2.1 고정자 쇄교자속 관측기 및 영구자석 쇄교자속 추정기

본 논문에서 사용된 고정자 쇄교자속 관측기는 그림 1에 나타난 것처럼 식 (2)-(3)을 기반으로 전류 모델과 식 (4)-(5)를 기반으로 전압 모델로 구성되어 있다. 영구자석 쇄교자속의 추정기는 식 (2)를 기반으로 하며 고정자 쇄교자속 관측기에서 추정한 $d$축 쇄교자속을 사용해 영구자석 쇄교자속을 추정하도록 설계된다.

그림 1. 고정자 쇄교자속 관측기 및 영구자석 쇄교자속 추정기의 블록 다이어그램

Fig. 1. A block diagram of stator flux linkage observer and a PM flux linkage estimator

고정자 쇄교자속 관측기는 전류 모델 및 전압 모델을 사용하여 PMSM의 쇄교자속을 추정하며 전류모델기반 관측기와 전압모델기반 관측기 사이에 위치한 제어기의 대역폭에 따라 쇄교자속추정모델이 결정된다. 따라서 제어기의 대역폭보다 저속일 때에는 전류 모델이 고속일 때에는 전압 모델이 추정 모델로 결정된다.

2.2 고정자 쇄교자속 관측기의 전류 및 전압 모델 간의 위상 차이 보상 알고리즘

고정자 쇄교자속 관측기의 전압 모델의 경우, 쇄교자속의 ($k$) 및 ($k-1$) 지점에서 샘플링된 값에 대한 평균값을 통하여 얻어진다. 결론적으로, 전압모델은 ($k-1/2$)에 해당하는 값을 출력하며, 전류모델은 ($k$)에 해당하는 값을 출력한다. 따라서 전류 모델과 전압 모델은 $1/2$ 스텝만큼 차이가 발생한다. 이는 전류 모델기반과 전압 모델기반으로 추정된 쇄교자속 간의 위상 차이로 나타나며, 영구자석 쇄교자속의 추정 오차로 이어진다. 따라서 전류 모델과 전압 모델을 사용하여 추정된 쇄교자속 간의 위상 차이 보상을 통해 쇄교자속을 더 정확하게 추정할 수 있다.

샘플 시간은 $T_{s}[\sec]$이며 구동 모터의 전기 속도는 $f_{oper}[Hz]$로 정의한다. $1/2$ 스텝 차이가 발생하므로 전류 모델기반과 전압 모델기반으로 추정된 쇄교자속 사이의 지연 시간은 $T_{s}/2[\sec]$이다. 위상 차이로 인해 보상 해야할 위상각을 계산하기 위한 방법은 $T_{s}/2[\sec]$의 시간에 해당하는 지연된 각도가 속도에 따라 다르므로 속도와 지연된 각도의 관계성을 통해 이득을 구한다. 속도와 지연된 각도는 비례적으로 변하므로 속도에 따른 지연 각도를 계산하기 위한 이득은 식 (8)과 같이 속도에 대한 함수로 유도할 수 있다.

위상 차이 보상 알고리즘을 통해 최종적으로 출력되는 위상각에 대한 방정식은 기존의 $\theta[rad]$에 식 (7)에서 구한 지연되는 위상만큼 제거하는 방식이며 식 (9)처럼 나타낼 수 있다. 그림 2는 식 (9)를 기반으로 한 블록 다이어그램을 보여준다. 식 (9)를 통해 최종적으로 출력된 위상각은 고정자 쇄교자속 관측기의 좌표 변환에 반영된다.

그림 2. 위상 차이 보상 알고리즘 블록 다이어그램

Fig. 2. A block diagram of the proposed phase compensation algorithm

그림 3은 위상 차이 보상 알고리즘을 적용한 경우의 위상각 $\theta -\theta_{de lay}[rad]$와 그렇지 않은 경우의 위상각 $\theta[rad]$을 나타내는 그래프를 보여준다. 그림 3에 보이는 바와 같이 제안하는 위상 보상 알고리즘이 반영된 경우와 반영되지 않은 경우의 간에는 샘플링 시간의 $1/2$ 만큼 위상 차이가 발생하는 것을 확인할 수 있다.

그림 3. 위상 차이 보상 알고리즘을 사용한 경우와 사용하지 않는 경우의 위상각

Fig. 3. Estimation rotor position (theta) with and without phase difference compensation algorithm

2.3 고정자 저항 추정 알고리즘

고정자 저항 추정 알고리즘은 PMSM의 전압 방정식을 기반으로 하며, $q$축 전압 방정식을 저항에 대해 정리하여 식 (10)과 같이 나타낼 수 있다. 식 (10)에서 볼 수 있듯이 고정자 저항을 추정할 때 영향을 주는 다른 매개변수는 영구자석 쇄교자속과 인덕턴스가 있다. 따라서 2.1장에서 제안한 알고리즘을 통해 영구자석 쇄교자속의 실시간 추정값을 반영하며 인덕턴스는 $q$축 전압 방정식 사용하여 추정한다. 정리된 식 (10)을 블록 다이어그램으로 나타내면 그림 4와 같다.

그림 4. 고정자 저항 추정 알고리즘 블록 다이어그램

Fig. 4. A block diagram of the proposed stator resistance estimation algorithm

2.1장에서 설명한 식(10)을 포함하는 고정자 쇄교자속 관측기를 통해 영구자석 쇄교자속을 추정한다. 추정된 영구자석 쇄교자속은 고정자 저항 추정기에 반영되어 실시간으로 저항값을 추정한다. 추정된 저항은 다시 고정자 쇄교자속 관측기에 반영되어 영구자석 쇄교자속 값을 추정하며 이 과정은 반복된다. 고정자 저항을 추정할 때 PMSM의 $d$축 전압 방정식을 사용하지 않는 이유는 ^[7]에 따르면 일반적으로 전류 변화에 따른 $L_{d}$의 변화율이 $L_{q}$의 변화율보다 작기 때문이다. 따라서 변화율이 작은 $L_{d}$을 포함하는 $q$축 전압 방정식을 사용함으로써 저항 추정에 반영되는 다른 변수인 인덕턴스를 고려하여 매개변수 추정을 위한 방정식을 기반으로 하는 추정 방법을 보완하며 고정자 저항 추정 정확도를 향상할 수 있다.

그림 5. 전류 증가에 따른 $L_{d}$와 $L_{q}$의 변화 ^[7]

Fig. 5. Change in $L_{d}$ and $L_{q}$ as current increases ^[7]

본 논문에서 제안된 알고리즘의 전제 시스템에 대한 블록 다이어그램은 그림 6처럼 나타난다. 위상 차이 보상을 고려한 고정자 쇄교자속 관측기 및 영구자석 쇄교자속의 추정기를 통해 영구자석 쇄교자속 값이 실시간으로 추정된다. 추정된 영구자석 쇄교자속 값은 이후 고정자 저항 추정기에 반영되어 고정자 저항을 추정한다. 추정된 실시간 고정자 저항값을 사용해 (1)의 식에 적용하여 PMSM의 권선 온도를 예측한다. 이때 위상 보상이 고려된 위상각은 쇄교자속 관측기의 좌표변화에 반영되며, 위상 보상을 고려하지 않는 기존의 위상각은 속도 제어 및 전류 제어시스템의 좌표 변환에 반영되어 모터 운전에 영향을 미치지 않도록 한다.

그림 6. 제안한 고정자 저항 추정기가 포함된 PMSM 속도 제어 알고리즘 블록 다이어그램

Fig. 6. A block diagram of the proposed PMSM speed control algorithm applying the proposed stator resistance estimator

3.1 고정자 쇄교자속 관측기 및 영구자석 쇄교자속 추정기의 위상 보상 알고리즘 시뮬레이션 결과

본 장에서는 Matlab/Simulink를 사용하여 2장에서 제안한 알고리즘에 대한 시뮬레이션 모델을 구현하고 검증하였다.

그림 7에서는 영구자석 쇄교자속이 변화하지 않는 조건에서 시뮬레이션 결과이다. 그림 7의 (a)는 위상 보상 알고리즘이 반영되지 않은 상태의 전류 모델 및 전압 모델의 쇄교자속의 정지 좌표계를 보여준다. 그림 7 (a)에서 볼 수 있듯이 전류 모델은 전압 모델보다 앞서 있으며, $1/2$ 스텝만큼 즉, $T_{s}/2[\sec]$만큼 차이가 발생하는 것을 확인할 수 있다. 하지만 위상 보상 알고리즘이 적용된 경우는 그림 7 (b)에 보이는 바와 같이 전류 모델과 전압 모델 간에 위상 차이가 없음을 확인할 수 있다. 정지 좌표계에서의 위상 차이는 동기 좌표계의 실제값과 추정값 사이의 오차를 유발하며 속도가 증가할수록 $\theta_{de lay}[rad]$가 커지기 때문에 속도와 비례하여 영구자석 쇄교자속의 오차를 발생한다.

그림 7. 쇄교자속 관측기의 전류 모델과 전압 모델의 $\hat{\lambda}_{dq}^{s}$ 시뮬레이션 결과 (a) 위상 보상 미반영 (b) 위상 보상 반영

Fig. 7. $\hat{\lambda}_{dq}^{s}$ simulation result of current model and voltage modle in flux linkage observer (a) without phase compensation (b) with phase compensation

그림 8은 모터의 온도 상승으로 인해 영구자석 쇄교자속의 값이 감소하는 조건에서 쇄교자속 간의 위상 오차 보상 알고리즘이 적용된 경우와 적용되지 않았을 경우의 영구자석 쇄교자속 추정 시뮬레이션 결과를 보여준다. 그림 8 (a)는 위상 보상 알고리즘이 반영되지 않아 영구자석 쇄교자속의 실제값과 추정값 간의 위상 차이로 인한 값만큼 추정 오차가 발생하는 것을 확인할 수 있다. 그러나 그림 8의 (b)는 경우 위상 보상 알고리즘을 통해 위상 차이로 인한 오차가 발생하지 않는다. 따라서 위상 보상 알고리즘을 반영함으로써 영구자석 쇄교자속의 변화에도 정확하게 추정할 수 있다. 그리고 더 정확한 영구자석 쇄교자속 추정 결과가 고정자 저항 추정 알고리즘에 반영되므로 고정자 저항의 정확한 추정이 가능해짐을 시뮬레이션 결과를 통하여 예측할 수 있다.

그림 8. $\lambda_{pm}$의 실제값과 추정값의 시뮬레이션 결과 (a) 위상 보상 미반영 (b) 위상 보상 반영

Fig. 8. Simulation result of actual and estimation of $\lambda_{pm}$ (a) without phase compensation (b) with phase compensation( $\lambda_{pm}=\lambda_{pm-i nt}*0.8$ )

3.2 제안된 알고리즘을 사용한 고정자 저항과 온도 추정 결과

본 논문에서 제안한 고정자 저항 및 온도 추정 기법에 대한 시뮬레이션 모델을 구현 후 검증하였다.

그림 9는 PMSM의 온도 상승으로 인하여 영구자석 쇄교자속이 초기값의 0.8 [p.u]로 감소하고 고정자 저항이 초기값의 1.2 [p.u]로 증가한 경우에 대해 모의한 시뮬레이션 결과를 보여준다. 시뮬레이션 결과를 통하여 볼 수 있듯이, 제안한 알고리즘을 통하여 실제 영구자석 쇄교자속과 권선 저항값이 변화하더라도 실제 값과 유사하게 추정됨을 확인할 수 있다.

그림 9. $\lambda_{pm}$과 $R_{s}$의 시뮬레이션 추정 결과

Fig. 9. Simulation estimation results of $\lambda_{pm}$ and $R_{s}$

그림 10은 모터 구동으로 인해 온도 상승이 발생하고 영구자석 쇄교자속의 실시간 값이 초기에 비해 0.9[p.u]로 감소하고 고정자 저항은 $[A]$~$[E]$의 조건에 맞게 증가하며 정격속도는 조건에 상관없이 일정하다고 가정한다. 그림 10은 위의 조건에서 $\lambda_{pm-i nt}$ 또는 $\hat{\lambda}_{pm}$을 고정자 저항 추정에 반영했을 경우 고정자 저항 추정 결과 오차율을 나타낸다. 논문에서 제안하는 고정자 저항 추정 방식은 매개변수 추정을 위한 방정식을 기반하는 추정 방법이므로 실제 값과 다른 영구자석 쇄교자속의 초기값을 대입하면 영구자석 쇄교자속의 초기값과 실제값의 차이가 반영되어 고정자 저항 추정에 오차가 발생하게 된다. 따라서 그림 10에서 볼 수 있듯이 초기값을 반영했을 때보다 추정값을 반영했을 때 저항이 정확하게 추정되는 것을 확인할 수 있다.

그림 10. $\lambda_{pm-i nt}$ 또는 $\hat{\lambda}_{pm}$을 반영했을 때 고정자 저항 추정 오차율

Fig. 10. Stator resistance estimation error rate when reflecting $\lambda_{pm-i nt}$ or $\hat{\lambda}_{pm}$ ($\lambda_{pm}=\lambda_{pm-i nt}*0.9$, $R_{s-i nt}=6.02$, $[A]R_{s}=6.5 ohm$, $[B]R_{s}=7 ohm$, $[C]R_{s}=7.5 ohm$, $[D]R_{s}=8 ohm$, $[E]R_{s}=8.5 ohm$ )

그림 11의 (a)는 그림 10에서 영구자석 쇄교자속의 추정값이 고정자 저항 추정식에 반영하는 경우의 추정 저항값과 실제 저항값을 나타낸다. 그림 11의 (b)에서는 (a)의 값인 실제 고정자 저항값과 추정 저항값을 주어진 시뮬레이션 조건에서 식(1)에 대입해 계산된다. 그림 11의 (b)는 실제 저항이 대입되어 계산된 PMSM의 권선 실제 온도와 추정 저항이 대입되어 계산된 PMSM의 권선 추정 온도를 보여준다. 고정자 저항 추정과 비교했을 때 권선 온도 추정은 상대적으로 오차율이 크게 발생하는 것을 확인할 수 있지만, 기존의 영구자석 쇄교자속의 초기값이 반영되어 온도를 예측했을 때보다 제안한 알고리즘을 통해 권선 온도를 예측했을 때 정확도가 향상했다. 따라서 (b)를 통해 모터 온도가 상승하는 추세 및 온도가 유사하게 예측되고 추정 정확성이 향상된 것을 확인할 수 있다.

그림 11. 시뮬레이션을 통한 고정자 저항과 온도 추정 결과 (a) 고정자 저항 실제값과 추정값 (b) 모터 온도의 실제 값과 추정값

Fig. 11. Stator resistance and temperature estimation results through simulation (a) actual and estimated of stator resistance (b) actual and estimated of motor temperature ($R_{0}=6.02 ohm$, $T_{0}=25^{\circ}{C}$, $\alpha =3.9\times 10^{-3}$)