1. 서 론

실제 자연계 시스템에서 시간지연은 항상 존재하는 요소이고, 이는 시스템 성능 저하뿐만 아니라 시스템의 안정성에도 지대한 영향을 미친다. 이러한 이유로 시간 지연 시스템의 안정성 문제는 매우 활발히 연구가 진행되고 있다^{(3)(8)(18)(22)}. 시간영역에서 기술되는 다음의 시간지연 선형 시스템을 생각하자.

여기서 $x(t)\in{bold R}^{n}$은 상태 벡터, $A ,\: A_{1}\in{bold R}^{n\times n}$은 상수 시스템 행렬, $\psi(\theta)$는 상태 벡터의 초기 조건, 그리고 시간 지연 $d(t)$는 시변으로 다음을 만족한다.

시간영역에서, 시변 지연 (2)를 갖는 시간지연 시스템 (1)의 안정성 보장에 관한 수많은 결과는 다음의 두 단계를 거쳐 얻었다. 첫 번째는 적당한 하나의 LKF(Lyapunov- Krasvskii functional)의 선정이고, 두 번째는, 여러 부등식 및 관계식을 이용하여 이의 시간 미분이 음이 되게 하는 충분조건의 LMI(linear matrix inequality)를 얻는 것이다. 대표적인 첫 번째 방법들로는 증강 LKF^(13)(16), 다중적분 LKF⁽¹⁰⁾, 지연분할 LKF⁽¹⁶⁾, 지연곱형 LKF⁽¹³⁾, 다항식형 LKF⁽¹⁵⁾ 등이 있다. 그리고 대표적인 두 번째 방법은 적분부등식에 관한 결과들로써 Jensen 부등식⁽²⁾, Wirtinger기반 부등식⁽⁷⁾, Bessel-Legendre 부등식⁽⁹⁾등은 추가 자유행렬이 필요 없는 적분 부등식이지만 convex 형태가 아니기에, 이를 convex 형태로 바꿀 때는 추가적인 부등식인 상호 볼록(reciprocally convex) 부등식^(6)(11)이 필요하다. 또 다른 적분 부등식으로는 추가적인 자유행렬이 필요한 자유행렬(free matrix)기반 적분 부등식⁽¹⁴⁾가 있다. 이에 관한 좀 더 자세한 내용은 조사(survey) 논문^(18)(22)와 책⁽³⁾⁽⁸⁾을 참고하길 바란다.

그리고 스칼라 변수에 관하여 affine형태의 행렬부등식은 곧 바로 선형행렬부등식으로 변환이 가능하지만, 그렇지 않은 스칼라 변수에 관해 이차(quadratic) 형태의 행렬 부등식을 선형행렬부등식으로 변환하기 위한 충분조건^(10)(21) 및 필요충분조건^(19)(20)(21)이 제시되었다.

본 논문에서는 시간지연 $d(t)$가 속한 구간 $[0,\:h]$을 동일한 크기의 두 구간 $\left[0,\:\dfrac{h}{2}\right]$과 $\left[\dfrac{h}{2},\: h\right]$로 나눈후, 경계인 $\dfrac{h}{2}$에서는 같은 값을 갖지만 각각의 구간에서 서로 다른 두 개 LKF를 선정하여, 각각의 구간에서 각 LKF의 시간 미분이 음이 되면, 시스템은 전체 시간지연구간 $[0,\:h]$에서 점근적으로 안정함을 보이는 결과를 먼저 제시한다. 이를 바탕으로 시간지연 (2)를 갖는 시스템 (1)의 점근적 안정성을 보장하는 LMI 형태의 결과를 제시한다. 끝으로 잘 알려진 수치예제 2개를 통하여 제시된 결과의 유용성을 보인다.

2. 예비 결과

다음의 보조정리 1은 이 논문의 주요 아이디어인 연속인 두 개의 LKF를 이용한 시간지연 시스템의 점근적 안정성을 보장하는 결과이다.

보조정리 1: 인접한 두 개의 영역 $T_{1}=\left\{t:d(t)\in\left[0,\:\dfrac{h}{2}\right]\right\}$과 $T_{2}=\left\{t: d(t)\in\left[\dfrac{h}{2},\: h\right]\right\}$에서 각각 정의된 LKF 후보함수 $v_{1}(x_{t})$와 $v_{2}(x_{t})$와, 그리고 새로운 함수 $v(x_{t})=\begin{cases} v_{1}(x_{t}),\: {if}t\in T_{1},\:\\ v_{2}(x_{t}),\: {if}t\in T_{2} \end{cases}$를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다.

증명: 먼저 $\left\{t_{1},\: t_{2},\: t_{3},\: t_{4,\:}\cdots\right\}=\{t: d(t)=\dfrac{h}{2}\}$라하고, 일반성을 잃지 않고 $d(0)\in T_{2}$라 하자. 그러면 (3)에 의하여

$\begin{cases} (i)v_{1}(x_{t})= v_{2}(x_{t}),\:{if}t\in I_{1}\cap I_{2}=\left\{t_{1},\: t_{2},\: t_{3},\: t_{4},\:\cdots\right\},\:\\ (ii)\dot v_{1}(x_{t})<0,\:\forall x_{t}neq 0,\: {if}t\in I_{1}=[t_{1},\: t_{2}]\cup[t_{3},\: t_{4}]\cup\cdots ,\:\\ (iii)\dot v_{2}(x_{t})<0,\:\forall x_{t}neq 0,\: {if}t\in I_{2}=[t_{0},\: t_{1}]\cup[t_{2},\: t_{3}]\cup[t_{4},\: t_{5}]\cup\cdots \end{cases}$

여기서 조건 (i)에 의하여 $v(x_{t})$는 연속함수이고, 또한 (ii)와 (iii)에 의하여 $v_{1}(x_{t})$와 $v_{2}(x_{t})$는 각각 영역 $T_{1}$과 $T_{2}$에서 감소함수이다. 이를 경향을 나타낸 것이 다음 그림 1이다.

그림 1 조건 (i)-(iii)을 만족하는 LKF $v_{1}(x_{t})$와 $v_{2}(x_{t})$

Fig. 1 LKF $v_{1}(x_{t})$와 $v_{2}(x_{t})$ satisfying (i)-(iii)

그림 1에서 보듯이 새로이 정의된 함수 $v(x_{t})$는 감소함수이다. 즉 $\forall d(t)\in[0,\:h]$ 에 대하여 $\lim_{t\to\infty} v(x_{t})=0$이다.

Remark 1: 임의로 스위칭하는 스위칭 시스템에 대하여 다중 Lyapunov 함수를 사용한 안정도 해석의 결과로는 연속인 Lyapunov 함수를 사용한 결과와 불연속 Lyapunov 함수를 사용한 평균 dwell-time에 따른 안정도 해석에 관한 결과가 있지만 이들 모두 시간지연이 없는 시스템에 관한 결과들이다⁽⁴⁾⁽⁵⁾.

다음의 보조정리 2,3은 잘 알려진 것들로, 다음 주요 결과의 유도에 사용될 결과들이다.

보조정리 2^(7)(14): 대칭행렬 $R>0$, 실수 $a<b$에 대하여 다음의 적분 부등식이 성립한다.

(i) $-\int_{a}^{b}\dot x^{T}(s)R\dot x(s)ds\le -\dfrac{1}{b-a}\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix}R0\\03R\end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{bmatrix},\:$

(ii) $-\int_{a}^{b}\dot x^{T}(s)R\dot x(s)ds\le 2 p_{1}^{T}X_{13}p_{1}+ 2\xi_{0}^{T}X_{23}p_{2}\\ +(b-a)\left(p_{1}^{T}X_{11}p_{1}+\dfrac{1}{3}\xi_{0}^{T}X_{22}\xi_{0}\right),\:$

여기서 $\xi_{0}$는 적당한 차원의 임의의 벡터이고, 또한

$X=\begin{bmatrix}X_{11}&&X_{12}&&X_{13}\\\star &&X_{22}&&X_{23}\\\star &&\star &&R\end{bmatrix}\ge 0$, $\begin{cases} p_{1}= x(b)-x(a),\: \\ p_{2}= x(b)+x(a)-\dfrac{2}{b-a}\int_{a}^{b}x(s)ds. \end{cases}$

증명: (i)의 증명은 ⁽⁷⁾에 있고, (ii)의 증명은 ⁽¹⁴⁾의 증명과 유사하게, 먼저 $\phi(t,\:s)= c ol\left\{p_{1},\:\dfrac{1}{b-a}(s-\dfrac{b+a}{2})\xi_{0,\:}\dot x(s)\right\}$라 하고, 이를 관계식 $0\le\int_{a}^{b}\phi^{T}(t,\:s)X\phi(t,\:s)ds$에 적용하면 쉽게 (ii)를 얻는다. 이것으로 증명을 마친다.

보조정리 3⁽¹²⁾: 벡터 $\beta ,\:$ 양확정 행렬 $R>0$에 대하여 정의된 다음 부등식은, $\forall\alpha\in(0,\:1)$에 대하여, 항상 성립한다.

$\begin{aligned}-\frac{1}{\alpha} \beta_1^T R \beta_1-\frac{1}{1-\alpha} \beta_2^T R \beta_2 \leq & \\ & -\left[\begin{array}{c}\beta_1 \\ \beta_2\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}R+(1-\alpha) X_1 & \alpha Y_1+(1-\alpha) Y_2 \\ \star & R+\alpha X_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\beta_1 \\ \beta_2\end{array}\right],\end{aligned}$

여기서 $X_{1}= R- Y_{1}R^{-1}Y_{1}^{T},\:X_{2}= R - Y_{2}^{T}R^{-1}Y_{2}$ 이다.

3. 주요 결과

다음으로는 시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템 (1)의 안정성을 보장하는 주요 결과를 제시한다.

정리 1: 양확정 행렬 $P\in bold R^{3n\times 3n},\:$ $Q_{1},\: Q_{2},\: S_{1},\: S_{2}$$\in bold R^{6n\times 6n},\:$ $R_{1},\: R_{2}\in bold R^{n\times n}$, 일반 행렬 $Y_{1},\: Y_{2}\hat Y_{1},\:\hat Y_{2}\in bold R^{2n\times 2n}$, 그리고 대칭인 두 양확정 행렬 $X_{1},\:\hat X_{1}$을 생각하자.

$X_1=\left[\begin{array}{ccc}X_{11} & X_{12} & X_{13} \\ \star & X_{22} & X_{23} \\ \star & \star & R_2\end{array}\right] \geq 0, \quad \widehat{X}_1=\left[\begin{array}{ccc}\widehat{X_{11}} & \widehat{X_{12}} & \widehat{X_{13}} \\ \star & \widehat{X_{22}} & \widehat{X_{23}} \\ \star & \star & R_1\end{array}\right] \geq 0$

여기서 $X_{11},\:\hat X_{11}\in R^{n\times n},\: X_{22},\:\hat X_{22}\in bold R^{3n\times 3n}$이다. 만약, $\dot d(t)=\mu_{1},\:\mu_{2}$에 대하여, 다음의 LMI들을 만족하면

시간지연 (2)를 갖는 시간지연 선형 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 여기서

그리고 사용된 벡터 또는 행렬들은 다음과 같다.

$\begin{aligned} & e_i=\left[\begin{array}{lll}0_{n \times(i-1) n} & I_{n \times n} & 0_{n \times(10-i) n}\end{array}\right], i=1,2, \cdots, 10, \\ & e_0=0_{n \times 10 n} . \quad A_c=A e_1+A_1 e_2 \text {, } \\ & \widetilde{R}_1=\operatorname{diag}\left\{R_1, 3 R_1\right\}, \widetilde{R}_2=\operatorname{diag}\left\{R_2, 3 R_2\right\} \text {, } \\ & \eta_0=\operatorname{col}\left\{e_1, e_2, e_3, e_4\right\} \text {, } \\ & \hat{\eta_0}=\operatorname{col}\left\{A c,(1-\dot{d}(t)) e_8, e_9, e_{10}\right\} \text {, } \\ & E_{a 1}=e_3-e_4 \\ & E_{a 2}=e_3+e_4-\frac{h}{4}\left(\left(h-d(t) e_7+\left(d(t)-\frac{h}{2}\right) e_6\right) \text {, }\right. \\ & E_{a 3}=\operatorname{col}\left\{e_1-e_2, e_1+e_2-2 e_5\right\} \\ & E_{a 4}=\operatorname{col}\left\{e_2-e_3, e_2+e_3-2 e_6\right\} \\ & E_{b 1}=e_1-e_3, \\ & E_{b 2}=e_1+e_3-\frac{h}{4}\left(\left(\frac{h}{2}-d(t)\right) e_6+d(t) e_5\right) \text {, } \\ & E_{b 3}=\operatorname{col}\left\{e_3-e_2, e_2+e_3-2 e_6\right\} \text {, } \\ & E_{b 4}=\operatorname{col}\left\{e_2-e_4, e_2+e_4-2 e_7\right\} \text {, } \\ & E_1=\operatorname{col}\left\{d(t) e_5,\left(\frac{h}{2}-d(t)\right) e_6,(h-d(t)) e_7\right\}, \\ & E_2=\operatorname{col}\left\{e_1-(1-\dot{d}(t)) e_2,(1-\dot{d}(t)) e_2-e_3,(1-\dot{d}(t)) e_2-e_4\right\} \text {, } \\ & E_3=\operatorname{col}\left\{\eta_0, e_3, e_9\right\}, E_4=\operatorname{col}\left\{\eta_0, e_4, e_{10}\right\}, \\ & E_5=\operatorname{col}\left\{\eta_0, e_2, e_8\right\}, E_6=\operatorname{col}\left\{\eta_0, e_1, A c\right\}, E_7=\operatorname{col}\left\{\hat{\eta_0}, e_0, e_0\right\} \text {, } \\ & E_8=\operatorname{col}\left\{\frac{h}{2} \eta_0,(h-d(t)) e_7+\left(d(t)-\frac{h}{2}\right) e_6, e_3-e_4\right\}, \\ & E_9=\operatorname{col}\left\{\left(\frac{h}{2}-d(t)\right) \eta_0,\left(\frac{h}{2}-d(t)\right) e_6, e_2-e_3\right\}, \\ & E_{10}=\operatorname{col}\left\{d(t) \eta_0, d(t) e_5, e_1-e_2\right\} \text {, } \\ & E_{11}=\operatorname{col}\left\{(h-d(t)) \eta_0,(h-d(t)) e_7, e_2-e_4\right\} \text {, } \\ & E_{12}=\operatorname{col}\left\{\frac{h}{2} \eta_0,\left(\frac{h}{2}-d(t)\right) e_6+d(t) e_5, e_1-e_3\right\} \text {, } \\ & E_{13}=\operatorname{col}\left\{e_3+e_4, e_6, e_7\right\}, \\ & \end{aligned}$

증명: 먼저, 3개의 증강 변수 $q_{1},\: q_{2},\: q_{3}$와 4개의 벡터 $\eta_{0},\:\eta_{1},\:\rho(t,\:s)$,$\xi_{t}$, 그리고 2개의 시간 집합 $T_{1},\: T_{2}$를 정의하자.

다음으로 시스템 (1)의 LKF 후보 $v(x_{t})$를 정하자.

여기서 $v_{a},\: v_{b1},\: v_{b2}$는 다음으로 정의된 2차 함수들이다.

$\begin{cases} v_{a}(x_{t})=\eta_{1}^{T}(t)P\eta_{1}(t)+\dfrac{h}{2}\int_{t-h}^{t-\dfrac{h}{2}}(h-t +s)\dot x^{T}(s)R_{1}\dot x(s)ds \\ +\dfrac{h}{2}\int_{t-\dfrac{h}{2}}^{t}(\dfrac{h}{2}-t +s)\dot x^{T}(s)R_{2}\dot x(s)ds ,\:\\ v_{b1}(t)=\int_{t-h}^{t-\dfrac{h}{2}}\rho^{T}(t,\:s)Q_{1}\rho(t,\:s)ds +\int_{t-\dfrac{h}{2}}^{t- d(t)}\rho^{T}(t,\:s)S_{1}\rho(t,\:s)ds\\ +\int_{t-d(t)}^{t}\rho^{T}(t,\:s)Q_{2}\rho(t,\:s)ds,\:\\ v_{b2}(t)=\int_{t-h}^{t- d(t)}\rho^{T}(t,\:s)Q_{1}\rho(t,\:s)ds +\int_{t- d(t)}^{t-\dfrac{h}{2}}\rho^{T}(t,\:s)S_{2}\rho(t,\:s)ds\\ +\int_{t-\dfrac{h}{2}}^{t}\rho^{T}(t,\:s)Q_{2}\rho(t,\:s)ds ,\: \end{cases}$

다음은 (9)에 정의된 LKF함수 후보가 보조정리1의 조건 (i)-(iii)을 만족함을 보인다.

첫 번째로, $d(t)=\dfrac{h}{2}$일 때, $v_{b1}(x_{t})= v_{b2}(x_{t})$ 이므로, 즉

이 되어 보조정리1 의 (i) 조건을 만족한다.

두 번째로, $t\in T_{1}$인 경우, 시스템 (1)의 궤적에 따른 $v_{1}(x_{t})$의 시간 미분을 구하면 다음이 된다.

$\begin{aligned} & \dot{v}_1\left(x_t\right)=2 \eta_1^T(t) P \dot{\eta}_1(t) \\ & +\left(\frac{h}{2}\right)^2 \dot{x}\left(t-\frac{h}{2}\right)^T R_1 \dot{x}\left(t-\frac{h}{2}\right)+\left(\frac{h}{2}\right)^2 \dot{x}^T(t) R_2 \dot{x}(t) \\ & -\frac{h}{2} \int_{t-h}^{t-\frac{h}{2}} \dot{x}^T(s) R_2 \dot{x}(s) d s \\ & -\frac{h}{2} \int_{t-d(t)}^t \dot{x}^T(s) R_1 \dot{x}(s) d s-\frac{h}{2} \int_{t-\frac{h}{2}}^{t-d(t)} \dot{x}^T(s) R_1 \dot{x}(s) d s \\ & +\rho^T\left(t, t-\frac{h}{2}\right)\left(Q_1-S_1\right) \rho\left(t, t-\frac{h}{2}\right)-\rho^T(t, t-h) Q_1 \rho(t, t-h) \\ & +(1-\dot{d}(t)) \rho^T(t, t-d(t))\left(S_1-Q_2\right) \rho(t, t-d(t)) \\ & +\rho^T(t, t) Q_2 \rho(t, t)+2 \frac{\partial}{\partial t} \rho^T(t, s) Q_1 \int_{t-h}^{t-\frac{h}{2}} \rho(t, s) d s \\ & +2 \frac{\partial}{\partial t} \rho^T(t, s) S_1 \int_{t-\frac{h}{2}}^{t-d(t)} \rho(t, s) d s \\ & +2 \frac{\partial}{\partial t} \rho^T(t, s) Q_2 \int_t^{t-d(t)} \rho(t, s) d s \\ & \leq \xi_t^T\left\{2 E_1^T P E_2+\left(\frac{h}{2}\right)^2\left(e_9^T R_1 e_9+A_c^T R_2 A_c\right)\right. \\ & +\left(\frac{h}{2}\right)^2\left(E_{a 1}^T X_{11} E_{a 1}+\frac{1}{3} E_{13}^T X_{22} E_{13}\right) \\ & +\left(\frac{h}{2}\right)\left(E_{a 1}^T X_{13} E_{a 1}+E_{13}^T X_{23} E_{a 2}\right) \\ & -E_{a 3}^T\left(\widetilde{R}_2+\left(1-\alpha_1\right)\left(\widetilde{R}_2-Y_1 \widetilde{R}^{-1} Y_1^T\right)\right) E_{a 3} \\ & -2 E_{a 3}^T\left(\alpha_1 Y_1+\left(1-\alpha_1\right) Y_2\right) E_{a 4} \\ & -E_{a 4}^T\left(\widetilde{R}_2+\alpha_1\left(\widetilde{R}_2-Y_2^T \widetilde{R}^{-1} Y_2\right)\right) E_{a 4} \\ & +E_3^T\left(Q_1-S_1\right) E_3+E_4^T Q_1 E_4+(1-\dot{d}(t)) E_5^T\left(S_1-Q_2\right) E_5 \\ & \left.+E_6^T Q_2 E_6+2 E_7^T Q_1 E_8+2 E_7^T S_1 E_9+2 E_7^T Q_2 E_{10}\right\} \xi_t \\ & =\xi_t^T\left\{\Omega_1(d(t), \dot{d}(t))+\Omega_{1 a}(d(t))\right\} \xi_t, \\ & \end{aligned}$

여기서, $\alpha_{1}=\dfrac{2d(t)}{h}$, $\Omega_{1a}(d(t))=(1-\alpha_{1})E_{a3}^{T}\left(Y_{1}\widetilde R_{2}^{-1}Y_{1}^{T}\right)E_{a3}$

$+\alpha_{1}E_{a4}^{T}Y_{2}^{T}\widetilde R_{2}^{-1}Y_{2}E_{a4}$는 스칼라 $d(t)$에 대한 affine 행렬이고, $\Omega_{1}(d(t),\:\dot d(t))$는 (6)에 정의된 스칼라 $d(t)$와 $\dot d(t)$에 대한 affine 행렬이다. 따라서, Schur complement⁽¹⁾를 사용하면, 다음이 성립하므로.

보조정리 1의 (ii) 조건을 만족한다.

세 번째로, $t\in T_{2}$인 경우, 시스템 (1)의 궤적에 따른 $v_{2}(x_{t})$의 시간 미분을 구하면 다음이 된다.

$\begin{aligned} & \dot{v}_1\left(x_t\right)=2 \eta_1^T(t) P \dot{\eta}_1(t)+\left(\frac{h}{2}\right)^2 \dot{x}\left(t-\frac{h}{2}\right)^T R_1 \dot{x}\left(t-\frac{h}{2}\right) \\ & +\left(\frac{h}{2}\right)^2 \dot{x}^T(t) R_2 \dot{x}(t)-\frac{h}{2} \int_{t-h}^{t-d(t)} \dot{x}^T(s) R_2 \dot{x}(s) d s \\ & -\frac{h}{2} \int_{t-d(t)}^{t-\frac{h}{2}} \dot{x}^T(s) R_2 \dot{x}(s) d s-\frac{h}{2} \int_{t-\frac{h}{2}}^t \dot{x}^T(s) R_1 \dot{x}(s) d s \\ & \end{aligned}$

$\begin{aligned} & +(1-\dot{d}(t)) \rho^T(t, t-d(t))\left(Q_1-S_2\right) \rho(t, t-d(t)) \\ & -\rho^T(t, t-h) Q_1 \rho(t, t-h)+\rho^T\left(t, t-\frac{h}{2}\right)\left(S_2-Q_2\right) \rho\left(t, t-\frac{h}{2}\right) \\ & +\rho^T(t, t) Q_2 \rho(t, t)+2 \frac{\partial}{\partial t} \rho^T(t, s) Q_1 \int_{t-h}^{t-d(t)} \rho(t, s) d s \\ & +2 \frac{\partial}{\partial t} \rho^T(t, s) S_2 \int_{t-d(t)}^{t-\frac{h}{2}} \rho(t, s) d s \\ & +2 \frac{\partial}{\partial t} \rho^T(t, s) Q_2 \int_{t-\frac{h}{2}}^t \rho(t, s) d s \\ & \leq \xi_t^T\left\{2 E_1^T P E_2+\left(\frac{h}{2}\right)^2\left(e_9^T R_1 e_9+A_c^T R_2 A_c\right)\right. \\ & +\left(\frac{h}{2}\right)^2\left(E_{b 1}^T \widehat{X_{11}} E_{b 1}+\frac{1}{3} E_{14}^T \widehat{X_{22}} E_{14}\right) \\ & +\left(\frac{h}{2}\right)\left(E_{b 1}^T \widehat{X_{13}} E_{b 1}+E_{14}^T \widehat{X_{23}} E_{b 2}\right) \\ & -E_{b 3}^T\left(\widetilde{R}_1+\left(1-\alpha_2\right)\left(\widetilde{R}_1-\widehat{Y}_1 \widetilde{R}^{-1} \widehat{Y}_1^T\right)\right) E_{b 3} \\ & -2 E_{a 3}^T\left(\alpha_2 \widehat{Y}_1+\left(1-\alpha_2\right) \widehat{Y}_2\right) E_{b 4} \\ & -E_{b 4}^T\left(\widetilde{R}_1+\alpha_2\left(\widetilde{R}_1-\widehat{Y}_2^T \widetilde{R}_1^{-1} \widehat{Y}_2\right)\right) E_{a 4} \\ & +(1-\dot{d}(t)) E_5^T\left(Q_1-S_2\right) E_5-E_4^T Q_1 E_4+E_3^T\left(S_2-Q_2\right) E_3 \\ & \left.+E_6^T Q_2 E_6+2 E_7^T Q_1 E_{11}-2 E_7^T S_2 E_9+2 E_7^T Q_2 E_{12}\right\} \xi_t \\ & =\xi_t^T\left\{\Omega_2(d(t), \dot{d}(t))+\Omega_{2 a}(d(t))\right\} \xi_t, \\ & \end{aligned}$

여기서 $\alpha_{2}=\dfrac{2d(t)}{h}-1$, $\Omega_{2a}(d(t))=(1-\alpha_{2)}E_{a3}^{T}\left(\hat Y_{1}\widetilde R_{1}^{-1}\hat Y_{1}^{T}\right)E_{a3}$

$+\alpha_{2}E_{a4}^{T}\hat Y_{2}^{T} \widetilde R_{1}^{-1}\hat Y_{2}E_{a4}$는 스칼라 $d(t)$에 대한 affine 행렬이고, $\Omega_{2}(d(t),\:\dot d(t))$는 (7)에 정의된 스칼라 $d(t)$와 $\dot d(t)$에 대한 affine 행렬이다. 따라서, Schur complement⁽¹⁾를 사용하면, 다음이 성립하므로

보조정리 1의 (iii) 조건을 만족한다. 끝으로 위의 사실들을 종합하면, (10),(11),(12)와 보조정리 1에 의하여, 시간지연 (2)를 갖는 시스템 (1)은 점근적으로 안정하다. 이것으로 증명을 마친다.

4. 수치 예제

다음은 위에서 제시된 결과의 유용성을 잘 알려진 대표적인 2개의 수치 예제들을 통하여 보이도록 한다.

예제 1. 다음으로 기술되는 시간지연 선형 시스템을 고려하자^{(7)(10)(12)(17)(19)}.

$\dot x(t)=\begin{bmatrix}-2&&0\\0&&-0.9\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}-1&&0\\-1&&-1\end{bmatrix}x(t-d(t))$

이 시스템은 결과의 비교를 위하여 많이 다루어져 왔고, 시간지연이 시불변일 때(즉, $\dot d(t)=0,\:\forall t$), 안정성이 보장되는 최대 시간지연은 $h_{\max}=6.1725$로 알려졌다⁽³⁾.

위의 표 1은 여러 시간지연의 허용 변화율 $-\mu_{1}=\mu_{2}$에 따른 안정도를 보장하는 최대 시간지연 허용치 $h$를 정리1에 의해 구하여진 값과 기존의 결과들과 비교 정리한 표이다. 위의 표 1에서 보듯이 새로이 제시된 정리1의 결과는 기존의 결과보다 우수함을 알 수 있다. 여기서 NOVD는 결정변수의 개수이고, 정리1의 결과에서 두 개의 LKF 사용에 따른 추가 결정변수 개수는 $S_{1},\: S_{2}$의 156과 $X_{1},\:\hat X_{1}$의 104이다.

예제 2: 다음의 같은 행렬을 갖는 시간지연 시스템 (1)을 고려하자^(7)(12)(17)[190⁽²⁰⁾.

$A=\begin{bmatrix}0&&1\\-1&&-2\end{bmatrix},\:A_{1}=\begin{bmatrix}0&&0\\-1&&1\end{bmatrix}$

이 시스템의 경우, 시간지연이 시불변일 때(즉, $\dot d(t)=0,\:\forall t$), 안정성이 보장되는 최대 시간지연은 $h_{\max}=\infty$임을 참고문헌⁽³⁾의 2-D stability tests를 이용하면 쉽게 구할수 있다. 그리고 예제 1의 경우와 같이 여러 시간지연의 허용 변화율 $-\mu_{1}=\mu_{2}$에 따른 안정도를 보장하는 최대 시간지연 허용치 $h$를 정리1에 의해 구하여진 값과 기존의 결과들과 비교 정리한 것이 표 2이다.

위의 표 2에서 보듯이 새로이 제시된 정리1의 결과는 기존의 결과보다 우수함을 알 수 있다.

Remark 2: 일반적으로 좀 더 많은 증강변수의 도입과 다항식형태의 2차 LKF의 도입으로 LKF의 시간 미분의 상한이 시간지연에 대한 2차행렬 형태가 되면, 안정성 결과가 향상됨을 보인다^(10)(20)(22). 위의 예제1과 에제 2의 수치 예제는 새로이 제시되는 2개의 LKF 사용의 유용성을 보이기 위하여, 주로 시간 미분의 상한이 시간지연에 대하여 2차가 아닌 1차인 결과들과 비교를 하였다. 하지만 특별히 시간 미분이 2차가 되지만 필요충분조건을 이용하여 좀 더 나은 결과를 얻은 특별한 결과로 *표시로 구분한 결과인 ^(19)(20)도 보였다. 이는 정리1의 결과에 기존의 방식인 좀 더 많은 증강변수 도입과 다항식 형태의 2차 LKF의 도입으로 이의 시간 미분이 시간지연에 대하여 affine이 아닌 2차가 되면 좀 더 나은 결과를 얻을 수 있음이 분명하기 때문이다.

5. 결 론

본 논문에서는 먼저, 새로운 접근 방법인, 시간지연 구간을 동일하게 두 구간 $\left[0,\:\dfrac{h}{2}\right],\:\left[\dfrac{h}{2},\: h\right]$으로 나눈 후, 두 구간의 경계에서는 연속이지만 각 구간에서 서로 다른 LKF 함수를 이용하여 시간지연 전 구간 $[0,\:h]$에서 점근적 안정성을 보장하는 결과를 새로이 제시하고, 이를 바탕으로 시간지연 시스템의 점근적 안정성을 보장하는 LMI 형태의 조건을 제시하였다. 이의 유도에는 잘 알려진 적분 부등식들이 사용되었다. 끝으로 새로이 제시된 결과는 두 개의 대표적 예제들을 통하여 기존의 결과보다 우수함을 보였다.