2.1 속도 프로파일의 구성

본 절에서는 s-curve의 일반적인 구성에 대해 소개한다. s-curve 궤적 생성방식은 저크의 형태를 구성하는 기본모델에 따라 다항식 모델과 삼각함수 모델 등으로 구분된다 ⁽⁶⁾. 각 모델은 요구되는 궤적의 매끄러움(smoothness) 정도에 따라 세부적으로 분류되는데 다항식 모델의 경우 3차의 모델이 일반적이다.

이 궤적의 가속 프로파일은 7개의 세그먼트로 구성된다. 프로파일 시점과 종점의 각각 3개의 세그먼트는 가속 및 감속 단계를 구성하며 중간지점의 1개의 세그먼트는 등속구간을 구성한다. 가속 및 감속 영역에 대한 저크 프로파일은 다음과 같다.

시간에 따른 위치, 속도, 가속도 프로파일은 저크 프로파일 기본 모델의 적분을 통한 운동학적 관계에 의해 정의되며 최대 속도, 가속도 및 저크가 (2)와 같이 주어진 경우 그림 1과 같은 형태의 s-curve 프로파일이 생성된다.

2.2 속도 프로파일 생성절차

앞서 살펴본 바와 같이 s-curve 궤적은 다수의 저크 세그먼트로 구성되기 때문에 목표 이동거리 및 최대 가속도, 최대 속도 등이 결정되면 이에 맞게 세그먼트별 구간을 설정하고 각 세그먼트 경계의 스위칭 시점을 미리 계획하는 과정이 필요하다. 단일 시/종점 혹은 단일 속도 제한값으로 구성되는 경로의 주행시 이러한 사전 계산 과정은 비교적 간단하게 처리할 수 있으나, 속도 제한수준이 여러 단계로 구성되거나 외부 상황에 따라 임의로 변경되는 경우에는 그 처리가 다소 까다롭게 된다. 또한, 주행 중 경로의 상황변화에 따라 프로파일을 실시간으로 다시 생성해야 할 경우, 영이 아닌 임의의 경계 조건 및 비대칭 프로파일에 대한 처리도 병행되어야 하므로 관련 처리 과정은 더욱 복잡하게 된다 ⁽⁹⁾. 본 논문에서는 이러한 스위칭 시간에 기반한 경로 생성을 배제하고, 임의의 경계조건에 대해 유연한 경로 생성을 위해 그림 2와 같은 프로파일 생성절차를 구성하였다. 프로파일 생성기는 제어의 매 샘플마다 진입하여 추종 목표를 갱신하도록 하며, 속도제한 확인, 모드 선택, 가/감속 명령생성, 기준궤적 생성의 단계로 구성된다. 모드 선택부에서는 프로파일의 상태벡터와 속도 제한값의 관계에 따라 목표 가속도($a_{m}$) 및 목표 저크($j_{m}$)를 계산하며, 도출된 목표값은 가/감속 명령생성부에서 궤적 생성을 위한 명령값을 생성하는 데에 사용된다. 또한, 주행 경로상의 속도 제한 변동에 대응하기 위해 매 샘플마다 현재 프로파일 상태에 따른 최대 감속 정지거리($d_{s}$)를 계산하고, $d_{s}$의 속도 제한값과 현재 상태의 속도 제한값의 비교를 통해 모드 전환 판단을 실시한다. 다음 절에서는 각 구성 요소의 세부사항을 설명한다.

2.3 목표 가속도 설정

모드 선택유닛은 현재 궤적 상태에 따라 가속 혹은 감속모드를 결정하는 기능을 한다. 최초 동작은 가속 모드로 시작하며 가속 모드에서는 가속의 출발시점 ($v_{k}<v_{b,\:k}$ 및 $a_{k}=0$)혹은 재가속이 필요한 시점($v_{b,\:k-1}<v_{b,\:k}$ 및 $a_{k}\ge 0$)에 목표 가속도를 설정한다. 그림 3에서 $t_{k}$ 시점의 속도 제한이 $v_{b,\:k}$이고 현재 속도가 $v_{k}$라고 하면, 목표 가속도($a_{m}$) 및 목표 저크($j_{m}$)와 요구되는 속도증가량($\Delta v$)의 관계는 다음의 식으로 표현할 수 있다.

이 때, $t_{2}=t_{1}$인 삼각파 형 가속 형태를 고려하면, 현재 상태에서 속도 제한값에 도달하기 위한 목표 가속도는 아래와 같이 계산할 수 있다.

만약, 계산된 $a_{mp}$ 값이 시스템 한계에 의해 주어지는 최대 가속도($a_{m}$)를 초과하는 경우 포화값을 적용한다.

2.4 최대 감속 정지거리 예측

다음 단계에서는 현재의 프로파일 상태 벡터($x_{k}$)에 따른 최대 감속 정지거리($d_{s}$)를 계산하고 정지위치($p_{f}$) 및 정지위치의 속도 제한값($v_{b,\:pf}$)을 갱신한다. 저크 입력에 대한 가속도, 속도, 거리의 운동학적 관계를 상태 방정식으로 기술하면 다음과 같다.

여기서 상태벡터 및 A, B 행렬은 다음과 같다.

일반적인 3차의 s-curve 감속 프로파일을 고려하면 최대 감속시 저크 입력은 그림 4와 같이 3개의 세그먼트($s_{1}\sim s_{3}$)로 구분할 수 있다. 이를 시간 구간에 따른 저크 입력으로 표현하면 다음과 같다.

즉, $d_{s}$는 목표 입력벡터($u_{m}=[a_{m},\: j_{m}]$) 구속조건이 적용된 경우의 이동거리이며, 상기 시간 구간을 가속도의 초기조건에 따라 적절히 계산하고 전체 세그먼트에 대해 (6)을 회귀적으로 적용하면 $u_{m}$ 구속조건 적용 시의 $d_{s}$를 계산할 수 있다.

먼저, 가속도의 초기조건($a_{0}$)이 양수인 경우를 살펴보면 다음과 같다.

그림 4에서 $t_{1}$까지의 구간은 양의 가속도 $a_{0}$에 의한 잔여 증가 속도를 나타낸다. 저크와 가속도의 관계에 의해 $dt_{1}\sim dt_{4}$는 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 $v_{1}$은 다음의 적분관계를 통해 정의되는 $t_{1}$ 시점의 속도이다.

$t_{1}$ 이후는 실질적인 감속이 발생되는데, 만약 $v_{1}$이 $dt_{2},\: dt_{4}$ 구간의 면적보다 작은 경우 최대 감속($-a_{m}$)을 적용할 수 없고, 다음의 관계에 의해 수정된 $a_{m}$을 적용해야 한다. 이 경우 $dt_{2}$는 다음의 관계에 의해 다시 계산되며, $dt_{3}$는 0으로 설정된다.

다음으로 가속도의 초기조건($a_{0}$)이 음수인 경우는 그림 5에 보인 것과 같이 3가지 경우(①→②, ①→④, ③→④)가 존재할 수 있다. 모든 경우에 $dt_{1}$은 0으로 설정되며, 각 경우에 따라 $dt_{2}\sim dt_{4}$가 결정된다.

먼저, 초기속도($v_{0}$)에 따라 크게 두 가지 경우로 나눌 수 있다. 첫 번째는 ③→④의 경우로 다음의 조건을 만족하는 경우이다.

여기서 $C_{1}$은 가속도가 현재 상태에서 지정된 최대 저크($j_{m}$)로 ramp-up에 바로 진입하는 경우에 감속 가능한 속도로 가속도 프로파일의 형상에서 다음과 같이 계산할 수 있다.

이때, $dt_{2},\: dt_{3}$는 0으로 설정된다.

다음은 (13)의 조건을 만족하지 않은 경우로 그림 5에서 ①→②, ①→④의 경우이다. 먼저 ①→② 형태를 가정하면, 이 때 적용가능한 가속도 값은 다음의 가속도와 속도의 관계로부터 구할 수 있다.

이 때의 $dt_{2}\sim dt_{4}$는 다음과 같이 계산된다.

만약 $a_{mp}$의 값이 지정된 미리 지정된 $a_{m}$을 초과하는 경우 가속도는 $a_{m}$으로 포화되어 ①→④의 프로파일 형태가 적용되며 이 때의 $dt_{2}\sim dt_{4}$는 다음의 관계에서 계산할 수 있다.

계산된 $dt_{1}\sim dt_{4}$의 값에 따라 세그먼트 별 입력 인가 시간을 결정하고 이를 (6)에 회귀적으로 적용하면 최종적인 $d_{s}$를 계산할 수 있다. 상기 과정을 통해 사전에 계획된 전체 프로파일의 정보 혹은 상태벡터의 프로파일 내의 현재 위치 등과 같은 참조 정보를 사용하지 않고 현재 샘플의 가속도 상태만으로 정지거리를 산출할 수 있으며 임의의 조건에 대한 프로파일 생성을 일반화할 수 있다.

2.5 모드 전환 판단

이 단계에서는 현재 프로파일 상태에 따른 최대 감속 정지거리($d_{s}$)를 계산하고, $d_{s}$의 속도 제한값과 현재 상태의 속도 제한값의 비교를 통해 모드 전환 판단을 수행한다. 해당 판단 결과에 따라 이후의 목표 입력벡터 갱신여부가 결정된다. 여기서는 그림 6의 일반조건 분석을 통해 모드 전환 판단 로직을 설명한다.

먼저, $x_{k1}=[s_{k1}v_{k1}]$의 경우 해당 시점의 속도제한값 $v_{b}(s_{k1})$과 $d_{s}$의 속도제한값 $v_{b}(s_{p1})$을 비교했을 때 차이가 없으므로 감속을 위한 조치가 필요하지 않으며 현재의 가속 상태를 유지한다. $x_{k2}=[s_{k2}v_{k2}]$의 경우 해당 시점의 속도제한값 $v_{b}(s_{k2})$와 $d_{s}$의 속도제한값 $v_{b}(s_{p2})$을 비교했을 때 속도제한의 감소가 검출되므로 해당 위치를 저장($x_{e}=[s_{e}v_{e}]$) 후 감속모드로 변경하고 목표 입력벡터($u_{m}$)를 갱신한다. 감속모드로 전환된 상태에서는 검출된 상태벡터($x_{e}$)와 현재의 상태 벡터를 비교하고 현재 상태에서 추정한 $d_{s}$ 위치가 $s_{e}$를 초과하는 경우의 속도 제한값 $v_{b}(s_{k2}+d_{s}(x_{k2}))$이 $v_{e}$보다 작은 경우 새로운 목표 속도에 맞추기 위해 목표 입력벡터($u_{m}$)를 갱신한다.

2.6 목표 입력벡터 계산

감속모드 진입이 판단되어 $a_{m},\: j_{m}$을 갱신하는 과정은 $d_{s}$ 계산시 가속도 조건에 따라 분류하는 것과 유사하며 현재 가속도의 부호 조건에 따라 두 가지 조건으로 분류할 수 있다. 첫 번째는, 현재 가속도가 양수인 경우이며 이때의 시나리오는 그림 7의 하위 조건으로 분류할 수 있다. 여기서, $x_{k}$는 감속모드로 진입하는 시점의 프로파일 상태벡터이고, $a:x_{v1}$ 및 $b:x_{v1}$는 저크 제한에 의해 감속 진입시 양의 가속도가 감속으로 전환되기까지의 잔여 속도 증가의 두 가지 경우이다. 이 때의 속도($v_{1}$)와 $d_{s}$ 위치($s_{p}$)의 속도제한($v_{b}(s_{p})$)의 관계에 따라 상이한 접근이 필요하다. 먼저, $v_{1}$이 $v_{b}(s_{p})$보다 작은 경우($a:x_{v1}$)를 살펴보면 다음과 같다. 그림 4의 감속 프로파일을 참고하면 이때의 궤적은 $t_{0}\sim t_{1}$ 구간에서 필요한 속도증가량($\Delta v=v_{b}(s_{p})-v_{0}$)보다 과도하게 감속된 상태로 볼 수 있다. 따라서 $j_{m}$을 다음과 같이 조정하면 $t_{1}$에서 $v_{b}(s_{p})$ 속도제한에 맞출 수 있다.

다음으로 $v_{1}$이 $v_{b}(s_{p})$보다 큰 경우($b:x_{v1}$)는 $a_{m}$ 값을 조정하여 $v_{b}(s_{p})$ 속도제한에 맞추도록 한다. 이 경우 가장 간단한 방법은 그림 4의 감속 프로파일에서 $dt_{3}$가 없는 삼각파 형태를 가정하여 필요 감속량에 대한 $a_{m}$ 값을 적용하는 것으로 이를 계산하면 다음과 같다.

하지만 $a_{m}$값이 주어진 시스템 제한값을 초과하는 경우, 제한값으로 포화되기 때문에 감속 프로파일은 $dt_{3}$ 구간을 포함하는 형태로 구성할 필요가 있다. 이 경우 $t_{1}\sim t_{4}$ 구간에서 필요한 속도감소량($\Delta v=v_{1}-v_{b}(s_{p})$)은 해당 구간의 감속도 형태로부터 다음과 같이 계산할 수 있으며, $\Delta v,\: j_{m}$이 주어진 경우 $a_{m}$ 결정을 위해서는 $dt_{3}$를 적절히 결정할 필요가 있다.

이를 위해서는 $t_{1}\sim t_{4}$ 사이에 요구되는 다음의 이동거리를 구속조건으로 사용하면 상태벡터 $x_{e}$ 지점에서 $v_{b}(s_{p})$를 만족하는 궤적을 생성할 수 있다.

상기 조건에 대해 식을 정리하면 다음과 같은 이차 방정식으로 표현할 수 있으며 $0\le a_{m}\le a_{\max}$ 조건을 만족하는 값을 해로 선택한다.

여기서,

목표 입력벡터 계산의 가속도 부호 조건에 따른 두 번째 조건은 $a_{0}$가 음수인 경우이다. 이때의 하위 시나리오는 그림 5의 3가지 경우가 있으며, 이때의 필요한 속도감소량은 진입 시점의 속도를 기준으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

목표 가속도 값은 $\Delta v$와 (13)에서 정의된 $C_{1}$과의 관계에 따라 다음과 같이 결정된다.

2.7 가/감속 명령 생성

감속가속 및 감속을 위한 명령생성은 앞서 설정된 목표 입력벡터($a_{m},\: j_{m}$) 값에 의해 결정된다. 가속 모드인 경우 속도 상태에 따라 다음과 같이 명령을 생성한다.

여기서, $v_{ramp}$는 가속구간에서 가속도가 목표값에 도달한 이후 목표 속도에 안착하기 위해 필요한 ramp-down 진입조건을 나타내며, 해당 목표 속도에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.

감속 모드의 경우는 가속과 반대로 목표 속도에 안착하기 위해 필요한 ramp-up 진입조건에 의해 명령을 생성하며, 다음의 식에 의해 정의된다.

2.8 궤적 생성유닛

상기 과정을 통해 생성된 가속 명령은 궤적 생성유닛에 인가하여 기준 궤적을 생성한다. 제어 주기($T_{s}$) 동안 영차 유지(zero order hold) 입력이 인가된다고 가정하면 가속도와 변위 간의 운동학적 관계를 통해 다음과 같은 위치, 속도의 차분 방정식을 구성할 수 있다.

여기서, $x_{k}=\begin{bmatrix}s_{k}& v_{k}\end{bmatrix}^{T}$ 로 정의되는 궤적의 상태벡터이다.

2.9 프로파일 생성 검증

제안한 프로파일 생성방식의 검증을 위해 모의실험을 수행하였다. 기준 프로파일 생성을 위한 입력은 시스템 동특성을 반영한 최대 가속도($a_{m}$)와 최대 저크($j_{m}$) 그리고 노선 구배, 곡률 및 운영 특성 등을 반영한 속도 제한값으로 구성된다. 본 모의실험에서는 상황별 프로파일 생성을 확인하기 위한 차량의 운동특성 제한조건을 다음과 같이 가정하였다.

먼저 제한속도가 증가하는 경우의 목표 가속도 재생성 동작을 살펴본다. 여기서는 그림 8, 9의 c1~c3의 세 가지 경우에 대한 프로파일 생성 비교를 통해 제한속도 증가구간에 대한 응답 특성을 검증한다. 그림 8의 첫 번째 그래프는 시간별 속도 프로파일로 가속 명령이 궤적 생성유닛에 인가되어 도출되는 결과이고, 두 번째 그래프는 목표 가속도 값이 반영되어 매 샘플에서 갱신되는 가속 명령이다. 그림 9의 첫 번째 그래프는 위치별 제한속도로 노선의 운영조건에 의해 미리 주어지거나 트램의 주행 중 전방위치에서 검출되는 값이고, 두 번째 그래프는 상기 제한속도 변경이 반영되어 계산되는 목표 가속도 값이다. c1은 제한속도의 변경 없이 3km/h로 유지된 경우로 정지상태에서 목표 속도까지 가속을 위한 $a_{m}$값은 초기 가속 단계에서 (4)를 통해 계산되고 이를 기초로 가속 명령 및 기준 속도 프로파일이 제한속도에 맞도록 생성된 것을 확인할 수 있다. c2 및 c3는 시작 구간의 제한속도는 3km/h이나 0.5m 지점과 1m 지점에서 각각 5km/, 10km/h로 변경된 경우이다. 해당 변경 시점은 매 샘플에서 재가속이 필요한 조건($v_{b,\:k-1}<v_{b,\:k}$ 및 $a_{k}\ge 0$)의 모니터링을 통해 검출되며, 이 때 $a_{m}$이 재계산되어 갱신되고, 이에 맞춰 가속 명령이 생성된 후 기준 속도 프로파일이 목표 속도에 맞도록 생성되는 것을 확인할 수 있다.

다음으로 제한속도 감소하는 경우의 목표 입력벡터 재생성 동작을 살펴본다. 여기서는 그림 10, 11의 c4~c6의 세 가지 경우에 대한 프로파일 생성 비교를 통해 제한속도 감소구간에 대한 응답 특성을 검증한다. 그림 10, 11은 각각 앞서 설명한 그림 8, 9에 대응된다. c4는 제한속도의 변경 없이 10km/h로 유지된 경우로 정지상태에서 목표 속도까지 가속을 위한 $a_{m}$값은 이전과 마찬가지로 초기 가속 단계에서 (4)를 통해 계산되고 이를 기초로 가속 명령 및 기준 속도 프로파일이 제한속도에 맞도록 생성된다. c5는 10km/h의 제한속도 조건으로 시작하여 5m지점에서 5km/h로 감속되는 경우이다. 이 때는 감속 진입 시 양의 가속도가 감속으로 전환되기까지의 잔여 속도 증가가 부족한 경우로 그림 10의 가속 명령의 하강 기울기를 통해 해당 시점에 재계산된 저크의 크기가 감소되었으며, 이를 통해 최대감속 정지거리의 목표 속도에 맞도록 프로파일이 생성된 것을 확인할 수 있다. c6는 10km/h의 제한속도 조건으로 시작하여 10m지점에서 5km/h로 감속되는 경우이다. 이 때는 감속 진입 시 양의 가속도가 감속으로 전환되기까지의 잔여 속도 증가가 과도한 경우로 그림 11의 최대 가속도 그래프에서 해당 시점에 재계산된 가속도의 크기가 감소하였으며, 이를 통해 최대감속 정지거리의 목표 속도에 맞도록 프로파일이 생성된 것을 확인할 수 있다.

끝으로 실제 트램의 주행을 고려한 시나리오 평가를 수행하였다. 노선 속도제한은 프로파일 생성 방식의 가속 및 감속 대응 특성을 복합적으로 파악할 수 있도록 구성하였으며, 500m의 이동 거리를 그림 12의 ①~⑤와 같이 다섯 개의 구간으로 구분하였다. ①은 정지 상태의 초기조건에서 속도제한 목표 속도까지의 가속 프로파일 생성을 확인하기 위한 구간이고 ②~④는 임의의 초기조건 및 종점조건에서 감속 진입의 검출 및 가/감속 프로파일 생성을 확인하기 위한 구간이다. 여기서 ②, ③은 생성 프로파일이 제한속도에 도달하기 전에 감속이 검출되는 경우를 확인하기 위한 부분이고, ④는 생성 프로파일이 제한속도에 도달한 후에 감속이 검출되는 경우의 프로파일 생성을 확인하기 위한 구간이다. 끝으로 ⑤는 임의의 초기조건 및 정지 종점조건에서의 프로파일 생성을 확인하기 위한 구간이다.

시뮬레이션 결과는 그림 13과 같다. 여기서 (a)는 위치-속도의 궤적, (b)는 시간-속도의 궤적, (c)는 시간-위치의 궤적 및 각 샘플의 상태에서 추정된 $d_{s}$ 거리, (d)는 시간-가속도 입력을 나타낸다.

①의 구간에서는 목표 속도까지 도달을 위한 가속 명령이 미리 정의된 목표 입력벡터($u_{m}$) 조건에 맞도록 사다리꼴 형태로 생성되고 목표 속도 도달 이후 항속 구간이 유지되는 것을 확인할 수 있다. ②의 구간에서는 초기 가속 이후 목표 속도 도달 이전에 $d_{s}$ 거리의 속도제한 감소가 검출되어 감속을 위한 $u_{m}$ 이 갱신되고, 이때 시스템의 최대 가속도 제약조건을 만족하는 $a_{m}$이 계산되어 감속 명령의 형상이 삼각파 프로파일로 생성된 것을 확인할 수 있다. ③의 구간에서도 초기 가속 이후 목표 속도 도달 이전에 속도제한 감소가 검출되어 $u_{m}$이 갱신되나 이 경우는 시스템의 최대 가속도 제약조건을 초과하여 (25)의 이동거리 구속조건이 적용된 프로파일이 생성된다. (a)의 위치-속도 차트에서 해당 구간의 종단을 살펴보면 속도제한 변동 지점에서 목표 속도에 일치하도록 프로파일이 생성된 것을 확인할 수 있다. ④의 구간에서는 초기 가속 이후 목표 속도까지 도달하기 위한 가속 명령이 적절히 생생되었으며 이후 속도제한 감소가 검출되어 이에 맞는 감속 프로파일이 생성된 것을 확인할 수 있다. 끝으로 ⑤의 구간에서는 주행 중의 상황에서 정차를 위한 목적지점을 속도제한의 목표 속도 정지값(0)으로 검출하고 정지 상태까지 감속을 위한 프로파일이 의도한 대로 생성된 것을 확인할 수 있다. 프로파일 생성 시 계산되는 최대감속 정지거리의 궤적은 그림 13의 (c) 및 그림 14에 나타내었다. (2)에서 추론할 수 있듯이 최대감속 정지거리는 목표 입력벡터($u_{m}$)가 고정된 경우 가속도, 속도, 정지거리로 구성된 3차원 공간에서 하나의 곡면으로 형성되는 것을 확인할 수 있다. 코드 구현시 계산량을 줄이기 위해서는 최대감속 정지거리의 이러한 특성을 이용하여 다항식 계수화하고 선형 보간하는 방식을 고려할 수 있을 것이다.