장에서의 계측 가능 시간이 제한됨과 가능한 많은 데이터를 통한 복소화 성능 및 계측기의 위상 추정 오차 등을 모의 및 고려하여 11개의 위상 스윕 개수 및 위상 스윕 범위는 0 [rad]~360 [rad]로 하였으며 한 스텝 당 36 [rad]로 설정하였다, 위상 분포 균형성 지표는 0.0096, 최소제곱법 설계 행렬의 조건수는 1.425, rank는 3으로 나타났다. 이는 취득된 위상 스윕 데이터가 이상적이지는 않지만, 복소 신호 복원에 상대적으로 적합한 준균일한 위상 분포를 가지며, 수치적으로 비교적 안정적인 최소제곱법 추정이 가능함을 의미한다. 그림 3에서 모의된 위상 분포를 나타낸다.

추가로, 위 방법론으로부터 만들어진 복소 신호와 힐베르트 변환 기반 신호와의 WVD 및 TFCC에서의 경향성을 확인하여 방법론을 통한 복소 신호 표현의 누설 성분 감소 및 검출 유사도 향상을 확인하고자 한다. WVD에서는 신호의 주파수 특성 대역폭 밖의 에너지 누설 비율을 평가하고자 한다. TFCC에서는 신호 검출 후보 위치 부근에서의 유사도 계수가 증폭되었는지, 신호가 존재하지 않는 위치에서 줄어들었는지를 확인한다.

5. 실험 결과 분석 및 논의

그림 4는 취득 신호를 기반으로 각 시단, 공장접속함, 종단에서의 힐베르트 변환 기반의/위상 스윕 기반의 복소 신호에 대한 WVD 분석 결과를 나타낸다. 그림 4(a,b)에서 인가 신호의 주파수 대역 및 끝 대역 (거울 성분 대역)을 제외한 대역에서의 각 방법론의 WVD 변환 결과를 확인할 수 있다. 에너지 비율은 전체 취득 신호의 WVD 변환 결과에서의 최대치로 나눔에 따른 각 픽셀의 에너지 비율을 의미한다. 확인된 그림 4(a-f)에서의 절대값 최대 에너지 비율은 각각 1.1033 %, 0.1666 %, 0.1156 %, 0.0356 %, 0.0055 %, 0.0016 % 이다. 따라서 방법론 기반 복소 신호의 WVD에서 힐베르트 변환 기반 복소 신호의 WVD 비교 시, 샘플 간 절대값 최대 에너지 누설 비율은 평균 4.4333 배 줄어들었다. TFCC는 두 WVD 분포의 곱을 시간-주파수 평면에서 적분하는 구조이므로, 대역 외 누설 성분이 인가 신호의 WVD와 겹칠 경우 유사도 계수에 직접적으로 반영될 수 있다. 따라서 TFCC에서 나타나는 실제 신호 검출 위치나 미검출 위치에서의 TFCC 변화를 확인할 수 있다. 그림 5는 힐베르트 변환 및 위상 스윕 기반의 TFCC 결과를 비교한다. 표 1에서 두 방법으로 부터의 복소 신호 기반의 TFCC 결과를 요약한다. 이 결과들로부터 WVD 표현에서 누설 성분이 억제되고, 분포 표현의 누설 성분 감소로 인한 기존 힐베르트 변환 기반의 TFCC에 비해 검출 유사도가 향상되었고, 종단의 경우에도 누설 성분이 TFCC 과정에 관여 했었음을 알 수 있다. 116 m 지점에서 유사도 계수가 검출되는 현상이 두 방법론 기반 TFCC에서 나타나지만, 이는 50 m 부근에서의 공장 접속함에 의한 다중 반사 신호가 원인으로 추정된다. 또한 제안 방법이 접속함에서의 검출 유사도를 향상 시켰지만, 힐베르트 기반 TFCC에 비해 위치 오차가 접속함 #2에서 미세하게 증가한 것을 확인하였다. 이는 제안 방법이 위치 추정 오차를 늘린 것이 아니라, 본 방법론에서는 TFCC 시에 케이블 전파에 의한 감쇠 및 분산을 고려하지 않았기 때문으로 여겨진다. 감쇠 및 분산에 대한 고려는 후속 연구에서 다룬다.

결과적으로 제안 방법에서 관찰되는 TFCC 유사도 향상은 단순 평균 효과만이 아니라, 위상 스윕 최소제곱법에 의한 잡음 분산 감소와 해석신호 품질 향상이 함께 반영된 결과로 해석할 수 있다.

6. 결 론

본 논문에서는 TFDR에서의 신호 검출 성능 향상을 위해 위상 스윕 기반 복소 신호 추정 방법을 적용하였다. 기존 힐베르트 변환 기반 해석신호는 GELC와 같은 비정상 AM-FM 신호에 대해 베드로시안 조건, 유한 길이 FFT 및 스펙트럼 누설 등의 영향을 받을 수 있으며, 이는 WVD 표현 왜곡 및 TFCC 유사도 저하로 이어질 수 있다. 이에 본 논문에서는 서로 다른 초기 위상으로 취득된 다중 실수 응답을 이용하여 각 시간 샘플에서 복소 응답의 실수부와 허수부를 최소제곱법으로 직접 추정하였다.

실험 결과, 제안한 위상 스윕 기반 복소 신호는 힐베르트 변환 기반 복소 신호에 비해 WVD 대역 외 에너지 누설을 평균 약 4.4333배 감소시켰다. 또한 TFCC 결과에서 첫 번째 공장 접속함의 유사도 계수는 0.4564에서 0.7632로, 두 번째 공장 접속함의 유사도 계수는 0.4260에서 0.6881로 증가하였다. 이를 통해 제안 방법이 상대적으로 약한 임피던스 불연속 지점의 검출 신뢰도를 향상시킬 수 있음을 확인하였다. 향후에는 실제 반사 위치 정보를 이용한 다중 반사 성분 구분 및 보정 알고리즘으로 확장할 예정이다.