2.1 일치 및 불일치 외란을 포함한 플래툰 차량 동역학

그림 1의 $i\in\{1,\: \cdots ,\: n\}$번째 플래툰 차량의 동역학은

와 같이 표현될 수 있다^[18,19]. 여기서 $x_{i}$, $v_{i}$는 각각 차량의 실제 위치 및 측정된 속도, $a_{i}$는 미지의 가속도, $M_{i}$, $c_{i}$, $f_{i}$는 각각 차량의 무게, 공기역학 상수, 회전 저항 마찰 계수, $u_{i}$는 제어 입력이고, $\delta_{vi}$, $\delta_{ai}$는 각각 미지의 불일치 및 일치 외란으로 차량 모델의 불확실성과 외부 환경 요인에 의해 발생한다.

• 참조 1 : 특히, 불일치 외란 $\delta_{vi}$는 도로 경사나 동적 마찰 변화로 인해 식 (1)의 첫 번째 행처럼 입력 채널이 아닌 차량 속도에 직접 작용하며^[18], 이는 플래툰 제어 성능 저하를 초래한다. 그러나 $\delta_{vi}$는 제어 입력으로 직접 보상하기 어려워 기존 플래툰 제어 연구에서는 주로 고려되지 않았으나, 본 논문에서는 일치 및 불일치 외란을 동시에 보상하는 강인 양방향 플래툰 제어기를 제안한다.

강인 양방향 플래툰 제어기 설계를 위하여 식 (1)의 차량 모델에 대해 다음과 같은 가정을 도입한다.

• 가정 1 : 차량의 상태는 $x_{i},\: v_{i},\: a_{i}\in L_{\infty}$와 같이 유계이다.

• 가정 2 : 차량의 일치 및 불일치 외란과 그들의 일차 미분은 $\delta_{vi},\: \delta_{ai},\: \dot{\delta}_{vi},\: \dot{\delta}_{ai}\in L_{\infty}$와 같이 유계이다.

• 참조 2 : 차량 구동기의 입출력은 실제로 포화되며, 물리적으로 항상 유한하므로 가정 1은 타당하다. 또한 상수, 고조파, 램프 형태의 다양한 외란들은 가정 2를 만족하며, 여러 강인 플래툰 제어 연구들^[8,15,18,19]에서 제시된 실제 사례들은 가정 2.2의 타당성을 입증한다.

2.2 간격 오차 정의를 위한 MCTH 정책

기존 많은 플래툰 제어 연구들에서는 고전적인 CTH 정책에 기반한 다음과 같은 간격 오차를 주로 사용해 왔다^[8,9,13,15].

여기서 $x_{d}$는 선행 차량간 원하는 고정 거리이고, $h$는 차두시간(time-headway) 상수이다. 고전적인 CTH 정책은 차량의 속도 정보를 기반으로 차량 간 시간 간격을 조절하여 플래툰의 끈 안정성을 향상시킬 수 있다^[7]. 그러나 초기 간격 오차가 클 경우, 그 오차를 보정하는 데 많은 시간이 소요되므로 초기 조건에 민감하다는 한계를 지닌다^[8].

이러한 한계를 극복하기 위해, 본 논문에서는 속도 오차 $e_{vi}:=v_{i-1}-v_{i}$를 이용하여 MCTH 정책 기반의 간격 오차

를 새롭게 정의한다. 여기서 $\kappa_{i}$는 양의 상수이다. 식 (3)에서 초기 간격 오차는 $\overline{e}_{i}(0)=0$를 만족하며, $\psi_{i}$는 시간이 지남에 따라 $\kappa_{i}$의 크기에 의존하여 빠르게 영에 수렴하므로 $\overline{e}_{i}$는 $e_{i}$와 같아진다.

• 참조 3 : 기존 플래툰 제어 연구들에서 제안된 MCTH 정책 ^[8,15]는 초기 가속도 정보를 기반으로 정의되지만, 가속도는 위치나 속도에 비해 노이즈에 민감하여 정확한 측정이 어렵다. 이에 본 논문에서는 직접 측정이 가능한 초기 속도 정보만을 활용하며, 나아가 2.3절에서 유도하는 결합된 적분 슬라이딩 모드 동역학에 포함된 초기 속도 오차의 영향 역시 제거할 수 있음을 보인다.

2.3 결합된 적분 슬라이딩 모드 동역학

먼저, 차량 $i$의 적분 슬라이딩 평면을

와 같이 설계한다. 여기서 $k_{I}$는 양의 상수이다. 식 (4)의 초기 조건 $s_{i}(0)=0$에 의해 간격 오차 궤적은 초기부터 슬라이딩 평면 위에 위치하게 되며, 그 결과 도달 모드(reaching mode) 없이 즉시 슬라이딩 모드가 유지된다.

개별 차량의 안정성뿐만 아니라 플래툰의 끈 안정성을 보장하기 위해, 식 (4)로부터 결합된 적분 슬라이딩 평면

가 추가로 도입된다. 이때, $s:=[s_{1},\: \cdots ,\: s_{n}]$와 $S:=[S_{1},\: \cdots ,\: S_{n}]$는 $S=Q s$와 같이 표현된다. 여기서

는 상수 $q>0$를 대각 원소로 갖는 가역 행렬(invertible matrix)이므로, 보조정리 1과 같이 와 의 영으로의 수렴 관계가 설명된다.

• 보조정리 1($s_{i}$와 $S_{i}$의 영으로의 수렴)^[6] : 모든 차량에 대해 $q>0$일 때, 식 (5)의 $S_{i}$가 영으로 수렴하면, 식 (4)의 $s_{i}$ 역시 영으로 수렴한다.

우선, $i=1,\: \cdots n-1$에 대해 식 (5)를 시간 미분한 후, 식 (1)을 대입하여 결합된 적분 슬라이딩 모드 동역학을

와 같이 얻는다. $i=n$인 경우에도 $\dot{s}_{i+1}=0$으로 두면, 식 (7)의 마지막 행과 동일한 형태로 정리할 수 있다. 여기서

이며, 식 (3)에서 $\dot{\psi}_{i}(0)=e_{vi}(0)$이므로 $\omega_{i}$에 포함된 초기 속도 오차의 영향은 제거된다. 또한, 미지(unknown)의 후방 차량 가속도 $a_{i+1}$는 집약된 외란 $\delta_{i}$에 포함되어, 2.4절에서 제안하는 외란 관측기 기반 적분 슬라이딩 모드 제어기를 통해 일치 및 불일치 외란과 함께 추정 및 보상된다.

2.4 외란 관측기 기반 적분 슬라이딩 모드 제어

집약된 외란 $\delta_{i}$를 추정 및 보상하기 위해 먼저 외란 관측기를 설계한다. 이때, 식 (8)과 같이 가속도 항을 포함하는 $\delta_{i}$를 빠르고 정확하게 추정해야 하므로 고차 슬라이딩 모드 미분기(differentiator)^[20,21]의 단순화된 형태로

와 같이 설계한다. 여기서 $l_{i}$는 양의 상수이다. 식 (9)에서 설계한 외란 관측기의 성능은 보조정리 2에서 설명된다.

• 보조정리 2(집약된 외란 추정을 위한 외란 관측기)^[21] : 가정 1, 2로부터 유계인 $S_{i}$와 $\delta_{i}$에 대해, $S_{i}$가 작은 측정 잡음 $\epsilon\ge 0$로 제한되어 측정되는 경우, 유한시간 내에 추정 오차 $\widetilde{\delta}_{i}:=\delta_{i}-\hat{\delta}_{i}$는

를 만족한다. 여기서 상수 $\mu >0$는 $l_{i}$ 크기에 종속되어 작아진다. 따라서 충분히 작은 $\epsilon$에 의존하여 $\left |\widetilde{\delta}_{i}\right |$는 유한시간 내 충분히 작아지며, 피킹(peaking) 현상은 발생하지 않는다.

식 (9)에서 설계한 외란 관측기를 기반으로 플래툰 차량의 제어 입력은

와 같이 설계한다. 여기서 $k_{i}$와 $k_{si}$는 양의 상수이다. 제어기 식 (11)의 안정성 분석은 정리 1에서 이뤄진다.

• 정리 1(플래툰 시스템의 외란 관측기 기반 적분 슬라이딩 모드 제어기) : 모든 차량 $i=1,\: \cdots n$에 대해 $k_{si}\ge\left |\widetilde{\delta}_{i}\right |$를 만족하면 $S_{i}$, $s_{i}$가 점근적으로 영에 수렴하며, 결과적으로 간격 오차 $\overline{e}_{i}$도 점근적으로 영에 수렴하게 된다.

• 증명 : 모든 차량 $i=1,\: \cdots n$에 대해 리아푸노프 후보 함수(Lyapunov candidate function)를

와 같이 정의하고, 시간 미분하여 식 (7), (11)을 대입하면

와 같다. 여기서 마지막 행 우변의 두 번째 항은

를 항상 성립하고^[22], 보조정리 2로부터 유한시간 안에 충분히 작아지는 $\left |\widetilde{\delta}_{i}\right |$에 대해 제어 이득 $k_{si}$가 $k_{si}\ge\left |\widetilde{\delta}_{i}\right |$를 만족하면 식 (13)은

와 같이 정리된다. 식 (15)의 마지막 행을 양변 적분하면

된다. 식 (16)으로부터 $\sum_{i=1}^{n}\int_{0}^{t}S_{i}^{2}(\tau)d\tau <\infty$임을 알 수 있으므로, 이는 $S_{i}\in L_{2}$임을 의미한다. 또한, $S_{i}$에 대한 양의 정부호 함수 $V(t)$가 $V(t)<\infty$를 만족하므로 $S_{i}\in L_{\infty}$이며, 가정 1, 2와 식 (7)로부터 $\dot{S}_{i}\in L_{\infty}$임을 추론할 수 있으므로 Barbalat의 보조정리^[23]에 의해 $S_{i}$는 점근적으로 영에 수렴하게 된다. 더 나아가, 보조정리 1에 의해 $S_{i}=0$을 만족하게 되면 적분 슬라이딩 평면 역시 $s_{i}=0$임을 알 수 있고, 제어 이득 $k_{i}$와 $k_{si}$를 충분히 크게 설정하여 $s_{i}=\dot{s_{i}}=0$이 도달되면 식 (4)로부터 간격 오차 동역학은 $\dot{\overline{e}}_{i}=-k_{I}\overline{e}_{i}$와 같이 유도된다. 결과적으로 $\overline{e}_{i}$ 역시 점근적으로 영에 수렴하게 된다.

• 참조 4 : 기존의 강인 제어 기법에서는 떨림 현상(chattering)을 완화하기 위해 부호 함수를 포화 또는 시그모이드 함수로 근사하여, 간격 오차의 궁극적 유계만을 보장한다^[6]. 반면, 식 (14)의 강인 제어 항은 $a>0$에 의존하여 시간이 지남에 따라 영에 수렴하는 $\exp(-at)$를 사용하여 떨림 현상을 억제하면서 간격 오차의 점근적 안정성을 보장한다.

제안한 제어기 (11)로부터 보장되는 전체 플래툰 시스템의 끈 안정성은 정리 2에서 증명된다.

• 정리 2(플래툰 시스템의 끈 안정성) : 식 (11)에 의해 $S_{i}=0$를 만족하게 될 때, $0<q\le 1$와 같이 설정하면 전체 플래툰 시스템은 끈 안정성이 보장된다.

• 증명 : 기존의 많은 플래툰 제어 연구[6-8, 15, 18, 19]에서와 같이 플래툰 시스템의 끈 안정성은 $\overline{e}_{i}$와 $\overline{e}_{i+1}$의 라플라스 변환(Laplace transformation) $E_{i}(s)$, $E_{i+1}(s)$에 대하여 오차 전파 전달함수 $H_{i}(s):=E_{i+1}(s)/E_{i}(s)$가 $\left | H_{i}(s)\right |\le 1$를 만족함을 보여주는 것으로 증명한다.

정리 1로부터 $S_{i}=0$을 만족하면 식 (4), (5)에 의해

와 같은 관계를 얻을 수 있고, 식 (3)에서 $\overline{e}_{i}(0)=0$이므로 식 (17)의 양변을 라플라스 변환하면

이다. 여기서 $0<q\le 1$와 같이 설정되면 결과적으로 오차 전파 전달함수의 크기는

를 만족하므로 플래툰 시스템의 끈 안정성이 보장된다.

그림 2는 제안한 제어 구조를 도식화한 것이다. 본 방법은 모든 차량에 동일한 제어기를 적용하는 분산 제어 방식으로, 플래툰 구성과 제어기 설계가 간단하다는 장점을 갖는다. 또한, 불일치 외란과 가속도 추정을 위한 별도의 관측기를 요구하는 기존의 양방향 플래툰 제어 기법^[19]과 비교할 때, 구조가 간결하여 실제 구현이 용이하다. 제안한 방법의 제어 성능은 3장의 모의실험을 통해 비교 분석한다.

• 참조 5 : 양방향 플래툰 시스템은 온보드 센서로부터 획득한 이웃 차량의 정보만을 사용하므로, 선도-선행 추종(leader -predecessor following) 플래툰 시스템에 비해 구현이 간단하고 비용이 적게 든다^[6]. 본 논문은 양방향 플래툰 시스템만을 다루지만, 식 (5)의 결합된 적분 슬라이딩 평면을 구성하는 방식에 따라 선도-선행 추종과 같은 다른 통신 토폴로지에도 제안한 방법의 확장이 가능하다.

그림 2. 양방향 플래툰 시스템을 위한 제안한 외란 관측기 기반 적분 슬라이딩 모드 제어 구조

Fig. 2. Control structure of the proposed disturbance observer-based intergral sliding mode control for bidirectional platooning

3.1 모의실험 환경 설정

모의실험을 위한 플래툰 시스템은 그림 1과 같이 총 6대의 차량($n=6$)과 1대의 가상 선두 차량($i=0$)으로 구성되었다. 기준 궤적은 가상 선두 차량의 가속도를

로 설정하고^[19], 이를 적분하여 생성하였다. 차량의 초기 위치는 $[x_{0}(0),\: \cdots ,\: x_{6}(0)]=[16,\: 14,\: 12,\: 10,\: 7,\: 4.2,\: 24][m]$, 초기 속도는 $[v_{0}(0),\: \cdots ,\: v_{6}(0)]=[2,\: 2.3,\: 1.7,\: 1.6,\: 2.8,\: 2.4,\: 2.3][m/s]$, 식 (1)의 차량 동역학 매개변수는 $M_{i}=1$, $c_{i}=0.008$, $f_{i}=0.001$을 사용하였고, 최대 속도와 가속도는 각각 $v_{\max}=50 m/s$, $a_{\max}=5 m/s^{2}$로 설정하였다. 일치 및 불일치 외란은 $\delta_{ai}=$$1.5\sin(3t)e^{-(t-5-0.2i)^{2}}$, $\delta_{vi}=(-1)^{i}0.25\sin(t)e^{-(t-5-0.2i)^{2}}$를 사용하였다^[8]. 또한, 실제적인 모의실험과 센서 잡음에 대한 강인성을 검증하기 위해, 차량 가속도 및 속도 정보에 단위로의 최대 5%에 해당하는 영평균 가우시안 무작위 잡음(zero mean Gaussian random noise)을 포함하였다.

제안한 방법의 제어 및 관측기 이득은 시행착오를 통해 미세 조정되었다. 식 (2)-(3)의 간격 오차 매개변수는 $x_{d}=0.5$, $h=1$, $\kappa_{i}=5$, 식 (4)-(5)의 매개변수는 $k_{I}=10$, $q=0.9$이고, 식 (9)의 외란 관측기 이득은 $l_{i}=0$, 식 (11)의 제어 이득은 $k_{i}=1$, $k_{si}=1$, $a=0.001$로 설정하였다. 공정한 제어 성능 비교를 위해 ^[8]과 ^[19]에서 사용한 기준 궤적과 일치 외란을 동일하게 적용하였으며, 비교 대상 방법들의 매개변수도 제안한 방법과 동일하게 시행착오를 통해 설정하였다.

3.2 모의실험 결과

그림 3은 제안한 방법과 기존의 슬라이딩 모드 제어 방법^[8], 관측기 기반 제어 방법^[19]의 플래툰 제어 성능을 비교한 결과이다. 그림 3(a), 3(e), 3(i)는 각각 제안한 방법, ^[8,19]의 간격 오차를 나타낸다. 제안한 방법은 일치 및 불일치 외란이 작용하는 약 4.5-7초 구간에서 변동 거의 없이 영에 빠르게 수렴하였다. 반면, ^[8]은 불일치 외란을 보상하지 못해 큰 변동을 보였고, ^[19]는 가속도 및 불일치 외란을 충분히 보상하지 못하여 약간의 변동이 발생하였다. 그림 3(b), 3(f), 3(j)는 적분 슬라이딩 평면의 응답을 비교한 것으로, 제안한 방법이 가장 안정적으로 영에 수렴하였다. 그림 3(c), 3(g), 3(k)는 각 방법의 차간 거리 $d_{i,\: i+1}:=x_{i}-x_{i+1}$를 나타낸다. 세 방법 모두 CTH 정책과 유사하게 차량 속도에 비례하여 차간 거리가 조절되며, 그 값이 항상 영보다 크다. 그림 3(d), 3(h), 3(l)는 제어 입력을 비교한 결과로, 제안한 방법이 가장 작은 떨림 현상을 가지고 있음을 확인할 수 있다.

그림 4는 제안한 방법에서 간격 정책에 따른 과도 응답 성능과 오차 전파 전달함수의 크기를 비교한 결과를 보여준다. 그림 4(a), 4(b)는 각각 식 (3)의 MCTH 정책과 식 (2)의 고전적인 CTH 정책을 사용할 때의 간격 오차를 0-2.5초 구간에서 비교한 것이다. MCTH 정책은 오버슈트 없이 모든 차량의 간격 오차가 약 1초 부근에서 영에 수렴하는 반면, 고전적인 CTH 정책은 약 21cm의 오버슈트를 보이며 1.5초 부근에서 수렴하였다. 이를 통해 제안한 방법이 더 우수한 과도 응답 특성을 나타냄을 확인하였다. 그림 4(c)는 외란이 작용하는 구간에서 오차 전파 전달함수의 크기를 나타내며, 대부분 식 (19)의 조건과 같이 그 값이 1 이하이므로 전체 플래툰 시스템의 끈 안정성이 보장됨을 확인할 수 있다.

표 1은 제안한 방법과 ^[8,19]의 방법에 대해 간격 오차의 평균 절대 오차(mean absolute error, MAE)와 평균 제곱근 오차(root mean squared error, RMSE)를 비교한 결과를 보여준다. MAE와 RMSE는

와 같이 여섯 대 차량의 평균으로 계산하였다. 여기서 $T$는 전체 샘플 수이다. 제안한 방법이 MAE와 RMSE 기준 모두에서 가장 우수한 성능을 보였다.

그림 5는 식 (8)의 외란 관측기를 이용한 집약된 외란의 추정 성능을 나타낸다. 그림 4(a)-(f)는 각 차량에 대한 외란 추정 결과를 보여주며, 모든 차량에서 집약된 외란이 정확하게 추정됨을 확인할 수 있다.

그림 3-5와 표 1의 모의실험 결과를 통해 제안한 플래툰 제어 시스템의 안정성과 강인성이 효과적으로 검증되었다.

그림 3. 플래툰 제어 성능 비교((a)-(d): 제안한 방법; (e)-(h): 기존 슬라이딩 모드 제어 방법^[8]; (i)-(l): 기존 관측기 기반 제어 방법^[19])

Fig. 3. Comparison of platoon control performance ((a)–(d): proposed method; (e)–(h): existing sliding mode control method ^[8]; (i)–(l): existing observer-based control method ^[19])

그림 4. 제안한 방법의 간격 정책에 따른 과도 응답 성능과 끈 안정성

Fig. 4. Transient response performance according to the spacing policy and string stability of the proposed method

그림 5. 외란 관측기에 의한 집약된 외란 추정

Fig. 5. Lumped disturbance estimation by the disturbance observer