2.1 주파수 영역 반사파 계측법

반사파 계측법은 케이블에 기준 신호를 인가한 후, 케이블 내부의 임피던스 불연속 지점에서 발생하는 반사 신호를 분석하여 결함 위치를 추정하는 기법이다. 케이블은 단위 길이당 저항 $R$, 인덕턴스 $L$, 컨덕턴스 $G$, 캐패시턴스 $C$를 갖는 분포정수 전송선로로 표현할 수 있으며, 주파수 영역에서 전파 상수 $\gamma$와 특성 임피던스 $Z_c$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $\alpha$는 감쇠 상수, $\beta$는 위상 상수, $f$는 주파수를 의미한다.

케이블 내부 결함이나 종단 조건 변화로 인해 임피던스 불연속이 발생하면 입사 신호의 일부가 반사된다. 이때 반사 지점의 등가 임피던스를 $Z_L$이라고 하면 반사 계수 $\Gamma$는 다음과 같이 표현된다.

반사 계수의 크기와 극성은 반사 지점의 임피던스 조건에 따라 결정된다. 개방 종단에서는 양의 반사가 발생하고, 단락 또는 저임피던스 병렬 고장에서는 음의 반사가 발생한다. 따라서 반사 응답을 분석하면 케이블 내부의 임피던스 불연속 위치를 추정할 수 있다.

주파수 영역 반사파 계측법은 특정 주파수 대역의 정현파 신호를 순차적으로 케이블에 인가하고, 각 주파수에서의 반사 응답을 취득한 후 이를 거리 영역으로 변환하는 방식이다. $k$번째 주파수의 기준 신호 $s_k(t)$와 스윕 주파수 $f_k$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $A$는 기준 신호의 진폭, $f_0$는 시작 주파수, $\Delta f$는 주파수 간격, $N$은 전체 주파수 포인트 수이다. 주파수 영역 반사파 계측법에서는 스윕 대역폭과 주파수 간격이 거리 영역 응답에 영향을 미치므로, 대상 케이블의 길이와 감쇠 특성을 고려하여 주파수 범위와 간격을 설정해야 한다.

본 논문에서는 주파수 영역 반사파 계측법 중 하나인 혼합 신호 반사파 계측법을 사용하였다. MSR은 입사 신호와 반사 신호가 중첩된 계측 신호를 제곱하여 주파수별 DC 성분을 추출하고, 이를 거리 영역 응답으로 변환하는 기법이다. $k$번째 주파수에서 입력단에 계측되는 신호 $v_k(t)$는 입사 성분과 반사 성분의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $A_k$는 입사 성분의 크기, $B_k$는 반사 성분의 크기, $\phi_k$는 입사 신호와 반사 신호 사이의 위상차이다.

MSR에서는 식 (6)의 계측 신호를 제곱하여 $m_k(t)$를 얻으며, 이는 DC 성분과 $2f_k$ 리플 성분을 포함하는 시간 변화 성분으로 분리된다.

여기서 $m_k(t)$는 $k$번째 주파수에서 계측 신호를 제곱한 신호이며, $D_k$는 $k$번째 주파수에서의 DC 성분이다. $R_k(t)$는 $2f_k$ 리플 성분을 포함하는 시간 변화 성분이다.

$D_k$는 입사 신호와 반사 신호의 크기 및 위상차 정보를 포함하므로, 각 주파수에서 $D_k$를 추출하면 주파수 영역 반사 응답을 구성할 수 있다. 시간창 길이를 $T_w$라고 하면, $k$번째 주파수에서 추정된 DC 성분 $\hat{D}_k$는 평균 적분을 통해 계산된다.

여기서 $t_0$는 DC 성분 추정을 위한 시간창의 시작 시점이다.

모든 스윕 주파수에 대해 $\hat{D}_k$를 추출한 후 평균 제거와 창 함수 $w(k)$를 적용하고 FFT(Fast Fourier Transform)를 수행하면 거리 영역 응답 $P(n)$을 얻을 수 있다. FFT 결과의 $n$번째 지점에 해당하는 거리 $d_n$은 식 (11)과 같이 계산된다.

여기서 $v_p$는 케이블 내 전파속도, $N_{FFT}$는 FFT 포인트 수, $\Delta f$는 주파수 간격을 의미한다. 식 (11)에서 2로 나누는 이유는 반사파가 고장 지점까지 전파된 후 입력단으로 되돌아오는 왕복 경로를 갖기 때문이다. 따라서 거리 영역 응답 $P(n)$에서 나타나는 피크를 이용하여 고장점과 종단 위치를 추정할 수 있다.

2.2 적응형 윈도우 적분 기법

MSR에서 제곱 신호 $m_k(t)$에는 DC 성분과 함께 입력 주파수의 두 배에 해당하는 $2f_k$ 리플 성분이 포함된다. 따라서 시간창 평균 과정에서 리플 성분이 충분히 제거되지 않으면 $\hat{D}_k$에 오차가 발생하고, 이는 최종 거리 영역 응답의 위치 오차로 이어질 수 있다. 본 논문에서는 이러한 DC 성분 추정 오차를 줄이기 위해 적응형 윈도우 적분 기법을 적용하였다. 제곱 신호 $m_k(t)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 $A_{r,k}$는 $2f_k$ 리플 성분의 크기, $\theta_k$는 리플 성분의 위상이다. DC 성분의 추정값 $\hat{D}_k$는 식 (9)와 같이 계산된다.

고정형 윈도우 방식은 모든 주파수에서 동일한 시간창 길이 $T_{fix}$를 사용한다. 하지만 제곱 신호에 포함된 $2f_k$ 리플의 주기는 주파수에 따라 달라지며 고정형 윈도우 안에 포함되는 리플 주기 수는 주파수에 따라 달라진다.

식 (14)에서 볼 수 있듯이, 동일한 시간창을 적용하더라도 주파수가 변하면 시간창 내에 포함되는 $2f_k$ 리플 주기 수가 달라진다. 이때 시간창이 리플의 정수 주기를 포함하지 못하면 리플 성분이 완전히 평균되지 않고 $\hat{D}_k$에 잔류할 수 있다. 이러한 잔류 리플은 주파수별 DC 응답의 오차로 이어지며, 최종 거리 영역 응답에서 고장점 피크 위치의 오차를 증가시킬 수 있다.

본 논문에서는 이러한 문제를 줄이기 위해 각 주파수의 $2f_k$ 리플 주기에 따라 시간창 길이를 조절하는 적응형 윈도우 적분 기법을 적용하였다. 적응형 윈도우의 길이는 다음과 같이 정의된다.

여기서 $N_c$는 시간창에 포함되는 $2f_k$ 리플의 주기 수이다. 식 (15)에 따라 시간창을 설정하면 모든 주파수에서 동일한 개수의 리플 주기를 포함하도록 $\hat{D}_k$를 추정할 수 있다. 즉, 주파수에 따라 시간창 길이는 달라지지만, 평균 적분에 사용되는 리플 주기 수는 일정하게 유지된다.

적응형 윈도우 적분은 각 주파수 내부에서 시간축 $2f_k$ 리플 성분을 평균하는 과정이며, 고장 위치 정보가 포함된 주파수축 $\hat{D}_k$ 응답 자체를 평균하는 것은 아니다. 따라서 시간창이 정상상태 관측 구간 내에 설정되는 경우, 거리 정보는 유지하면서 $2f_k$ 리플에 의한 DC 추정 오차를 줄일 수 있다. 무잡음 조건에서는 $2f_k$ 리플을 정수 주기만큼 평균함으로써 리플 성분을 효과적으로 제거할 수 있으며, 잡음이 포함된 환경에서는 시간창에 포함되는 주기 수가 증가할수록 평균화 구간이 길어져 $\hat{D}_k$의 변동이 감소할 수 있다. 다만 주기 수 $N_c$가 증가하면 저주파수에서 시간창 길이가 길어지므로, $N_c$는 사용 가능한 정상상태 관측 시간과 측정 시간 증가를 고려하여 선정되어야 한다. 따라서 본 논문에서는 고정형 윈도우 방식과 적응형 윈도우 방식을 비교하고, 적응형 윈도우의 주기 수 $N_c$를 1, 2, 4, 8, 16, 32-cycle로 변화시켜 고장 위치 추정 성능을 분석하였다.

2.3 ADS 기반 해저케이블 모델링

본 논문에서는 800 $mm^2$ MI(Mass-Impregnated) 해저케이블을 대상으로 적응형 윈도우 적분 기법의 고장 위치 추정 성능을 분석하였다. 대상 케이블은 도체, 내부 반도전층, 절연체, 방식층, 금속 보강층, 강선외장 및 외부 방식층 등으로 구성된 다층 구조의 해저케이블이다. 그림 1은 MI 해저케이블 실증 환경과 대상 케이블의 단면 구조를 나타낸 것이다.

대상 케이블의 전기적 특성을 반영하기 위해 ADS 기반 등가 모델을 구성하였다. 고장 위치 추정은 주파수 영역 MSR 기반으로 수행하였으나, ADS 해저케이블 모델의 전파 지연 및 주요 반사 특성이 실제 케이블 응답과 유사한지 확인하기 위해 실측 TDR(Time-Domain Reflectometry) 응답을 모델 정합 기준으로 사용하였다. 그림 2는 실측 TDR 응답과 ADS 모델의 시뮬레이션 응답을 비교한 결과이다.

시뮬레이션 모델은 커넥터 등가회로와 총 길이 100 m의 해저 케이블로 구성하였다. 고장 조건을 모의하기 위해 입력단으로부터 70 m 지점에 50 $\Omega$ 병렬 고장을 삽입하였으며, 케이블 종단은 개방 조건으로 설정하였다. 따라서 거리 영역 응답에서는 70 m 부근의 고장점 반사와 100 m 부근의 개방 종단 반사가 나타나도록 구성하였다. 주파수 스윕은 450 kHz부터 13.5 MHz까지 수행하였으며, 주파수 간격은 225 kHz로 설정하였다. ADS transient 해석의 StopTime은 50 $\mu s$로 설정하였다. 본 논문에서 사용한 최저 주파수는 450 kHz이며, 최대 적응형 윈도우 조건인 32-cycle에서 필요한 시간창 길이는 약 35.56 $\mu s$이다. 따라서 시간창 시작 시점 $t_0$와 시간창 길이 $T_{w,k}$가 $t_0 + T_{w,k} \le 50 \mu s$를 만족하도록 설정하여, 모든 주파수 및 cycle 조건에서 DC 추정을 위한 시간창이 transient 해석 구간 내에 포함되도록 하였다. 각 주파수에서 입력단 전압 응답을 취득한 후 MSR 처리를 수행하였으며, 제곱 신호로부터 $\hat{D}_k$를 추출하기 위해 고정형 윈도우와 적응형 윈도우를 각각 적용하였다. 이후 주파수별 DC 응답에 평균 제거와 Hann window를 적용하여 FFT를 수행하여 거리 응답을 산출하였다.

2.4 고장 위치 추정 성능 분석