2.1 유도탄 동역학 모델

본 논문에서는 유도탄의 피치(Pitch) 평면 자세 제어기를 설계하기 위해, 롤(Roll)과 요(Yaw) 기동이 분리되어 있고 비행 속도가 일정하다고 가정하는 단주기(Short-Period) 근사 모델을 적용한다. 유도탄의 피치 운동 방정식은 받음각(Angle of Attack, $\alpha$)과 피치 각속도(Pitch Rate, $q$)를 상태 변수로 하여 아래와 같은 선형화된 미분방정식으로 표현할 수 있다.

그림 1. 피치 평면의 좌표계와 공력 힘 / 모멘트 정의

Fig. 1. Definition of the pitch-plane coordinate system and aerodynamic force / moment

여기서 $\delta_p$는 구동기의 피치 제어 편각이며, $Z_{\alpha}, Z_{\delta_p}$는 공기역학적 수직력(Normal Force)에 관한 유차원 미계수, $M_{\alpha}, M_q, M_{\delta_p}$는 피치 모멘트(Pitch Moment)에 관련된 공력 미계수를 의미한다. 자세 제어의 최종 목표인 피치 자세각(Pitch Angle, $\theta$)은 기구학적 관계에 의해 $\dot{\theta} = q$로 정의된다. 이를 종합하여 제어기 설계를 위한 선형 상태공간방정식(State-Space Equation)을 구성하면 식 (2)과 같다.

위 상태공간방정식을 라플라스 변환하여 구동기 입력 $\delta_p(s)$ 대비 피치 각속도 $q(s)$의 전달함수를 구하면, 아래 (3)식과 같은 2차 시스템 형태로 유도된다.

여기서 전달함수의 각 파라미터는 기체의 공력 미계수와 다음과 같은 관계를 가진다.

위 식에서 $\omega_{AF}$는 기체의 단주기 고유 주파수, $\zeta_{AF}$는 감쇠비를 나타낸다. 이 파라미터들은 유도탄의 비행 고도 및 마하수에 따라 변화하는 특성을 가진다. 최종적으로 제어 대상이 되는 피치 자세각 전달함수는 식(3)에 적분기를 곱한 형태로 식 (5)와 같이 정의되며, 본 논문에서는 이를 바탕으로 제어 루프를 구성한다.

2.2 구동기 동역학 모델

유도탄의 날개를 움직이는 구동기(Fin Actuator)는 조종 명령에 대해 즉각적인 응답을 가질 수 없으며, 모터와 기계적 구조의 한계로 고유한 동역학을 가진다. 본 논문에서는 구동기를 2차 전달함수로 모델링했으며, 그 식은 아래와 같다.

여기서 $\omega_a$는 구동기의 고유주파수, $\zeta_a$는 구동기의 감쇠비이다. 유도탄 제어기 설계 시 빠른 응답 속도가 요구될 경우 이득 교차 주파수가 구동기 고유 주파수 대역쪽으로 점점 근접하게 된다. 이에 따라 구동기 동역학에 의해 위상 지연이 증가하고 조종루프의 안정도 여유가 감소하여 오버슛을 초래할 수 있다. 본 논문에서는 기체 모델과 구동기 모델을 폐루프 시스템에 포함하여, 제안하는 피드포워드 영점 조절 기법이 안정도에 영향을 주지 않으면서 과도응답 성능을 개선할 수 있는지 분석한다.

3.1 3-루프 자세 제어기

고전적인 3-루프 오토파일럿은 가속도 제어를 위해 설계되었으나, 이를 자세각 제어루프에 적용할 경우 외부루프에 자세각($\theta$), 내부루프에 각속도($q$)를 궤환하여 구성한다. 전체 폐루프 전달함수를 구하면 일반적으로 아래 식(7)과 같은 형태로 정리된다.

식 (7)의 분모 계수 $a_n$와 이득 $K_{DC}$는 3-루프의 각 제어 이득들의 복잡한 대수적 결합으로 이루어진다. 이 구조의 장점은 이득 조절을 통해 폐루프 극점을 원하는 위치에 배치하여 강건한 안정도를 확보할 수 있다는 점이다.

그러나 과도응답을 조절하기 위해 제어 이득을 변경할 경우 식 (7)의 분모 계수 전체가 변화하여 시스템의 특성방정식이 달라진다 ^[2]. 즉, 응답 속도를 조절하기 위해 제어 이득을 변화시키면 안정도 여유도 바뀌어 강건성 저하로 연결될 수 있는 한계를 지닌다. 또한 제어 이득 변경을 통해 천이구간의 응답에 영향이 있는 영점을 조절하는 것은 제한적이다.

그림 2. 3-루프 자세 제어기 블록 다이어그램

Fig. 2. 3-Loop attitude controller block diagram

3.2 PI 기반 자세 제어기

외란 및 모델 불확실성이 존재하는 비행 환경에서 정상상태 오차를 완벽히 제거하기 위해 널리 쓰이는 구조로 외부 루프에 PI 제어기, 내부 루프에 각속도 제어기를 배치하는 형태이다. PI 기반 자세 제어기의 조종 명령식은 아래와 같다.

여기서 $K_q$는 기체의 부족한 감쇠비를 보상하기 위한 내부 각속도 루프의 제어 이득이며, $K_p$와 $K_i$는 외부 루프의 자세각 오차에 대한 비례, 적분 제어 이득이다. 이 구조는 응답 속도를 상승시키기 위해서 외부 루프의 비례, 적분 제어 이득을 증가시켜야 한다. 하지만 이득의 증가는 제어 루프의 이득 교차 주파수를 증가시켜 구동기의 고유 주파수 대역과 간섭을 일으키기 시작하여, 위상 지연이 커진다.

또한 명령이 급격히 변할 때 발생하는 오버슛 현상이다. PI 제어기가 수학적으로 만들어내는 영점은 미분기 역할을 하여 응답을 가속한다. 이로 인해 유도탄이 목표치보다 필요 이상으로 오버슛되는 현상이 발생된다.

PI 기반 자세 제어기의 폐루프 전달함수는 아래 식(9)와 같은 형태로 정리된다. 여기서 분자와 분모의 계수는 3-루프 구조와 마찬가지로 제어 이득들의 결합으로 구성된다. 해당 구조에서는 이득 조절로 영점 조절이 가능하지만 영점 조절을 위해 이득 변경 시 안정도 여유가 바뀌는 한계가 존재한다.

이러한 문제가 중첩되어 응답 속도를 높이려는 시도는 필연적으로 오버슛 상승과 강건성 저하로 이어지고 이를 막기 위해 이득을 낮추면 반응이 지연되어 원하는 요구 성능을 만족할 수 없다.

그림 3. PI 기반 자세 제어기 블록 다이어그램

Fig. 3. PI-based attitude controller block diagram

4.1 자세 제어기 구조

본 논문에서 제안하는 피드포워드 영점 조절을 활용한 자세 제어기의 구조는 Fig. 4와 같다. 기존 PI 기반 제어기에 독립적인 제어 이득 $K_c$를 도입하였고, 기준 명령에 $K_p(K_c - 1)$를 곱하여 조종 명령 출력단에 직접 더해주는 피드포워드 경로를 추가하였다. 이를 통해 과도응답 성능과 안정도 유지 성능을 분리했다.

그림 4. 제안하는 자세 제어기 블록 다이어그램

Fig. 4. Proposed attitude controller block diagram

4.2 폐루프 시스템 전달함수 유도

2장에서 도출한 2차 시스템의 플랜트 모델에 제안하는 제어기를 적용하여 폐루프 전달함수를 유도하면 아래 식과 같다.

여기서 분모 다항식의 계수는 다음과 같이 정의된다.

4.3 극점배치 기법을 이용한 제어 이득 유도

본 논문에서는 극점배치방식의 수학적 전개의 편의를 위해 기체 모델의 영점을 생략하여 분자를 상수로 단순화하여 폐루프 시스템의 특성방정식을 3차식으로 구성하여 극점배치 기법을 적용하였다.

설계자가 원하는 폐루프 시스템의 응답 특성을 달성하기 위해, 앞서 유도한 폐루프 특성방정식과 원하는 다항식의 계수를 비교하여 제어 이득 $K_p, K_i, K_q$를 결정한다. 목표 응답 특성의 고유 주파수, 감쇠비, 실수 극점을 각각 $\omega_n, \zeta, r$ 이라고 한다면 특성방정식은 다음과 같다.

식 (10)과 식 (11)의 영점을 무시하면 특성방정식은 3차식이 되고, 식 (12)와 특성방정식 계수를 비교하여 제어 이득을 산출하면 식 (13)과 같다.

4.4 안정도와 영점의 독립성 분석

본 절에서는 제안하는 제어기의 제어 이득 $K_c$가 시스템에 미치는 영향을 분석하고, 기존 제어기들과의 수학적 등가성을 증명한다.

5.1 시뮬레이션 조건

유도탄의 비행 조건 및 기체 특성은 Zarchan의 공력 데이터를 기반으로 구성했으며, 적용된 주요 파라미터는 Table 1과 같다^[1].

5.2 시간 응답 성능 분석

제안한 제어기의 성능을 비교하기 위해 3-루프 구조, PI 기반 제어기와 비교를 수행하였다. 모든 제어기는 동일한 폐루프 극점을 갖도록 설계하였다. Fig. 5는 세 가지 제어기에 대한 피치 자세각 계단 응답 반응을 보여주며, Table 2는 이에 대한 정량적인 성능 지표를 나타낸 것이다. 먼저 상승 시간 관점에서 분석하면, PI 기반 제어기가 0.1071초로 가장 빠른 응답 특성을 보인다. 이는 PI 제어기가 수학적으로 만들어내는 폐루프 영점이 미분기 역할을 수행하여 초기에 명령을 가속하기 때문이다. 반면 영점의 영향이 배제된 3-루프 제어기는 0.3099초의 가장 느린 상승 시간을 보여준다. 본 연구에서 제안한 $K_c$에 0.5를 설정한 제어기는 영점 위치를 조절하여 3-루프 제어기보다 약 36.2% 단축된 0.1978초의 준수한 상승 속도를 확보하였다. 오버슛과 정착 시간을 분석해보면 PI 기반 제어기는 빠른 상승 속도의 대가로 약 17.7%의 오버슛이 발생했고, 이로 인해 정착 시간이 0.4909초로 지연되었다. 3-루프 제어기는 오버슛을 약 0.7% 수준으로 억제하였으나, 느린 응답 속도로 정착 시간이 0.4042초로 지연되었다. 반면 제안하는 제어기는 오버슛을 약 1.3%로 억제하는 동시에 0.2599초 만에 목표 값에 안정적으로 수렴하는 결과를 보여준다. 이는 PI 기반 제어기 대비 약 47%, 3-루프 제어기 대비 약 35.7% 감소시킨 결과로, 영점 배치를 통해 과도응답 특성을 향상시킨 것을 의미한다. 또한 ITAE(시간 가중 오차 적분) 성능 지수도 제안한 제어기가 가장 좋은 성능 지수를 나타낸다. 한편, 시스템의 정상상태 성능 관점에서는 외부 루프에 포함된 적분기 효과로 인해 기존 제어기와 제안한 제어기 모두 계단 명령에 대해 정상상태 오차가 제거되는 것을 확인하였다.

Fig. 6에서는 계단 응답 결과의 구동기 날개 응답을 비교 분석하였다. 해석 결과, 초기 구동기 최대 피크는 PI 기반 제어기에서 가장 높게, 3-루프 제어기에서 가장 낮게 나타났으며, 제안하는 제어기는 그 중간 수준으로 도출되었다. 이러한 응답 특성은 각 제어기의 구조적 특징과 하드웨어 한계 활용도를 직관적으로 보여준다. PI 기반 제어기에서 관찰되는 과도한 구동기 피크는 비례 제어 요소가 유발하는 영점의 미분 효과에 기인하며, 이는 실제 유도탄 비행 시 구동기의 포화를 유발할 수 있다. 반면 3-루프 제어기는 피크치가 낮아 구동기의 포화 위험은 방지하지만, 제어 명령이 보수적으로 인가되어 구동기가 낼 수 있는 최대 대역폭을 충분히 활용하지 못하여 초기 상승 기동을 지연시킨다. 이에 비해 본 논문에서 제안한 제어기는 PI 기반 제어기의 포화 위험을 억제하는 동시에, 3-루프 제어기보다 구동기의 성능을 적극적으로 활용할 수 있는 특징을 보인다. 결론적으로 제안한 기법은 구동기가 견딜 수 있는 안전한 범위 내에서 신속한 과도 응답을 이끌어내어, 최적의 타협점을 달성할 수 있는 구조이다.

그림 5. 3가지 제어기에 대한 피치 자세각 계단 응답 비교

Fig. 5. Comparison of pitch angle step responses for the three controllers

그림 6. 3가지 제어기에 대한 구동기 응답 비교

Fig. 6. Comparison of actuator responses for the three controllers

5.3 설계 파라미터 변화에 따른 성능 분석

본 절에서는 제안하는 제어기의 설계 파라미터인 피드포워드 이득 $K_c$의 변화가 과도응답 특성에 미치는 영향을 분석하였다. 이를 위해 $K_c$ 값을 각각 0.25, 0.5, 0.75로 변경하여 계단 응답 시뮬레이션을 수행했으며, 결과는 Fig. 7, 8과 Table 2와 같다.

시뮬레이션 분석 결과, $K_c$값이 증가할수록 시스템의 초기 상승 시간은 단축되지만, 오버슛은 점진적으로 증가하며 구동기 응답의 피크치가 상승하는 경향을 보인다. 이는 $K_c$의 증가가 시스템의 폐루프 영점은 복소평면의 좌반평면 상에서 원점 방향으로 이동시켜, 미분기 효과를 증폭시키기 때문이다. 이로 인해 초기 응답 속도는 가속되지만 동시에 오버슛과 상대적으로 큰 구동기 응답을 유발한다. 이러한 결과는 제안하는 제어 기법이 극점의 변동 없이 $K_c$라는 단일 이득의 조율만으로 응답을 성형할 수 있음을 보여주며, 설계자의 제어 목적에 부합하는 최적화된 제어기 설계를 가능하게 한다.

그림 7. 설계 파라미터에 따른 피치 자세각 계단 응답 비교

Fig. 7. Comparison of pitch angle step responses with varying design Parameter

그림 8. 설계 파라미터에 따른 구동기 응답 비교

Fig. 8. Comparison of actuator responses with varying design Parameter

5.4 기체 특성 변동에 따른 강건성 분석

본 절에서는 실제 비행 환경에서 발생할 수 있는 유도탄의 공기역학적 파라미터 불확실성 및 모델 오차에 대한 제안 기법의 강건성을 검증하였다. 유도탄은 비행 고도 및 마하수의 변화에 따라 공력 미계수가 변화하므로, 제어기가 이러한 환경에서도 일정한 성능을 유지하는지가 중요하다. 이를 평가하기 위해 Table 1의 받음각 모멘트 계수($M_{\alpha}$)와 조종면 모멘트 계수($M_{\delta_p}$)에 ±20% 변화를 주었고, 제어기의 이득은 기존과 동일하게 유지한 상태에서 계단 응답 시뮬레이션을 수행하였다. Fig. 9와 Table 3은 파라미터 변동에 따른 피치 자세각의 계단 응답을 기준 상태(Nominal)와 비교한 결과이다.

시뮬레이션 분석 결과, 기체 특성 파라미터에 변동이 발생했음에도 불구하고, 유도탄의 과도응답이 기준 상태 결과와 비교하여 크게 차이 없이 거의 일치하는 강건한 결과를 얻었다. 이는 외부 루프 PI 및 내부 각속도 루프가 이득 및 위상 여유를 충분히 확보하여 모델 불확실성에 의한 변동에 강건하기 때문이다. 이와 동시에, 독립적인 피드포워드 경로의 이득 $K_c$가 기체 파라미터의 미세한 변동에 민감하게 반응하지 않고 영점 성형 효과를 일관되게 유지함을 보여준다. 결론적으로 제안한 제어기는 비선형성과 피라미터 변동이 큰 유도탄 비행 영역 전반에 걸쳐 안정적이고 강건한 제어 성능을 보여주는 실용적인 구조이다.

그림 9. 기체 특성 변화에 따른 피치 자세각 계단 응답

Fig. 9. Pitch angle step responses with varying airframe characteristics

5.5 주파수 응답 및 강건성 분석

4.4절에서 도출한 개루프 전달함수를 검증하기 위해, 세 제어기의 개루프 전달함수의 주파수 응답(Bode Plot)을 Fig. 10에 도시하였다. 그림에서 확인할 수 있듯이 3-루프($K_c$= 0), PI 기반($K_c$= 1), 제안한 제어기($K_c$= 0.5) 의 크기와 위상이 모든 주파수 영역에서 일치하는 것을 알 수 있다. 이는 제안하는 제어기의 피드포워드 경로가 개루프 전달함수의 극점과 영점에는 어떠한 대수적 영향도 미치지 않음을 보여준다. 주파수 응답이 동일하다는 것은 시스템의 이득 교차 주파수 및 이득, 위상 여유가 기존의 제어기와 동일하게 유지됨을 위미한다. 따라서 제안하는 제어기는 안정도를 보존하면서도 추종 성능을 독립적으로 설계할 수 있는 강건하면서 실용적인 구조임을 확인하였다.

그림 10. 3가지 제어기의 개루프 전달함수 주파수 응답 선도

Fig. 10. Bode plots of the open-loop transfer function for the three controllers