1. 서 론

시간 지연은 시스템 성능 저하 뿐 만 아니라 시스템의 안정성에도 지대한 영향을 미치는 요소로 잘 알려져 있기에, 지난 수세기 동안 시간지연 시스템의 안정성 문제는 제어 이론 분야에서 매우 활발히 다루어져 오고 있다^{(18)(14)(15)(17)}. 시간에 따라 변화하는 시변 시간지연을 갖는 시스템을 다루기 위한, 시간영역에서 기술되는 다음의 시간지연 선형 시스템을 생각하자.

여기서 $x(t)\in R^{n}$은 상태 벡터, $A ,\: A_{1}\in R^{n\times n}$은 상수 시스템 행렬, $\psi(\theta)$는 상태 벡터의 초기 조건, 그리고 시변 시간 지연 $d(t)$는 다음을 만족한다.

여기서 $h,\:\mu_{1},\:\mu_{2}$는 알려진 상수들이다.

시간영역에서, 시변 지연 (2)를 갖는 시간지연 시스템 (1)의 안정성 보장에 관한 수많은 결과들은 기본적으로 다음의 두 단계를 거친다^(17)(18).

(i) LKF(Lyapunov-Krasvskii functional)의 선정.

(ii) LKF의 시간미분의 상한을 부등식들과 조건들을 이용하여 LMI로 표시함.

첫 번째 LKF 선정은 일반적으로 좀 더 많은 상태나 시간지연의 정보를 포함하면 좀 더 나은 결과를 기대할 수 있다. 이러한 측면에서 초기의 간단한 LKF⁽¹⁷⁾로부터 증강된 LKF⁽⁸⁾, 지연시간 곱 LKF⁽⁸⁾, 행렬 정제형 LKF⁽⁹⁾등 많은 형태의 LKF가 제시되었다.

두 번째 과정에서, 이차함수적분의 상한을 구하는데 사용되는 대표적인 부등식은 Jensen 부등식⁽¹⁾과 이를 개선한 Wirtinger 기반 부등식⁽³⁾, Bessel-Legendre 부등식⁽⁴⁾와 같은 자유행렬들이 필요하지 않은 결과와 자유행렬기반 부등식⁽⁸⁾의 두 개의 부류로 나눌 수 있다. 주목할 점은, 자유행렬기반 부등식을 사용하지 않은 결과들은 곧바로 LMI로 표시할 수 없기에, 이들의 상한을 다시 LMI형태로 바꿔주는 결과인 상호볼록조합 보조정리(reciprocally convex combination lemma)⁽²⁾⁽⁶⁾이 필요하다.

또한 좀더 많은 정보를 포함하는 LKF 구성은 이의 미분의 상한이 시간지연에 대한 1차함수($a_{1}d(t)+ a_{0}$)형태가 아니라 2차함수($a_{2}d^{2}(t)+ a_{1}d(t)+ a_{0}$)가 되는 경우, 이 이차함수가 주어진 구간에서 음이 되게 하는 조건을 접선을 이용하여 얻은 결과가 최초로 제시된 후⁽⁵⁾. 이를 개선하기 위해 여러 개의 접선을 이용한 결과가 또한 제시되었다^(10)(13). 더구나 최근에는 이에 관한 필요충분조건이 제시되어 안정성에 좀 더 많은 개선이 이루어졌다⁽¹¹⁾. 하지만 최근의 필요충분조건은 많은 자유 변수가 필요하여 계산상 많은 부담이 되는 단점이 있다⁽¹⁵⁾. 좀 더 자세한 것은 최근의 survey 논문^(14)(15)을 참고하기 바란다.

본 논문에서의 기여 점은 다음이다. (i)기존의 접선을 이용한 2차함수가 음이 되게 하는 충분조건이 아닌, 구간 분할과 S-procedure를 이용한 새로운 충분조건 조건 제한다.

(ii) 증강변수들의 정보가 좀 더 포함된 LKF를 선정하여, 여러 부등식과 새로 유도한 2차함수 음 조건을 이용하여 안정성을 보장하는 LMI 조건을 유도한다. (iii) 끝으로, 적은 변수를 가지는 유도된 결과를 대표적인 예제 두 개에 적용하여, 본 논문의 결과가 기존의 결과보다 향상된 결과임을 보인다.

2. 새로운 이차함수 음 조건

다음 보조정리1은 접선을 이용한 이차함수 음 조건에 관한 기존의 대표적인 충분조건들이다.

보조정리 1 이차함수 $f(s)= a_{2}s^{2}+ a_{1}s + a_{0},\: a_{2},\: a_{1},\: a_{0}\in R$에 대하여, 다음 중 하나를 만족하면

(i)⁽⁵⁾ $$\begin{align*} \left\{f(h_{1})< 0,\: f(h_{2})<0,\:\\ -h_{12}^{2}a_{2}+ f(h_{1})<0,\:\right. \end{align*}$$

(ii)⁽¹²⁾ $$\begin{align*} \left\{f(h_{1})<0,\: f(h_{2})<0,\:\\-\beta^{2}h_{12}^{2}a_{2}+ f(h_{1})<0 ,\:-(1-\beta)^{2}h_{12}^{2}a_{2}+ f(h_{2})<0 ,\:\right. \end{align*}$$

$f(s)< 0,\:\forall s\in[h_{1},\: h_{2}]$이다. 여기서 $h_{12}= h_{2}- h_{1},\: \beta\in[0,\:1]$이다.

위의 (i)은 $a_{2}<0$인 경우, $f(s)$는 $s=h_{1}$에서 그은 접선보다 작은 성질을 이용한 것이고, (ii)는 $s=(1-\beta)h_{1}+\beta h_{2}$에서 그은 접선보다 $f(s)$가 작은 성질을 이용한 것이다. 그 외에서 한 개의 접선이 아닌 여러 개의 접선을 이용하여 결과이 개선을 가져온 결과들이 있다^(10)(12)(13).

다음의 보조정리 2는 기존의 접선을 이용한 이차함수 음 조건이 아닌 S-procedure⁽¹⁶⁾과 구간 분할을 통한 새로운 이차함수 음 조건이다.

보조정리 2 이차함수 $f(s)= a_{2}s^{2}+ a_{1}s + a_{0},\: a_{2},\: a_{1},\: a_{0}\in R$, 자연수 $N$에 대하여 다음이 만족하면

$$\begin{align*} \left\{({i}) f(h_{1})<0,\: f(h_{2})<0,\:\\({ii})-\left(h_{\dfrac{12}{2^{N}}}\right)^{2}a_{2}+ f(h_{1}+ i\dfrac{h_{12}}{2^{N}})<0,\: i=1,\:3,\:\cdots ,\: 2^{N}-1\right. \end{align*}$$

$f(s)< 0,\:\forall s\in[h_{1},\: h_{2}]$이다. 여기서 $h_{12}= h_{2}- h_{1}$이다.

증명 첫 번째로, $a_{2}>0$인 경우는 $f(s)$가 convex함수 이므로 (i)의 조건에 의하여 $f(s)< 0,\:\forall s\in[h_{1},\: h_{2}]$이다. 다음으로 $a_{2}<0$인 경우를 생각하자. 잘 알려진 S-Procedure⁽¹⁶⁾에 의하여 다음이 성립한다.

여기서 $k(s)\ge 0,\:\forall s\in[h_{1},\: h_{2}]$이다. 다음으로 구간 $I=[h_{1},\: h_{2}]$을 균일하게 $2^{N}$개로 나누고, 각 부구간을 $I_{1},\: I_{2},\:\cdots ,\: I_{2^{N}}$으로 하고, 다음과 같이 각 구간의 $k_{i}(s)\ge 0$을 정하자.

다음 그림 1은 대표적으로 $N=2$인 경우에 대한, $k_{i}(s),\:i=1,\:2,\: 3,\:4$를 그린 그림이다.

다음으로 (3)에 각 부 구간에 (4)에 정의된 $k_{i}(s)$를 적용하면 다음을 얻는다.

$(3)\Leftarrow \begin{cases} f(s)- k_{1}(s)a_{2}<0,\:s\in I_{1}\\ f(s)-k_{2i}(s)a_{2}<0 ,\: s\in I_{2i}\cup I_{2i+1},\: i=1,\:2,\:\cdots ,\: 2^{N-1}-1\\ f(s)- k_{2^{N}}(s)a_{2}<0 ,\: s\in I_{2^{N}} \end{cases}$

여기서 각 구간에서 함수 $f(s)-k_{i}(s)a_{2}$는 스칼라 $s$에 대한 1차함수가 된다. 따라서 각 부구간의 양단에서 성립하면 된다.

$(3)\Leftarrow \begin{cases} f(s)-k_{(2i-1)}(s)a_{2}<0,\:s=\dfrac{(2i-1)h_{12}}{2^{N}},\: i=1,\: 2,\:\cdots ,\: 2^{N-1\\ f(s)-k}_{2i}(s)a_{2}<0,\:s=\dfrac{(2i-1)h_{12}}{2^{N}},\: i= 1,\: 2,\:\cdots ,\:\cdots ,\: 2^{N-1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow f(h_{1}+ i\dfrac{h_{12}}{2^{N}})- a_{2}\left(\dfrac{h_{12}}{2^{N}}\right)^{2}<0,\: i=1,\:3,\:\cdots ,\: 2^{N}-1,\:$

여기에는 다음의 관계들이 이용되었다.

$$\begin{align*} \left\{k_{1}(h_{1})= k_{2}(2\dfrac{h_{12}}{2^{N}})=k_{3}(2\dfrac{h_{12}}{2^{N}})=\cdots =k_{2^{N}}(h_{2})=0\\ k_{1}(h_{1}+\dfrac{h_{12}}{2^{N}})= k_{2}(h_{1}+\dfrac{h_{12}}{2^{N}})= k_{3}(h_{1}+ 3\dfrac{h_{12}}{2^{N}})=\cdots \\ = k_{2^{N}}(h_{1}+(2^{N}-1)\dfrac{h_{12}}{2^{N}})=(\dfrac{h_{12}}{2^{N}}\right)^{2} \end{align*}$$

이것으로 증명을 마친다.

Remark 1 구간 $[h_{1},\: h_{2}]$을 나누지 않고, (7)에서 $k(s)= s^{2}$를 (7)에 적용하여 정리하면 보조정리 1의 (i)을 얻고, (7)에서 $k(s)=(s- s_{0})^{2},\: s_{0}=(1-\beta)h_{1}+\beta h_{2},\:\beta\in[0,\:1]$를 (7)에 넣고 정리하면 보조정리 1의 (ii) 결과를 얻는다. 이를 토대로 구간을 나누어 각 구간마다 다른 $k(s)$를 적용하여 얻은 새로운 결과인 보조정리 2는 보조정리 1을 포함하는 일반화된 조건이다.

다음의 보조정리3과 보조정리4는 다음의 주요 결과 유도에 사용될 예비 결과들이다.

보조정리 3⁽⁴⁾ 두 상수 $a< b$, 행렬 $0< R=R^{T}\in R^{n\times n}$, 벡터 $\dot x(s)\in R^{n}$에 대하여, 다음이 항상 성립한다.

$-\int_{a}^{b}\dot x^{T}(s)R\dot x(s)ds\le -\dfrac{1}{b-a}\left(\phi_{1}^{T}R\phi_{1}+ 3\phi_{2}^{T}R\phi_{2}+ 5\phi_{3}^{T}R\phi_{3}\right)$

여기서 $\phi_{1}= x(b)-x(a),\: \phi_{2}= x(b)+x(a)-\dfrac{2}{b-a}\int_{a}^{b}x(s)ds ,\: \phi_{3}$

$= x(b)-x(a)+\dfrac{6}{b-a}\int_{a}^{b}x(s)ds -\dfrac{12}{(b-a)^{2}}\int_{a}^{b}(s- a)x(s)ds$.

보조정리 4⁽⁷⁾ 대칭행렬 $R_{1},\: R_{2},\: X_{1},\: X_{2}\in R^{N\times N}$과 일반 행렬 $Y_{1},\: Y_{2}\in R^{N\times N}$에 대하여 다음이 만족되면

$\begin{bmatrix}R_{1}- X_{1}&&&Y_{1}\\\star &&&R_{2}\end{bmatrix}\ge 0,\:\begin{bmatrix}R_{1}&&&Y_{2}\\\star &&&R_{2}-X_{2}\end{bmatrix}\ge 0$

항상, $\forall\alpha\in(0,\:1)$에 대하여 다음이 성립한다.

$-\begin{bmatrix}\dfrac{1}{\alpha} R_{1}&0\\0&\dfrac{1}{1-\alpha} R_{2} \end{bmatrix} \le -\begin{bmatrix}R_{1}+(1-\alpha)X_{1}&&\alpha Y_{1}+(1-\alpha)Y_{2}\\\star &&R_{2}+\alpha X_{2}\end{bmatrix} ,\:$

3. 주요 결과

다음으로는 시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템 (1)의 안정성을 보장하는 주요 결과를 제시한다.

정리 1 양확정 대칭행렬 $P_{1},\: P_{2}\in R^{7n\times 7n},\:$ $Q_{1},\: Q_{2}\in R^{6n\times 6n},\:$$R\in R^{n\times n}$, $X_{1},\: X_{2}\in R^{3n\times 3n},\:$ 그리고 두개의 일반 행렬 $Y_{1},\: Y_{2}\in R^{3n\times 3n}$, 그리고 자연수 $N$을 정의하자. 만약 이들이 다음 LMI들을 만족하면

$({i})\begin{bmatrix}\widetilde R -X_{1}&& Y_{1}\\\star &&\widetilde R\end{bmatrix}\ge 0,\:\begin{bmatrix}\widetilde R&& Y_{2}\\\star &&\widetilde R -X_{2}\end{bmatrix}\ge 0,\:$

$\left.({ii})\Omega(0,\:\dot d(t))|_{\dot d(t)=\mu_{1},\:\mu_{2}}<0,\: \Omega(h,\:\dot d(t))\right |_{\dot d(t)=\mu_{1},\:\mu_{2}}<0,\:$

$({iii})\left[\Omega(i\dfrac{h}{2^{N}},\:\dot d(t))-(\dfrac{h}{2^{N}})^{2}A_{2}(\dot d(t))\right]_{\dot d(t)=\mu_{1},\:\mu_{2}}<0,\: i=1,\:3,\:\cdots ,\: 2^{N}-1.$

시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 여기서

$\Omega(d(t),\:\dot d(t))=\dot d(t)(E_{1}+ d(t)E_{2})^{T}P_{1}(E_{1}+ d(t)E_{2})$

$$\begin{align*} + 2(E_{1}+ d(t))^{T}P_{1}E_{3}+(h-2d)\dot d(t)E_{4}^{T}P_{2}E_{4}\\+ 2 E_{4}^{T}P_{2}(E_{5}+ d(t)E_{6}+ d^{2}(t)E_{7})\\ +(E_{8}+ d(t)E_{9})^{T}Q_{1}(E_{8}+ d(t)E_{9})\\-(1-\dot d(t))(E_{10}+ d(t)E_{11})^{T}(Q_{1}- Q_{2})(E_{10}+ d(t)E_{11}) \end{align*}$$

$$\begin{align*} + 2 E_{12}^{T}Q_{1}(E_{13}+ d(t)E_{14}+ d^{2}(t)E_{15})\\ -(E_{16}+ d(t)E_{17})^{T}Q_{2}(E_{16}+ d(t)E_{17}) \end{align*}$$

$+ 2 E_{12}^{T}Q_{2}(E_{18}+ d(t)E_{19}+ d^{2}(t)E_{20})+ h^{2}A_{c}^{T}R A_{c}$

$-E_{a}^{T}(\widetilde R +(1-\dfrac{d(t)}{h})X_{1})E_{a}- 2 E_{a}^{T}(\dfrac{d(t)}{h}Y_{1}+(1-\dfrac{d(t)}{h})Y_{2})E_{b}$

또한 사용된 벡터 또는 행렬들은 다음과 같다.

$e_{i}=\left[0_{n\times(i-1)n}I_{n\times n} 0_{n\times(9-i)n}\right],\: i=1,\:2,\:\cdots ,\:9,\:$ $\left. e_{0}= 0_{n\times 9n}.\right .$

$\widetilde e_{2}=(1-\dot d(t))e_{2},\:\widetilde e_{4}=(1-\dot d(t))e_{4},\:,\:\widetilde e_{6}=(1-\dot d(t))e_{6},\:$ $A_{c}= Ae_{1}+ A_{1}e_{2},\:$ $\widetilde R ={diag}\{R ,\: 3 R ,\: 5 R\},\:$

$$\begin{align*} c_{1}={col}\left\{e_{1}-\widetilde e_{2},\: e_{1}-\widetilde e_{6}-\dot d(t)e_{7}\right\},\:\\ c_{2}={col}\left\{\widetilde e_{2}- e_{3},\:\widetilde e_{2}- e_{8}+\dot d(t)e_{9}\right\},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} c_{3}={co l}\left\{e_{1}-\widetilde e_{2}-\dot d(t)e_{6},\: e_{1}-\widetilde e_{6}- 2\dot d(t)e_{7}\right\},\:\\ c_{4}={col}\left\{\widetilde e_{2}- e_{3}+\dot d(t)e_{8},\:\widetilde e_{2}- e_{8}+ 2\dot d(t)e_{9}\right\},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} E_{1}={co l}\left\{e_{1},\: e_{2},\: e_{3},\: e_{0},\: e_{0},\: he_{8,\:}he_{9}\right\},\: E_{2}={co l}\left\{e_{0,\:}e_{0},\: e_{0},\: e_{6,\:}e_{7},\: -e_{8},\: -e_{9}\right\},\:\\ E_{3}={co l}\left\{A_{c,\:}\widetilde e_{4},\: e_{5},\:c_{1},\: c_{2}\right\},\: E_{4}={co l}\left\{e_{1},\: e_{2},\: e_{3},\: e_{6},\: e_{7},\: e_{8,\:}e_{9}\right\},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} E_{5}={co l}\left\{e_{0,\:}e_{0},\: e_{0},\: hc_{3},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\: E_{6}={co l}\left\{h A_{c,\:}h\widetilde e_{4},\: h e_{5},\: -c_{3},\: c_{4}\right\},\:\\ E_{7}={co l}\left\{-A_{c,\:}-\widetilde e_{4},\: - e_{5},\: e_{0},\: e_{0},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\:E_{8}= c ol\left\{e_{0,\:}e_{0},\: he_{8},\: e_{1},\: A_{c}\right\},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} E_{9}= c ol\left\{e_{0},\: -e_{6},\: -e_{6}+ e_{8},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\:E_{10}= c ol\left\{e_{0},\: e_{0},\:-h e_{8},\: e_{2},\: e_{4}\right\},\:\\ E_{11}= c ol\left\{e_{6},\:e_{0},\: e_{8},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\: E_{12}= c ol\left\{e_{1},\:\widetilde e_{2},\: e_{3},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\:\\ E_{13}= c ol\left\{e_{0},\: e_{0},\: e_{0},\: e_{0},\: e_{0},\: ,\: e_{1}- e_{2}\right\},\:\\ E_{14}= c ol\left\{e_{0},\: e_{0},\: e_{0},\: - e_{8},\: e_{6},\: e_{0},\: ,\: e_{1}- e_{2}\right\},\:\\ E_{15}= c ol\left\{e_{7},\: e_{7}- e_{6},\: e_{7}-e_{6}+ e_{8},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\: E_{16}= c ol\left\{he_{8},\: he_{8},\: e_{0},\: e_{3},\: e_{5}\right\},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} E_{17}= c ol\left\{e_{6}- e_{8},\: -e_{8},\: e_{0},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\:\\ E_{18}= c ol\left\{h^{2}e_{9},\: h^{2}e_{9},\: h^{2}(e_{9}- e_{8}),\: h e_{8},\: e_{2}-e_{3}\right\},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} E_{19}= c ol\left\{-2he_{9}-e_{6},\: -2h e_{9},\: -2h(e_{9}- e_{8}),\: -e_{8},\: e_{0}\right\},\:\\ E_{20}= c ol\left\{e_{9}- e_{6},\: e_{9},\: e_{9}- e_{8},\: e_{0},\: e_{0}\right\},\: \end{align*}$$

$E_{a}= c ol\left\{e_{1}- e_{2},\: e_{1}+ e_{2}- 2 e_{6},\: e_{1}- e_{2}+ 6 e_{6}- 12 e_{7}\right\},\:$

$E_{b}= c ol\left\{e_{2}- e_{3},\: e_{2}+ e_{3}- 2e_{8},\: e_{2}- e_{3}+ 6 e_{8}- 12 e_{9}\right\}.$

증명 먼저, 간소함을 위해, $t_{d}=t-d(t),\:t_{h}=t-h,\:$ $h_{d}(t)= h-d(t)$로 정의하고, 다음의 증강변수를 정의하자.

다음은, 새로운 형태의 다음의 2차함수를 생각하자.

여기서 $V_{k},\: k=1,\:2,\:3,\:4,\:$는 다음으로 정의된다.

여기서

$\left\{\begin{array}{l}\eta_0(t)=\operatorname{col}\left\{\mathrm{x}(\mathrm{t}), \mathrm{x}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{d}}\right), \mathrm{x}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{h}}\right)\right\}, \\ \eta_1(\mathrm{t})=\operatorname{col}\left\{\eta_0(\mathrm{t}), \mathrm{d}(\mathrm{t})\left[\mathrm{u}_1(\mathrm{t}), \mathrm{u}_2(\mathrm{t})\right], \mathrm{h}_{\mathrm{d}}(\mathrm{t})\left[\mathrm{v}_1(\mathrm{t}), \mathrm{v}_2(\mathrm{t})\right]\right\}, \\ \eta_2(\mathrm{t})=\operatorname{col}\left\{\eta_0(\mathrm{t}), \mathrm{u}_1, \mathrm{u}_2, \mathrm{v}_1(\mathrm{t}), \mathrm{v}_2(\mathrm{t})\right\}, \\ \mathrm{w}(\mathrm{t}, \mathrm{s})=\operatorname{col}\left\{\int_{\mathrm{s}}^{\mathrm{t}} \mathrm{x}(\theta) \mathrm{d} \theta, \int_{\mathrm{s}}^{\mathrm{t}_{\mathrm{d}}} \mathrm{x}(\theta) \mathrm{d} \theta, \int_{\mathrm{s}}^{\mathrm{t}_{\mathrm{h}}} \mathrm{x}(\theta) \mathrm{d} \theta, \mathrm{x}(\mathrm{s}), \dot{\mathrm{x}}(\mathrm{s})\right\}, \\ \mathrm{w}(\mathrm{t}, \mathrm{s})=\operatorname{col}\left\{\int_{\mathrm{s}}^{\mathrm{t}_{\mathrm{d}}} \mathrm{x}(\theta) \mathrm{d} \theta, \int_{\mathrm{s}}^{\mathrm{t}_{\mathrm{d}}} \mathrm{x}(\theta) \mathrm{d} \theta, \int_{\mathrm{s}}^{\mathrm{t}_{\mathrm{h}}} \mathrm{x}(\theta) \mathrm{d} \theta, \mathrm{x}(\mathrm{s}), \dot{\mathrm{x}}(\mathrm{s})\right\} .\end{array}\right.$

그러면 대칭행렬들의 조건 $P_{1},\: P_{2},\: Q_{1},\: Q_{2},\: R >0$ 하에서 (9)의 $V_{k}(x_{t})\ge 0 ,\:\forall k\in[1,\:4]$이므로 (8)의 $V(x_{t})$는 LKF후보함수이다. 다음을 위해 다음의 벡터를 정의하자.

$\xi_{t}=\ c ol\left\{\eta_{0}(t),\:\dot x(t_{d}),\:\dot x(t_{h}),\: u_{1}(t),\:v_{1}(t),\: u_{2}(t),\: v_{2}(t)\right\}$ (10)

다음으로 위의 (9)에 정의된 증강된 LKF 후보함수의 시스템 궤적 (1)에 따른 시간 미분을 구하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \dot V_{1}(x_{t})=\dot d(t)\eta_{1}^{T}P_{1}\eta_{1}(t)+ 2\eta_{1}^{T}(t)P_{1}\dot\eta_{1}(t) \\=\xi_{t}^{T}\left\{\dot d(t)[E_{1}+ d(t)E_{2}]^{T}P_{1}[E_{1}+ d(t)E_{2}] + 2[E_{1}+ d(t)E_{2}]^{T}P_{1}E_{3}\right\}\xi_{t},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} \dot V_{2}(x_{t})=[h-2d(t)]\dot d(t)\eta_{2}^{T}(t)P_{2}\eta_{2}(t)+ 2d(t)h_{d}(t)\eta_{2}^{T}(t)P_{2}\dot\eta_{2}(t)\\ =\xi_{t}^{T}\left\{[h-2d(t)]\dot d(t)E_{4}^{T}P_{2}E_{4}+ 2 E_{4}^{T}P_{2}[E_{5}+ d(t)E_{6}+d^{2}(t)E_{7}]\right\}\xi_{t,\:} \end{align*}$$

$\dot{V}_3\left(x_t\right)=w^T(t, t) Q_1 w_1(t, t)-[1-\dot{d}(t)] w^T\left(t, t_d\right)\left(Q_1-Q_2\right) w\left(t, t_d\right) \mid$ $-w_2^T\left(t, t_h\right) Q_2 w_2\left(t, t_h\right)+2 \int_{t_d}^t w_1^T(t, s) Q_1 \frac{\partial}{\partial t} w_1(t, s) d s$ $+2 \int_{t_h}^{t_d} w_2^T(t, s) Q_2 \frac{\partial}{\partial t} w_2(t, s) d s$

$$\begin{align*} \left. =\xi_{t}^{T}\left\{(E_{8}+ d(r)E_{9})^{T}Q_{1}(E_{8}+ d(t)E_{9})\right . \\-(1-\dot d(t))[E_{10}+ d(t)E_{11}]^{T}(Q_{1}- Q_{2})[E_{10}+ d(t)E_{11}]\right .\\ + 2 E_{12}^{T}Q_{1}[E_{13}+ d(t)E_{14}+d^{2}(t)E_{15}] \\-[E_{16}+ d(t)E_{17}]^{T}Q_{2}[E_{16}+ d(t)E_{17}]\\ \left . + 2 E_{12}^{T}Q_{2}[E_{18}+ d(t)E_{19}+ d^{2}(t)E_{20}]\right\}\xi_{t},\: \end{align*}$$

$$\begin{align*} \dot V_{4}(x_{t})= h&^{2}\dot x^{T}(t)R\dot x(t)- h\int_{t_{h}}^{t}\dot x^{T}(s)R\dot x(s)ds \end{align*}$$

$=h^2 \dot{x}(t) {R} \dot{x}(t)-h \int_{t_d}^t \dot{x^T}(s) \dot{R x}(s) d s-h \int_{t_h}^{t_d} x^T(s) {R} \dot{x}(s) d s$

$\le h^{2} \xi_{t}^{T}A_{c}^{T}R A_{c}\xi_{t}-\dfrac{1}{\alpha}\xi_{t}^{T}E_{a}^{T}\widetilde R E_{a}\xi_{t}-\dfrac{1}{1-\alpha}\xi_{t}^{T}E_{b}^{T}\widetilde R E_{b}\xi_{t}$

$\le h^{2}\xi_{t}^{T}A_{c}^{T}R A_{c}\xi_{t}$

$-\xi_t^T\left[\begin{array}{l}E_a \\ E_b\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}\tilde{R}+(1-\alpha) X_1 & \alpha Y_1+(1-\alpha) Y_2 \\ \star & \tilde{R}+\alpha X_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}E_a \\ E_b\end{array}\right] \xi_t$,

여기서 $\alpha =\dfrac{d(t)}{h}$이고, $\dot V_{4}(x_{t})$의 상한을 구하는 데는 보조정리 3과 보조정리 4의 부등식이 연속적으로 이용되었다.

마지막으로, 위에서 구하여진 시간미분들을 모두 정리 면 다음을 얻는다.

$\dot v(x_{t})\le\xi_{t}^{T}\Omega(d(t),\:\dot d(t))\xi_{t},\:$

여기서 $\Omega(d(t),\:\dot d(t))$는 (5)에 정의된 행렬로써, 이는 $\dot d(t)$에 대하여는 1차 행렬, $d(t)$에 대하여는 2차 행렬이다. 즉, 이는 다음으로 분해되며

$\Omega(d(t),\:\dot d(t))= d^{2}(t)A_{2}(\dot d(t))+\Omega_{0}(d(t),\:\dot d(t))$

여기서 $A_{2}(\dot d(t))$는 (6)에 정의된 2차 항의 계수행렬이고, $\Omega_{0}(d(t),\:\dot d(t))$는 $d(t)$에 대한 1차 함수로 주어지는 행렬이다.

따라서 보조정리 2에 의하여 (i)-(ii)를 만족하면 $\Psi(d(t),\:\dot d(t))<0 \Leftrightarrow \dot v(x_{t})<0,\:$$\forall\xi_{t}neq 0$이므로 시간지연 조건 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.

4. 수치 예제

다음은 위에서 제시된 결과의 유용성을 잘 알려진 대표적인 2개의 수치 예제^{(3)(5)(7)(10)}를 통하여 보이도록 한다.

예제 1 다음으로 기술되는 시간지연 선형 시스템을 고려하자.

$\dot x(t)=\begin{bmatrix}-2&&0\\0&&-0.9\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}-1&&0\\-1&&-1\end{bmatrix}x(t-d(t))$.

이 시스템은 비교를 위하여 많이 다루어져왔고, 시간지연이 일정 상수일 때(즉, $\dot d(t)=0,\:\forall t$), 안정성이 보장되는 최대시간지연은 $h_{\max}=6.1725$로 알려졌다⁽¹⁷⁾. 다음의 표1은 여러 시간지연의 허용 변화율 $-\mu_{1}=\mu_{2}$에 따른 안정도를 보장하는 최대 시간지연 허용치 $h$를 정리1에 의해 구하여진 값과 기존의 결과들과 비교 정리한 표이다. 이 표1에서 보듯이 새로이 제시된 정리1의 결과는 기존의 결과보다 우수함을 알 수 있다.

표1 에서 ⁽¹⁰⁾의 결과는 구간을 $[0,\:h]$를 $N=3$개의 구간으로 나누어 유도한 이차함수 음 조건을 이용한 결과이고, ^(12)(13)의 결과는 보조정리 1의 (ii)를 사용한 결과로써, non-LMI변수인 스칼라 $\beta\in[0,\:1]$를 포함하는 LMI를 풀어야하기에, 많은 시행착오와 많은 시간이 필요한 결과이다.

특별히, (*)표시한 ⁽¹¹⁾의 결과는 이차함수 음조건의 필요충분조건을 사용한 결과로써, 결정변수(NODV)=$235n^{2}+ 35 n$으로 정리1의 결정변수 (NODV)=$101n^{2}+ 15n$에 비하여 상태변수 갯수 $n$이 증가하면 매우 크므로 계산상의 부담이 크게 작용한다. 끝으로 정리1에서 $N$은 구간 $[0,\:h]$를 균일하게 나눈 부 구간 개수이다.

예제 2 다음의 같은 행렬을 갖는 시간지연 시스템 (1)을 고려하자.

$A=\begin{bmatrix}0&&1\\-1&&-2\end{bmatrix},\:A_{1}=\begin{bmatrix}0&&0\\-1&&1\end{bmatrix}$.

이 시스템의 경우, 시간지연이 일정 상수일 때(즉, $\dot d(t)=0,\:\forall t$), 안정성이 보장되는 최대시간지연은 $h_{\max}=\infty$임을 참고문헌⁽¹⁷⁾의 2-D stability tests를 이용하면 쉽게 구할수 있다. 그리고 예제 1의 경우와 같이 여러 시간지연의 허용 변화율 $-\mu_{1}=\mu_{2}$에 따른 안정도를 보장하는 최대 시간지연 허용치 $h$를 정리1에 의해 구하여진 값과 기존의 결과들과 비교 정리한 것이 표2이다. 이 표2에서 보듯이 새로이 제시된 정리1의 결과는 기존의 결과보다 우수함을 알 수 있다.

끝으로, 위의 표2에서 ⁽¹⁰⁾의 결과는 구간을 $[0,\:h]$를 $N=3$ 구간으로 나누어 유도한 이차함수 음 조건을 이용한 결과이고, 정리1의 결과에서 $N$은 구간 $[0,\:h]$를 균일하게 나눈 부 구간 개수이다.

5. 결 론

본 논문에서는 S-procedure와 구간 분할을 이용하여 이차함수가 주어진 구간에서 음이 되게 하는 새로운 조건을 제시하였다. 이는 증강된 LKF를 바탕으로 이의 시간 미분의 상한을 여러 부등식을 통하여 구한 결과가 이차 함수이기에 마지막으로 이를 LMI로 변환하는데 매우 긴요한 결과이다. 끝으로 제시된 결과는 두 개의 대표적 예제를 통하여 기존의 결과보다 우수함을 보였다.