3.1 쿼드로터 시스템의 고도 강인 제어기

강인 고도 제어기는 쿼드로터 시스템의 고도를 나타내는 상태변수 $\bar{z}$가 원하는 값 $\bar{z}_{d}$에 위치하도록 한다. 아래 첨자 $d$를 포함한 $[\bar{x}_{d},\:\bar{y}_{d},\:\bar{z}_{d},\:{\bar{\phi}}_{d},\:{\bar{\theta}}_{d},\:{\bar{\psi}}_{d}]^{T}$의 값은 상태변수들이 도달해야 하는 원하는 값을 의미한다. 고도 추종 오차를 $e_{z}:=\bar{z}-$$\bar{z}_{d}$로 정의하고, 적분 슬라이딩 평면을

으로 설정한다. 위의 식에서 $k_{z 1}> 0$, $k_{z 2}>0$이다.

고도 제어를 위한 입력 $u_{1}^{*}$ 유도를 위해 식 (5)를 시간에 대해 미분하면

이다. 식 (6)은 식 (2)를 통해

으로 나타낼 수 있다.

정리 1 : 식 (2)로 나타낸 고도 $z$의 동역학 방정식을 고려하여 이전 절의 고도 제어기와 비슷하게 적분 슬라이딩 모드 제어기를

으로 설계할 수 있다. 여기서 $k_{z3}>\alpha$, $k_{z 4}> 0$이고, $sgn(\bullet)$은 부호 함수이다. 쿼드로터 시스템의 고도 추종 제어를 위해 식 (8)과 같은 제어입력을 사용하면 궁극적인 유계(ultimated bou- nded)를 가지는 추종 오차 $e_{z}$가 외란 추정 오차 $\widetilde{\bar{d}}_{z}$에 궁극적인 유계가 종속됨을 알 수 있다. 정리 1에 의해 외란 추정 오차 $\widetilde{\bar{d}}_{z}$가 $0$으로 수렴됨에 따라 고도 $z$ 제어기는 안정하고, 적분 슬라이딩 평면 식 (5)와 고도 추종 오차 $e_{z}$가 $0$으로 수렴된다.

증명 : 리아푸노프 함수 $V_{z}$를

으로 설정하고, 이를 시간에 대해 미분하면

으로 나타난다. 리아푸노프 함수 $\dot V_{z}$가 식 (10)에 의해 음의 한정 함수가 되고, 식 (9)에 의해 함수 $V_{z}$가 양의 한정 함수가 되므로 슬라이딩 평면 $s_{z}$의 궁극 유계가 유한시간 내에 $0$으로 점진적으로 수렴하는 것을 알 수 있다. 이에 따라서 $e_{z}$와 $\dot e_{z}$가 슬라이딩 평면에 유지되어 점진적으로 $0$으로 수렴됨에 따라, $\bar{z}$가 $\bar{z}_{d}$에 점진적으로 수렴하므로 고도 추종오차 $e_{z}$가 $0$으로 수렴되는 것을 알 수 있다. ■

3.2 쿼드로터 시스템의 위치 제어를 위한 가상 자세각 생성기 및 자세각 강인 제어기

쿼드로터 시스템의 원하는 자세각 ${\bar{\psi}}_{d}$은 움직이는 명령에 의해 주어지지만, ${\bar{\phi}}_{d}$와 ${\bar{\theta}}_{d}$는 위치 제어를 위해 위치 및 자세각을 동시에 제어하기 위한 가상의 자세각으로 생성한다. 이를 위한 가상의 힘을

으로 정의한다. 여기서 $a_{x}$, $a_{y}$, $a_{z}$, $b_{x}$, $b_{y}$, $b_{z}$는 양의 상수이다. 가상의 힘은 쿼드로터 시스템을 전방과 측면으로 이동시키는 힘으로 다음과 같이 표현된다.

가상의 힘 식 (12)를 쿼드로터의 회전축을 따라 변환하여 표현하면

으로 나타낼 수 있다. 가상의 힘 식 (11)을 통해 가상 자세각을

으로 설정할 수 있다. 식 (14)로 생성된 자세각 $\phi^{*}$, $\theta^{*}$을 각각 원하는 위치와 자세각으로 추종하기 위한 원하는 값 $\phi_{d}$, $\theta_{d}$으로 각각 사용될 수 있다⁽²³⁾.

자세각 제어기는 상태변수 $\bar{Q}=[{\bar{\phi}},\:{\bar{\theta}},\:{\bar{\psi}}]^{T}$가 각각 원하는 값 ${\bar{\phi}}_{d}:=\phi^{*}$, ${\bar{\theta}}_{d}:=\theta^{*}$, ${\bar{\psi}}_{d}$을 따라가도록 제어한다. 쿼드로터 시스템의 알 수 있는 상태값 $\bar{Q}$와 원하는 값 $\bar{Q}_{d}=[{\bar{\phi}}_{d},\:{\bar{\theta}}_{d},\:{\bar{\psi}}_{d}]^{T}$ 사이의 추종 오차를 $e_{Q}:=\bar{Q}-\bar{Q}_{d}$로 정의한다. 시스템의 자세각을 제어하기 위한 입력 $u_{Q}:=[u_{2},\:u_{3},\:u_{4}]^{T}$을 유도하기 위해 적분 슬라이딩 평면을

으로 설정한다. 여기서 $k_{Q 1}>0$, $k_{Q 2}>0$이다.

식 (15)를 시간에 대해 미분하면

이다. 위의 식 (16)은 식 (2)를 통해

와 같이 표현할 수 있고, 여기서 $\bar{d}_{Q}=[\bar{d}_{\phi},\:\bar{d}_{\theta},\:\bar{d}_{\psi}]^{T}$이다.

정리 2 : 식 (2)에서 나타낸 자세각 방정식을 고려하여 적분 슬라이딩 모드 제어기를

와 같이 설계할 수 있다. 여기서 $I_{Q}=[I_{\phi},\: I_{\theta},\: I_{\psi}]^{T}$, $f_{Q}=[f_{\phi},\:f_{\theta},\:f_{\psi}$$]^{T}$, $f_{\phi}=(I_{\psi}-I_{\theta})\dot{\bar{\theta}}\dot{\bar{\psi}}/I_{\phi}$, $f_{\theta}=(I_{\phi}-I_{\psi})\dot{\bar{\phi}}\dot{\bar{\psi}}/I_{\theta}$, $f_{\psi}=0$이다.

증명 : 자세각 제어기의 안정성과 목적을 증명하기 위해 리아푸노프 함수 $V_{Q}$를

으로 설정하고, 이를 시간에 대해 미분하면

이다. 식 (20)에서 $k_{Q3}=[k_{\phi 3},\:k_{\theta 3},\:k_{\psi 3}]^{T}>\alpha$, $k_{Q 4}=[k_{\phi 4},\:k_{\theta 4},\:k_{\psi 4}]^{T}$$>0$이므로 식 (18)의 제어기를 사용하면, 정리 1의 $s_{z}$와 같은 방법으로 $s_{Q}$는 유한한 시간에 $0$으로 수렴한다. $s_{Q}$가 점진적으로 $0$으로 수렴될 때, $\bar{Q}$는 점근적으로 $\bar{Q}_{d}$에 수렴하는 결과로부터 추종 오차 $e_{Q}$가 $0$으로 수렴되는 것을 알 수 있다. ■

4.1 쿼드로터 시스템 식별 및 매개변수 추정

쿼드로터 시스템의 제어기를 설계하기 위해서는 동역학 방정식에서 시스템에 존재하는 다양한 파라미터 값을 모두 정확하게 알고 있어야 한다. 쿼드로터 시스템 모델 식별에 사용한 기체는 Parrot사의 Mambo이다. 기체의 무게는 $0.0709$kg, 기체의 중심으로부터 각 4개의 모터 및 프로펠러까지의 거리는 $0.0605$m로, 각각 실제 측정 파라미터인 $m$과 $l$로 사용한다. 시스템 식별을 위한 데이터를 획득하기 위해 시스템에 마커를 부착하여 VICON 모션 캡쳐 장치와 MATLAB Simulink를 이용하여 식별하고자 하는 쿼드로터 시스템의 위치 및 각도 정보를 획득했다. 쿼드로터 시스템의 자세 및 위치 정보는 비행 후 실시간으로 PC에 저장되고, 획득한 시스템의 정보를 이용해 시스템 식별 기법을 이용해 외란을 포함한 쿼드로터 모델 식을 획득했다. 시스템 식별을 통한 파라미터 추정은 비선형 최소 제곱 방법(Least squared method)과 신뢰 영역 반영 방법(Trust region refelective method)을 이용하였고, 비용함수는 합계오차(Sum squared error)를 사용하였다.

쿼드로터 시스템에서 측정한 파라미터와 획득한 비행 데이터를 바탕으로 추정한 쿼드로터 시스템의 파라미터는 표 1에 나타내었다.

4.2 모의실험

모의실험의 동역학 모델은 식 (2)와 같고, 4.1절에서 얻은 매개변수를 사용하여 모의실험 환경을 구성하였다. 보다 실질적인 형태를 고려하여 ^(25-27)에서와 같이 복잡한 형태의 외란을 가해주었다. 각 상태변수에 가해준 외란은 $d_{x}=0.0975\sin(t)$$+0.075\sin(0.7t)+0.0045\sin(0.3t)+0.03\sin(2t)+0.105\sin$$(0.1t)$,

$d_{y}$$=0.096\sin(t)+0.06\sin(0.9t)+0.0048\sin(0.2t)+$

$0.0024\sin(4t)+0.036\sin(0.1t)$, $d_{z}=0.1\sin(2t)+0.05\sin$

$(0.7t)+0.003\sin(0.3t)+0.02\sin(2t)+0.07\sin(0.1t)$,

$d_{\phi}=[\pi /120]\sin(10t)$, $d_{\theta}=[\pi /1$$20]\cos(10t)$,

$d_{\psi}=$$[\pi /180]\sin(20t)$이다. 모의실험의 시나리오는 그림 2의 3차원 그래프와 같이 사각형 궤적을 추종하는 것으로 구성하였다. 3차원의 공간에서 쿼드로터 시스템의 초기 위치 ($x$, $y$, $z$)를 ($0$, $0$, $0$)으로 설정하였다. 모의실험 시나리오는 고도가 $1$m의 값을 유지하도록 설정하여, $0$초부터 $15$초까지 ($0.3$, $0.3$, $1$)의 위치로 이동하고 $15$초에는 ($0.3$, $-0.3$, $1$)의 위치로, $30$초에는 ($-0.3$, $-0.3$, $1$)의 위치로, $45$초에는 ($-0.3$, $0.3$, $1$)의 위치로 이동하는 시나리오이다.

여기서 일반적으로 슬라이딩 모드 제어 기법에서는 부호 함수를 사용하여 설계하지만, 슬라이딩 평면에 도달한 상태에서 채터링 현상이 발생한다. 따라서 슬라이딩 평면상에서의 채터링 현상 제거를 위해 식 (8), (18)에서 부호 함수 대신에 연속함수 hyperbolic tangent를 사용한다. 모의실험에서 적분 슬라이딩 모드 외란 관측기 설계에 사용된 파라미터는 $\alpha$=$0.2000$, $k$=$0.5$이고, 적분 슬라이딩 모드 제어기 설계에 사용된 파라미터는 표 2에 나타내었다.

제안하는 강인 제어 방법의 제어성능 비교를 위해 제안하는 제어기에서 외란 관측기를 제외한 적분 슬라이딩 모드 제어기만을 사용한 제어 기법과 시스템의 외란 관측을 위해 흔히 쓰이는 비선형 외란 관측기⁽²⁴⁾ 기반 적분 슬라이딩 모드 제어기를 사용했을 때의 결과와 비교하였다. 모의실험 결과를 나타내는 그림 2에서 검은색 점선은 원하는 위치 및 자세각의 값이 생성되는 것이고, 파란색 실선은 적분 슬라이딩 모드 제어기만을 사용한 제어 결과이고, 빨간색 실선은 비선형 외란 관측기 기반 적분 슬라이딩 모드 제어 기법의 제어 결과이고, 검은색 실선은 본 논문에서 제안하는 기법의 제어 결과로, 비교한 다른 제어 방법들과 대조하여 제안하는 외란 관측기의 성능과 제어기의 성능을 살펴볼 수 있다.

그림 2에서는 $xyz$평면에서 시스템이 사각형 궤적의 시나리오를 추종했을 때의 3차원 그래프로 나타낸 실험 결과를 나타낸다. 그림 3는 각각 위치 $x$, $y$, $z$의 상태를 나타내었다. 그래프로 확연히 관찰할 수 있는데, 제안한 방법이 비교한 다른 제어 방법보다 $x$, $y$ 추종에서 외란을 잘 보상하여 원하는 목표값으로 도달하는 것을 확인할 수 있다. 그림 4에서는 각 제어기법의 각 위치의 추종 오차를 관찰할 수 있는데, 이를 통해 제안하는 제어기법의 안정성을 확인할 수 있다. 각 $\phi$, $\theta$, $\psi$의 변수에 주어진 외란과 이를 추정한 값을 그림 5에 나타내었다. 각 그림에 나타난 것으로 외란 및 상태에 대한 관측이 우수하여 시스템의 외란을 잘 보상하고, 이에 따라 제어성능이 우수한 것을 확인할 수 있다.