2. 새로운 이차함수 음 조건
다음 보조정리1은 접선을 이용한 이차함수 음 조건에 관한 기존의 대표적인 충분조건들이다.
보조정리 1 이차함수 f(s)=a2s2+a1s+a0,a2,a1,a0∈R에 대하여,
다음 중 하나를 만족하면
(i)(5) {f(h1)<0,f(h2)<0,−h212a2+f(h1)<0,
(ii)(12) {f(h1)<0,f(h2)<0,−β2h212a2+f(h1)<0,−(1−β)2h212a2+f(h2)<0,
f(s)<0,∀s∈[h1,h2]이다. 여기서 h12=h2−h1,β∈[0,1]이다.
위의 (i)은 a2<0인 경우, f(s)는 s=h1에서 그은 접선보다 작은 성질을 이용한 것이고, (ii)는 s=(1−β)h1+βh2에서 그은 접선보다 f(s)가 작은 성질을 이용한 것이다. 그 외에서 한 개의 접선이 아닌 여러 개의 접선을 이용하여 결과이 개선을
가져온 결과들이 있다(10)(12)(13).
다음의 보조정리 2는 기존의 접선을 이용한 이차함수 음 조건이 아닌 S-procedure(16)과 구간 분할을 통한 새로운 이차함수 음 조건이다.
보조정리 2 이차함수 f(s)=a2s2+a1s+a0,a2,a1,a0∈R,
자연수 N에 대하여 다음이 만족하면
{(i)f(h1)<0,f(h2)<0,(ii)−(h122N)2a2+f(h1+ih122N)<0,i=1,3,⋯,2N−1
f(s)<0,∀s∈[h1,h2]이다. 여기서 h12=h2−h1이다.
증명 첫 번째로, a2>0인 경우는 f(s)가 convex함수 이므로 (i)의 조건에 의하여 f(s)<0,∀s∈[h1,h2]이다. 다음으로 a2<0인 경우를 생각하자. 잘 알려진 S-Procedure(16)에 의하여 다음이 성립한다.
여기서 k(s)≥0,∀s∈[h1,h2]이다. 다음으로 구간 I=[h1,h2]을 균일하게
2N개로 나누고, 각 부구간을 I1,I2,⋯,I2N으로 하고, 다음과 같이 각 구간의 ki(s)≥0을 정하자.
다음 그림 1은 대표적으로 N=2인 경우에 대한, ki(s),i=1,2,3,4를 그린 그림이다.
그림. 1. N=2인 경우의 다양한 ki(s)
Fig. 1. Various ki(s) for N=2
다음으로 (3)에 각 부 구간에 (4)에 정의된 ki(s)를 적용하면 다음을 얻는다.
(3)⇐{f(s)−k1(s)a2<0,s∈I1f(s)−k2i(s)a2<0,s∈I2i∪I2i+1,i=1,2,⋯,2N−1−1f(s)−k2N(s)a2<0,s∈I2N
여기서 각 구간에서 함수 f(s)−ki(s)a2는 스칼라 s에 대한 1차함수가 된다. 따라서 각 부구간의 양단에서 성립하면 된다.
(3)⇐{f(s)−k(2i−1)(s)a2<0,s=(2i−1)h122N,i=1,2,⋯,2N−1f(s)−k2i(s)a2<0,s=(2i−1)h122N,i=1,2,⋯,⋯,2N−1
⇔f(h1+ih122N)−a2(h122N)2<0,i=1,3,⋯,2N−1,
여기에는 다음의 관계들이 이용되었다.
{k1(h1)=k2(2h122N)=k3(2h122N)=⋯=k2N(h2)=0k1(h1+h122N)=k2(h1+h122N)=k3(h1+3h122N)=⋯=k2N(h1+(2N−1)h122N)=(h122N)2
이것으로 증명을 마친다.
Remark 1 구간 [h1,h2]을 나누지 않고, (7)에서 k(s)=s2를 (7)에 적용하여 정리하면 보조정리 1의
(i)을 얻고, (7)에서 k(s)=(s−s0)2,s0=(1−β)h1+βh2,β∈[0,1]를
(7)에 넣고 정리하면 보조정리 1의 (ii) 결과를 얻는다. 이를 토대로 구간을 나누어 각 구간마다 다른 k(s)를 적용하여 얻은 새로운 결과인
보조정리 2는 보조정리 1을 포함하는 일반화된 조건이다.
다음의 보조정리3과 보조정리4는 다음의 주요 결과 유도에 사용될 예비 결과들이다.
보조정리 3(4) 두 상수 a<b, 행렬 0<R=RT∈Rn×n, 벡터 ˙x(s)∈Rn에 대하여, 다음이
항상 성립한다.
−∫ba˙xT(s)R˙x(s)ds≤−1b−a(ϕT1Rϕ1+3ϕT2Rϕ2+5ϕT3Rϕ3)
여기서 ϕ1=x(b)−x(a),ϕ2=x(b)+x(a)−2b−a∫bax(s)ds,ϕ3
=x(b)−x(a)+6b−a∫bax(s)ds−12(b−a)2∫ba(s−a)x(s)ds.
보조정리 4(7) 대칭행렬 R1,R2,X1,X2∈RN×N과 일반 행렬 Y1,Y2∈RN×N에 대하여 다음이 만족되면
[R1−X1Y1⋆R2]≥0,[R1Y2⋆R2−X2]≥0
항상, ∀α∈(0,1)에 대하여 다음이 성립한다.
−[1αR10011−αR2]≤−[R1+(1−α)X1αY1+(1−α)Y2⋆R2+αX2],
3. 주요 결과
다음으로는 시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템 (1)의 안정성을 보장하는 주요 결과를 제시한다.
정리 1 양확정 대칭행렬 P1,P2∈R7n×7n, Q1,Q2∈R6n×6n,R∈Rn×n, X1,X2∈R3n×3n, 그리고 두개의 일반 행렬
Y1,Y2∈R3n×3n, 그리고 자연수 N을 정의하자. 만약 이들이 다음 LMI들을 만족하면
(i)[˜R−X1Y1⋆˜R]≥0,[˜RY2⋆˜R−X2]≥0,
(ii)Ω(0,˙d(t))|˙d(t)=μ1,μ2<0,Ω(h,˙d(t))|˙d(t)=μ1,μ2<0,
(iii)[Ω(ih2N,˙d(t))−(h2N)2A2(˙d(t))]˙d(t)=μ1,μ2<0,i=1,3,⋯,2N−1.
시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 여기서
Ω(d(t),˙d(t))=˙d(t)(E1+d(t)E2)TP1(E1+d(t)E2)
+2(E1+d(t))TP1E3+(h−2d)˙d(t)ET4P2E4+2ET4P2(E5+d(t)E6+d2(t)E7)+(E8+d(t)E9)TQ1(E8+d(t)E9)−(1−˙d(t))(E10+d(t)E11)T(Q1−Q2)(E10+d(t)E11)
+2ET12Q1(E13+d(t)E14+d2(t)E15)−(E16+d(t)E17)TQ2(E16+d(t)E17)
+2ET12Q2(E18+d(t)E19+d2(t)E20)+h2ATcRAc
−ETa(˜R+(1−d(t)h)X1)Ea−2ETa(d(t)hY1+(1−d(t)h)Y2)Eb
또한 사용된 벡터 또는 행렬들은 다음과 같다.
ei=[0n×(i−1)nIn×n0n×(9−i)n],i=1,2,⋯,9, e0=0n×9n.
˜e2=(1−˙d(t))e2,˜e4=(1−˙d(t))e4,,˜e6=(1−˙d(t))e6,
Ac=Ae1+A1e2, ˜R=diag{R,3R,5R},
c1=col{e1−˜e2,e1−˜e6−˙d(t)e7},c2=col{˜e2−e3,˜e2−e8+˙d(t)e9},
c3=col{e1−˜e2−˙d(t)e6,e1−˜e6−2˙d(t)e7},c4=col{˜e2−e3+˙d(t)e8,˜e2−e8+2˙d(t)e9},
E1=col{e1,e2,e3,e0,e0,he8,he9},E2=col{e0,e0,e0,e6,e7,−e8,−e9},E3=col{Ac,˜e4,e5,c1,c2},E4=col{e1,e2,e3,e6,e7,e8,e9},
E5=col{e0,e0,e0,hc3,e0,e0},E6=col{hAc,h˜e4,he5,−c3,c4},E7=col{−Ac,−˜e4,−e5,e0,e0,e0,e0},E8=col{e0,e0,he8,e1,Ac},
E9=col{e0,−e6,−e6+e8,e0,e0},E10=col{e0,e0,−he8,e2,e4},E11=col{e6,e0,e8,e0,e0},E12=col{e1,˜e2,e3,e0,e0},E13=col{e0,e0,e0,e0,e0,,e1−e2},E14=col{e0,e0,e0,−e8,e6,e0,,e1−e2},E15=col{e7,e7−e6,e7−e6+e8,e0,e0},E16=col{he8,he8,e0,e3,e5},
E17=col{e6−e8,−e8,e0,e0,e0},E18=col{h2e9,h2e9,h2(e9−e8),he8,e2−e3},
E19=col{−2he9−e6,−2he9,−2h(e9−e8),−e8,e0},E20=col{e9−e6,e9,e9−e8,e0,e0},
Ea=col{e1−e2,e1+e2−2e6,e1−e2+6e6−12e7},
Eb=col{e2−e3,e2+e3−2e8,e2−e3+6e8−12e9}.
증명 먼저, 간소함을 위해, td=t−d(t),th=t−h, hd(t)=h−d(t)로 정의하고, 다음의 증강변수를
정의하자.
다음은, 새로운 형태의 다음의 2차함수를 생각하자.
여기서 Vk,k=1,2,3,4,는 다음으로 정의된다.
여기서
{η0(t)=col{x(t),x(td),x(th)},η1(t)=col{η0(t),d(t)[u1(t),u2(t)],hd(t)[v1(t),v2(t)]},η2(t)=col{η0(t),u1,u2,v1(t),v2(t)},w(t,s)=col{∫tsx(θ)dθ,∫tdsx(θ)dθ,∫thsx(θ)dθ,x(s),˙x(s)},w(t,s)=col{∫tdsx(θ)dθ,∫tdsx(θ)dθ,∫thsx(θ)dθ,x(s),˙x(s)}.
그러면 대칭행렬들의 조건 P1,P2,Q1,Q2,R>0 하에서 (9)의 Vk(xt)≥0,∀k∈[1,4]이므로 (8)의 V(xt)는 LKF후보함수이다. 다음을 위해 다음의 벡터를 정의하자.
ξt= col{η0(t),˙x(td),˙x(th),u1(t),v1(t),u2(t),v2(t)} (10)
다음으로 위의 (9)에 정의된 증강된 LKF 후보함수의 시스템 궤적 (1)에 따른 시간 미분을 구하면 다음을 얻는다.
˙V1(xt)=˙d(t)ηT1P1η1(t)+2ηT1(t)P1˙η1(t)=ξTt{˙d(t)[E1+d(t)E2]TP1[E1+d(t)E2]+2[E1+d(t)E2]TP1E3}ξt,
˙V2(xt)=[h−2d(t)]˙d(t)ηT2(t)P2η2(t)+2d(t)hd(t)ηT2(t)P2˙η2(t)=ξTt{[h−2d(t)]˙d(t)ET4P2E4+2ET4P2[E5+d(t)E6+d2(t)E7]}ξt,
˙V3(xt)=wT(t,t)Q1w1(t,t)−[1−˙d(t)]wT(t,td)(Q1−Q2)w(t,td)∣
−wT2(t,th)Q2w2(t,th)+2∫ttdwT1(t,s)Q1∂∂tw1(t,s)ds
+2∫tdthwT2(t,s)Q2∂∂tw2(t,s)ds
=ξTt{(E8+d(r)E9)TQ1(E8+d(t)E9)−(1−˙d(t))[E10+d(t)E11]T(Q1−Q2)[E10+d(t)E11]+2ET12Q1[E13+d(t)E14+d2(t)E15]−[E16+d(t)E17]TQ2[E16+d(t)E17]+2ET12Q2[E18+d(t)E19+d2(t)E20]}ξt,
˙V4(xt)=h2˙xT(t)R˙x(t)−h∫tth˙xT(s)R˙x(s)ds
=h2˙x(t)R˙x(t)−h∫ttd˙xT(s)˙Rx(s)ds−h∫tdthxT(s)R˙x(s)ds
≤h2ξTtATcRAcξt−1αξTtETa˜REaξt−11−αξTtETb˜REbξt
≤h2ξTtATcRAcξt
−ξTt[EaEb]T[˜R+(1−α)X1αY1+(1−α)Y2⋆˜R+αX2][EaEb]ξt,
여기서 α=d(t)h이고, ˙V4(xt)의 상한을 구하는 데는 보조정리 3과 보조정리 4의 부등식이
연속적으로 이용되었다.
마지막으로, 위에서 구하여진 시간미분들을 모두 정리 면 다음을 얻는다.
˙v(xt)≤ξTtΩ(d(t),˙d(t))ξt,
여기서 Ω(d(t),˙d(t))는 (5)에 정의된 행렬로써, 이는 ˙d(t)에 대하여는 1차 행렬, d(t)에
대하여는 2차 행렬이다. 즉, 이는 다음으로 분해되며
Ω(d(t),˙d(t))=d2(t)A2(˙d(t))+Ω0(d(t),˙d(t))
여기서 A2(˙d(t))는 (6)에 정의된 2차 항의 계수행렬이고, Ω0(d(t),˙d(t))는 d(t)에
대한 1차 함수로 주어지는 행렬이다.
따라서 보조정리 2에 의하여 (i)-(ii)를 만족하면 Ψ(d(t),˙d(t))<0⇔˙v(xt)<0,∀ξtneq0이므로 시간지연 조건 (2)를 갖는 시간 지연 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.