2.1 전력 케이블의 전파 상수 기반 유효 손실 탄젠트

본 절에서는 반사파 계측법의 공통 추정 변수인 유효 손실 탄젠트를 정의한다. 전력 케이블에 고주파 신호가 인가되면 전압과 전류는 케이블 전체에서 동시에 형성되는 것이 아니라 유한한 속도로 전파된다. 따라서 케이블 길이에 따른 전파 지연과 감쇠는 집중 정수 소자만으로 표현되지 않기 때문에, 본 논문에서 전력 케이블은 단위 길이당 전기적 파라미터(RLCG)가 연속적으로 분포한 전송선으로 모델링된다.

케이블의 미소 구간에 대한 분포 정수 등가 모델은 단위 길이당 직렬 저항(R), 직렬 인덕턴스(L), 병렬 커패시턴스(C), 병렬 컨덕턴스(G)로 표현된다. 이때 복소 전파 상수는 다음과 같이 정의된다^[12].

여기서, $\alpha(\omega)$와 $\beta(\omega)$는 각각 단위 길이당 신호의 감쇠를 나타내는 감쇠 상수와 위상 변화를 나타내는 위상 상수이다. 전력 케이블을 따라 전파하는 신호는 도체의 저항성 손실과 절연체의 유전 손실에 의해 감쇠되며, 이러한 감쇠 특성은 전파 상수의 실수부인 감쇠 상수에 반영된다. 이 중 절연체의 유전 손실은 전기장에 의해 저장된 에너지의 일부가 열에너지로 소산되는 현상으로 복소 유전율로 표현되며, 복소 유전율은 다음과 같다 ^[12].

여기서 $\epsilon'(\omega)$는 절연체의 전기장 에너지 저장 특성을 나타내는 유전율의 실수부이고, $\epsilon''(\omega)$는 분극 지연 및 전도 현상에 의해 소산되는 에너지와 관련된 유전율의 허수부이다. 유전 손실은 다음과 같이 저장 성분에 대한 손실 성분의 비로 정의된다.

전력 케이블의 중심 도체와 금속 차폐층 사이에는 전위차에 의해 전기장이 형성되며, 이 전기장 에너지는 두 도체 사이의 절연체에 저장된다. 중심 도체의 반지름이 $a$, 금속 차폐층의 내측 반지름이 $b$인 동축 케이블 구조에서 절연체의 단위 길이당 커패시턴스는 다음과 같다.

케이블의 형상이 일정하면 커패시턴스는 유전율의 실수부에 비례하며, 식 (3)으로부터 복소 커패시턴스는 다음과 같이 도출된다.

복소 커패시턴스로 표현되는 병렬 어드미턴스와 RLCG 모델의 병렬 어드미턴스로부터 복소 커패시턴스와 컨덕턴스의 관계가 유도되며, 손실 탄젠트는 다음과 같이 병렬 커패시턴스와 병렬 컨덕턴스로 표현된다.

식 (6)은 절연체 고유의 손실 탄젠트를 나타낸다. 반면, 실제 케이블의 전파 상수에는 절연체의 유전 손실뿐만 아니라 중심 도체와 금속 차폐층에서 발생하는 저항성 손실도 반영된다. 이러한 전파 상수와 케이블의 분포 정수 사이의 관계를 확인하기 위해 식 (1)을 제곱하면 다음과 같다.

식 (7)의 실수부와 허수부를 각각 비교하면 다음의 관계를 얻을 수 있다.

이에 따라 본 연구에서는 전파 상수로부터 산출되는 $\hat{D}_{eff}$를 전파 상수 기반 유효 손실 탄젠트로 정의하며, RLCG 파라미터로 표현되는 유효 손실 탄젠트 $\tan\delta_{eff}$와의 관계를 다음과 같이 나타낸다.

여기서 $\tan\delta_{eff}(\omega)$는 병렬 컨덕턴스에 의한 유전 손실뿐만 아니라 직렬 저항에 의한 도체 손실도 포함되는 유효 손실 탄젠트이다. 도체의 저항성 손실을 무시할 수 있는 이상적인 경우, 식 (9)의 $\tan\delta_{eff}(\omega)$는 식 (6)의 절연체 고유 손실 탄젠트 $\tan\delta(\omega)$와 일치한다. 그러나 실제 케이블에서는 $R \neq 0$이므로, TFDR과 SFWR을 통해 추정되는 값은 유전 손실이 아닌 전파 상수 기반 유효 손실 탄젠트이다.

2.2 TFDR 기반 전파 상수 추정

TFDR에서는 기준 신호로 가우시안 포락선 선형 첩(Gaussian-enveloped linear chirp, GELC) 신호가 사용되며, 다음과 같이 정의된다 ^[7].

$\left( a = \frac{1}{2TD^2}, b = \sqrt{(2\pi FB^2)2a - a^2}, \omega_0 = 2\pi f_0 \right)$

여기서 $A_0$는 신호의 진폭, $t_0$는 중심 시간, $\omega_0$는 중심 각 주파수를 의미하며, $a$는 가우시안 포락선의 시간 폭, $b$는 첩 기울기를 결정하는 계수이다. $TD$와 $FB$는 각각 시간 폭과 주파수 대역폭을 의미한다. GELC 신호의 주파수 영역 표현은 다음과 같은 복소 가우시안 함수로 나타낼 수 있다.

여기서 $K_0$는 푸리에 변환 과정에서 결정되는 복소 상수이다. 케이블의 종단 또는 임피던스 불연속점이 인가 지점으로부터 거리 $l$에 존재하면, 기준 신호는 해당 지점까지 왕복 거리 $2l$을 전파하며, 이때 반사 신호는 다음과 같다.

여기서 $\Gamma(\omega)$는 반사 계수이다. 케이블의 전파 상수는 GELC 신호의 에너지가 집중된 중심 각 주파수 $\omega_0$ 부근에서 다음과 같이 2계 테일러 급수로 근사된다 ^[12].

여기서 $\Delta\omega$는 $\omega - \omega_0$이며, 각 계수는 다음과 같다.

GELC 신호의 주파수 대역에서 반사 계수의 변화가 충분히 작다고 가정하면, 반사 신호는 다음과 같이 $\Delta\omega$에 대한 2차 지수함수로 정리된다.

식 (15)의 역푸리에 변환도 복소 가우시안 형태를 유지하기 때문에, 시간 영역 반사 신호는 다음과 같이 표현된다.

여기서 $A_r$은 역푸리에 변환 과정에서 나타나는 복소 진폭 상수이다. 복소 계수 $A_t$, $B_t$, $C_t$는 기준 신호 파라미터와 전파 상수에 의해 결정된다. $A_t$의 실수부와 허수부는 각각 반사 신호의 시간 폭과 첩 기울기를, $B_t$의 실수부와 허수부는 각각 중심 시간과 중심 각 주파수를 결정한다. 반사 신호의 전체 진폭과 초기 위상은 $A_r$과 $C_t$에 의해 결정된다. 이와 같이 GELC 신호가 케이블을 전파한 후에도 복소 가우시안 형태를 유지한다는 특성을 이용하면, 기준 신호와 반사 신호의 중심 시간, 중심 각 주파수, 시간 폭 및 첩 기울기 변화를 통해 전파 상수를 추정할 수 있다 ^[13].

본 연구에서는 기준 신호와 반사 신호로부터 중심 시간, 중심 각 주파수, 시간 폭, 첩 기울기의 변화를 산출하며, 이를 1계 및 2계 전파 상수에 대한 연립방정식으로 구성하여 $\hat{a}_1$, $\hat{a}_2$, $\hat{\beta}_1$, $\hat{\beta}_2$가 추정된다. 추정된 계수로부터 분석 주파수 대역 내 감쇠 상수 $\hat{\alpha}(\omega)$와 위상 상수 $\hat{\beta}(\omega)$가 복원되며, 케이블의 $\hat{D}_{eff}$가 계산된다. 반면, $\hat{\alpha}_0$와 $\hat{\beta}_0$는 반사 계수와 결합되어 반사 신호의 진폭과 초기 위상에만 나타나므로, 별도의 진폭·위상 보정 없이 독립적으로 추정되기 어렵다. 따라서 $\hat{D}_{eff}$ 추정에 1계 및 2계 전파 상수만 사용되며, 다음 식과 같이 정의된다.

여기서 $\omega_r$, $t_r$, $\sigma_t'$, $\beta_r'$는 각각 반사 신호의 중심 각 주파수, 중심 시간, 시간 폭 파라미터, 첩 기울기를 나타내며, $\sigma_t' = TD_r / (6\sqrt{2})$로 정의된다.

2.3 SFWR 기반 전파 상수 추정

SFWR에서는 기준 신호로 사각 윈도우가 곱해진 단일 주파수 정현파를 사용한다 ^[8]. 정현파의 주파수는 일정한 간격으로 증가되며, 기준 신호는 다음과 같이 정의된다.

여기서 $A_0$와 $\tau$는 각각 신호의 진폭과 시간 폭을 의미한다. $\omega_i$와 $N$은 각각 신호의 각 주파수와 신호의 개수로, 각 주파수는 시작 각 주파수 $\omega_0$부터 $\omega_0 + (N-1)\Delta\omega$까지 일정한 간격으로 증가한다. $\Delta\omega$는 주파수 증가 간격을 의미한다. 반사 신호는 TFDR과 동일하게 기준 신호에 반사 계수와 케이블의 전파 상수로 구성된 전달 함수가 주파수 영역에서 곱해진 형태이다.

각 주파수 별로 취득된 신호로부터 선형 최소 제곱법(Linear least square, LLS)을 통해 신호의 크기 $\hat{A}(t, f_i)$와 위상 $\hat{\phi}(t, f_i)$가 추정된다 ^[14]. 추정된 기준 신호와 반사 신호의 크기 비율, 위상차로부터 케이블의 전파 상수가 추정되며, 다음과 같이 정의된다.

이러한 크기 비율과 위상차로부터 LLS를 통해 전파 상수가 추정된다 ^[15].

3.1 반사파 계측 시스템 및 케이블 모델링

본 연구에서는 반사파 계측 시뮬레이션 모델의 타당성을 확보하기 위해 실제 측정 데이터가 확보된 22.9 kV 배전용 XLPE 케이블을 사용하였다. 케이블의 중심 도체, 절연체 및 금속 차폐층의 치수와 재료 파라미터는 실제 케이블의 사양을 바탕으로 설정하였으며, 실제 케이블에서 취득된 반사 신호의 도달 시간과 감쇠 특성이 시뮬레이션 결과와 일치하도록 전송선 모델의 파라미터를 보정하였다 ^[16]. 보정에 사용된 실제 신호와 시뮬레이션 신호로부터 사용된 특징은 표 1, 케이블 모델의 파라미터는 표 2와 같다.

동축 케이블 모델 보정의 정량적 평가를 위해 시간 영역 반사파 계측법의 취득 신호 $r(t)$와 이 신호의 미분 $r'(t)$에서 네 가지 특징값을 추출하였다. 여기서 $V_{peak}$는 초기 과도응답의 첫 번째 첨두 전압, $t_1$은 $r'(t)$가 최솟값을 갖는 시점, $V_{sat}$은 초기 과도응답 이후의 첫 번째 포화 전압, $t_2$는 케이블 종단 반사에 대응하는 $r'(t)$의 두 번째 국부 최댓값 발생 시점이다. 실측값을 기준으로 계산한 각 파라미터의 상대오차는 표 1과 같다. 특히 케이블의 응답과 관련된 $V_{sat}$ 및 $t_2$의 평균 오차는 0.34 %로 나타났다. 또한, 반사 신호 도달시간의 차이는 2.25 ns로 상대오차는 0.13 %였으며, 실제 신호와 시뮬레이션 신호의 피어슨 상관 계수는 0.996으로 나타났다.

본 연구에서는 상대 유전율의 실수부 $\epsilon_r$과 유전 손실 $TanD$가 전파 상수 기반 유효 손실 탄젠트 $\hat{D}_{eff}$에 미치는 개별적인 영향을 분석하기 위해 $\epsilon_r$과 $TanD$를 한 번에 하나씩 선형적으로 증가시키고 나머지 변수는 일정하게 유지하였다. 이러한 변수별 파라미터 스윕은 두 유전 파라미터의 물리적 상관관계를 배제하기 위한 것이 아니라, 각 파라미터 변화가 TFDR 및 SFWR의 전파 상수 추정 결과에 미치는 영향을 분리하여 분석하기 위한 것이다.

ADS의 동축 전송선 모델에는 주파수 의존적인 유전율 특성을 고려하기 위해 Svensson/Djordjevic 모델이 적용되었으며, 이 모델의 복소 상대 유전율은 다음과 같이 주파수에 대한 함수로 표현된다 ^[17].

여기서 $\epsilon_\infty$는 주파수가 무한대로 증가할 때의 상대 유전율이며, $\alpha_d$는 복소 유전율의 주파수 분산 크기를 결정하는 상수이다. $f_H$와 $f_L$은 각각 유전 손실 모델의 고주파 및 저주파 경계 주파수로 본 논문에서는 각각 1 THz와 1 kHz로 설정되었다. $\epsilon_\infty$와 $\alpha_d$는 ADS 내에서 $\epsilon_r$, $TanD$, $f_H$, $f_L$을 바탕으로 설정된다.

케이블의 유효 손실 탄젠트를 추정하기 위한 주파수 분석 대역은 110 m 케이블의 주파수 의존 감쇠 특성과 신호의 분해능을 고려하여 2 MHz부터 10 MHz까지로 선택되었다. TFDR의 기준 신호는 중심 주파수 6 MHz, 주파수 대역폭 8 MHz, 시간 폭 720 ns로 설계되었으며, SFWR의 기준 신호는 시작 주파수 2 MHz, 주파수 증가 간격 0.5 MHz, 신호 개수 $N = 17$, 시간 폭 500 ns로 설계되었다.

3.2 시뮬레이션 결과 및 고찰

그림 1은 $\epsilon_r$을 2.4부터 0.1 간격으로 3.2까지 증가시키며 취득한 TFDR과 SFWR의 시간 영역 신호를 나타낸다. $\epsilon_r$이 증가함에 따라 종단 반사 신호의 도달 시간이 증가하고 최대 진폭이 감소하였다.

그림 2(a)는 $\epsilon_r$ 증가에 따라 TFDR과 SFWR로 추정된 유효 손실 탄젠트의 변화를 나타낸다. TFDR을 통해 추정된 유효 손실 탄젠트는 $\epsilon_r$이 증가함에 따라 지속적으로 감소하였으며, SFWR 추정값도 일부 구간에서 작은 변동이 나타났으나 전반적으로 감소하는 경향을 보였다. 그림 2(b)는 TFDR로 추정된 감쇠 상수와 위상 상수의 평균값을 $\epsilon_r = 2.4$에서의 값으로 정규화하여 상대 변화율로 나타낸 결과이다. $\epsilon_r$이 2.4에서 3.2로 증가할 때 감쇠 상수는 12.61%, 위상 상수는 15.16% 증가하였다. 유효 손실 탄젠트 식 (9)를 $r = \alpha/\beta$로 나타내면 추정 유효 손실 탄젠트 $\hat{D}_{eff}$는 $2r/(1-r^2)$이 된다. $\epsilon_r$ 증가에 따라 위상 상수가 감쇠 상수보다 상대적으로 크게 증가하였으며, $r$이 감소함에 따라 그림 2(a)의 추정 유효 손실 탄젠트도 감소한 것으로 분석된다.

그림 3은 $TanD$를 0.01부터 0.01 간격으로 0.09까지 증가시키며 취득한 시간 영역 신호이다. $TanD$가 증가함에 따라 종단 반사 신호의 최대 진폭이 감소하고 분산이 증가하였다.

그림 4는 $TanD$를 0.01에서 0.09까지 증가시켰을 때 TFDR과 SFWR로 추정된 유효 손실 탄젠트의 변화를 나타낸다. $TanD$가 증가함에 따라 절연체의 유전 손실에 의한 감쇠 성분이 증가하므로, 두 방법으로 추정된 유효 손실 탄젠트도 전반적으로 증가하였다. TFDR과 SFWR의 추정값은 전체 구간에서 유사한 변화 경향을 보였으며, 반사파 계측법을 통해 유전 손실 증가에 따른 전파 상수 기반 유효 손실 탄젠트의 변화를 추적할 수 있음을 확인하였다.

한편 추정된 유효 손실 탄젠트 $\hat{D}_{eff}$는 ADS에 입력된 $TanD$보다 크게 나타났다. 이는 $TanD$가 절연체 고유의 손실 탄젠트 $\tan\delta$를 설정하기 위한 파라미터인 반면, 반사 신호에서 추정된 감쇠 상수에는 절연체의 유전 손실 뿐만 아니라 중심 도체와 금속 차폐층의 저항성 손실도 포함되기 때문이다. 따라서 그림 4의 결과는 $TanD$의 직접적인 추정값이 아닌 도체 및 유전체 손실이 함께 반영된 전파 상수 기반 유효 손실 탄젠트 $\hat{D}_{eff}$로 해석되어야 한다. TFDR과 SFWR을 통해 추정된 $\hat{D}_{eff}$의 비교는 표 3과 같으며, 어느 한 방법도 참값으로 두지 않는 비교이므로 대칭 평균 상대오차로 차이를 계산하였다.