2.1 Wasserstein metric

해당 기법은 불확실성에 대한 다른 2개의 확률분포의 거리를 측정하는 방법으로서, 설계한 문제 내에서 고려할 불확실성의 범위를 확률분포적으로 나타내기 위해 사용된다. 이때 같은 확률변수 집합 안에 있는 다른 2개의 확률분포 $\vec{P_{1}}$, $\vec{P_{2}}$의 Wasserstein distance는 다음과 같이 정의된다^[8].

이때, $\widetilde{\xi_{1}}$와 $\widetilde{\xi_{2}}$는 $\vec{P_{1}}$와 $\vec{P_{2}}$의 랜덤 변수이고, $\Pi$는 2개의 랜덤변수의 결합 분포를 나타낸다. Wasserstein metric을 활용한 분포 강건 최적화 기법에서는 기준이 되는 $N$개의 데이터로 이루어진 경험적 분포 $\hat{\vec{P_{N}}}$ 로부터 $\epsilon$ 내의 ($N$개의 데이터로 이루어진) 확률분포 데이터셋 ${P}_{N}$ 를 이용하여 설계한 문제 내의 불확실성을 고려한다. ${P}_{N}$에 대한 정의는 다음과 같다.

Wasserstein metric 기반의 분포 강건 최적화 기법은 ${P}_{N}$에 만족하는 샘플 데이터를 기반으로 불확실성 요소를 고려하며, 그것은 지나치게 보수적인 ($\epsilon$이내에 들어오지 못한 확률분포의 데이터) 불확실성 고려를 방지할 수 있다는 장점이 있다. 뿐만 아니라, 해당 기법은 다루고자 하는 불확실성에 대한 확률분포 정보를 정확히 아는 것이 아니라 ${P}_{N}$내 샘플링 데이터 기반의 확률분포 정보를 사용한다는 점에서 주어진 데이터를 활용한 데이터 기반의 기법이라는 장점이 있다. 이번 연구에서는 스마트 전기차 충전소의 시간대별 전기에너지 구매가격, 태양광 발전량, 전기차 충전량에 대한 불확실성을 고려한 최적 에너지 관리 시스템을 설계하기 위해 Wasserstein metric 기반의 분포 강건 최적화 알고리즘을 적용하였다. 위 3가지 불확실성을 고려한 최적 스마트 전기차 충전소 운영에 대한 설계는 다음장 소개된다.

3.1 Objective function

제안한 연구의 목적함수는 다음과 같이 설계된다.

목적함수는 $J_{1}-J_{2}$ 를 최대화 하는 것으로서, 하루동안의 에너지 판매로 인한 매출 ($J_{1}$) 에서 에너지 구매로 인한 소비 ($J_{2}$) 에 대한 차이를 최대화 하는 것이다. 이때, $J_{1}$은 시간대별 전기차 충전소의 매출 (에너지 판매량 $P_{t}^{{sell}}$과 (단일의) 판매 에너지 가격의 곱)에 대한 합으로 정의되며, $J_{2}$는 Wasserstein metric 기반으로 만들어진 확률분포 데이터셋 $P_{N^{{buy}}}$ 을 활용하여 시간대별 에너지 구매가격에 대한 불확실성 ($\widetilde{\pi_{t}^{{buy}}}$)을 고려한 최적 에너지 소비의 합으로 정의된다. $N^{{buy}}$는 불확실한 에너지 구매가격에 대한 샘플 데이터의 개수를 의미한다. 하지만 확률분포 기반의 불확실성을 활용한 최적화 문제 설계는 분포가 불명확한 확률변수가 포함된 무한 차원의 문제로 설계되어 상용 프로그램으로 구현하기 힘들다는 단점이 있다. 설계한 문제에 대한 연산 효율성을 개선하여 수치적 분석을 진행하기 위해 본 논문에서는 설계한 확률분포 기반의 문제에 대한 강한 쌍대성 이론 (strong duality)을 활용하여 유한 차원의 볼록 (convex) 형식으로의 재설계를 페이지 4의 (23)과 (24)에 제안한다. 제안한 재설계에 대한 설명은 3.4장에 자세하게 설명된다.

3.2 Constraints

스마트 전기차 충전소는 다음과 같은 제약조건을 따라 에너지를 운영한다.

(6)은 매 시간 $t$에서의 전기차 충전소의 전력 구매량$(P_{t}^{{buy}})$ 을 전기차 충전을 위해 구매하는 양 $(P_{t}^{{grid},\:{EV}})$ 과 에너지 저장장치 충전을 위해 구매하는 양 $(P_{t}^{{grid},\:{ch}})$ 의 합으로 정의하였고, (7)은 매 시간 $t$에서의 전기차 충전소의 전력 판매량 $(P_{t}^{{sell}})$ 전기차 충전을 위해 i) 전력망으로부터 구매한 양 $(P_{t}^{{grid},\:{EV}})$ , ii) 에너지 저장장치의 방전량 $(P_{t}^{{dch}})$, iii) 태양광 발전량으로부터 보조 받은 전력량 $(P_{t}^{{PV},\:{EV}})$ 의 합으로 정의하였다. (8)에서는 매 시간 $t$에서의 잔여 전기차 충전량 $(P_{t}^{{EV},\:{r}})$을 정의하였으며, 충전소는 해당 시간대의 합쳐진 전기차 충전량 $\left(\widetilde{P_{t}^{{EV}}}+ P_{t-1}^{{EV},\:{r}}\right)$ 을 공급하지 못할 경우 잔여 전기차 충전량을 다음 시간대로 이월시킨다고 설정하였다. 그리고 (9)에서는 정해진 주기 $m$시간대마다 잔여 전기차 충전량 $(P_{t}^{{EV},\:{r}})$ 을 0으로 만들어 지속적인 전기차 충전량 이월을 방지하였다. (10) 은 매 시간 $t$에서의 스마트 전기차 충전소 에너지 저장장치 충전량 $(P_{t}^{{ch}})$ 을 전력망으로부터 구매하는 양 $(P_{t}^{{grid},\:{ch}})$ 과 태양광 발전량으로부터 보조받는 양 $(P_{t}^{{PV},\:{ch}})$ 의 합으로 정의하였으며, (11)은 매 시간 $t$에서의 불확실한 태양광 발전량 $(\widetilde{P_{t}^{{PV}}})$ 은 해당 시간대의 전기차 충전량을 보조하거나 에너지 저장장치 충전량을 보조한다고 설계하였다. (12)에서는 스마트 전기차 충전소 에너지 저장장치의 매 시간 $t$에서 배터리 충전 상태 (SOC) $(SOC_{t})$ 에 대한 동적 방정식을 나타내며, 에너지 저장장치의 용량 $(E^{cap})$ 대비 충전량 $(P_{t}^{{ch}})$의 합과 방전량 $(P_{t}^{{dch}})$의 차로 이루어진다 ($\eta^{{ch}}$와 $\eta^{{dch}}$은 각각 충전 및 방전 효율을 나타낸다). (13)에서는 스마트 전기차 충전소의 구매 $(P_{t}^{{buy}})$, 판매 전력량 $(P_{t}^{{sell}})$ 은 변압기 전력량 ($P^{{tr}}$) 이하로 설정하며, (14)에서 판매 전력량 $(P_{t}^{{sell}})$ 은 해당 시간대의 전기차 충전량 $(\widetilde{P_{t}^{{EV}}})$ 과 이전 시간대의 전기차 충전량 이월량 $(P_{t-1}^{{EV},\:{r}})$ 의 합 이하로 나타난다. (15)에서는 SOC 범위에 대한 제약조건을 SOC 최소 $(SOC_{\min})$, 최대 $(SOC_{\max})$ 값으로 나타낸다. 그리고 (16)과 (17)에서는 이진변수 $b_{t}^{{ESS}}$를 활용한 매 시간 $t$에서의 스마트 전기차 충전소 충전·방전량에 대한 범위를 최대 충전 $(P_{\max}^{{ch}})$ 및 방전량 $(P_{\max}^{{dch}})$ 으로 나타낸다. 이때, $b_{t}^{{ESS}}$가 1일때는 충전을 하며, 0일때는 방전한다고 설정하였다. 제안하는 알고리즘에서는 위의 제약조건들 만족하면서 충전소의 이익을 최대화하는 전력 구매·판매량과 연결된 에너지 저장장치의 충·방전량을 도출하고자 한다.

3.3 Chance constrained programming for PV and EV load uncertainties

본 연구에서는 태양광 발전량과 전기차 충전량의 불확실성을 고려한 (8)과 (11)의 제약조건 만족을 위해 다음과 같은 기회제약조건을 설계한다.

위 2개의 기회제약조건은 불확실한 태양광 발전량과 전기차 충전량의 (8)과 (11)의 전력 운영에 대한 제약조건들을 ($1-\alpha$) 확률 내로 만족시키기 위해 설계하였다.

3.4 Reformulation of objective function and chance constrained programming

제안한 연구의 목적함수 내 $J_{2}$에 대한 수식은 확률분포 기반의 무한 차원의 형태로 정의되어 있다. 이번 장에서는 해당 수식을 유한 차원의 볼록 문제로 재설계 하는 방법을 소개한다. 제안한 재설계 방법은 ^[9]의 Proposition 1의 쌍대성 이론을 활용하였다. ^[9]의 Proposition 1의 내용은 다음과 같다.

Proposition 1: 임의의 벡터 $\widetilde{\xi}\in\mathbb{R^{n}}$가 닫혀 있고 볼록한 집합 $\Xi\subset{EQ}\mathbb{R^{n}}$ 위에 정의 되어 있고, Wasserstein 모호성 집합 ${P}_{N}$ 이 표본 집합 $\left\{\hat{\xi_{1}},\: \hat{\xi_{2}},\: \ldots ,\: \hat{\xi_{{N}}}\right\}$으로부터 구성되어 있다. 만약 목적함수 $l(\widetilde{\xi})$ 가 상반 연속이라면 최악의 경우 기댓값 ${sup}_{\mathbb{P}\in{P}_{N^{{buy}}}}\mathbb{E^{\mathbb{P}}}$ 은 다음과 동치이다.

또한, $l(\widetilde{\xi})$ 가 볼록 함수라면, 고정된 $\lambda$ 에 대해 식 (22)의 상한은 오직 꼭짓점$\xi$, $\overline{\xi}$또는 $\hat{\xi_{m}}$ 에서만 얻어진다. 참고한 쌍대성 이론을 활용한 재설계는 다음과 같이 이루어진다. 매 $t$시간 폐구간 $\left[ \underline{\pi_t^{\text{buy}}}, \overline{\pi_t^{\text{buy}}} \right]$내 랜덤 전력 구매가격 $\widetilde{\pi_{t}^{{buy}}}$의 $N^{{buy}}$개 샘플 데이터 집합 $\left\{\hat{\pi_{t,\: 1}^{{buy}}},\: \hat{\pi_{t,\: 2}^{{buy}}},\: ...,\: \hat{\pi_{t,\: N^{{buy}}}^{{buy}}}\right\}$이 있다고 가정하였을 때, 주어진 데이터 집합을 활용한 최악의 경우를 고려한 $J_{2}$에 대한 Wasserstein metric 기반의 재설계는 다음과 $J_{1}^{'}$으로 설계된다.

이때, $\underline{\pi_{t}^{{buy}}}$와 $\overline{\pi_{t}^{{buy}}}$는 폐구간 내 $t$시간대의 전력 구매량의 최소 및 최대값을 나타내며, $\epsilon_{t}^{{buy}}$는 $t$시간대 에서의 전력 구매량 샘플 데이터 기반의 Wasserstein distance를 나타내며, $\Delta t$는 단위시간을 나타낸다 ($s_{t,\: m}$은 $t$시간대의 $m$번째 샘플 데이터에 대한 재설계 보조변수이다.).

위 (23)과 (24)로의 재설계는 기존 $J_{1}$을 다항식의 볼록한 형태로 변환시켜 연산 효율성을 증가시킨다. 위 소개된 (23)와 (24)은 (5)를 대체하여 문제에 적용되어 연산된다.

추가적으로, 이전 장에서 소개한 태양광 발전량과 전기차 충전량에 대한 기회제약조건 ((20), (21)) 또한 무한 차원의 문제로 설계되었다. 이번 연구에서는 위 2개의 기회제약조건을 최소확률 $1-\alpha$로 만족시킬 수 있는 불확실성에 대한 최소범위의 태양광 발전량 $\underline{P_{t}^{{PV}}}$과 전기차 충전량 $\underline{P_{t}^{{EV}}}$를 도출하고자 한다. 각 불확실성에 대한 최소범위는 다음과 같은 목적함수를 통해 도출된다^[10].

(25)는 최소확률 $1-\alpha$에 대해 기회제약조건을 만족할 수 있는 최대의 태양광 발전량(전기차 충전량) 최솟값 $\underline {P_{t}^{{PV}({EV})}}$ 을 도출하는 목적함수 이다. 이때, $\hat{P_{t,\: m}^{{PV}({EV})}}$는 $t$시간대 $m$번째 태양광발전량(전기차충전량)의 불확실성 샘플 데이터로서 $\left[P_{t}^{{PV}({EV}),\: \min} P_{t}^{{PV}({EV}),\: \max}\right]$의 범위 안에 존재한다. $w_{t,\: m}$, $r_{t,\: m}^{\max}$, $r_{t,\: m}^{\min}$, $z_{t,\: m}$은 목적함수 계산을 위한 보조변수이다. (25)를 통해 도출된 $\underline{P_{t}^{{PV}({EV})}}$는 (20)과 (21)의 $\widetilde{P_{t}^{{PV}({EV})}}$를 대체하여 제약조건에서 사용된다.

종합적으로, 기존의 무한 차원의 목적함수 및 제약조건인 (5), (20), (21)을 (23)~(25)의 유한 차원의 볼록한 형식으로 재설계하여 연산한다. (23)~(25)의 방식을 사용하여 연산한 결과를 다음 장에서 분석한다.

4.1 Power operation of smart EVCS

그림 2는 시간대별 스마트 전기차 충전소 에너지 저장장치의 충·방전량를 나타내고 그림 3은 각 시간대의 잔여 전기차 충전량 $P_{t}^{{EV},\:{r}}$을 나타낸다. 그림 2에서 에너지 저장장치는 전력 구매가격이 상대적으로 낮은 시간대^[8,14], ^[57,61]에서는 충전을 하고, 가격이 높은 시간대^[28,32], ^[67,73]에서는 방전을 하는 경향을 보인다. 이것은 스마트 전기차 충전소의 전력 구매 비용을 최소화하기 위한 에너지 저장장치의 충·방전 전략으로 해석된다. 이외에도, (그림 3에선) 잔여 전기차 충전량 $P_{t}^{{EV},\:{r}}$는 정해진 주기 ($t_{p}$=8) 에 맞춰 0으로 수렴하는 현상을 확인할 수 있다. 정해진 주기에 맞춰 0으로 수렴함으로써, 전력 구매비용을 최소화 하기 위해 전기차 충전량을 다음 시간대에 지속적으로 이월 시키지 않으면서 정해진 충전량을 만족하는 것을 확인할 수 있다.

그림 2. 시간대 별 전력 구매 가격에 따른 전기차 충전소 ESS 충·방전 전력량

Fig. 2. Charging and discharging pattern of electric vehicle charging station energy storage system in terms of the electricity price

그림 3. 시간대 별 잔여 전기차 충전량

Fig. 3. Profiles of the remaining aggregated electric vehicle load

그림 4는 4가지 $t_{p}$ ^[2,4,6,8]에 따른 충전소의 태양광 발전량 운영 비율 및 수익성 비교를 나타낸 결과이다. 이때, 태양광 발전량 운영 비율은 발전된 태양광 발전량 중 전기차 충전에 사용하는 비율이다 (전기차 충전에 사용되지 않은 발전량은 모두 에너지 저장장치 충전에 사용). 그림 4의 주황색 막대 그래프는 총 태양광 발전량 중 전기차 충전에 사용하는 비율을 나타내며, $t_{p}$가 제일 작은 2일 때 그 비율이 제일 높은 것을 확인할 수 있다. 이것은 $t_{p}$가 제일 작은 경우에서는 보다 더 빈번하게 잔여 전기차 충전량을 0으로 수렴해야 하기 때문에 태양광 발전량을 전기차 충전에 더 많은 비율을 사용한다고 해석된다. 그리고 그림 내 회색 막대그래프는 전기차 충전소의 수익성을 나타내며, $t_{p}$=8 인 경우에서의 수익성을 1로 기준으로 정규화 하여 다른 $t_{p}$에서의 수익성을 나타내었다. $t_{p}$가 클수록 잔여 전기차 충전량에 대한 충전소의 전력 운영 유연성이 증가하여 수익성 또한 함께 증가하는 경향을 확인할 수 있다. $t_{p}$의 값을 크게 설정하면 충전소 입장에서 충전량 유연성이 커져 수익성이 높아질 수 있다. 그러나 전기차 고객 입장에서는 제공받아야 할 충전량이 지나치게 뒤로 지연될 수 있어 고객 만족도 저하로 이어질 수 있다. 따라서, 본 연구에서는 운영 효율성과 고객 편의성 간의 균형을 고려하여 $t_{p}$를 최대 8로 설정하여 시뮬레이션을 진행하였다. 추가적으로, $t_{p}$를 ^{[16,24,48,96]}에서 시뮬레이션 분석을 진행하였을 때, $t_{p}$가 8일 때의 수익성보다 각각 약 3.99%, 8.59%, 13.51%, 13.75% 증가하는 것을 확인하였다. 하지만, $t_{p}$가 16 이상인 경우 전기차 고객의 충전 지연기 과도해 실제 서비스 환경에서는 현실성이 떨어질 것으로 판단하여, 이에 대한 시뮬레이션 결과는 그림 4의 분석에서 생략하였다.

그림 4. $t_{p}$에 따른 충전소의 수익성 및 태양광 발전량 운영 비율

Fig. 4. Performance comparison of the charging station profitability and the photovoltaic power operation in terms of $t_{p}$

4.2 Analysis of EVCS operation under uncertainty environments

그림 5(a)와 (b)는 각각 기회제약조건의 최소확률 $1-\alpha$에 따라 달라지는 태양광 발전량과 전기차 충전량의 최소값의 범위를 나타낸다. 2개의 그림을 통해 $\alpha$가 커질수록 2개의 불확실성에 대한 최소값이 증가하는 경향을 확인할 수 있다. 이것은 기회제약조건이 최소확률 $1-\alpha$를 만족시키기 위한 결과로서, $\alpha$가 커질수록 작아진 $1-\alpha$의 확률에 대하여 기회제약조건을 만족시키기 위해 최소값을 범위를 높게 형성하는 것이라고 해석된다. 즉, $\alpha$에 따라 환경에 적용되는 다양한 태양광 발전량과 전기차 충전량 패턴은 충전소의 이익에 영향을 미칠 수 있다. 그림 6은 $\alpha$에 따른 충전소 이익을 비교를 나타낸다. 총 4개의 $\alpha$에 대하여 결과를 분석하였으며, $\alpha$=0.2일 때의 이익을 1로 기준으로 하여 결과를 정규화하였다. $\alpha$값이 증가할수록 불확실성을 고려한 태양광 발전량과 전기차 충전량이 증가하기 때문에 더 많은 에너지를 보조 받으며 에너지 판매량을 증가시킬 수 있어 수익성 또한 증가하는 것을 확인하였다. 반면에 $\alpha$가 제일 작은 0.2일 때는 제일 적은 태양광 에너지 발전량 보조를 바탕으로 적은 에너지를 판매하게 되어 수익성 또한 감소함을 확인할 수 있다. $\alpha$가 커질수록 수익성이 향상되는 경향을 확인하였지만, $\alpha$가 0.8을 초과하는 경우에는 기회제약조건의 만족확률 $(1-\alpha)$이 지나치게 낮아 실제 운영 상황에서 현실성이 떨어지는 극단적인 시나리오라고 판단되어 그림 6의 분석에 추가하지 않았다. 이에 대해 본 논문에서는 $\alpha$가 0.8 이하로 제한하였다.

그림 7은 4가지 $t_{p}$ ^[2,4,6,8] 환경에서 전력 구매가격에 대한 불확실성 요소에 대한 충전소의 수익성을 기존연구들과 비교한 결과이다. 본 연구에서는 Wasserstein metric 기반으로 샘플링 데이터를 이용하여 매 시간대별 전력 구매 가격의 불확실성 고려 영역 $\epsilon_{t}^{{buy}}$ 을 정의하였다. 불확실성에 대한 영역을 정의하지 않은 기존 연구 2개 (robust optimization (RO), stochastic optimization (SO)) 와 비교분석을 하였다. Robust optimization은 주어진 불확실성 환경에서 최악의 경우를 고려하는 더욱 보수적인 방법론이며, Stochastic optimization은 주어진 불확실성에 대한 확률분포 환경을 모두 정확히 알고있다는 이상적인 방법론이다. 제안한 알고리즘을 통해 도출된 각 $t_{p}$별 결과를 1로 정규화하여 2개의 기존연구들과 비교분석 하였다. 모든 $t_{p}$환경에서 SO에서의 수익성이 제일 높고, RO의 수익성이 낮은 것을 확인할 수 있다. SO에서는 모든 불확실성에 대한 확률분포 정보를 정확히 알고 있다는 이상적인 환경으로서, 불확실성에 대한 이상적인 최적 충전소 운영을 도출할 수 있다. 반대로 RO 에서는 샘플링된 데이터 내에서 최악의 경우를 고려한 방법론으로서 불확실성에 대해 더욱 보수적인 충전소 운영을 도출하게 된다.

그림 8(a)와 (b)는 각각 전력구매 가격 샘플링 개수 ^[5,10,20,30] 에 따른 수익성과 연산시간을 위 2가지의 기존 연구들과 비교하였다. 그림 8(a) 에서는 제안한 알고리즘을 통해 나온 결과를 1을 기준으로 정규화하여 다른 2개의 기존연구와 수익성을 비교분석 하였다. 이때, 샘플링 개수가 적을수록 제안한 Wasserstein metric 기반의 분포 강건 최적화 알고리즘을 적용했을 때의 결과와 SO를 적용했을 때의 결과의 차이가 크다는 것을 확인있으며, 샘플링 개수가 제일 적은 5개인 경우는 1.79%가 차이나는 것을 확인할 수 있다. 반면에 샘플링 개수가 증가할수록 제안한 알고리즘의 결과와 SO에서의 결과 차이가 작아지는 것을 확인할 수 있으며, 30일때는 1.58%의 차이가 나는것을 확인할 수 있었다. (샘플링 개수가 10과 20일때는 각각 1.75% 1.71% 차이가 난다.) 이것은 샘플링 데이터의 개수가 적을수록 Wasserstein metric을 통해 도출할 수 있는 확률분포의 정확성이 뒤떨어지기 때문이며, 반면에 샘플링 데이터 개수가 많을수록 Wasserstein metric을 통해 보다 정확한 확률분포를 도출할 수 있기 때문에 확률분포에 대한 완벽하게 정확한 데이터를 알고있는 SO와 성능 차이가 적어진다. 그림 8(b)를 통해선 제안한 알고리즘이 다른 2개의 비교연구보다 더 많은 연산시간이 필요하다는 것을 알 수 있다. 이것은 주어진 데이터를 활용하여 Wasserstein 거리 연산 및 모호 집합 생성에 추가적인 연산시간이 필요하기 때문이다. 하지만 본 연구의 24시간 충전소 스케줄링 환경을 고려하였을 때, 현재 도출되는 제안연구의 연산시간은 큰 문제가 없을 것이라고 예상된다.

그림 5. $\alpha$에 따른 태양광 발전량 및 전기차 충전량 최소값 변화 (a) 태양광 발전량, (b) 전기차 충전량

Fig. 5. Distributionally robust bounds of the photovoltaic generation and the electric vehicle load in terms of $\alpha$: (a) Photovoltaic generation and (b) electric vehicle load

그림 6. $\alpha$에 따른 태양광 발전량 및 전기차 충전량에 대한 충전소 수익성 변화

Fig. 6. Profitability comparison of the electric vehicle charging station in terms of $\alpha$

그림 7. $t_{p}$에 따른 제안연구 및 기존연구 2개의 수익성 비교

Fig. 7. Profitability comparison between the proposed study and the conventional methods in terms of $t_{p}$

그림 8. 전력 구매 가격 샘플링 데이터 개수에 따른 제안연구 및 기존연구 2개의 수익성 및 연산시간 비교 (a) 수익성, (b) 연산시간

Fig. 8. Comparison of the profitability and the computation time between the proposed study and the conventional methods in terms of the number of price samples: (a) Profitability, and (b) computation time