2.1 드레인 전류 노이즈 모델

MOSFET의 채널 $L$은 선형 영역(linear region)과 속도 포화 영역(velocity saturation region) 구분된다. 속도 포화 영역 $\triangle L$에서는 캐리어들이 포화 속도로 이송하기 때문에 전압 변동(fluctuation)에 의한 전계 변동에 반응하지 않는다, 따라서 드레인 전류 노이즈는 선형 영역에서 주로 발생한다. 강 반전(strong inversion)에서 드레인 전류는 드리프트 전류(drift current)에 의한 성분이며, $n$채널의 위치 $x$에서 다음과 같이 표현된다.

여기서 $W$는 소자의 폭, $v(x)$는 채널 캐리어의 속도이다. $Q(x)$는 단위면적당 채널 전하량이며 다음과 같다.

여기서 $C_{ox}$는 단위 면적당 게이트 정전용량, $V_{gs}$는 게이트-소스 전압, $V_{th}$는 문턱 전압(threshold voltage), $k_{bulk}$는 벌크 전하 효과 계수, $V(x)$는 소스 기준 전압 0V에서 드레인 위치 전압 $V_{ds}$값으로 변하는 준 페르미 포텐셜(quasi- Fermi potential)이다. 임계 전계 $E_{c}$ 보다 작은 전계 $E(x)$에서 캐리어 속도는 $v(x)=\mu_{eff}E(x)/(1+E(x)/E_{c})$로 표현되며, 드레인 전류는 다음과 같이 유도된다.

여기서 $E_{c}=2v_{sat}/\mu_{eff}$, $v_{sat}$는 캐리어의 포화 속도, $\mu_{eff}$는 유효 이동도(effective mobility)이다. $E(x)=d V(x)/dx$를 식(3)에 대입하고, 적분하면 $V(x)$가 구해진다⁽⁵⁾.

여기서 $V_{i}=I_{d}/(WC_{ox}v_{sat})$이며, 전계 $E(x)$는 다음과 같이 구해진다⁽⁵⁾.

$E=E_{c}$에 대한 채널 위치를 $L_{c}(=L-\triangle L)$라고 하고, 식(5)을 이용하면$L_{c}=(V_{gs}-V_{th})(V_{gs}-V_{th}-V_{i})/(k_{bulk}E_{c}V_{i})$이다.

채널의 $x$와 $x+\triangle x$에 위치한 2개의 국부 노이즈 소스(local noise source)는 확산 노이즈에 의해 주어진다^(3-4).

여기서 $q$는 전자 전하, $D_{n}$는 확산 계수이다. $S_{\delta i}(x)$에 의한 드레인 전류 노이즈는 다음과 같이 표현된다.

채널에서 모든 노이즈 미세 성분이 상관되지 않는다고 가정하고, 식(6)을 식(7)에 대입하면 다음의 전체 드레인 전류 밀도를 얻을 수 있다.

채널에서 확산 계수가 일정하면, $D_{n}=(k T/q)\mu_{eff}$이며, 여기서 $k$는 Boltzmann 상수, $T$는 온도이다. $\triangle V/\triangle x=E$ 를 이용하고, 미세 노이즈 성분에 대한 적분 식으로 표현하면, 식(8)은 다음과 같다.

2.2 게이트 유도 전류 노이즈 및 상관 노이즈 모델

MOSFET이 고주파에서 동작을 하면, 채널에서 생성된 열 노이즈는 게이트 정전 용량을 통하여 게이트로 커플링(coupling)되며, 이를 게이트 유도 노이즈라고 한다⁽³⁾. 채널의 속도 포화 영역에서 열 노이즈가 발생하지 않는다면, 이 영역은 게이트 유도 노이즈에 기여하지 않는다. 채널의 국부 노이즈 소스 $S_{\delta i}(x)$에 의해 노이즈 전류 $\triangle i_{d}$가 채널 소스에서 드레인으로 흐르며, 채널에 형성된 포텐셜은 교란(perturbation)된다. 교란된 포텐셜 $\triangle v(x)$에 의한 게이트 유도 전류 노이즈의 미세 성분은 다음과 같이 주어진다^(3,6).

식(7)과 식(10)을 이용하여 채널 전체 영역에 대한 적분 식으로 표현하면 다음의 전체 게이트 유도 전류 노이즈를 구할 수 있다.

여기서 $w=2\pi f$는 각 주파수, $f$는 주파수이다. $S_{I_{d}}(x)$와 $S_{I_{g}}(x)$의 상관 계수는 $C=S_{I_{g}I_{d}*}/\sqrt{S_{I_{g}}S_{I_{d}}}$로 정의되며, 식(7)과 식(10)을 이용하면 $S_{I_{d}}(x)$와 $S_{I_{g}}(x)$의 상관 노이즈가 구해진다.

2.3 게이트 누설 전류 노이즈 모델

게이트 누설 전류 모델은 비탄성 트랩 지원 터널링(ITAT, inelastic trap-assisted tunneling)을 기반으로 한다. 깊은 트랩 전위 $\phi_{t}-E_{loss}$ 및 Si-SiO$_{2}$ 계면으로부터 위치 $y_{t}$로 터널링하고, 즉시 더 깊은 전위로 에너지 $E_{loss}$를 방출한 후 게이트로 터널링하는 프로세스를 모델링한다. $V_{ds}=0V$에서 게이트 누설 전류는 다음과 같이 표현된다^(8-9).

여기서 $\sigma_{t}$는 포획 단면적(cm^-2), $N_{t}$는 산화물 트랩 밀도(cm²eV^-1), $\hbar$는 reduced Planck상수, $\varepsilon_{ox}$는 산화물 유전상수, $\phi_{b}$는 Si-SiO$_{2}$ 전위장벽, $m_{ox}$는 터널링 캐리어 유효 질량, $t_{ox}$는 산화물 두께, $E_{ox1,\:2}$는 국부 전계, $C$는 보정함수이다.

생성-재결합(generation-recombination) 프로세스와 관련된 산탄 노이즈(shot noise)는 트랩 지원 터널링 기반의 캐리어 전송으로 설명할 수 있다. 채널과 게이트에서 산화물의 빈 트랩(empty trap)으로 전이하는 생성 속도 $g$와 점유 트랩(occupied trap)에서 채널과 게이트로 전이하는 재결합 속도 $r$은 고속 산화물 트랩의 통계적 점유율 변동에 의해 발생하는 LM(Lorentzian modulated) 산탄 노이즈 메커니즘을 기반으로 한다. LM 산탄 노이즈 모델은 다음과 같이 주어진다⁽⁸⁾.

여기서 $1/\tau =1/\tau_{1}+1/\tau_{2}$, $\tau_{1,\:2}$는 국부 시간상수, $F^{Fano}$는 파노 인자(Fano factor), $N$는 전체 캐리어 수이다. 식 (17b)의 부호는 누설 전류 성분의 양 또는 음의 상관에 의존한다.

3.1 미분 인공신경망

전달 함수(transfer function)의 신경망 입력 $V_{gs}$, $V_{ds}$와 가중치 $w_{k1}$간의 거리에 바이어스 $b_{k}^{1}$을 곱한 값이다.

여기서 $w_{kj}$는 $k$번째 뉴런, $j$번째 입력에 대한 가중치이며, $b_{k}^{1}$는 $k$번째 뉴런의 바이어스 값이다. 은닉층에서 방사 기저 뉴런의 전달함수는 아래와 같이 가우스 함수(Gaussian function)이다.

여기서 가중치는 가우스 평균, 바이어스는 분산(variance)이다. RBF 신경망에서 입력 $V_{gs}$, $V_{ds}$만을 고려하면, 드레인 전류 $I_{d}$와 게이트 누설 전류 $I_{g}$에 대한 입력 및 출력간의 RBF-ANN 함수는 다음과 같이 구해진다⁽¹²⁾.

여기서 ${g},\: d$, $w_{k}$는 출력층의 $k$번째 뉴런에 대한 가중치이며, $b^{2}$는 출력층의 바이어스이다.

2개의 컨덕턴스(${g}_{g}=\partial I_{{g}}/\partial V_{{g}s}$, $g_{d}=\partial I_{d}/\partial V_{ds}$)와 상호 컨덕턴스(${g}_{m}=\partial I_{d}/\partial V_{{g}s}$) 는 식(20)을 $V_{{g}s}$와 $V_{ds}$에 대해 미분하여 구할 수 있으며, RBF-DANN(Differential ANN) 함수 표현식은 다음과 같다.

여기서 $i= g ,\: d,\: m$ 이다. 게이트 LM 산탄 노이즈의 ANN 모델 $S_{I_{{g}}}^{S,\:ANN}$ 은 $I_{{g}}$와 $F^{Fano}$에 대해 식(20)의 RBF-ANN 함수를 이용하여 학습시켜 얻을 수 있다.

3.2 적분 인공신경망

드레인 전류 노이즈, 게이트 유도 전류 노이즈 및 상관 노이즈의 인공신경망 모델을 구하기 위해서는 각각 식(9), (12), (13)의 노이즈 소스 $x$로 표현되는 피적분 함수를 학습시켜 구한다. 따라서, 전달 함수의 신경망 입력은 $V_{{g}s}$, $V_{ds}$, $f$, $x$이며, 피적분 함수는 다음과 같이 표현된다⁽¹²⁾.

여기서 $i=I_{{g}},\: I_{d},\: I_{{g}}I_{d}*$ 이다. 가우스 적분 근사법을 이용하여 적분을 하면 식(22)는 에러함수(error function)로 표현된다.

식(23)에서 에러함수는 쌍곡선 탄젠트 (hyperbolic tangent function)로 근사화되며, RBF-IANN (Integration of ANN) 함수 표현식은 다음과 같다.