손영익
(Young Ik Son)
†iD
임승철
(Seungchul Lim)
1iD
-
(Dept. of Mechanical Engineering, Myongji University, Korea)
Copyright © The Korea Institute for Structural Maintenance and Inspection
Key words
Internal Model Principle, Extended State Observer, Reduced-order Observer, Sinusoidal Signal, Equivalence Condition
1. 서 론
산업 공정의 고도화에 따라 더욱 정밀하고 강인한 제어시스템이 요구되고 있다[1,2]. 제어대상 시스템이 강인한 제어 성능을 갖기 위한 제어기법에는 슬라이딩 모드 제어[3,4], 외란 관측기(Disturbance Observer; DOB) 기반 제어 등이 있다[5-8]. 그중 외란의 동특성을 가정하고 확장된 시스템에 대한 상태관측기를 설계하여 외란을 추정하고 보상하는 방법이 활발하게 연구되고 있다[9-12]. 한편 강인제어 기법중 하나인 내부모델 원리(Internal Model Principle; IMP)에 기반한 제어 방법은 외란 모델을 제어기가 포함하고
있어 강인한 제어 성능을 발휘하는 것으로 알려져 있다[13-15].
최근 논문 [16]에서는 모터 속도 제어 시스템과 같은 1차 시스템을 대상으로 오프셋을 갖는 삼각함수 외란에 대한 강인성을 갖는 IMP 기반 제어기와 외란 모델을 활용한
축소차수 외란 관측기(Reduced-order DOB; RODOB) 기반 제어기가 동일한 제어시스템으로 표현되기 위한 설계 조건을 제시하였다.
본 논문에서는 속도 제어시스템에 대한 이전 결과[16]를 위치 제어시스템과 같은 보다 일반적인 고차시스템으로 확장하기 위한 연구를 진행한다. 고차시스템인 경우에도 상태궤환 이득과 확장된 시스템에 대한
축소차수 외란 관측기의 이득에 따라 두 제어시스템의 전달함수가 같게 하는 조건식을 행렬 계산을 통해 유도한다.
오프셋을 갖는 삼각함수 외란에 대해 단일 부궤환 제어시스템 구조로 설계된 IMP 기반 제어기 전달함수와 외란 모델로 확장된 시스템에 대한 RODOB
기반 제어시스템이 같은 구조 및 전달함수를 갖도록 하는 설계 조건을 제시한다. 상태공간 방정식으로 표현된 제어기를 전달함수 표현으로 고치는 방법은
잘 알려져 있지만, 단일 부궤환 시스템 구조의 전달함수로 설계된 제어기를 같은 성능을 갖는 관측기 기반 제어기로 상태공간 방정식에서 표현하는 결과는
많지 않다[15].
본 논문은 이전 결과[15]와 달리 추가적인 필터 설계 없이 기준입력을 RODOB에 결합하는 방법[16]을 통해 등가의 RODOB 기반 제어기를 고차시스템으로 확장하는 과정을 설명한다. 이를 통해 동일한 과도 응답 및 정상상태 특성을 갖는 제어기를 전달함수와
상태공간 방정식으로 각각 구현할 수 있으므로 IMP 기반 제어기와 RODOB 설계에 대한 연구자들의 이해를 돕고 두 가지 제어 방법의 설계 도구를
모두 활용할 수 있다.
고려하는 두 제어 방법의 성능을 테스트하기 위해 오프셋을 갖는 삼각함수 외란에 강인한 전동기 위치제어기 설계 문제를 모의한다. 대상 시스템은 기존
논문[16]과 같은 시스템을 대상으로 전류 동특성을 포함한 모델을 사용하여 축소 모델을 사용해서 설계한 제어기들의 강인성을 확인한다.
이후 논문의 구성은 2.1절에서 대상 시스템 모델과 제어 문제를 정의하고 2.2절과 2.3절에서 IMP 기반 제어기와 RODOB 기반 제어기를 소개한다.
2.4절에서 두 제어기가 등가성을 갖도록 RODOB 기반 제어기의 설계 조건을 설명한다. 3장에서 두 제어기의 위치제어 성능을 모의실험으로 비교하고
4장 결론으로 마친다.
2. 본 론
2.1 시스템 모델 및 제어 문제
본 논문은 아래와 같은 DC 모터 방정식을 고려한다[17].
위 식에서 $\theta_{m}$, $\omega_{m}$, $i_{a}$는 각각 전동기의 회전자 위치, 속도 및 전류이다. $u$는 전압 입력이고
$T_{L}$은 부하 토크 외란을 나타낸다. $J_{m}$과 $B_{m}$은 회전자의 관성 질량과 마찰 계수이고, $K_{t}$와 $K_{b}$는
토크 상수 및 역기전력 상수이다. $L_{a}$와 $R_{a}$는 각각 전기자 인덕턴스와 저항이다.
전동기는 기계적인 동특성이 전기적인 동특성에 비해 매우 느린 경우가 많으므로 본 논문은 인덕턴스 $L_{a}\approx 0$인 축소 모델을 고려한다[18,19]. 단, 축소 모델로 설계한 제어기의 성능은 식 (1)의 전체 모델에 대해 시험한다.
일반적인 시스템으로 확장을 고려하여 시스템의 상태 $x =[\theta_{m};\omega_{m}]$, 외란 $d = -(R_{a}/K_{t})T_{L}$라고
정의할 때 아래 식을 얻을 수 있다. 본 논문에서 고려하는 기준입력 $r$과 외란 $d$는 상수항과 삼각함수 항의 합으로 구성된다. 이때 주파수 $\omega_{0}$는
안다고 가정하고, $d_{1}$, $d_{2}$, $\theta_{d}$는 미지의 상수이다.
삼각함수 기준입력을 추종하는 위치제어 문제에서 속도는 기준입력과 동일한 주파수를 갖고 운동에 따른 외란도 동일한 주파수를 갖는다고 가정한다[1]. 다음 절에서는 내부모델 원리 (IMP, Internal Model Principle) 기반 제어기를 소개한다.
2.2 내부모델 원리 (IMP) 기반 제어기
그림 1과 같은 단일 부궤환 시스템에 대해 전달함수 $G(s)$와 출력 $Y(s)$ 및 오차 $E(s)= R(s)- Y(s)$는 아래와 같다.
라플라스 변환된 $R(s)$ 및 $D(s)$는 아래 식과 같다.
식 (6)에서 특성방정식 $\gamma_{1}(s):= 1 + C(s)G(s)= 0$의 모든 근이 안정하고 제어기 $C(s)$의 분모가 기준입력과 외란 모델의
특성다항식을 인수로 가지면 정상상태 오차를 0으로 할 수 있다[1,13].
식 (7)과 (8)로부터 제어기 $C(s)$의 분모에 아래 식 (9)와 같이 $s(s^{2}+\omega_{0}^{2})$을 포함하면 정상상태 오차 0인 제어 결과를 얻을 수 있다. 제어기 파라미터 $\beta_{i}$
($0\le i\le 4$) 및 $\alpha$는 폐루프 전달함수의 안정도와 과도특성을 고려해서 결정한다.
다음절에서는 외란에 강인한 다른 제어 방법으로 외란 모델을 이용한 외란 관측기 기반 제어기를 소개한다.
그림 1. 외란을 갖는 단일 부궤환 시스템
Fig. 1. Unity feedback system with a disturbance
2.3 축소차수 외란관측기 기반 제어기
본 절에서는 축소차수 외란관측기 (RODOB, Reduced-order Disturbance Observer) 기반 제어기를 통해 외란에 강인한 제어기
설계 방법을 설명한다. 관측기 설계를 위해 식 (3)에서 정의한 외란 $d$에 대한 상태공간 방정식 행렬 $A_{\xi}$ 및 $C_{\xi}$를 아래와 같이 정의한다.
위 식을 포함한 확장된 시스템 식은 아래와 같다.
위 식에서 확장된 상태 $z =[x^{T}\xi^{T}]^{T}\in ℝ^{5}$, 시스템 행렬 $\overline{A}\in ℝ^{5\times
5}$, 입력 행렬 $\overline{B}\in ℝ^{5\times 1}$이고 출력 행렬 $\overline{C}\in ℝ^{1\times 5}$이다.
확장 시스템 (11)은 관측가능함을 알 수 있다[1,20]. 상태 $z$의 첫 번째 성분이 시스템 출력 $y$이고 $z_{1}=\theta_{m}$을 제외한 나머지 4개의 상태들을 $z_{2}$로 정의하여
이를 추정한다. RODOB 설계를 위해 아래와 같이 나타낸다. 식 (2)와 비교하면 $a_{11}= 0$, $\overline{A}_{12}=[1 0 0 0]$이고, $\overline{B}_{1}= 0$이다.
본 논문에서 고려하는 RODOB 기반 제어시스템 구조는 그림 2와 같다. 그림에서 $N$과 $M$은 기준 입력에 곱해지는 이득이고 $\overline{K}$는 추정된 상태와 외란에 대한 제어 이득으로 다음 절에서
상세하게 설명한다.
그림 2. 축소차수 외란관측기 기반 제어기
Fig. 2. Reduced-order DOB-based controller
관측기 설계를 위해 식 (12b)를 풀어쓰면 아래와 같다.
식 (13a)에서 $\overline{A}_{12}z_{2}=\dot{z_{1}}-a_{11}z_{1}-\overline{B}_{1}u$가 측정가능하면 $\overline{A}_{12}z_{2}$는
전차수 관측기의 출력($\overline{C}z$)과 같은 역할을 하므로 아래와 같은 축소차수 관측기를 설계한다. 해당 식에서 $M r$은 식 (9)와 등가인 제어기 설계를 위해 추가된 항이다. 관측기 이득 $L\in ℝ^{4\times 1}$은 관측 오차 행렬 ($A_{o}:=\overline{A}_{22}-
L\overline{A}_{12}$)이 Hurwitz 하게 앞 절의 $\gamma_{1}(s)$와 비교를 통해 설계한다.
식 (13)과 식 (14)로부터 추정 오차 $\widetilde{z}_{2}:= z_{2}-\hat{z}_{2}$의 동특성을 아래와 같이 나타낼 수 있다.
식 (14)의 $\overline{A}_{12}z_{2}$에 포함된 미분 값 ($\dot{z}_{1}$)의 사용을 피해 변수 $z_{c}:=\hat{z}_{2}-
Lz_{1}$를 정의하면 최종적으로 아래와 같은 관측기 식을 얻을 수 있다.
다음절에서는 그림 1의 IMP 기반으로 설계된 단일 부궤환 제어시스템과 그림 2의 RODOB 기반 제어기가 같은 전달함수를 갖도록 하는 파라미터 $\overline{K}$, $L$, $N$, $M$을 차례로 결정한다.
2.4 IMP와 RODOB 제어기의 전달함수
본 절에서는 그림 1의 IMP 기반 제어기 (9)와 그림 2의 RODOB 기반 제어기가 같은 구조와 전달함수를 갖기 위한 조건을 조사하고 제어기 이득을 결정한다. 축소 차수 DOB의 변수 $\hat{z}:=[z_{1}\hat{z}_{2}^{T}]^{T}$일
때 그림 2의 제어기는 다음과 같다.
위 식에서 $K =[k_{1}k_{2}]$는 행렬 $A_{c}:= A - B K$가 Hurwitz 이게 앞 절의 $\gamma_{1}(s)$와 비교를
통해 결정한다. 식 (17)을 식 (3)에 대입하여 얻은 폐루프 시스템 방정식은 $\overline{K}_{2}=[k_{2}C_{\xi}]$이므로 아래와 같이 쓸 수 있다. 이때 $\hat{z}=[z_{1}\hat{z}_{2}^{T}]^{T}$에서
추정 오차 $\widetilde{z}= z -\hat{z}=\begin{bmatrix}0&\widetilde{z}_{2}^{T}\end{bmatrix}^{T}$이다.
위 식에 오차 식 (15)를 결합한 RODOB 기반 폐루프 방정식은 아래와 같다.
위 식으로부터 RODOB 기반 제어시스템의 폐루프 특성다항식은 아래와 같이 두 식으로 분리됨을 알 수 있다. 편의상 다항식 $\gamma_{c}(s)$와
$\gamma_{o}(s)$를 아래와 같이 각각 정의한다. 이때 $I_{n}$은 $n\times n$ 단위행렬이다.
그림 2의 RODOB 기반 제어기 (17)이 그림 1의 IMP 기반 제어기 (9)와 같기 위해서는 두 제어기가 단일 부궤환 구조로 표현되고 폐루프 특성다항식 $\gamma_{1}(s)$과 $\gamma_{2}(s)$가
서로 일치해야 한다. 이를 위해 RODOB 기반 제어기의 전달함수를 구해서 파라미터 $N$과 $M$을 결정한다.
입력 (17)을 $z_{c}$로 표현하고 라플라스 변환하면 아래와 같다.
상태 $z_{c}$의 식 (16)을 라플라스 변환하면 아래와 같다.
식 (23)을 (22)에 대입하고 정리하면 아래 식을 얻는다.
위 식에서 상수 $N$과 행렬 $M$을 아래와 같이 결정하면 그림 2의 제어기 (24)가 그림 1의 제어기 (9)와 같은 구조를 갖는다.
위와 같이 설계된 제어기 전달함수는 아래와 같다.
두 제어시스템 그림 1과 그림 2가 같은 구조이고 폐루프 특성방정식이 같다면 제어기 전달함수 (9)와 (26)은 동일하므로 $\gamma_{1}(s)=\gamma_{2}(s)=\gamma_{c}(s)\gamma_{o}(s)$을
활용하여 이득 $K$와 $L$이 정해지면 식 (25)와 같이 $N$과 $M$을 결정함으로써 IMP 기반 제어기와 동일한 RODOB 기반 제어기를 얻을 수 있다. 반면에 RODOB 기반 제어기가 먼저
설계된 경우에도 식 (26)을 통해 동일한 IMP 제어기 (9)의 이득 $\alpha$와 $\beta$를 결정할 수 있다.
다음 장에서는 모의실험을 통해 두 제어기의 성능이 동일함을 확인한다.
3. 모의실험
모의실험에서 사용한 전동기 파라미터는 표 1과 같다[16]. 본 장의 모의실험은 앞에서 설계한 제어기를 3차 시스템 (1)($L_{a}ne 0$)에 적용한 결과이다. 기준입력 $r$과 외란 $d$는 아래와
같고 외란은 $t = 0.4$s에 인가한다.
표 1 직류 전동기 파라미터
Table 1 DC motor parameters
|
$R_{a}$
|
6[Ω]
|
$L_{a}$
|
270[μH]
|
|
$J_{m}$
|
41[${g}{cm}^{2}$]
|
$B_{m}$
|
0.033149[${mNm}/({rad}/{s})$]
|
|
$K_{t}$
|
0.0377[${Nm}/{A}$]
|
$K_{b}$
|
0.0377[${V}/({rad}/{s})$]
|
아래와 같이 주어진 IMP 제어기 전달함수 (9)를 고려한다.
본 예제에서는 위 제어기를 사용한 폐루프 전달함수 극점이 아래와 같도록 분자 계수 $\beta_{4}= 21.72$, $\beta_{3}= 2338$,
$\beta_{2}= 1.19e+5$, $\beta_{1}= 4.91e+6$, $\beta_{0}=$$6.77e+7$로 결정하였다.
등가의 제어기 구조 및 폐루프 전달함수를 갖는 RODOB 기반 제어기 (17)을 설계하기 위해 식 (20)의 두 다항식 $\gamma_{c}(s)$와 $\gamma_{o}(s)$를 다음과 같이 설계한다.
위 식을 얻기 위한 이득 $K$, $L$과 차례로 얻은 $N$과 $M$은 아래와 같다.
그림 3은 기준 입력(Ref.)과 외란(Dist.)을 비교한다. 두 제어기를 사용한 폐루프 시스템의 상태, 제어 오차 및 제어 입력에 대한 비교는 그림 4와 5에 나타내었다(RODOB Con., IMP Con.). 두 제어 결과가 일치하므로 RODOB 기반 제어기 결과는 가려져 있다. 성능 비교를 위해
그림 3 ~ 5에 추가한 두 번째 IMP 기반 제어기(IMP Con.2)는 오차 공간 설계법으로 결정하였다[1]. 이때 확장된 오차 시스템의 폐루프 행렬 고유치를 위의 제어기와 유사한 성능을 갖도록 결정하였다.
앞의 두 제어기는 갑작스러운 외란 인가에도 불구하고 동일한 과도 및 정상상태 성능으로 기준입력을 잘 추종하고 있음을 볼 수 있다. 두 번째 IMP
기반 제어기(IMP Con.2)는 외란에 대한 성능은 유사하지만 제어시스템 구조 차이로 인한 영점이 달라 초기 수렴 특성에 차이가 있다.
그림 3. 기준입력과 외란 비교
Fig. 3. Reference input and disturbance comparison
그림 4. 폐루프 시스템 상태
Fig. 4. Closed-loop system states
그림 5. 제어 오차 및 제어 입력
Fig. 5. Control error and control input
4. 결 론
본 논문은 상수항과 삼각함수 항이 결합된 외란하에서 강인한 전동기 위치제어 문제를 다루었다. 같은 형태의 기준입력을 정상상태 오차 없이 추종하는 두
가지 제어기가 동일한 제어 결과를 얻기 위한 축소차수 관측기 기반 설계 방법을 제시하였다. 이는 속도 제어 문제를 다룬 이전 결과를 보다 일반적인
시스템으로 적용하기 위한 확장 연구 결과이다.
기준입력과 외란 모델의 특성다항식을 포함하는 두 가지 제어시스템에서 단일 부궤환 제어시스템 형태를 가지면서 폐루프 전달함수의 극점 비교를 통해 두
제어기가 동일한 제어 특성을 갖도록 하는 조건을 유도하였다. 단일 부궤환 제어시스템의 전달함수 제어기를 확장된 시스템의 축소차수 관측기를 통해 구현함으로써
두 제어시스템의 관계를 이해하는데 의미 있는 결과라고 할 수 있다.
모의실험 결과로부터 주어진 IMP 제어기와 동일한 제어 성능을 갖는 RODOB 제어기를 제안하는 조건에 따라 설계할 수 있음을 확인하였다. 향후 실험을
통해 두 제어기의 강인성을 비교하는 추가 연구가 진행될 예정이다.
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저자소개
He received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Seoul National University, Korea,
in 1995, 1997 and 2002, respectively. He was a visiting scholar at Cornell University
(2007~2008) and University of Connecticut (2016~2017). Since 2003, he has been with
the Department of Electrical Engineering at Myongji University, Korea, where he is
currently a professor. His research interests include robust controller design and
its application to industrial electronics.
received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from Seoul National University, KAIST,
and Virginia Tech in 1981, 1983 and 1992 respectively. He is currently with ME department
of Myongji University as a professor. His research interests include robotics and
design of high-performance dynamic systems.